海洋可控源電磁法一維正演公式推導(dǎo)

1、如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!電偶極子激勵(lì)下的1D正演1、 麥克斯韋方程和謝昆諾夫勢(shì)函數(shù)麥克斯韋方程為：E=-Bt 1H=J+Dt 2E= 3H=0 4存在如下關(guān)系：D=E, B=H, J=E。其中，E表示電場(chǎng)強(qiáng)度，單位V/m；B電磁感應(yīng)強(qiáng)度，單位Wb/m2或特斯拉；D電位移，單位C/m2；H磁場(chǎng)強(qiáng)度，單位A/m；J電流密度，單位A/m2；電荷密度，單位C/m3。1和2取旋度可得：?jiǎn)酔=E-2E=-Bt= -Ht H=H-2H=J+Dt=E+Et在均勻空間中有（電流源頻率105Hz）：E=0 ，H=0 所以：2E-Ht=0 2H+E+Et=0即：2E-Ht=2E-Ht=2E-J+D

2、t t=2E-E+Et t=2E-2Et2 -Et=02H+E+Et=2H+E+Et=2H+-Bt+-Btt=2H-2Bt-Bt2=2H-2Ht2-Ht=0可得：1 / 10 1 / 10如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!2E-2Et2 -Et=0 52H-2Ht2-Ht=0 6以上兩式就是時(shí)間域中電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程。 由1256做傅里葉變換可得到頻率域中的麥克斯韋和波動(dòng)方程E=-iH H=E+iE 2E+2E -iE=0 2H+2H-iH=0 令z=i, y=+i,k2= 2-i=-z y，可得E+zH=0 7H-yE =0 82E+k2E=0 2H+k2H=0 因?yàn)槭噶繄?chǎng)的旋度的散度

3、為零，而電磁場(chǎng)理論中，在無源的區(qū)域 E=0，H=0，所以可令E=A，因此可以將電磁場(chǎng)表示為矢量場(chǎng)的旋度。電磁理論中矢量場(chǎng)并非一個(gè)實(shí)際物理量，引入只是為了方便理解和簡(jiǎn)化計(jì)算，可以根據(jù)自己實(shí)際的研究需要定義不同的矢量函數(shù)，例如謝昆諾夫勢(shì)、赫茲勢(shì)等。由于復(fù)電阻率法中電磁響應(yīng)利用謝昆諾夫勢(shì)來解比較方便，下面對(duì)該勢(shì)函數(shù)做簡(jiǎn)要介紹。7，8式所示為麥克斯韋方程的齊次形式，適用于無源區(qū)。在有源區(qū)變?yōu)榉驱R次:E+zH=-Jms=-i Ms 9H-yE =Jes =iPs 10Ms為磁極化矢量，Ps為電極化矢量。引入謝昆諾夫勢(shì)為多個(gè)均勻區(qū)段組成的空間中求解波動(dòng)方程提供了便利，每一個(gè)均勻區(qū)段內(nèi)都可以把電場(chǎng)和磁場(chǎng)看成

4、是電源和磁源行成的場(chǎng)的疊加，E=Em+EeH=Hm+He這樣電磁場(chǎng)就可以由兩對(duì)矢量函數(shù)確定Em,Hm, Ee,He確定。對(duì)于前者，我們假定Jes為零;對(duì)于后者，我們假定Jms為零。而Em,Hm對(duì)應(yīng)的方程為:Em=-Jms-zHm 11Hm=yEm 12對(duì)于Ee,He，Ee=-zHe 13He=yEe-Jes 142 / 10 2 / 10如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!對(duì)1213式取散度得：Em=0，He=0，這樣我們就可以定義兩個(gè)矢量勢(shì)函數(shù)用來表示Em和HeEm=-FHe=-A將以上兩式帶入1213后可得Hm=yF -U 15Ee=-zA-V 16U和V是新引進(jìn)的任意標(biāo)量函數(shù)。將以

