特征值與特征向量及其應(yīng)用

1、特征值與特征向量及其應(yīng)用 I / 36I / 36 特征值與特征向量及其應(yīng)用 I 摘摘 要要 特征值與特征向量是代數(shù)中一個(gè)重要的部分，并在理論和學(xué)習(xí)和實(shí)際生活， 特別是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)方面都有很重要的作用.本文主要討論并歸納了特征值與特 征向量的性質(zhì)，通過實(shí)例展現(xiàn)特征值與特征向量的優(yōu)越性，探討特征值與特征 向量及其應(yīng)用有著非常重要的價(jià)值. 正文共分四章來寫，其中第一章介紹了寫作背景以及研究目的.第二章介紹 了特征值與特征向量的定義以及性質(zhì)，并且寫出了線性空間中線性變換的特征 值、特征向量與矩陣的特征值、特征向量之間的關(guān)系.第三章介紹了特征值與特 征向量的幾種解法：利用特征方程求特征值進(jìn)而求特征向量

2、、列行互逆變換法、 利用矩陣的初等變換求特征值和特征向量.第四章重點(diǎn)介紹了特征值特征向量的 應(yīng)用，如 n 階矩陣的高次冪的求解以及矩陣特征值反問題的求解等等.本文充分 利用特征值與特征向量的特性求解相關(guān)問題，這帶有一定的技巧性，但并不難 想象，特別是跟其它方法相比，計(jì)算顯得非常簡潔，在解決具體問題上具有很 大的優(yōu)越性. 當(dāng)然關(guān)于矩陣的特征值和特征向量的內(nèi)容很廣，本文僅就特征向量的性質(zhì) 以及一些應(yīng)用展開研究. 關(guān)鍵詞：特征值；特征向量；矩陣；遞推關(guān)系；初等變換 特征值與特征向量及其應(yīng)用 II Abstract As an important part of algebra,Eigenvalue

3、and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life, especially in modern science and technology. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through e

4、xamples.It has a very important value of exploring eigenvalue and eigenvector and its application. The text is divided into four chapters to write,Among them,the first chapter presents the background and research purposes.The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and t

5、heir properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector:the characteristic equation for eigenvalue and eigenv

6、ector;the method of reversible transform on Rows and columns;the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem o

7、f matrix eigenvalues and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues, this approach needs certain skills，but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues, comparing with other methods. Of course, the content about matrix

8、eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application. Key words:eigenvalue；eigenvector；matrix；recursive relations；elementary；transformation 特征值與特征向量及其應(yīng)用 目 錄 摘 要.I Abstract.II 1 引 言.1 1.1 研究背景.1 1.2 研究現(xiàn)狀.1 1.3 本文研究目的及意義.2 2 特征值與特

9、征向量.3 2.1 特征值與特征向量的定義和性質(zhì).3 2.1.1 線性變換的特征值與特征向量.3 2.1.2 n 階方陣的特征值與特征向量.3 2.2 ,V p n 中線性變換的特征值、特征向量與矩陣R的特征值與特征向量之間 的關(guān)系.3 3 特征值與特征向量的解法.5 3.1 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量.5 3.2 列行互逆變換法.6 3.3 利用矩陣的初等變換解特征值特征向量.10 4 矩陣的特征值與特征向量的應(yīng)用研究.15 4.1 n 階矩陣 1* , m kA aAbI AAAfA 的特征值和特征向量. .15 4.2 n 階矩陣的高次冪的求解.16 4.3 矩陣特征值反問題的求解.1

10、7 4.4 特征值與特征向量在線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用.18 4.5 特征值法求解二次型的條件最值問題.22 4.5.1 二次型的條件最值問題及求解該問題的特征值方法.22 4.5.2 應(yīng)用舉例.25 4.6 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用.26 4.6.1 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中使用的性質(zhì).26 4.6.2 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用.26 總 結(jié).30 參考文獻(xiàn).31 致 謝.32 特征值與特征向量及其應(yīng)用 1 1 引引 言言 1.1 研究背景 矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念之一,是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對象,也是數(shù) 學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具. 矩陣的特征值與特征向量問題是

11、矩陣?yán)碚摰闹匾M成 部分，它在高等代數(shù)和其他科技領(lǐng)域中占有重要的位置.同時(shí)它又貫穿了高等代數(shù)的 許多重要方面，對于該課題的研究加深了我們對高等代數(shù)各個(gè)部分的認(rèn)識，從而使我 們更深刻的了解高等代數(shù)的相關(guān)理論. 對矩陣的特征值與特征向量的理論研究和及其 應(yīng)用探究，不僅對提高高等代數(shù)以及相關(guān)課程的理解有很大幫助，而且在理論上也很 重要，可以直接用來解決實(shí)際問題.現(xiàn)在矩陣已成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支，矩陣特征 值與特征向量的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，而且在力學(xué)、物理、科技方面 都有十分廣泛的應(yīng)用. 1.2 研究現(xiàn)狀 在此之前已有很多專家學(xué)者涉足此領(lǐng)域研究該問題.吳江、孟世才、許耿在淺 談中“特征值

