從n個不同元素中任取m個元素按照一定的順序排成一列

1、 從n個不同元素中,任取m個元素,按照一定的 順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m 個元素的一個排列. 2.2.組合的定義組合的定義: :從n個不同元素中,任取m個元素,并成一組, 叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個 組合. 3.3.排列數(shù)公式排列數(shù)公式: : 4.4.組合數(shù)公式組合數(shù)公式: : 1.1.排列的定義排列的定義: : )!( ! )1()2)(1( mn n mnnnnA m n 排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系: :與順序有關(guān)的與順序有關(guān)的 為排列問題為排列問題, ,與順序無關(guān)的為組合問題與順序無關(guān)的為組合問題. . )!( ! ! ! )1()2)(1(

2、mnm n m mnnnn A A C m m m n m n 例例1.由由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字 五位奇數(shù)五位奇數(shù). 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安應(yīng)該優(yōu)先安 排排,以免不合要求的元素占了這兩個位置以免不合要求的元素占了這兩個位置 先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_ 最后排其它位置共有最后排其它位置共有_ 1 3 C 1 3 C 1 4 C 1 4 C 3 4 A3 4 A 由分步計數(shù)原理得由分步計數(shù)原理得=288 1 3 C 1 4 C 3 4 A 7 7種不同的花種在排成一列的

3、花盆里種不同的花種在排成一列的花盆里, ,若兩若兩 種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆 里里，問有多少不同的種法？問有多少不同的種法？ 25 45 1440 A A 練習(xí)題練習(xí)題 例例2. 72. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相鄰且丙丁相其中甲乙相鄰且丙丁相 鄰鄰, , 共有多少種不同的排法共有多少種不同的排法. . 甲甲乙乙丙丙丁丁 由分步計數(shù)原理可得共有由分步計數(shù)原理可得共有 種不同的排法種不同的排法 5 5 A 2 2 A 2 2 A=480 解：解： 練習(xí)題練習(xí)題 5個男生個男生3個女生排成一排個女生排成一排,3個女生個女生 要排在一起要

4、排在一起,有多少種不同的排法有多少種不同的排法? 3 3 6 6 AA共有 =4320種不同的排法. 5 5 A第二步將第二步將4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排 好的好的6 6個元素中間包含首尾兩個空位共有個元素中間包含首尾兩個空位共有 種種 不同的方法不同的方法 4 6 A 由分步計數(shù)原理,節(jié)目的 不同順序共有 種 5 5 A 4 6 A 相相相相獨獨獨獨獨獨 某班新年聯(lián)歡會原定的某班新年聯(lián)歡會原定的5 5個節(jié)目已排成節(jié)個節(jié)目已排成節(jié) 目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目. .如果如果 將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩 個新節(jié)

5、目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù) 為（為（ ） 30 練習(xí)題練習(xí)題 四四. .定序問題倍縮空位插入策略定序問題倍縮空位插入策略 例例4.74.7人排隊人排隊, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人順序一定共有多人順序一定共有多 少種不同的排法少種不同的排法 解: （ （空位法空位法）設(shè)想有）設(shè)想有7 7把椅子讓除甲乙丙以外把椅子讓除甲乙丙以外 的四人就坐共有的四人就坐共有 種方法，其余的三個種方法，其余的三個 位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 種坐法，則共有種坐法，則共有 種種 方法方法 4 7 A 1 4 7 A 思考思考: :可以先讓甲乙丙就坐嗎可以先讓甲乙丙就坐嗎?

6、? （插入法插入法) )先排甲乙丙三個人先排甲乙丙三個人, ,共有共有1 1種排法種排法, ,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4 4* *5 5* *6 6* *7 7 練習(xí)題 期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前 考,有多少種不同的安排順序? 9 9 2 1 A ( (倍縮法倍縮法) )對于某幾個元素順序一定的排列對于某幾個元素順序一定的排列 問題問題, ,可先把這幾個元素與其他元素一起可先把這幾個元素與其他元素一起 進行排列進行排列, ,然后用總排列數(shù)除以然后用總排列數(shù)除以這幾個元這幾個元 素之間的全排列數(shù)素之間的全排列數(shù), ,則共有不同排法種數(shù)則共有不