5、上兩式帶入1114，并引用洛倫茲條件F=-zU, A=-yV可得：2F+k2F=-Jms 2A+k2A=-Jes 這就是含源區(qū)的非齊次亥姆霍茲方程。將電源和磁源引起的電磁場(chǎng)相加后得到總的電磁場(chǎng)為（用到洛倫茲條件）:E=-zA+1yA-FH=-yF+1zF-A假如某一時(shí)刻只存在一個(gè)源，則電磁場(chǎng)可分別表示為:電源 Ee=-zA+1yA ， He=-A 17 磁源 Hm=-yF+1zF， Em=-F 18在很多電磁理論中常常只含有F或A的一個(gè)分量;假如只含有z分量，則A=Az , F=Fz，代入1718式可得電磁場(chǎng)各分量可表示為:TM：Ex=1y2Azxz，Ey=1y2Azyz ，Ez=1y2z2+

6、k2Az ，Hx=Azy，Hy=-Azx，Hz=0TE：Ex=-Fzy，Ey=Fzx ，Ez=0，Hx=1z2Fzxz，Hy=1z2Fzyz，Hz=1z2z2+k2Fz 192、層狀半空間上的水平電偶極子解的構(gòu)成:地電結(jié)構(gòu)如圖示，假定海水層（第0層）無限深，空氣層可忽略。3 / 10 3 / 10如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!1,1,1,AN-1+FN-1+e-uN-1z+AN-1-FN-1-euN-1zAn-1+Fn-1+e-un-1z+An-1-Fn-1-eun-1zA1+F1+e-u1z+A1-F1-eu1zoz=-h電偶源yzx海水層0層1層n-1層N-1層N層圍巖層A0-

7、F0-eu0zAN+FN+e-uNzN,N,N,0,0,0,N-1,N-1,N-1,n-1,n-1,n-1,N層大地模型中各層的TM和TE勢(shì)的解層狀半空間上有限長(zhǎng)度源的電磁場(chǎng)的求解，其實(shí)質(zhì)是對(duì)方程 2F+k2F=-Jms ， 2A+k2A=-Jes勢(shì)函數(shù)的非齊次亥姆霍茲方程求解。根據(jù)微分方程的求解理論，邊值問題的通解是非齊次方程的特解和齊次方程的互補(bǔ)解的和。因此，有必要對(duì)無源區(qū)標(biāo)量勢(shì)的互補(bǔ)解和含源層的特解進(jìn)行推導(dǎo)。2.1互補(bǔ)解如果我們把TE和TM的矢量勢(shì)定義如下:A=Aez , F=Fez因此在無源區(qū)范圍內(nèi)，標(biāo)量勢(shì)A和F滿足:2F+k2F=0 2A+k2A=0對(duì)空間坐標(biāo)x,y做兩重傅氏變換,可

8、得：d2Akx,ky,zdz2-un2Akx,ky,z=0d2Fkx,ky,zdz2-un2Fkx,ky,z=0其中: un=kx2+ky2-kn212故標(biāo)量勢(shì)的解可表示為:Akx,ky,z=A+kx,kye-uz+A-kx,kyeuzFkx,ky,z=F+kx,kye-uz+F-kx,kyeuz“+”和“ -”分別表示向下和向上衰減方向。（最上層為半空間，電磁波只有沿z的負(fù)向傳播的電磁波A-kx,kyeuz和F-kx,kyeuz，沒有沿z方向的反射波A+kx,kye-uz和F+kx,kye-uz）4 / 10 4 / 10如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!2.2特解對(duì)于含源層，除了互

9、補(bǔ)解外還有特解。假設(shè)點(diǎn)源位于z=-h處，將點(diǎn)源分解成TM和TE兩種模式，根據(jù)格林函數(shù)得到第0層的特解為: Apkx,kye-u0z+h TM Fpkx,kye-u0z+h TE它在源上方和下方都是衰減的。（附解法提示：電偶極源：Jr=Idsxyz非齊次亥姆霍茲方程：2A+k2A=-Jes 所以2A+k2A=-Idsxyz+h對(duì)上式進(jìn)行二維傅氏變換解出A，對(duì)A進(jìn)行反傅氏變換可求得A的特解。（勘查地球物理 電磁法 第一卷 理論，p156,p193）對(duì)于層狀地電結(jié)構(gòu)的第0層互補(bǔ)解中只含A-kx,ky，F(xiàn)-kx,ky項(xiàng),經(jīng)推導(dǎo)我們可以得到(若把Ap, Fp看作入射場(chǎng)的振幅):A0-=rTMApe-u0

