回歸模型的假設(shè)檢驗(yàn)附

1、第6章回歸模型的假設(shè)檢驗(yàn)1,區(qū)間估計(jì)一基本概念假設(shè)對(duì)消費(fèi)函數(shù)回C i2Y u歸分析之后，得出邊際消費(fèi)傾向2的估計(jì)值為0.509。這是對(duì)未知的總體 MPC 2的一個(gè)單一的點(diǎn)估計(jì)。這個(gè)點(diǎn)估計(jì)可不可靠？雖然在重復(fù)抽樣中估計(jì)值的均值可能會(huì)等于真值(E( ?2)2)，但由于抽樣波動(dòng)，單一估計(jì)值很可能不同(3)于真值。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量的可靠性有它的標(biāo)準(zhǔn)誤差來衡量。因此，我們不能完全 依賴一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值，而是圍繞點(diǎn)估計(jì)量構(gòu)造一個(gè)區(qū)間。比方說，在點(diǎn)估計(jì)量的兩旁各劃出寬 為2或3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誤差的一個(gè)區(qū)間，使得它有95%勺概率包含著真實(shí)的參數(shù)值。這就是取件估計(jì)的粗略概念。假定我們想知道寬竟，比方說,?2離2有多

2、“近”。為了這個(gè)目的，試求兩個(gè)正數(shù)和a, 0 a 1，使得隨機(jī)區(qū)間(纟)包含2的概率為1 a。Pr( ?2如果存在這個(gè)區(qū)間，就稱之為置信區(qū)間, 置信區(qū)間的端點(diǎn)稱臨界值。上限和下限。(1 a)稱置信系數(shù)或置信度,0.05 , 0.01。(1)a稱為顯著水平。比方說a 0.05, (1)式就可讀為：試中的區(qū)間包含真實(shí)的2的概率為95%2,回歸系數(shù)的置信區(qū)間元回歸時(shí)，在ui的正態(tài)性假定下，OLS估計(jì)量本身就是正態(tài)分布的，其均值和方差已隨之列出。以？2為例S?2(2)2的方差2(X X)這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)變量。因此，如果知道真實(shí)的總體方差2已知，就可以利用正態(tài)分2 2布對(duì)2作概率性表達(dá)。當(dāng)已知時(shí)，以為

3、均值，為方差的正態(tài)變量有一個(gè)重要性質(zhì)，就是之間的面積約占 68% 95% 99%2 2但是很少能知道，在現(xiàn)實(shí)中用無偏估計(jì)量來確定。用？代替 ,(2)可以改寫為?2 2S門)這樣定義的t變量遵循自由度為n-2的t分布。用t分布來建立2的置信區(qū)間Pr(ta/2tta/2)1a(4)t是給出的值，而ta/2由顯著水平為a/2和自由度為n-2的t分布給出的臨界值。(3)帶入(4),得?Pr( t22ta/2)1 a(5)Pr( la/2S(?2)重新整理Pr(?2ta/2S( ?2 )2?ta/2 S( ?)1 a(6) 給出的是2的一個(gè)100(1 a)%的置信區(qū)間，在整理?2 ta/2 S(篤)(7

4、)假設(shè)通過回歸分析求得?2 0.509, S( ?2) 0.0357，并且自由度=&若求a 0.05，也就是取95%的置信系數(shù)，查找 t分布表t(8,0.05) =2.306?？勺C實(shí) 2的95%勺置信區(qū)間為：0.42682 0.5194(8)再整理0.509 2.306 0.03570.509 0.0823對(duì)這個(gè)置信區(qū)間的解釋是：給定置信系數(shù)為95%從長遠(yuǎn)看，在類似于(0.4268 , 0.5194 )的每100個(gè)區(qū)間中，將有 95個(gè)包含著真實(shí)的2值。但不能說95%勺概率包含著真實(shí)的2 ,因?yàn)檫@區(qū)間已經(jīng)是固定的，不是隨機(jī)的。要么落入其中要么落在其外，因此概率是不是1就是0。3，假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)

5、就是，某一給定的觀測(cè)或發(fā)現(xiàn)是否與某聲稱的假設(shè)相符？(1),置信區(qū)間的方法利用上面的消費(fèi)函數(shù)。?2 0.509，某人稱2 0.3原假設(shè)H。：0.3備擇(替代)假設(shè)比：0.3- 雙側(cè)假設(shè)所觀測(cè)的?2是否與H。相符？為了回答此問題，引用(8)的置信區(qū)間。從長遠(yuǎn)看，在類似于(0.4268 , 0.5194 )的每100個(gè)區(qū)間中，將有 95個(gè)包含著真實(shí)的2值。決策法則：構(gòu)造一個(gè)2的100 (1-a ) %勺置信區(qū)間。如果2在假設(shè)H。的下落如此區(qū)間，就不要拒絕H 0。如果他落在在此區(qū)間之外就要拒絕H 0。遵照此規(guī)則，H。：0.3，顯然落在上面的置信區(qū)間之外，因此能以95%勺置信度拒絕MPO的真值是0.3的

