【教案】高中數(shù)學(xué)（人教A版2019）選擇性必修第二冊第四章4.2.2等比數(shù)列的前n項和公式（1）-教學(xué)設(shè)計

1、課程基本信息課題等比數(shù)列的前項和公式教科書書名：高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020年5月教學(xué)目標教學(xué)目標：理解等比數(shù)列的前項和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題.教學(xué)重點：等比數(shù)列的前項和公式.教學(xué)難點：等比數(shù)列的前項和公式的推導(dǎo)過程.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動2分鐘15分鐘5分鐘復(fù)習(xí)引入新課講解公式推導(dǎo)應(yīng)用新知 解決問題問題1 回顧等比數(shù)列的定義及通項公式.（1）等比數(shù)列的定義： （2）等比數(shù)列的通項公式：同學(xué)們聽說過國際象棋吧？見過國際象棋的棋盤嗎？問題2 國際象棋起源于古印度。相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)

2、明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請在棋盤的第個格子里放上顆麥粒，第個格子里放上顆麥粒，第個格子里放上 顆麥粒依次類推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的倍，直到第個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.已知一千顆麥粒的質(zhì)量約為，據(jù)查，年度世界小麥產(chǎn)量約為億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實現(xiàn)他的諾言.追問1：國王一共應(yīng)該給他多少顆麥粒？.追問2：如何計算？讓我們分析一下.如果把各格所放的麥粒數(shù)看成一個數(shù)列，我們可以得到一個等比數(shù)列，它的首項是，公比是，求第個格子到第個格子各格所放的麥粒數(shù)總和就是求這個等比數(shù)列前項的和.我們要計算這個式子，不借

3、助計算器，需要花大量的時間.于是我們自然而然的想到能否借用等比數(shù)列的求和公式.追問3： 如何求一個等比數(shù)列的前項的和呢？追問4：等差數(shù)列有求和公式，那么你能否類比等差數(shù)列前項和公式的求法推導(dǎo)出等比數(shù)列的前項和？回顧：等差數(shù)列的前項和公式推導(dǎo)過程.等差數(shù)列的前項和是.根據(jù)等差數(shù)列的定義.將上述兩式相加，得.所以.我們用倒序相加的方法推導(dǎo)出了等差數(shù)列的前項和公式. 于是我們就可以用等差數(shù)列的首項和第項表示前項和.本質(zhì)上是根據(jù)等差數(shù)列的定義：，從公差為這一特性出發(fā)，抓住倒序后兩式中上下對應(yīng)的和均為這一特點，構(gòu)造相同項，消除項與項之間的差異，進而化繁為簡，推出公式.追問5：對于等比數(shù)列，是否也能用倒序

4、相加的方法進行求和呢？可否用等比數(shù)列的首項和第項表示等比數(shù)列前項和？.因為在等比數(shù)列中，所以.嘗試過后發(fā)現(xiàn)行不通，因此等比數(shù)列的前項和公式不能用倒序相加法推導(dǎo).反思：對于等比數(shù)列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本質(zhì)，即求和的根本目的.追問6：求和的根本目的是什么？ 我們透過現(xiàn)象看本質(zhì)，如何在等比數(shù)列前項和中構(gòu)造相同項，消除項與項之間的差異，消除中間項，從而化繁為簡是解決問題的關(guān)鍵.等差數(shù)列求和是根據(jù)定義，由公差切入.自然，等比數(shù)列求和也應(yīng)根據(jù)定義，聯(lián)系公比來探究.改進：為了看清式子的特點，我們不妨把各項都用首項和公比來表示.即.追問7：觀察式，相鄰兩項有什么特征？怎樣把某一項變

5、成它的后一項？關(guān)注等比數(shù)列的定義 ，如果對其稍加變形，就會發(fā)現(xiàn)，即等比數(shù)列中的每一項乘以都等于其后一項.因此，我們類比等差數(shù)列求和方法，需要構(gòu)造另一個式子，而要達到消出中間項的目的，就須使兩式具有最多相同的項.追問8：如何構(gòu)造另一個式子，與原式相減后可以消除中間項？想要消除中間項，即需要構(gòu)造觀察發(fā)現(xiàn)，這個式子的每一項都是在原式基礎(chǔ)上乘以.于是將式的兩邊都乘，由此構(gòu)造相同項，得到式，再將兩個式子相減.具體推導(dǎo)過程如下：設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則的前項和是.根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，上式可寫成. 我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比乘的兩邊，可得. 兩式的右邊有很多相同的項，用的兩邊分別減去的兩邊，就可以消去這

6、些相同的項，可得，即.追問9：要求出，是否可以把上式兩邊同時除以？當時，即時，.（1）當時，即時，.注意：因為，所以公式（1）還可以寫成.（2）思考：什么時候用公式（1）, 什么時候用公式（2）?當已知時用公式（1）；當已知時，用公式（2）.方法小結(jié)：（1）等比數(shù)列的前項和公式： （2）等比數(shù)列求和時，應(yīng)考慮與兩種情況；等差、等比這兩種數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法，從數(shù)學(xué)思想上來講是一致的，我們需要挖掘其本質(zhì).求和公式的推導(dǎo)過程其根本目的是消項，結(jié)合等比數(shù)列自身的特征利用錯位相減法得到等比數(shù)列前項和公式.問題2的解決：有了上述公式，就可以解決本小節(jié)開頭提出的問題了.由，可得.這個數(shù)很大，超過了.如果

7、一千顆麥粒的質(zhì)量約為，那么以上這些麥粒的總質(zhì)量超過了億噸，約是年度世界小麥產(chǎn)量的倍.因此，國王根本不可能實現(xiàn)他的諾言.問題3 已知數(shù)列是等比數(shù)列.（1）若，求；要求等比數(shù)列的前8項和，可以通過求和公式或.第一個公式需要知道，第二個公式需要知道，根據(jù)題意我們選擇第一個公式進行計算.因為，所以.（2）若，求；要求等比數(shù)列的前8項和，可以通過，或者，根據(jù)題意我們知道了，因此可以先求出公比，從而在通過等比數(shù)列求和公式進行計算.由，可得，.又由，得.所以.追問1：能否直接用公式（2）求？可以，但需要先求出公比和.（3）若，求.等比數(shù)列求和公式有兩種，或.每個公式所需要得基本量各不相同，本題中給出了的值，因此可以通過公式，聯(lián)系方程思想求出的值.把代入，得.整理，得.解得.追問2：對于等比數(shù)列的相關(guān)量，已知幾個量就可以確定其他量？等比數(shù)列通項公式結(jié)合前項和公式涉及五個量，五個量“知三求二”（方程思想）.課堂小結(jié)：1.等比數(shù)列的前項和公式： 2.等比數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)方法：錯位相減法.3.數(shù)學(xué)思想：有了