中考數(shù)學(xué)信息題及其求解

1、中考數(shù)學(xué)信息題及其求解中考數(shù)學(xué)信息題及其求解河北 趙寶菊 信息題是近年中考中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，主要考查學(xué)生獲取信息、理解信息及應(yīng)用信息的能力，這類(lèi)試題所給文字材料篇幅較長(zhǎng)，信息量大由于大都和實(shí)際問(wèn)題有關(guān)，所以它應(yīng)該屬于應(yīng)用題的范疇。也正因?yàn)槲淖謹(jǐn)⑹鋈唛L(zhǎng)，同時(shí)命題者又往往把有用信息與無(wú)用信息混雜在一起，故考生解題時(shí)往往難以駕馭。實(shí)際上只要按照閱讀理解-建立數(shù)學(xué)模型-求解的基本思路，這類(lèi)問(wèn)題并不難求解。本文對(duì)中考信息題作一歸類(lèi)，并結(jié)合典型試題探討其求解方法。一、 推理型信息題這類(lèi)問(wèn)題往往給出足夠的信息，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推理即可解決，但要注意推理的準(zhǔn)確性，這是正確解題的關(guān)鍵。例1 某音樂(lè)廳5月初決定在暑

2、假期間舉辦學(xué)生專(zhuān)場(chǎng)音樂(lè)會(huì)，入場(chǎng)券分為團(tuán)體票和零售票，其中團(tuán)體票占總票數(shù)的2/3。若提前購(gòu)票，則給予不同程度的優(yōu)惠。在5月份內(nèi)，團(tuán)體票每張12元，共售出團(tuán)體票數(shù)的3/5；零售票每張16元，共售出數(shù)的1/2。如果在6月份內(nèi)，團(tuán)體票按每張16元出售，并計(jì)劃在6月份內(nèi)售出全部余票，那么零售票應(yīng)按 每張多少元定價(jià)才能使這兩個(gè)月的票款收入持平？解析 本題貌似難題，但在理解題意的基礎(chǔ)上仔細(xì)推理并不難求解。 設(shè)總票數(shù)為a張，6月份售票應(yīng)按 每張x元定價(jià),則有 5月份：團(tuán)體票售出票數(shù)為，票款收入為零售票售出票數(shù)為，票款收入為 6月份：團(tuán)體票所剩票數(shù)為，可收入為 零售票所剩票數(shù)為，可收入為 依題意，得 解這個(gè)方程

3、，得 x =19.2顯然，零售票應(yīng)按零售票應(yīng)按 每張19.2元定價(jià)才能使這兩個(gè)月的票款收入持平。二、 補(bǔ)充條件型： 顧名思義，這類(lèi)問(wèn)題往往缺少部分條件，考生須根據(jù)所給信息予以補(bǔ)充，具有開(kāi)放性，即答案一般不唯一。例2 閱讀下面的文字后，解答問(wèn)題。有這樣一道題目：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,a),B(!,-2)_求證：這個(gè)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2.題目中的橫線部分是一段被墨水污染了的無(wú)法辨認(rèn)的文字.（1）根據(jù)現(xiàn)有的信息，你能否求出題目中二次函數(shù)的解析式？若能，寫(xiě)出求解過(guò)程；若不能，說(shuō)明理由。（2）請(qǐng)你根據(jù)已有信息，在原題中的橫線上，添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整

4、。解析 本題已知函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,a),B(!,-2)，則有 a=c, 2=abc b 又 二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2，則有 = 22a 解以上方程，得 a = 1, b =4, c =1故 能求出題目中二次函數(shù)的解析式，且所求解析式為 y= x24x 1當(dāng)解析式求出只后，可供補(bǔ)充的內(nèi)容便多了。如：與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）；a = 1或 b =4或 c =1；最值為3；b24ac= 12；不勝枚舉。三、 圖象信息題圖象信息題一般由圖象提供一組數(shù)據(jù)，要求考生通過(guò)讀圖，從圖中提取有用信息，通過(guò)圖象信息尋找數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解。例3 以下是2002年