12、與特征向量”的引入中從線性空間 V 中線性變換在不同基 下的矩陣具有相似關(guān)系出發(fā)引入矩陣的特征值與特征向量的定義.郭華、劉小明在 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用中從方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)出發(fā)， 結(jié)合具體的例子闡述了特征值與特征向量在簡化矩陣運(yùn)算中所起的作用.矩陣的特征 值與特征向量在結(jié)構(gòu)動力分析中有重要作用，矩陣迭代法是求矩陣的第一階特征值與 特征向量的一種數(shù)值方法,但是選取不同的初始向量使結(jié)果可能收斂于不同階的特征 值與特征向量，而不一定收斂與第一階,陳建兵在矩陣迭代法求矩陣特征值與特征 向量初始向量選取的討論中討論了初始向量的選取問題.特征值理論是線性代數(shù)中 的一個(gè)重要的內(nèi)容，當(dāng)

13、方陣階數(shù)很高時(shí)實(shí)際計(jì)算比較繁瑣，趙娜、呂劍峰在特征值 問題的 MATLAB 實(shí)踐中從實(shí)際案例入手，利用 MATLAB 軟件討論了求解特征值問題的 全過程.汪慶麗在用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量中研究了一種只 對矩陣作適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q就能求到矩陣的特征值與特征向量的方法，論證其方法的 合理性，并闡述此方法的具體求解步驟.岳嶸在由特征值特征向量去頂矩陣的方法 證明及應(yīng)用中探究了已知 n 階對稱矩陣 A 的 k 個(gè)互不相等的特征值及 k-1 個(gè)特征 向量計(jì)算出矩陣 A 的計(jì)算方法.張紅玉在矩陣特征值的理論及應(yīng)用中討論了通過 n 階方陣 A 的特征值得出一系列相關(guān)矩陣的特征值,再由特征值與正

14、定矩陣的關(guān)系得 出正定矩陣的結(jié)論.劉學(xué)鵬、楊軍在矩陣的特征值、特征向量和應(yīng)用一文中討論 了矩陣的特征值和特征向量的一些特殊情況，以及在矩陣對角化方面的應(yīng)用.馮俊艷、 特征值與特征向量及其應(yīng)用 2 馬麗在討論矩陣的特征值與行列式的關(guān)系中討論了利用矩陣的特征值解決行列式 的問題. 1.3 本文研究目的及意義 在前人研究的基礎(chǔ)上，本文給出了特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，特征值與 特征向量性質(zhì)是最基本的內(nèi)容，特征值與特征向量的討論使得這一工具的使用更加便 利，解決問題的作用更強(qiáng)有力，其應(yīng)用也就更廣泛.在此基礎(chǔ)上，對矩陣的特征值與 特征向量的計(jì)算進(jìn)行詳盡的闡述和說明. 利用特征方程求特征值進(jìn)而求特征向

15、量法、 列行互逆變換法、矩陣的初等變換求特征值和特征向量.由于特征值與特征向量的應(yīng) 用是多方面的，本文重點(diǎn)介紹了對特征值與特征向量的應(yīng)用探究,闡述了特征值和特 征向量在矩陣運(yùn)算中的作用，利用特征值法求解二次型最值問題以及矩陣的高次冪和 反求解問題的應(yīng)用.在例題解析中運(yùn)用一些特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，可以使 問題更簡單，運(yùn)算上更方便，是簡化有關(guān)復(fù)雜問題的一種有效途徑.本文就是通過大 量的例子加以說明運(yùn)用特征值與特征向量的性質(zhì)可以使問題更加清楚，從而使高等代 數(shù)中的大量習(xí)題迎刃而解，把特征值與特征向量在解決實(shí)際問題中的優(yōu)越性表現(xiàn)出來. 特征值與特征向量及其應(yīng)用 3 2 特征值與特征向量 2.1

16、 特征值與特征向量的定義和性質(zhì) 2.1.1 線性變換的特征值與特征向量 定義 1：設(shè)是數(shù)域上的線性空間的一個(gè)線性變換，如果對于數(shù)域中一數(shù)V ，存在一個(gè)非零向量，使得 0 0 = 那么稱為的一個(gè)特征值特征值，而稱為的屬于特征值的一個(gè)特征向量特征向量. . 0 0 2.1.2 n 階方陣的特征值與特征向量 定義 2：設(shè)是階方陣，如果存在數(shù)和維非零向量，使得成立，Rn 0 nX 0 RXX 則稱為的特征值特征值，是的對應(yīng)特征值的特征向量特征向量. 0 RXR 0 性質(zhì)性質(zhì) 1 1 若是的 重特征值，對應(yīng)特征值有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則 i R i rR i i s . ii sr 性質(zhì)性質(zhì) 2 2