7、同排法種數(shù) 是：是： 7 7 3 3 A A 定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插 入模型處理入模型處理 五五. .重排問題求冪策略重排問題求冪策略 例例5.5.把把6 6名實習(xí)生分配到名實習(xí)生分配到7 7個車間實習(xí)個車間實習(xí), ,共有共有 多少種不同的分法多少種不同的分法 解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名實習(xí)生分配把第一名實習(xí)生分配 到車間有到車間有 種分法種分法. .7 7 把第二名實習(xí)生分把第二名實習(xí)生分 配配 到車間也有到車間也有7 7種分法，種分法， 依此類推依此類推, ,由分步由分步 計計 數(shù)原理共有數(shù)原理共有 種不同

8、的排法種不同的排法 6 7 一般地一般地n不同的元素沒有限制地安排在不同的元素沒有限制地安排在m 個位置上的排列數(shù)為個位置上的排列數(shù)為 種種 n n m m 某某8 8層大樓一樓電梯上來層大樓一樓電梯上來8 8名乘客人名乘客人, ,他們他們 到各自的一層下電梯到各自的一層下電梯, ,下電梯的方法下電梯的方法 （ ） 8 7 練習(xí)題練習(xí)題 例例6.6.有有5 5個不同的小球個不同的小球, ,裝入裝入4 4個不同的盒內(nèi)個不同的盒內(nèi), , 每盒至少裝一個球每盒至少裝一個球, ,共有多少不同的裝共有多少不同的裝 法法. . 解解: :第一步從第一步從5 5個球中選出個球中選出2 2個組成復(fù)合元共個組成

9、復(fù)合元共 有有_種方法種方法. .再把再把5 5個元素個元素( (包含一個復(fù)合包含一個復(fù)合 元素元素) )裝入裝入4 4個不同的盒內(nèi)有個不同的盒內(nèi)有_種方法種方法. . 2 5 C 4 4 A 根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有_ 2 5 C 4 4 A 練習(xí)題練習(xí)題 一個班有一個班有6 6名戰(zhàn)士名戰(zhàn)士, ,其中正副班長各其中正副班長各1 1人人 現(xiàn)從中選現(xiàn)從中選4 4人完成四種不同的任務(wù)人完成四種不同的任務(wù), ,每人每人 完成一種任務(wù)完成一種任務(wù), ,且正副班長有且只有且正副班長有且只有1 1人人 參加參加, ,則不同的選法有則不同的選法有_ _ 種種 192192

10、 七.元素相同問題隔板策略 例例7.有有1010個運動員名額，在分給個運動員名額，在分給7 7個班，每個班，每 班至少一個班至少一個, ,有多少種分配方案？有多少種分配方案？ 解：因為解：因為10個名額沒有差別，把它們排成個名額沒有差別，把它們排成 一排。相鄰名額之間形成個空隙。一排。相鄰名額之間形成個空隙。 在個空檔中選個位置插個隔板，在個空檔中選個位置插個隔板， 可把名額分成份，對應(yīng)地分給個可把名額分成份，對應(yīng)地分給個 班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法 共有共有_種分法。種分法。 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 6 9 C 1 1 m nC 練習(xí)題

11、練習(xí)題 10 10個相同的球裝個相同的球裝5 5個盒中個盒中, ,每盒至少一每盒至少一 個，有多少裝法？個，有多少裝法？ 4 9C 八八. .平均分組問題除法策略平均分組問題除法策略 例8. 6本不同的書平均分成本不同的書平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？ 解解: 分三步取書得分三步取書得 種方法種方法,但這里出現(xiàn)但這里出現(xiàn) 重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記不妨記6本書為本書為ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 該分法記為該分法記為(AB,CD,EF),則則 中還有中還有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),

12、(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 種取法種取法 ,而而 這些分法僅是這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法一種分法,故共故共 有有 種分法。種分法。 222 642CCC 222 642CCC 3 3A 222 642CCC 3 3A 平均分成的組平均分成的組,不管它們的順序如何不管它們的順序如何,都是一都是一 種情況種情況,所以分組后要一定要除以所以分組后要一定要除以 (n為均為均 分的組數(shù)分的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)。避免重復(fù)計數(shù)。 n nA 1. 將將13個球隊分成個球隊分成3組組,一組一組5個隊個隊,其它兩組其它兩組4 個隊個隊, 有多少分法？有多少