5、3月12日南國(guó)早報(bào)刊登的南寧市自來(lái)水價(jià)格調(diào)整表： 南寧市自來(lái)水價(jià)格調(diào)整表（部分） 單位：元/立方米 用水類(lèi)別現(xiàn)行水價(jià)擬調(diào)整水價(jià)一、居民生活用水 072 1一戶(hù)一表第一解梯：月用水量在 030立方米/戶(hù) 082第二解梯：月用水量超過(guò) 30立方米/戶(hù) 123 2集體表略 則調(diào)整水價(jià)后某戶(hù)居民月用水量x（立方米）與應(yīng)交水費(fèi)y(元)的函數(shù)圖像是（ ）： (A ) (B) (C) (D) 解析 由題中所給信息易知,當(dāng)030時(shí)y=1.23x,故居民月用水量x與應(yīng)交水費(fèi)y的函數(shù)圖像應(yīng)是（C）。 例4 小亮家最近購(gòu)買(mǎi)了一套新房，準(zhǔn)備用木質(zhì)地板鋪設(shè)居室，用瓷磚鋪設(shè)客廳。經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查得知，_鋪設(shè)木質(zhì)地板和鋪設(shè)瓷磚

6、的工錢(qián)不同。根據(jù)地面工程對(duì)所需費(fèi)用（購(gòu)買(mǎi)材料費(fèi)和工錢(qián)）分別進(jìn)行預(yù)算，通過(guò)列表，并用x(m2)表示面積，用y（元）表示鋪設(shè)費(fèi)用，制成下圖。根據(jù)所給信息回答： （1）預(yù)算中居室費(fèi)用 元/ m2, 客廳費(fèi)用 元/ m2。 (2) 表示鋪設(shè)居室的費(fèi)用y與面積x的函數(shù)關(guān)系是_,表示鋪設(shè)客廳的費(fèi)用y與面積x的函數(shù)關(guān)系是_;(3)在小亮的預(yù)算中, 鋪設(shè)1 m2的瓷磚比鋪設(shè)1 m2的木質(zhì)地板工錢(qián)多5元,而購(gòu)買(mǎi)1 m2的瓷磚是購(gòu)買(mǎi)1 m2木質(zhì)地板費(fèi)用的,那么,鋪設(shè)1 m2的木質(zhì)地板與1 m2的瓷磚的工錢(qián)各是多少? 購(gòu)買(mǎi)1 m2的木質(zhì)地板與1 m2的瓷磚的費(fèi)用各是多少元? 解析 由圖像提供的信息可明顯看出：居室面

7、積為30 m2，鋪設(shè)費(fèi)用4050元；客廳面積為25m2，鋪設(shè)費(fèi)用2750元，則有預(yù)算中居室費(fèi)用為=135元/ m2, 客廳費(fèi)用為 =110元/ m2。相應(yīng)地，鋪設(shè)居室的費(fèi)用y與面積x的函數(shù)關(guān)系是y=135x,鋪設(shè)客廳的費(fèi)用y與面積x的函數(shù)關(guān)系是y=110x.設(shè) 鋪設(shè)1 m2的木質(zhì)地板工錢(qián)為a元,則鋪設(shè)1 m2的瓷磚工錢(qián)為a+5b元；又設(shè)購(gòu)買(mǎi)1 m2的木質(zhì)地板的費(fèi)用為b元，則購(gòu)買(mǎi)1 m2的瓷磚的費(fèi)用為b元，據(jù)已知條件應(yīng)有 a+b=135 ; ( a+5)+b=110，解之得 a = 15 b = 120 這說(shuō)明，鋪設(shè)1 m2的木質(zhì)地板工錢(qián)是15元，鋪設(shè)1 m2的瓷磚的工錢(qián)是15+5=20元；購(gòu)買(mǎi)

8、1 m2的木質(zhì)地板的費(fèi)用為120元，購(gòu)買(mǎi)1 m2的瓷磚的費(fèi)用是120 = 90元。四、圖表信息題所謂圖表信息題，是指通過(guò)圖表給出信息，因此正確讀表及理解是解題的關(guān)鍵。例5 南方A市欲將一批容易變質(zhì)的水果運(yùn)往B市銷(xiāo)售，共有飛機(jī)、火車(chē)、汽車(chē)三種運(yùn)輸方式，現(xiàn)只可選擇其中的一種，這三種運(yùn)輸工具的主要參考數(shù)據(jù)如下： 運(yùn)輸工具途中速度（千米小時(shí)）途中費(fèi)用（元千米）裝卸時(shí)間（小時(shí)） 裝卸費(fèi)用（元）汽車(chē)50821000火車(chē)100442000飛機(jī)2001621000若這批水果在運(yùn)輸（包括裝卸）過(guò)程中的損耗為200元/小時(shí)，設(shè)A、B兩地間的距離為x千米。 （1）如果用S1、S2、S3分別表示使用汽車(chē)、火車(chē)、飛機(jī)運(yùn)