17、如果都是矩陣的屬于特征值的特征向量,則當(dāng)時(shí), 12 ,x xR 0 1 122 0k xk x 仍是的屬于特征值的特征向量 1 122 0k xk xR 0 性質(zhì)性質(zhì) 3 3 如果是矩陣的互不相同的特征值，其對應(yīng)的特征向量分別是 12 , n R ，則線性無關(guān) 12 , n x xx 12 , n x xx 性質(zhì)性質(zhì) 4 4 若的特征值為，則 ij n n Rr 12 , n ， 121122nnn rrr 12n R 性質(zhì)性質(zhì) 5 5 實(shí)對稱矩陣 的特征值都是實(shí)數(shù)，屬于不同特征值的特征向量正交R 性質(zhì)性質(zhì) 6 6 若 是實(shí)對稱矩陣的 重特征值，則對應(yīng)特征值恰有 個(gè)線性無關(guān) i R i r i

18、 i r 的特征向量，或 ii r REnr 性質(zhì)性質(zhì) 7 7 設(shè)為矩陣的特征值，為多項(xiàng)式函數(shù)，則為矩陣多項(xiàng)式R P x P 的特征值 P R 2.2 中線性變換的特征值、特征向量與矩陣的特征值與特征向量之間的關(guān),V p nR 系 定理：設(shè)是的一組基, 12 , n ,V p n L V 1212 , nn R 1）的特征值必是的特征值，的屬于的特征向量 0 R 0 ，則必是的屬于特征值的特征向量. 1 122nn xxx 12 , n x xxR 0 2）設(shè)是的一個(gè)特征值，且，則是的一個(gè)特征值.若 0 R 0 0 特征值與特征向量及其應(yīng)用 4 是的一個(gè)屬于特征值的一個(gè)特征向量，則 12 ,

19、n x xxR 0 是的一個(gè)屬于的特征向量. 1 122nn xxx 0 證明：1）設(shè)是的特征值，于是有使得，其中，設(shè) 0 0 0 = 0 ，則 1 122nn xxx ， 1 2 112212 , nnn n x x xxxR x = 又，所以有 0 = ， 11 22 12120 , nn nn xx xx R xx = 由他們的坐標(biāo)列相等可得 ， 1 2 0 0 0 0 n x x ER x 所以其次線性方程組有非零解，于是，故是的特征多 0 0ER X 0 0ER 0 R 項(xiàng)式的根，即是的特征值，從而的坐標(biāo)是的屬于的特征向量. 0 RR 0 2）設(shè)是的一個(gè)特征值，且，于是有非 0 R

20、0 0 0ER 0 0ER X 零解，令， 12 0, n n x xx nn xxxV 1 122 0 ，即，于是，故是的一個(gè)特征值，且 1 2 0 0 0 0 n x x ER x 11 22 0 = nn xx xx R xx 0 = 0 是的屬于的特征向量. 0 特征值與特征向量及其應(yīng)用 5 3 特征值與特征向量的解法 3.1 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量 由方陣的特征值和特征向量的定義知:是的屬于的特征向量 因?yàn)閍 0A 所以是齊次線性方程組的非零解，所以是特征方程Aaaa0EA x 的根。 將上述過程逆敘得到求數(shù)字方陣的特征值和特征向量的步 0 A fEA A 驟如下: (1) 計(jì)

21、算的特征多項(xiàng)式； A fEA (2) 解特征方程,求出它的全部根 ,它們就是的全部特征值。0EA 12 , n A (3) 對每一個(gè)特征值 ,求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解1 i in 0 iE A x 系,這個(gè)基礎(chǔ)解系便是的屬于的線性無關(guān)的特征向量,則 12 , iiir aaaA1 i in 的屬于的全部特征向量是這個(gè)解系的非零線性組合: ,其中A i 1122iinir k ak ak a 是不全為零的數(shù). 12 , n k kk 例 3.1.1 設(shè)線性變換在下的矩陣是，求的特征值與特 123 , R 122 212 221 征向量. 解：因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為 . ER 2 122 2121

22、5 221 所以特征值（二重）和 5.1 把特征值代入齊次方程組1 , , , xxx xxx xxx 123 123 123 1220 2120 2210 得到 , , , xxx xxx xxx 123 123 123 2220 2220 2220 它的基礎(chǔ)解系是 ，. 1 0 1 0 1 1 特征值與特征向量及其應(yīng)用 6 因此屬于的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是1 ， 113 . 223 而屬于的全部特征向量就是，取遍數(shù)域中不全為零的全部數(shù)對.1 1 122 kk 1 k 2 k 再用特征值 5 代入，得到 , , , xxx xxx xxx 123 123 123 4220 2420 22

23、40 它的基礎(chǔ)解系是 ， 1 1 1 因此，屬于 5 的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是 ， 3123 而屬于 5 的全部特征向量就是，是數(shù)域中任意不等于零的數(shù). 3 kk 3.2 列行互逆變換法 為了定理的敘述方便，先給出一個(gè)定義. 定義 1.把矩陣的下列三種變換稱為列行互逆變換: 1 . 互換 i、j 兩列,同時(shí)互換 j、i 兩行； ij cc ji rr 2 . 第 i 行乘以非零數(shù)，同時(shí)第 j 列乘；k k 1 3 . 第 i 行倍加到第 j 行，同時(shí)第 j 列倍加到第 i 列 .kk 定理 1 為 n 階可對角化矩陣，并且A T n AE 一系列行列互逆變換 T DP 其中 ，, , T