6、假設(shè)。即使原假設(shè)是正確的，我們得到一個(gè)大到0.509的MPG，最多也只有5%勺機(jī)會(huì)，這是一個(gè)小概率。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，當(dāng)我們拒絕原假設(shè)時(shí)，我們說統(tǒng)計(jì)上顯著的。反之不顯著。(2),顯著性檢驗(yàn)法顯著性檢驗(yàn)法是利用樣本結(jié)果，來證實(shí)一個(gè)原假設(shè)的真?zhèn)蔚囊环N檢驗(yàn)程序。根據(jù)手中算出 的統(tǒng)計(jì)量的值決定是否接受原假設(shè)。t 22S(2)(9)其中2是在H。下的2的值。遵循自由度為 n-2的t分布。如果原假設(shè)下2的真值被設(shè)定，則容易的算出t值。因此這個(gè)變量就可作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。置信區(qū)間為Pr(ta/2?2S(?2)ta/2)(10)(10)再整理得此式給出在給定Pr(ta/2S()2時(shí)，?2以概率?22ta /2 S( ?

7、2)1-a的落入其中的區(qū)間。(11)(11)中的置信區(qū)間叫做接受域，而置信區(qū)間以外的區(qū)域叫做拒絕域。比較(6)和(11)就能看清假設(shè)檢驗(yàn)的置信區(qū)間法和顯著性檢驗(yàn)之間的密切關(guān)系。在置 信區(qū)間程序中，我們?cè)噲D建立一個(gè)某種概率包含有真實(shí)但未知的2的一個(gè)圍或區(qū)間，而在顯著性檢驗(yàn)步驟中，我們假設(shè)2為某值，然后來看所計(jì)算的?2是否位于該假設(shè)值周圍的某個(gè)致信圍之。再回到消費(fèi)函數(shù)。?20.509,S( ?2)0.0357，并且自由度=8。若求a 0.05，也就是取95%勺置信系數(shù)，查找t分布表 t(8,0.05) =2.306。若令 H。220.3,比 0.3由(11)Pr(0.2177?2 0.3823)

8、0.95F圖所示，因預(yù)測(cè)的2落在臨界域中，故拒絕真實(shí)0.3的原假設(shè)。在原假設(shè)0.3下?2的95%置信區(qū)間在現(xiàn)實(shí)中，不需要估計(jì)（11）,按（10）計(jì)算t值，然后看他是落在兩個(gè)t臨界值之間還是之外，用例子算0.509 0.30.03575.86t值清楚地落在圖的臨界域，拒絕H0如果一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的值落在臨界域這個(gè)統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)上是顯著的，這時(shí)我們拒絕原假設(shè)。一、t值t值是用來檢驗(yàn)根據(jù) OLS估計(jì)出來的回歸系數(shù)是否顯著的統(tǒng)計(jì)量。回歸系數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上如果被判斷不為零，就是顯著的。如果回歸系數(shù)是不顯著的（回歸系數(shù)=0），則意味著解釋變量對(duì)被解釋變量沒有任何影響，該變量在模型中沒有存在的必要。（一），一元回歸模型

9、模型：ya xu設(shè)有OLS估計(jì)出的a,分別為?, ?。2步驟1 ：估計(jì)殘差方差s （殘差的無偏方差）2U2sU? y ?n 22s的正平方根s，稱做回歸方程的標(biāo)準(zhǔn)誤差。步驟2 :估計(jì)a, ?的方差2n (x X)2n x2( x)222 s?(x x)2 nx2 ( x)2ns方差表示的是相應(yīng)的離散程度。步驟3:計(jì)算回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差現(xiàn)在假設(shè)a,為真正的回歸系數(shù)，他們與估計(jì)的回歸系數(shù)? ?之間的誤差，即? a，超過2s?,2s?的概率在5好下，超過3s?,3s?的可能性非常小。步驟4：計(jì)算t值tj?回帰係數(shù)推定値 _? 回帰係數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差 =s?步驟5:對(duì)估計(jì)出來的回歸系數(shù) ？ ？進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)