9、輸時(shí)的總支出費(fèi)用（包括損耗）， 求出S1、S2、S3與x間的函數(shù)關(guān)系式。 （2）應(yīng)采用哪種運(yùn)輸方式，才能使運(yùn)輸時(shí)的總支出費(fèi)用最??？解析 如上所述，首先要建立數(shù)學(xué)模型，即建立一個(gè)求費(fèi)用與損耗之和的函數(shù)關(guān)系式。設(shè)AB兩地距離為x千米，則采用三種運(yùn)輸工具時(shí)運(yùn)輸過(guò)程中的費(fèi)用和時(shí)間可列表如下：運(yùn)輸工具途中費(fèi)用（元）途中時(shí)間（小時(shí)）汽車(chē)8x1000x502火車(chē)4x2000x1004飛機(jī)16x1000x2002分別用 S1、S2、S3 表示汽車(chē)、火車(chē)、飛機(jī)運(yùn)輸時(shí)的費(fèi)用總支出，則有S1=8x1000（x502）300即S1=14x1600 同理，S2=7x3200 ；S3=17.5x1600。因?yàn)閤0 故 S

10、1S3 恒成立；當(dāng)S1S2時(shí)，有x16007；當(dāng)S2S3 時(shí)，有 x320021 ，因而：（1）當(dāng)x16007千米時(shí)，S1S2 ，S1S3，即用汽車(chē)運(yùn)輸較好；（2）當(dāng) x=16007 千米時(shí)，S1=S2S3 ，即用汽車(chē)或火車(chē)運(yùn)輸都較好；（3）當(dāng) x16007千米時(shí)，S1S2 ，S3S2 ，即用火車(chē)運(yùn)輸較好。五、 其它類(lèi)型信息題：除上述幾種信息題外，還有的試題不僅具備信息題的基本特點(diǎn)，同時(shí)也給出計(jì)算過(guò)程中可能用到的公式，這樣求解的繁雜性予以化解，難度也隨之下降。所以，我們要注意靈活地使用這些公式。例6 在計(jì)算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)：從第一個(gè)數(shù)開(kāi)始，以后的每

11、個(gè)數(shù)與它的前一個(gè)數(shù)的差都是一個(gè)相同的定值。具有這種規(guī)律一列數(shù)，除了直接相加外，我們還可以用公式S=na來(lái)計(jì)算他們的和。（公式中的 n表示數(shù)的個(gè)數(shù)，a表示第一個(gè)數(shù)的值,d表示這個(gè)相差的定值） 10(101)那末3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=1032 2用上面的知識(shí)解決下列問(wèn)題：為保護(hù)長(zhǎng)江，減少水土流失，我市某縣決定對(duì)原有的坡荒地進(jìn)行退耕還林。從1995年起在坡荒地上植樹(shù)造林，以后每年又比上一年多植相同面積的樹(shù)木改造坡荒地，由于每年因自然災(zāi)害、樹(shù)木成活率、人為因素等的影響，都有相同數(shù)量的新坡荒地產(chǎn)生，下表為1995、1996、1997三年的坡荒地面積和植樹(shù)的面積的統(tǒng)計(jì)。假設(shè)坡

12、荒地全部種上樹(shù)后，不再水土流失造成新的坡荒地，問(wèn)到哪一年，可以將全縣所有坡荒地全部種上樹(shù)木？ 1995年 1996年 1997年 每年植樹(shù)的面積（畝） 1 000 1 400 1 800植樹(shù)后坡荒地的實(shí)際面積（畝） 25 200 24 000 22 400解析 從表中可知 ，1995年植樹(shù)1 000畝，以后每年均比上一年多植400畝樹(shù)，而1995年實(shí)有坡荒地25 200畝，植樹(shù)1 400畝后，實(shí)有坡荒地減少25 20024 000=1 200畝，即樹(shù)木實(shí)際成活1 200畝，因此每年新產(chǎn)生的坡荒地為本1 4001 200= 200畝。設(shè)從1996年起（1996年算第1年），到第n年全縣的所有坡荒地全部種上樹(shù)木，則