24、iiin nn Pbbin 11 1 1 2 則為的全部特征值，為的對應(yīng)的特征向量. 12 , n A T ii A i 證明：由行初等變換等價(jià)于左乘初等矩陣，列變換等價(jià)于右乘初等矩陣的性質(zhì)及 行列互逆變換的定義知，為若干初等矩陣的乘積，當(dāng)然可逆，且 T P ，即， 1 TTT P APD 1 P APD 特征值與特征向量及其應(yīng)用 7 所以 .APPD 因?yàn)?， 1 1 , n n DP 所以 ， 1 11nn n A 則 ， 111nnn AA 所以 0 ,1,2, . iiii Ain 因此，該方法求出的為的特征值，為的對應(yīng)特征值的特征向量 i A i A i 為了運(yùn)算上的方便，這里約定：

25、 1.表示矩陣的第 j 行倍加入第 i 行； ij rkr k 2.表示矩陣的第 j 列的倍加入第 i 列 ij rkr k 由于用定理 1 求解時(shí)，總會遇到形如 或形式的矩 a A cb 1 0 ac Aab b 2 0 陣化對角陣問題，為此給出具體方法： T ac AE b 12 1 0 00 1 12 21 rkr rkr ak b 0 1 00 1 或 ， T a AE cb 22 0 1 0 0 1 21 12 rkr rkr a bk 0 1 0 01 其中. c k ab 則為的分別對應(yīng)特征值和的特征向量；, TT k 12 10 1 1 Aab 為的分別對應(yīng)特征值和的特征向量.

26、, TT k 12 1 01 2 Aab 例 3.2.1 求的特征值與特征向量.A 16 52 解： 特征值與特征向量及其應(yīng)用 8 T AE 2 1 5 1 0 620 1 12 21 rr rr 70 1 1 640 1 21 12 6 11 6 11 rr rr 70 1 1 65 04 1111 2 2 11 111 r r 70 1 1 0465 所以，特征值；特征向量分別為., 12 74, TT 12 116 5 例 3.2.2 求的特征值與特征向量.A 0111 1011 1101 1110 解： T AE 4 0111 1000 10110100 11010010 111000

27、01 21 43 12 34 rr rr rr rr 11011000 01 021 100 01 110010 0201001 1 24 42 rr rr 11001000 03001 111 01100010 02010011 21 23 24 1 4 1 4 1 2 rr rr rr 13 4001000 03001 111 03 4100010 03 2010011 12 32 42 1 4 1 4 1 2 rr rr rr 10003 41 41 41 4 03001111 00101 41 43 41 4 00011 21 21 21 2 特征值與特征向量及其應(yīng)用 9 . 1000

28、3111 01001131 00101111 00011111 所以，特征值分別為；特征向量分別為，, 1234 13, , , T 1 311 1 ，., , T 2 1 131, , T 3 11 11, , , T 4 111 1 下面給出定理 1 的推廣定理. 定理 2. 為任意階方陣，若，其中An T n AE一系列行列互逆變換 T JP 為約當(dāng)矩陣，為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 1 r J Jrn J , i i i Jir 1 1 1 ，則為的特征值；為 1 T r P P P ,; r ir in ir Pinrrrn 1 12 1 i A i T iir 的對應(yīng)特征值的特征向量.A i 證

29、明：由一般代數(shù)書中定理可知必相似于一約當(dāng)矩陣，按定理 2 中化簡方法，A 則有 ，即，其中， 1 TTT P APJ 1 , TT P APJAPPJ 1111 TT rr P , iT TT i T r i J JJir J 1 1 1 1 所以 ， 1 11111111 T TTTT rrrr T r J A J 故有 ，1, iii Ain 所以為的特征值；為的對應(yīng)的特征向量. i A i A i 特征值與特征向量及其應(yīng)用 10 例 3.2.3 求的特征值與特征向量.A 211 031 213 解： T AE 3 202100 131010 11 3001 13 31 rr rr 110

30、101 130010 114001 21 12 rr rr 210101 0201 11 014001 rr rr 32 23 1 2 1 2 210101 020111 0041 21 2 1 2 3 3 2 1 2 r r 210101 020111 014111 所以特征值為，對應(yīng)特征值的特征向量，, 123 24 12 2, , T 1 111 對應(yīng)的特征向量為. 3 4, T 3 1 11 3.3 利用矩陣的初等變換解特征值特征向量 引理 矩陣左乘或右乘一個(gè)可逆矩陣，其秩不變.即若為矩陣，AAm n 分別是 m 和 n 階可逆矩陣，則PQ、 . ,r PAr Ar AQr Ar PA

31、Qr A、 由此可知，若，且為 n 階單位矩陣，則形如的矩陣必可 r ArnI A I mnn 經(jīng)過一系列變換成的形式，其中為矩陣且，分別為 B CD 0 Bm r r BrCD、 和矩陣，為零矩陣，從而有n rnnr0mnr 定理 1 設(shè)為矩陣，其秩，則比存在 nAm n r Arn 12 , T n xx xx 階可逆矩陣，使，且的個(gè)列向量就是齊次線性方程組Q AB Q ICD 0 Dnr 的基礎(chǔ)解系.0Ax 證明： 此處只需證明的列向量是的基礎(chǔ)解系即可.D0Ax 特征值與特征向量及其應(yīng)用 11 事實(shí)上，由得，即，從而 AB Q ICD 0 ,0 , AQB QC D ,A C DB0 ，