10、z-hF0-=rTEFpe-u0z-h（？第0層中互補(bǔ)解的求法勘查地球物理 電磁法 第一卷 理論4.3節(jié)）式中rTE和rTM是反射系數(shù)（勘查地球物理 電磁法 第一卷 理論， p193）下面求Ap和Ep根據(jù)格林函數(shù)（勘查地球物理 電磁法 第一卷 理論，p156）可推導(dǎo)出地下x方向(z=-h)電偶源矢量勢(shì)特解的二維傅氏變化為：A=Ids2u0e-u0z+hex電偶源電磁場(chǎng)的一次場(chǎng)可分解為TE分量和TM分量，以下分別處理TE場(chǎng)分量和TM場(chǎng)分量。TM極化模式只存在水平電場(chǎng)，據(jù)式（17），EZP=1y2Axz=102Axz=10zIds2u0e-u0z+hx=10zIds2u0e-u0z+hikx=10

11、Ids2u0e-u0z+hikx-u0=-Ids20ikxe-u0z+h19中Ez=EZP (19式中的公式推導(dǎo)基于Az在此A為x方向，所以可利用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)或直接利用17式分析，6 / 10 6 / 10如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!EZP實(shí)際為根據(jù)Ax求得的z方向電場(chǎng)。)Ez=1y2z2+k2Az=EZP=-Ids20ikxe-u0z+h即：2z2+k2Az=-Ids2ikxe-u0z+h 設(shè)Az=Ape-u0z+h2z2+k2Az=u02+k2Ape-u0z+h=kx2+ky2-k2+k2Ape-u0z+h=-Ids20ikxe-u0z+h可推得TM系數(shù)Ap：Ap=-Ids2ik

12、xkx2+ky2同理：HZP=-Axy=-yIds2u0e-u0z+h=-Ids2u0ikye-u0z+h=Hz=1z2z2+k2Fz設(shè)Fz=Fpe-u0z+h可推得：Fp=-zIds2u0ikykx2+ky22.3通解將源和大地之間的互補(bǔ)解和特解合并，變換得到空間中TM、TE兩種模式的通解為:A=Apkx,kye-u0z+h+rTMApe-u0z-hF=Fpkx,kye-u0z+h+rTEFpe-u0z-h根據(jù)二維傅里葉反變換可求得Ax,y,z、 Fx,y,z。Ax,y,z=142-+-+Ape-u0z+h+rTMApe-u0z-heikxx+kyydkxdky=-Ids82-+-+e-u0

13、z+h+rTMe-u0z-hikxkx2+ky2eikxx+kyydkxdky6 / 10 6 / 10如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!Fx,y,z=142-+-+Fpe-u0z+h+rTEFpe-u0z-heikxx+kyydkxdky=-zIds82-+-+e-u0z+h+rTMe-u0z-hikyu0kx2+ky2eikxx+kyydkxdky當(dāng)海水層比較薄，空氣層不可忽略：1,1,1,A1+F1+e-u1z+A1-F1-eu1zo電偶源yzx空氣層海水層-1層0層1層2層圍巖層A-1-F-1-eu-1zA0+F0+e-u0z+A0-F0-eu0zA2+F2+e-u2z0,0,

