動(dòng)力學(xué)基本方程[教師教材]

1、動(dòng)力學(xué)引言 動(dòng)力學(xué)研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān) 系。 動(dòng)力學(xué)中所研究的力學(xué)模型是質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系(包 括剛體)。 質(zhì)點(diǎn):具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以 忽略不計(jì)的物體。 質(zhì)點(diǎn)系：由幾個(gè)或無(wú)限個(gè)相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所 組成的系統(tǒng)。 剛體：質(zhì)點(diǎn)系的一種特殊情形，其中任意兩個(gè) 質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變，也稱不變的質(zhì)點(diǎn)系。 F v1 v2 A v1 B v2 牛頓出生于林肯郡伍爾索樸城的一個(gè)中等農(nóng)戶家 中。在他出生之前父親即去世，他不到三歲時(shí)母親改 嫁了，他不得不靠他的外祖母養(yǎng)大。 1661年牛頓進(jìn)入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，1665年 獲文學(xué)學(xué)士學(xué)位。在大學(xué)期間他全面掌握了當(dāng)時(shí)的數(shù) 學(xué)和光學(xué)。1665-

2、1666的兩年期間，劍橋流行黑熱病， 學(xué)校暫時(shí)停辦，他回到老家。這段時(shí)間中他發(fā)現(xiàn)了二 項(xiàng)式定律，開(kāi)始了光學(xué)中的顏色實(shí)驗(yàn)，即白光由7種 色光構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)。而且由于一次躺在樹(shù)下看到蘋(píng)果落 地開(kāi)始思索地心引力問(wèn)題。在30歲時(shí)，牛頓被選為皇 家學(xué)會(huì)的會(huì)員，這是當(dāng)時(shí)英國(guó)最高科學(xué)榮譽(yù)。 牛頓在光學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了太陽(yáng)光是由7種 不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說(shuō)。 牛頓在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是與萊布尼茲各自獨(dú)立 地發(fā)明了微積分，給出了二項(xiàng)式定理。 牛頓在力學(xué)上最重要的貢獻(xiàn)，也是牛頓對(duì)整個(gè)自 然科學(xué)的最重要貢獻(xiàn)是他的巨著自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原 理。這本書(shū)出版于1687年，書(shū)中提出了萬(wàn)有引力理 論并且系統(tǒng)總結(jié)了前

3、人對(duì)動(dòng)力學(xué)的研究成果，后人將 這本書(shū)所總結(jié)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為牛頓力學(xué)。 第第 15 15 章章 動(dòng)力學(xué)基本方程動(dòng)力學(xué)基本方程 15.1 15.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律動(dòng)力學(xué)的基本定律 第一定律(慣性定律) 不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作 勻速直線運(yùn)動(dòng)。 質(zhì)點(diǎn)保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的屬性 稱為慣性。 15.1 15.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律動(dòng)力學(xué)的基本定律 第二定律(力與加速度關(guān)系定律) m aF 在經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是守恒的在經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是守恒的 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變，也就是 質(zhì)點(diǎn)的慣性越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。上 式是推導(dǎo)其它動(dòng)力學(xué)方程的出發(fā)點(diǎn)，稱為動(dòng)力學(xué)基本

4、方程。 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用質(zhì)點(diǎn)的 力的大小，加速度的方向與力的方向相同。 d () d m t vF 15.1 15.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律動(dòng)力學(xué)的基本定律 mPgm P g 國(guó)際計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)g9.80665 m/s2，一般取g9.8 m/s2 在國(guó)際單位制(SI)中，長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量為基本量，它們的單 位以米(m)、秒(s)和千克(kg)為基本單位。其它量均為導(dǎo)出量， 它們的單位則是導(dǎo)出單位。 在地球表面，任何物體都受到重力 P 的作 用。在重力作用下得到的加速度稱為重力加速 度，用 g 表示。由第二定律有 或 22 9.78049(1 0.0052884sin0.0000059s

5、in 2g 為緯度 15.1 15.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律動(dòng)力學(xué)的基本定律 必須指出的是：質(zhì)點(diǎn)受力與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，但質(zhì)點(diǎn)的 加速度與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，因此牛頓第一、第二定律 不是任何坐標(biāo)都適用的。凡牛頓定律適用的坐標(biāo)系稱 為慣性坐標(biāo)系。反之為非慣性坐標(biāo)系。 第三定律（作用與反作用定律） 兩個(gè)物體間相互作用的作用力和反作用力總是 大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時(shí)分 別作用在這兩個(gè)物體上。 以牛頓定律為基礎(chǔ)所形成的力學(xué)理論稱為 古典力學(xué)。 2 2 1 d d n i i mm t r aF 2. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)軸上投影 222 222 111 ddd , ddd nnn xiyizi i