32、.這說明的個(gè)列向量是齊次線性方程組ACBAD 0Dnr 12 , n r D DD 的解向量.Ax 0 另設(shè)矩陣的列向量為，則由知向量組 n r C 12 , r C CC,QC D 即為的列向量，因可逆，所以向量組 1212 , rn r C CC D DD QQ 線性無關(guān)，因此的列向量就是的基礎(chǔ)解系. 12 , n r D DD DAx 0 例 3.3.1 組的一組基礎(chǔ)解系. xxxx xxxx xxxx xxx 1234 1234 1234 123 230 320 2220 5520 解：利用初等列變換，得 cc cc cc A I 22 1 33 1 41 12311000 32113

33、482 22212241 552055135 10001231 01000100 00100010 00010001 cc cccc ccc 24 34245 73 42247 10001000 320032001 21002100 55755570 11101115 00010007 00100015 01420146 從而，所求基礎(chǔ)解系為. r A 3, , T 57 5 6 定理 2. 設(shè)為 n 階方陣，則其特征矩陣可通過初等列變換化為下三角矩AIA 陣，記為 特征值與特征向量及其應(yīng)用 12 ， 1 2 * * n l l L l 從而使的解就是矩陣的全部特征值. 12 0 n lllA

34、 證明：由初等變換理論，存在 n 階可逆矩陣，使，由 Q IA QL 此得. 12n IA QLlll 從而使的解就是的解. 12 0 n lll0IA 這樣，由定理 1 和定理 2 可以得到同時(shí)求解方陣的特征值與特征向量的一種解法： 第一步，作如下初等變換： ，并由求得矩陣的特征值 n n IA I 初等列變換 L Q L 0A ., , i in1 2 第二步，將代入，則有或 i A 311 751 662 i i LB QCD 0 i i L Q 互換某幾列 . 0B CD 因?yàn)椋杂啥ɡ?1 即知的列向量就是的對應(yīng)于特征 ii LIA QDA 值的線性無關(guān)的特征向量. i 例 3.3

35、.2 求矩陣的特征值與特征向量.A 311 751 662 解： cc IA I 13 311113 751157 662266 100001 010010 001100 特征值與特征向量及其應(yīng)用 13 , , n n i in F x xxim mn x in yfx xxfx xxim mn 2 2 1 121 01 101 所以，由得矩陣的特征值為. 2 4440A, 123 24 將代入，得 1 2 . L Q 1 1 100 160 060 001 011 110 所以對應(yīng)于的特征向量為 ( 此處二重特征值只對應(yīng)一個(gè)線性無 2, , T 1 11 0 關(guān)的特征向量). 將代入，得 3

36、 4 . cc L Q 233 3 100100 100100 60366360 001010 011011 116161 所以對應(yīng)于的特征向量為. 4, , T 2 0 11 這里用初等列變換的方法同時(shí)求出來矩陣的特征值與特征向量，完全類似地，利 用初等行變換也可以實(shí)現(xiàn)這一過程，其方法如下： (1) 對矩陣施行初等行變換將其化為矩陣，其中 T IAI UP 為含有的上三角矩陣，為經(jīng)過初等變換得到的矩陣； U PI (2) 由行列式求得矩陣的特征值； ( )U 0A, ,in1 2 (3) 將代入中，若不是行標(biāo)準(zhǔn)形， 則通過初, , i in1 2 UP i U 等行變換將其化為行標(biāo)準(zhǔn)型，并記

37、秩， 則中的后個(gè)行向量的 i r Ur i Pnr 轉(zhuǎn)置就是對應(yīng)的特征向量 i 例 3.3.3 征值與特征向量. 解：因?yàn)樘卣骶仃嚕訧A 133 353 664 特征值與特征向量及其應(yīng)用 14 T IAI 136100 356010 334001 rr 13 334001 356010 136100 rr rr 21 311 3 2 334001 022011 5141 0210 33 32rr UP 2 334001 022011 282 0011 33 從而由即求得的特征值為（二重）和 0U 2 2280A 2 . 4 當(dāng)時(shí)，所以，且 2 UP 336001 000011 000110

38、 r U 21 的后兩行的轉(zhuǎn)置即為對應(yīng)的特征向量，即.2P 2, , , TT 12 0 1111 0 當(dāng)時(shí)，所以，且 4 UP 330001 066011 000112 42r U 的最后一行的轉(zhuǎn)置即為對應(yīng)的特征向量，即. 4P 4 3 1,1,2 T 特征值與特征向量及其應(yīng)用 15 4 矩陣的特征值與特征向量的應(yīng)用研究 4.1 n 階矩陣的特征值和特征向量. 1* , m kA aAbI AAAfA 若是 n 階矩陣的特征值，非零向量為對應(yīng)于的特征向量，則， AxAk ，是的特征值，非零ab m 1A f 1* , m kA aAbI AAAfA 向量是對應(yīng)于特征值，x 1* , m kA