14、0,2,2,2,-1,-1,-1,其特解仍為: Apkx,kye-u0z-h TM Fpkx,kye-u0z-h TE仍能推得：Ap=-Ids2ikxkx2+ky2Fp=-zIds2u0ikykx2+ky2互補(bǔ)解為：Akx,ky,z=A0+kx,kye-u0z+A0-kx,kyeu0zFkx,ky,z=F0+kx,kye-u0z+F0-kx,kyeu0z7 / 10 7 / 10如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!對(duì)于系數(shù)A0+kx,ky、A0-kx,ky的求解可采用代數(shù)和等效阻抗相結(jié)合的方法：在有源層的遠(yuǎn)區(qū)的某點(diǎn)源分別發(fā)出向上和向下的兩束平面波，電磁波經(jīng)過上下兩個(gè)界面多次反射發(fā)生衰減（

15、其衰減原因主要有兩個(gè)：介質(zhì)中的損耗和界面的透射）。有源層中的電磁場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為源項(xiàng)強(qiáng)度和各反射波強(qiáng)度之和，反射波假定反射m次后衰減為零。設(shè)含源層厚度為h，源距離上下邊界高度為h1、h2。當(dāng)測(cè)點(diǎn)在源下方z處時(shí)：h1h2zzx源o源向下投射的電場(chǎng)強(qiáng)度為： Ape-u0z-h1+Ape-u02h2+h1-zRTM2+Ape-u02h2+h1+zRTM1RTM2+Ape-u04h2+3h1-zRTM1RTM22+Ape-u04h2+3h1+zRTM12RTM22+Ape-u02mh2+h1-h1-zRTM1m-1RTM2m+Ape-u02mh2+h1-h1+zRTM1mRTM2m 源向上投射的電場(chǎng)強(qiáng)度為：

16、Ape-u0h1+zRTM1+Ape-u03h1+2h2-zRTM1RTM2+Ape-u03h1+2h2+zRTM12RTM2+Ape-u05h1+4h2-zRTM12RTM22+Ape-u05h1+4h2+zRTM13RTM22+Ape-u02mh2+h1+h1-zRTM1mRTM2m+Ape-u02mh2+h1+h1+zRTM1m+1RTM2m同理可得當(dāng)測(cè)點(diǎn)在源下方z處時(shí)：源向下投射的電場(chǎng)強(qiáng)度為： Ape-u02h2+h1-zRTM2+Ape-u02h2+h1+zRTM1RTM2+Ape-u04h2+3h1-zRTM1RTM22+Ape-u04h2+3h1+zRTM12RTM22+Ape-

17、u02mh2+h1-h1-zRTM1m-1RTM2m+Ape-u02mh2+h1-h1+zRTM1mRTM2m同理，源向上投射的電場(chǎng)強(qiáng)度為：Ape-u0h1-z+Ape-u0h1+zRTM1+Ape-u03h1+2h2-zRTM1RTM2+Ape-u03h1+2h2+zRTM12RTM2+Ape-u05h1+4h2-zRTM12RTM22+Ape-u05h1+4h2+zRTM13RTM22+Ape-u02mh2+h1+h1-zRTM1mRTM2m+Ape-u02mh2+h1+h1+zRTM1m+1RTM2m綜合以上兩種情況可得測(cè)點(diǎn)處的勢(shì)函數(shù)（由以下三部分組成）：8 / 10 8 / 10如果您

18、需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!直達(dá)波（沒有經(jīng)界面反射的波，即有源層方程的特解）為：Ape-u0h1-z空氣波（經(jīng)上界面反射回的波，即下行波）為：A0-kx,ky=Ape-u0h1+zRTM1+Ape-u0h1+2h2+zRTM1RTM2+Ape-u03h1+2h2+zRTM12RTM2+Ape-u03h1+4h2+zRTM12RTM22+Ape-u02m-1h2+h1+h1+zRTM1mRTM2m-1+Ape-u02mh2+h1-h1+zRTM1mRTM2m地層波（經(jīng)下界面反射回的波，反映底層結(jié)構(gòu)信息，即上行波）A0+kx,ky=Ape-u02h2+h1-zRTM2+Ape-u03h1+2h2-zRTM1RTM2+Ape-u04h2+3h1-zRTM1RTM22+Ape-u05h1+4h2-zRTM12RTM22+Ape-u02mh2+h1-h1