10、（t檢驗(yàn)）t檢驗(yàn)有雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)兩種，說明雙側(cè)檢驗(yàn)。首先，建立原假設(shè)與備擇假設(shè)。原假設(shè)H 0 :0備擇(替代)假設(shè)Hj :0計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析常希望通過放棄原假設(shè)，支持備擇假設(shè)來進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。假設(shè)檢驗(yàn)在原假設(shè) 被拒絕時(shí)有意義，而且為拒絕原假設(shè)而進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。由步驟4計(jì)算出來的t值服從自由度n-2,因此，可以根據(jù)t分布表進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。計(jì) 算出來的t值的絕對(duì)值大于t分布表中找到的t值，則放棄原假設(shè)，估計(jì)的回歸系數(shù)顯著。 這時(shí)，顯著性水平一般采用 5%其次采取1%顯著性水平即拒絕原假設(shè)的情況下，仍認(rèn)為接 受原假設(shè)的概率，分析者出現(xiàn)錯(cuò)誤判斷的概率。放棄表示的是，如果原假設(shè)為正確地話，在 5% 1%勺概

11、率下所發(fā)生的稀奇的事發(fā)生，說明原假設(shè)不能信賴。樣本數(shù)如果達(dá)到一定程度( n 30)，即自由度28以上，t值只要大于2.0，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 家就習(xí)慣于將回歸系數(shù)判定為顯著。但是樣本數(shù)很少，即使判定之在2.0以上，也不要使用這一規(guī)則。在單側(cè)檢驗(yàn)中，付號(hào)條件既疋時(shí)備擇假設(shè)（二）,多元回歸模型：Y a1X12X 2 u求估計(jì)值2步驟1:估計(jì)殘差萬差S2 S?2n3步驟2:估計(jì)回歸系數(shù)的方差步驟3:標(biāo)準(zhǔn)誤差步驟4:計(jì)算t值t ?a?1,t勺,t ?2s?S?1步驟5:顯著性檢驗(yàn)例題1根據(jù)一?；貧w模型 yax u的結(jié)果,Hi 為 0,0。2S?2回答以下問題。括號(hào)中的數(shù)值是t值。Y 14.107 1.224X

12、2(7.751 ) (20.166 )R 0.976, n 121, 按5%勺顯著性水平，對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。2, 求a和 的95%勺置信區(qū)間。解答：(1), T檢驗(yàn)的自由度為n k 1 12 1 1 10。根據(jù)t分布表，雙側(cè)檢驗(yàn)中顯著性水平為5%自由度為10的判定值為2.228。因此,t ?7.7512.228t?20.166 2.228原假設(shè)（H。: a 0,0）被放棄，估計(jì)的回歸系數(shù)在5%水平上顯著。（2），設(shè)a和 的估計(jì)值為a ?，標(biāo)準(zhǔn)誤差為s?1.863, s ?0.061，a和 的95%的置信區(qū)間為：a（ t分布表雙側(cè)檢驗(yàn)中5%顯著性水平上自由度 n-2的判定值）s?（t分布

13、表雙側(cè)檢驗(yàn)中5%顯著性水平上自由度 n-2的判定值）s?因此，a的95%勺置信區(qū)間為14.1072.2281.863= （9.956 , 18.258 ）的95%的置信區(qū)間為1.2242.228 0.06仁 (1.088 , 1.360 )這就是說，分析者對(duì)于 a處于9.95618.258之間，處于 1.0881.360之間的事，具有95%的把握。例題2:1, 對(duì)進(jìn)出口函數(shù) Y a X u的回歸系數(shù)a,進(jìn)行OLS估計(jì)，這里2, 計(jì)算決定系數(shù)R23, 計(jì)算殘差方差和回歸方差的標(biāo)準(zhǔn)誤差。4, 計(jì)算回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差5, 計(jì)算t值，并在1%的水平下，對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。解答：n XY2 2n

14、X ( X)13*58919608*114613* 30326(608)22.81513Y - X 1146 2.81513*60843.50761n13因此，新加坡的進(jìn)出口函數(shù)為邊際進(jìn)口傾向?yàn)?3.507612.81513X2.81513，即每一單位 GDP的增加，相應(yīng)的有 2.8單位進(jìn)口額的增加。由此可見，先加坡經(jīng)濟(jì)的特征之一是貿(mào)易依存度極高。2,決定系數(shù)0.9874n XY (X)( Y)2222n X ( X) n Y ( Y)估計(jì)出的進(jìn)出口函數(shù)的擬合度非常良好。3, 求殘差方差?2n 2191.08713 217.37157s 、s24.167924, 計(jì)算回歸系數(shù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差s