39、 aAbI AAAfA kab m 1 ，的特征向量.A f 證明： 由于是的特征值， 為對應(yīng)于的特征向量，則有AxA ，Axx 那么： （1）.在兩端同時(shí)左乘系數(shù)得，即.所以AxxkkAxk xkA xkx 是方陣的特征值，且向量是方陣對應(yīng)于特征值的特征向量.kkAxkAk （2）.由于，所以是方陣aAbI xaAxbxa xbxab xab 的特征值，且向量是方陣對應(yīng)于特征值的特征向量.aAbIxaAbIab （3）.由于， 22 A xA AxAxAxxx ， 322223 A xA A xAxAxxx ， 1111mmmmmm A xA AxAxAxxx 所以是方陣的特征值，且向量是方

40、陣對應(yīng)于特征值的特征向量. m m Ax m A m （4）在兩端同時(shí)左乘得，即，有Axx 1 A 11 A AxAx 1 xA x 成立，所以是方陣的特征值，且向量是方陣對應(yīng)于特征值的A xx 1 1 1 1 Ax 1 A 1 特征值與特征向量及其應(yīng)用 16 特征向量. （5）.在兩端同時(shí)左乘得，由于，那么Axx * A * A AxAx *1 AA A ，即有成立，所以是方陣的特征值，且向量 * A AxA xA x * A A xx A m A 是方陣對應(yīng)于特征值的特征向量.x m A A （6），則 1 110 nn nn f xa xaxa xa 1 110 nn nn fAa Aa

41、Aa Aa 11 110110 nnnn nnnn fA xa A xaAxa Axa xaxaxaxa x =. 1 110 nn nn aaaaxfx 上面的證明用到了（3）的結(jié)論，由可知是的特征值， fA xfx f fA 且向量是對應(yīng)于特征值的特征向量.x fA f 例 4.1.1 已知矩陣，求的特征值和特征向量.A 122 212 221 AAA 54 421 分析：本題是求矩陣的多項(xiàng)式的特征值和特征向量，若按一般思路求解，則需A 計(jì)算的 5 次冪并進(jìn)行多項(xiàng)式運(yùn)算，再求其特征值和特征向量，計(jì)算量非常大，但若A 利用（6）的結(jié)論，計(jì)算變的很簡單. 解：矩陣的特征多項(xiàng)式為：Adet AI

42、 .AI 2 122 21251 221 ，得矩陣的特征值為.det AI 0A, 123 51 當(dāng)時(shí)，解其次方程即5AI x50 x x x 1 2 3 4220 2420 2240 得其通解為，其基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量，, , TT x x xt 123 11 0, , T x 1 111 即為特征值所對應(yīng)的特征向量. 1 x5 特征值與特征向量及其應(yīng)用 17 當(dāng)時(shí)，解齊次方程，即 1AI x 0 x x x 1 2 3 2220 2220 2220 得通解為，其基礎(chǔ)解系中含有兩個(gè)線性無關(guān)的解, , , TTT x x xtt 12312 11 01 0 1 向量：，即為特征值所對應(yīng)的

43、特征向量., ., , T xx 23 1101 0 1 23 1 設(shè)，則，即為的特征值.當(dāng) fAAAA 54 421 f 54 421 f 時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是 1 5 f 1 616 23 1 ff 23 2 的特征值為，對應(yīng)的特征向量為.AAA 54 421,61622 123 ,x xx 4.2 n 階矩陣的高次冪的求解 當(dāng) n 階矩陣可對角化時(shí)，即矩陣可與對角陣相似時(shí)，計(jì)算其高次冪有簡AA k A 單的方法，當(dāng) n 階矩陣滿足下面的四個(gè)條件之一時(shí)，即可對角化，即.A 1 APAP （1）.n 階矩陣有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量；A （2）.n 階矩陣有 n 個(gè)互不相等的特征值；A （3）

44、.n 階矩陣的每個(gè)特征值，均有，即特征值的幾何常數(shù)等于其Am 代數(shù)常數(shù)； （4）.為是對稱矩陣.A 對于，是由的 n 個(gè)特征向量組成的矩陣. 1 APAP 12 , n Px xx A 是由的 n 個(gè)特征值構(gòu)成的對角陣，那么有： 12 , n Adiag A 111111111 k kk APAPPAPPAPPAPPA P P A P P AP P APPA P 其中，故. 12 , kkkk n Adiag 12 1 , kkkk n APdiagP 例 4.2.1 已知矩陣，求（其中為正整數(shù)）.A 122 212 221 k Ak 分析 矩陣的高次冪的求解一般是有技巧的，這里因矩陣為是對稱