6、ii xyz mFmFmF ttt 3. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上投影 2 tnb 111 d , 0 d nnn iii iii vv mFmFF t 1. 矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 15.2 15.2 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程 15.2 15.2 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程 第一類(lèi)基本問(wèn)題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)， 求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力。這類(lèi)問(wèn)題其實(shí)質(zhì)可 歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求導(dǎo)問(wèn)題。 第二類(lèi)基本問(wèn)題：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上 的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這類(lèi)問(wèn)題其實(shí)質(zhì)可 歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問(wèn)題。 例10.1 例1 如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在平面oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，已知其運(yùn)動(dòng)方 程為xa

7、 cos wt，ya sin wt，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F。 i j v r F 解：以質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象。分析運(yùn) 動(dòng)：由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間 t，得 1 2 2 2 2 b y a x 質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)。將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí) 間求兩階導(dǎo)數(shù)得： 22 cos,sinxatybtwwww 代入質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，即可求得主動(dòng)力的投影為： 22 cos,sin xy Fmxmat Fmymbtwwww 22 222 cossin ( cossin)() xy FFmatmbt matbtmxym wwww wwwww Fijij ijijr 力 F 與矢徑 r 共線反向，其大小正比于矢徑 r 的模，方向恒指向橢圓中

8、心。這種力稱為有心力。 y x x b a O M 例10.3 例2 從某處拋射一物體，已知初速度為v0，拋射角為a，如不計(jì)空 氣阻力，求物體在重力單獨(dú)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 0 v v mg 解：研究拋射體, 列直角坐標(biāo)形式的 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 22 22 dd 0, dd xy mmmg tt 積分后得 x y M 2 1324 1 , 2 xC tCygtC tC 初始條件為 000000 0: 0,cos ,sin xy txyvvvvaa acos 0t vx 2 0 2 1 gttvy 軌跡方程為： a a 22 0 2 cos2v gx xtgy 由此可見(jiàn)，物體的軌跡是一拋物線。 于

9、是物體的運(yùn)動(dòng)方程為： 確定出積分常數(shù)為： 102034 cos ,sin,0CvCvCCaa 15.3.1 15.3.1 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 12 , n F FF 主動(dòng)力主動(dòng)力: : 約束力約束力: : 21 NN ,FF 2 tetit i iii iii nenin iii iii mrmrFF mmrFF aa aw 對(duì)剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn),根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力 學(xué)基本方程： 第一式兩邊同時(shí)乘以 ，可得： i r etit i iizizi mrrMFMFa 對(duì)整個(gè)剛體則有： etit i iizizi ete zizi mrrMFMF MFMF a 15.3.115.

10、3.1剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 d ( ) d zz JMF t w 或或: () zz JMFa 則有：則有： 2 2 d ( ) d zz JMF t 或或 剛體定軸 轉(zhuǎn)動(dòng)微分 方程 稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸 z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 zi i Jmr 令令 2 1 n zi i i Jm r 15.3.2 15.3.2 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1. 1. 簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算 (1)(1)均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 3 d 3 2 0 l xxJ l l lz 2 3 1 mlJ z lm l 由由 ，得，得

11、 4 2 0 (2d)2 4 R OAA R Jrr r 222 mRmRRmJ iiz （2 2）均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2d iiiA mr r （3 3）均質(zhì)圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）均質(zhì)圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 A m R 式中式中： 2 2 1 mRJO 或或 15.3.2 15.3.2 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2. 2. 回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑） m J z z 2 zz mJ或或 2 C zz JJmd 3 3平行軸定理平行軸定理 C zdzz 式中 式中 軸為過(guò)質(zhì)心且與軸為過(guò)質(zhì)心且與 軸平行的軸，軸平行的軸， 為

12、為 C z與與 軸之間的距離。軸之間的距離。 即：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過(guò)即：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過(guò) 質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量 與兩軸間距離平方的乘積與兩軸間距離平方的乘積. . 15.3.2 15.3.2 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 22 11 () C zi Jm xy )( 222 yxmrmJ iiz )( 2 1 2 1 dyxmi iii mdymdyxm 2 1 2 1 2 1 2)( 證明證明： 2 C zz JJmd 0 15.3.2 15.3.2 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 4 4組合法組合法 O J 求求： . l d 已知：桿長(zhǎng)為已知：桿長(zhǎng)為 質(zhì)量為質(zhì)量為 ，圓盤(pán)半徑為，圓盤(pán)半徑為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 . . 1 m 2 m 盤(pán)桿OOO JJJ 2 1 3 1 lmJO 桿 2 2 2 2 ) 2 () 2 ( 2 1d lm d mJ O 盤(pán) ) 8 3 ( 22 2 ldldm ) 8 3 ( 3 1 22 2 2 1 ldldmlmJO 解解： 15.3.2 15.3.2 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 21 JJJ z