15、2 ?s2 X2n X2( X)221.4377s?4.6301s2n(X)20.00918981s?0.0958645, 求t?43.50769.397s?4.4.63012.815129.366s?0.095864T檢驗(yàn)的自由度為n k 113 1 1 11t?為雙側(cè)檢驗(yàn)，另一方面 t?由于存在0這一符號(hào)條件，為單側(cè)檢驗(yàn)。t?9.397 3.106t ?29.3662.718放棄原假設(shè)(H:a 0,0)估計(jì)出來的回歸系數(shù)在 1%水平上顯著。，F(xiàn)值T檢驗(yàn)用于單個(gè)回歸系數(shù)的顯著性，而F值是在多元回歸中對(duì)多個(gè)回歸系數(shù)進(jìn)行綜合檢驗(yàn)(F檢驗(yàn))時(shí)采用的。F檢驗(yàn)也稱為決定系數(shù) R2或重相關(guān)系數(shù) R的顯著

16、性檢驗(yàn)。步驟1 :建立原假設(shè)和備擇假設(shè)原假設(shè) ：H。：常數(shù)項(xiàng)以外的所有的回歸系數(shù)為零備擇假設(shè)：H1：H。不成立原假設(shè)被放棄，可以判斷解釋變量的全部或部分對(duì)被解釋變量有影響。但是，哪一個(gè)解釋 變量是有效的還無法判定。步驟2:計(jì)算F值回歸平方和 解釋變量數(shù) 殘差平方和(Y? Y)2k?2R21 R2樣本數(shù)-解釋變量數(shù)-1步驟3:計(jì)算出來的F值，服從自由度(分子, F值大于判定值，放棄原假設(shè)，結(jié)果為顯著。在例題：有10個(gè)家庭的月均儲(chǔ)蓄 Y,月收入Y a 1X12X2 u進(jìn)行OLS估計(jì)得出系數(shù)的顯著性進(jìn)行綜合檢驗(yàn)，顯著性水平設(shè)為解答：n k 1分母)=(k,n k 1)的F分布。計(jì)算出的F分布表中，橫

17、向?yàn)榉肿樱v向?yàn)榉帜?。X，家庭人數(shù) X2的數(shù)據(jù)，用多元回歸模型R20.98358。求F值，并對(duì)估計(jì)出的回歸1%R2 n k 10.9835810 2 12209.71 R k 1 0.9835821%顯著性水平F自由度(分子，分母)=(k2,n k 1 7)的F檢驗(yàn)的判Y根據(jù)分布表，定值F0=9.55，估計(jì)出來的F值大于臨界值，因此放棄原假設(shè)，可見解釋變量全部或部分對(duì) 有影響。三，結(jié)構(gòu)變化的F檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)變化的F檢驗(yàn)，也成為Chowtest ,用于調(diào)查，檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)分析中一個(gè)極其重要的問題， 即“是否存在結(jié)構(gòu)變化”。步驟1:在利用時(shí)間序列所做的回歸分析中，找出估算期間發(fā)生結(jié)構(gòu)變化的時(shí)點(diǎn)(分界點(diǎn))，以此

18、時(shí)點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)，將期間分為前期和后期。步驟2：對(duì)前期，后期，全部期間進(jìn)行回歸分析，步驟3：根據(jù)結(jié)構(gòu)變化的求各自的殘差平方和 SSRI, SSR2, SSR。F檢驗(yàn)公式，計(jì)算 F值。SSR :前期的殘差平方和SSR2:后期的殘差平房和SRR:全部期間的殘差平方和(1), ni結(jié)構(gòu)變化的n1 :前期的樣本數(shù) n2：后期的樣本數(shù) k:解釋變量的數(shù)k 1, n2 k 1的情形。F檢驗(yàn)為F SSR(SSR1 SSR2)5n2 2(k 1)SSRI SSR2(2)，n1 k 1,的情形(以及n1SSR SSRI n1 (k 1)SSRIk 1k 1)n2步驟4:利用F分布表，對(duì)步驟3計(jì)算出的F值進(jìn)行檢驗(yàn)。在檢驗(yàn)時(shí)，分別就上述（1）的 情形中，自由度（分子，分母）=（kn2 2k 2） ,（2）的情形中，自由度（n2,m k 1）進(jìn)行F檢驗(yàn)。如果計(jì)算出的F值大于F分布表中的判定值，放棄“前期的回歸系數(shù)與后期的回歸系數(shù)完 全相等”的假設(shè)，說明出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)性變化。相反，如果計(jì)算出的F值小于F分布表中的判定值，不放棄“前期的回歸系數(shù)與后期的回歸系數(shù)完全相等”的假設(shè)，說明沒有發(fā)生結(jié)構(gòu)性變 化。四，預(yù)測(cè)利用估算出來的回歸模型，說明預(yù)測(cè)置信區(qū)間的計(jì)算方法。預(yù)測(cè)置信區(qū)間，指的是被解釋 變