45、矩陣，故可A 對角化，可按上面討論的方法求之. 解：因?yàn)?，所以矩陣為是對稱矩陣，故可對角化. T AAA 由例 4.1.1 知，矩陣的 3 個(gè)特征值為，其對應(yīng)的特征向量為A, 123 15 特征值與特征向量及其應(yīng)用 18 ，故對角陣，且 123 ,x x x,Adiag 1 15Pxxx 123 101 011 11 0 ，又，那么有，則P 1 211 1 121 3 111 ,PAPAdiag 1 1 15 1 APAP k k kk k APA P 1 100 101211 1 011010121 3 11 1005111 . kkk kkk kkk kkk kkk kkk 11 11 1

46、1 2151515 1 1521515 3 1515215 4.3 矩陣特征值反問題的求解 矩陣特征值反問題的求解，即根據(jù)矩陣的特征值和特征向量的信息來決定矩陣 中的元素.當(dāng)矩陣有 n 個(gè)互不相等的特征值時(shí)，必有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，AA 那么矩陣必可對角化，故，其中相似變換矩陣由的 n 個(gè)線性無關(guān)的A 1 APAPPA 特征向量組成. 例 4.3.1.設(shè) 3 階方陣的特征值為，對應(yīng)于特征向量分別是：A, 123 101 ，求 T x 1 1 22 T x 2 22 1 T x 3 21 2A 分析 此題給出了矩陣的 3 個(gè)不相同的特征值及其特征向量.那么矩陣可對角化， 顯然是矩陣特征值

47、的反問題，可按上面討論的方法求之. 解： 由于是方陣對應(yīng)于特征值的特征向量，于是有：, , i x i 1 2 3A, , i i1 2 3 ， ii Axx 令，那么Pxxx 123 122 221 212 P 1 122 1 221 9 212 則有，其中.由上式可得即為所求.APPAA 1 0 1 APAP 1 1 02 1 012 3 220 4.4 特征值與特征向量在線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用 用特征值和特征向量對一般線性遞推關(guān)系進(jìn)行討論. 特征值與特征向量及其應(yīng)用 19 設(shè)階線性循環(huán)數(shù)列滿足遞推關(guān)系：K n x , , nnnkn k xa xa xa xnkk 1122 12 其中是常

48、數(shù)，且，, , i aik1 2 k a 0 方程組 1122, 11 22 11 nnnkn k nn nn n kn k xa xa xa x xx xx xx 可表示為矩陣形式 （1） nkk n n n n n k n k xaaaa x x x x x x 121 1 1 2 2 1 1000 0100 0010 令 , n nkk n n n knn k n k n k x xaaaa x x xA x x 1121 1 2 12 1 1000 0010 則（1）可寫成： （2） 1n kn k A 由（2）式遞推得，其中，于是求 2 111 n k n kn k AA 1121

49、, T kk xxx x 通項(xiàng)就歸結(jié)為求，也就是求. n x 1n k n k A 如果可對角化，即存在可逆矩陣，使得，則，由AP 1 P APA 1n kn k APAP 于 121 100 0100 001 kk aaaa EA 從第一列開始每一列乘以加到后一列上，就得到如下的矩陣： 特征值與特征向量及其應(yīng)用 20 kkkk kkk aaaaaaaa 2121 1121111 1000 0100 0010 1 11 kk kk aaa 若是的特征值，顯然有，則線性齊次方程組A1REAk 的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量，因此當(dāng)有個(gè)特征值時(shí)，0EA XAk 12 , k 這個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量

50、分別為，由這個(gè)特征向量為列構(gòu)成的方陣k 12 , k P PPk 記為，則是可逆的，并且.其中PP 1 P APA 1 2 00 00 00 n A 例 4.4.1 設(shè)數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，并且 n x nnnn xxxxn 123 224 ，求通項(xiàng).,xxx 123 123 n x 解：是三階循環(huán)數(shù)列，將方程組 n x nnnn nn nn xxxx xx xx 123 11 22 22 用矩陣表示為：，令 nn nn nn xx xx xx 1 12 23 212 100 010 A 212 100 010 并由上式遞推得 nnn n nnn nnn xxxx xA xAxAx xxxx 1

51、23 23 1232 2341 其中,xxx 123 123 由，即EA 0 32 212 10220 01 特征值與特征向量及其應(yīng)用 21 得的特征值為：A, 123 112 再由特征方程解得對應(yīng)于的特征值的特征向量分, , iE A Xi01 2 3A 123 , 別為： ,PPP 123 114 112 111 令： PPPP 123 114 112 111 則 ,PAPP 11 336100 1 13201 0 6 202002 nnn nn n nnn nnn nnn nn APP 333 3 222 3111 313 22 3123 316212 100 1 01 03123 31

52、6212 6 002 3123 316212 代入（2）式得： nnn nn n xxxx 333 321 1 3123 316212 6 nn nn 33 11 13112 9 111212 6263 例 4.4.2 計(jì)算 n 階行列式 n D 61160000 16116000 01611600 00000611 0000016 解：將按第一行展開得： n D nn DDMM 11213 6116 其中與分別是元素和的余子式，再將它們分別按第一列展開得： 12 M 13 M 12 a 13 a nnnn DDDD 123 6116 則是三階線性循環(huán)數(shù)列. n D 將方程組 特征值與特征向量