13、分法？ 544 1384 2 2 C C C A 2.2.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入入4 4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每 班安排班安排2 2名，則不同的安排方案種數(shù)為名，則不同的安排方案種數(shù)為_ 222 642 2 2 90 A CC A 練習(xí)題練習(xí)題 九. 合理分類與分步策略 例例9.9.在一次演唱會上共在一次演唱會上共1010名演員名演員, ,其中其中8 8人能人能 夠唱歌夠唱歌,5,5人會跳舞人會跳舞, ,現(xiàn)要演出一個現(xiàn)要演出一個2 2人唱人唱 歌歌2 2人伴舞的節(jié)目人伴舞的節(jié)目, ,有多少選派

14、方法有多少選派方法? ? 解： 10演員中有演員中有5人只會唱歌，人只會唱歌，2人只會跳舞人只會跳舞 3人為全能演員。人為全能演員。 以只會唱歌的以只會唱歌的5 5人是否人是否 選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進行研選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進行研 究究 只會唱只會唱 的的5 5人中沒有人選上唱歌人員共有人中沒有人選上唱歌人員共有_ 種種, ,只會唱的只會唱的5 5人中只有人中只有1 1人選上唱歌人人選上唱歌人 員員_種種, ,只會唱的只會唱的5 5人中只有人中只有2 2人人 選上唱歌人員有選上唱歌人員有_ _ 種，由分類計數(shù)種，由分類計數(shù) 原理共有原理共有_種。種。 22 33CC 112 534CCC 22 5

15、5C C 22 33CC 112 534CCC 22 55C C+ + + 解含有約束條件的排列組合問題，可按元素 的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分 步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不 漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的 始終。 從從4 4名男生和名男生和3 3名女生中選出名女生中選出4 4人參加某個座人參加某個座 談會，若這談會，若這4 4人中必須既有男生又有女生，則人中必須既有男生又有女生，則 不同的選法共有不同的選法共有_ _ 練習(xí)題練習(xí)題 十十. .構(gòu)造模型策略構(gòu)造模型策略 例例1 10.0.馬路上有編號為馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5

16、,6,7,8,9的的 九只路燈九只路燈, ,現(xiàn)要關(guān)掉其中的現(xiàn)要關(guān)掉其中的3 3盞盞, ,但不能關(guān)但不能關(guān) 掉相鄰的掉相鄰的2 2盞或盞或3 3盞盞, ,也不能關(guān)掉兩端的也不能關(guān)掉兩端的2 2 盞盞, ,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？ 解：把此問題當(dāng)作一個排隊模型在解：把此問題當(dāng)作一個排隊模型在6 6盞盞 亮燈的亮燈的5 5個空隙中插入個空隙中插入3 3個不亮的燈個不亮的燈 有有_ _ 種種 3 5C 一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊 模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決 練習(xí)題練習(xí)題 某排共有某排共有1010個座位，若個座位

17、，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右 兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？ 120 十一十一. .實際操作窮舉策略實際操作窮舉策略 例例15.15.設(shè)有編號設(shè)有編號1,2,3,4,51,2,3,4,5的五個球和編號的五個球和編號 1,21,2 3,4,53,4,5的五個盒子的五個盒子, ,現(xiàn)將現(xiàn)將5 5個球投入這五個球投入這五 個盒子內(nèi)個盒子內(nèi), ,要求每個盒子放一個球，并且要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：從從5個球中取出個球中取出2個與盒子對號有個

18、與盒子對號有_種種 還剩下還剩下3球球3盒序號不能對應(yīng)，盒序號不能對應(yīng)， 利用實際 操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5號球號球, 3,4,5號盒號盒 3號球裝號球裝4號盒時，則號盒時，則4,5號球有只有號球有只有1種種 裝法裝法 3 3號盒號盒 4 4號盒號盒 5 5號盒號盒 34 5 2 5C 十一十一. .實際操作窮舉策略實際操作窮舉策略 例例15.15.設(shè)有編號設(shè)有編號1,2,3,4,51,2,3,4,5的五個球和編號的五個球和編號 1,21,2 3,4,53,4,5的五個盒子的五個盒子, ,現(xiàn)將現(xiàn)將5 5個球投入這五個球投入這五 個盒子內(nèi)個盒子內(nèi), ,要求每個盒子放一個球，并且要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同恰好有兩個球的編號與盒子的編