53、及其應(yīng)用 22 nnnn nn nn DDDD DD DD 123 11 22 6116 表示成矩陣形式為：令 nn nn nn DD DD DD 1 12 23 611 6 100 010 A 611 6 100 010 由上式遞推得： 123 23 1232 2341 nnn n nnn nnn DDDD DA DADAD DDDD （3） 由解得的特征值為，再由特征方程0EAA, 123 123 ，解得對應(yīng)于的特征值的特征向量分別為：0 iE A X, ,i 1 2 3A 123 , ,PPP 123 149 123 111 令 PPPP 123 149 123 111 則 ,PAPP

54、11 156100 1 286020 2 132003 n nnnnnn nnnnnnnn nnnnnnn APPPP 3 1211 3131121122 323233 1001001 235 236 6 22 3 1 0200201 235 236 6 22 3 2 0030031 235 236 6 22 3 由（3）式可得： nnnnnn n DDDD 1211 321 1 1 235 2366 22 3 2 將代入上式得：,DDD 321 90256 n n n D 2 2 13 2 22 特征值與特征向量及其應(yīng)用 23 4.5 特征值法求解二次型的條件最值問題 4.5.1 二次型的條

55、件最值問題及求解該問題的特征值方法 二次型的條件最值問題是一類特殊的多元函數(shù)極值問題 定義 設(shè)有滿足條件的 n 個(gè)變量，, in F x xxim mn 12 01 12 , n x xx 當(dāng)存在變量的一組值，使, i x in1 2 1, , n x xx （或）時(shí)，稱 2 121 , n n f x xxf x xx 2 121 , n n f x xxf x xx 為最大（或最?。┲? 2 1, , n fx xx 12 , n yf x xx 特征值法原理 定理 1 二次型在條件下的最大值 11 nn ijijijji ij a x xaa 2 1 0 n i i xc c （最小值）

56、恰是其實(shí)數(shù)特征值中最大值（最小值）的 c 倍. 證明：利用拉格朗日數(shù)乘法，先作拉格朗日函數(shù) ， 2 12 111 , nnn nijiji iji L x xxa x xxc 其中：為參數(shù)，再令其關(guān)于的一階偏導(dǎo)數(shù)為 0，得 12 , n x xx n jjnn j n jjnn j n njjnnnnnn j n L a xxaxa xa x x L a xxa xaxa x x L a xxa xa xax x 111111221 1 1 2221 12222 1 2 1 122 1 2220 2220 2220 （1） 由于，所以（1）可化為 ijji aa n n nnnnn aaax

57、aaax aaax 111211 122222 12 0 （2） 這是一個(gè)齊次線性方程組由于，所以不全為 0，從而（2） n i i xc c 2 1 0 12 , n x xx 有非零解，即該方程的系數(shù)行列式為 0，于是 特征值與特征向量及其應(yīng)用 24 ， n n nnnn aaa aaa aaa 11121 12222 12 0 （3） 所以是系數(shù)矩陣的特征值. 11 nn ijij ij a x x 又依次用分別乘（1）再相加得，又 12 , n x xx i nnn ijij iji a x xx 2 111 0 ，因此. 2 1 i n i xc 11 nn ijij ij a x

58、xc 特別地，二次型在條件下的最大值（最小值）恰是二次型 11 nn ijij ij a x x i n i x 2 1 1 實(shí)特征值中的最大值（最小值）. 11 nn ijij ij a x x 定理 2 二次型在條件下的最大值（最小值） 2 1 i n i x 11 ,0 nn ijijijji ij a x xk aak 是二次型正數(shù)特征值倒數(shù)中的最大值（最小值）的 k 倍；當(dāng)特征值為 0 時(shí)， 11 nn ijij ij a x x 在條件下沒有最大值，最小值為最大正數(shù)特征值 2 1 i n i x , nn ijijijji ij a x xk aak 11 0 倒數(shù)的 k 倍. 證

59、明：作拉格朗日函數(shù)，令其關(guān)于, nnn niijij iij L x xxxa x xk 2 12 111 1 的一階偏導(dǎo)數(shù)為 0，得 12 , n x xx ， n jjnn j n jjnn j n nnjjnnnnn j n L xa xaxa xa x x L xa xa xaxa x x L xa xa xa xax x 111111221 1 1 2221 12222 1 2 1 122 1 22 20 22 20 22 20 特征值與特征向量及其應(yīng)用 25 （4） 接下來證明參見定理 1，直到是系數(shù)矩陣的特征值.再用分別 11 nn ijij ij a x x 12 , n x

60、xx 乘（4）再相加得，又由于，因 i nnn ijij iji a x xx 2 111 0, nn ijijijji ij a x xk aak 11 0 此，. n i i k x 2 1 0 由于隨正數(shù)特征值的減小而增大，且當(dāng)時(shí)，的極限不, n i i k kx 2 1 00 k 存在，所以不存在最大值，而其最小值則是最大整數(shù)特征值倒數(shù)的 k 倍， 2 1 n i i k x 證畢. 特別地，二次型在條件下的最大值（最小值） 2 1 n i i x , nn ijijijji ij a x xaak 11 10 是二次型正特征值倒數(shù)中的最大值（最小值）. 11 nn ijij ij a