有理式的積分

1、有理式的積分 第四節(jié)第四節(jié) 有理式的積分有理式的積分 一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分 二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分 三、簡單無理函數(shù)的積分三、簡單無理函數(shù)的積分 四、小四、小 結(jié)結(jié) 有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義： 兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之. . mm mm nn nn bxbxbxb axaxaxa xQ xP 1 1 10 1 1 10 )( )( 其中其中m、n都是非負整數(shù)；都是非負整數(shù)； n aaa, 10 及及 m bbb, 10 都是實數(shù)，并且都是實數(shù)，并且0 0 a，0 0 b. 一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分 假定

2、分子與分母之間沒有公因式假定分子與分母之間沒有公因式 ,)1(mn 這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是真分式； ,)2(mn 這有理函數(shù)是假分式；這有理函數(shù)是假分式； 利用多項式除法利用多項式除法, 假分式可以化成一個假分式可以化成一個 多項式和一個真分式之和多項式和一個真分式之和. 例例 1 1 2 3 x xx . 1 1 2 x x 難點難點 將有理函數(shù)化為部分分式之和將有理函數(shù)化為部分分式之和. （1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為 k ax)( , )()( 1 21 ax A ax A ax A k kk 有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：有理函數(shù)化為部分

3、分式之和的一般規(guī)律： 其中其中 k AAA, 21 都是常數(shù)都是常數(shù). 特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為; ax A （2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中 k qpxx)( 2 則分解后為則分解后為04 2 qp qpxx NxM qpxx NxM qpxx NxM kk kk 212 22 2 11 )()( 其中其中 ii NM ,都是常數(shù)都是常數(shù)), 2 , 1(ki . 特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為; 2 qpxx NMx 真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法 65 3 2 xx x )3)(2( 3 xx x ,

4、32 x B x A ),2()3(3 xBxAx ),23()(3BAxBAx , 3)23( , 1 BA BA , 6 5 B A 65 3 2 xx x . 3 6 2 5 xx 例例1 1 2 )1( 1 xx , 1)1( 2 x C x B x A )1()1()1(1 2 xCxBxxA 代入特殊值來確定系數(shù)代入特殊值來確定系數(shù)CBA, 取取 , 0 x1 A 取取 , 1 x1 B 取取 , 2 xBA, 并將并將 值代入值代入)1( 1 C . 1 1 )1( 11 2 xxx 2 )1( 1 xx 例例2 2 例例3 3 . 1 5 1 5 2 21 5 4 2 x x

5、x )1)(21( 1 2 xx ),21)()1(1 2 xCBxxA ,)2()2(1 2 ACxCBxBA , 1 , 02 , 02 CA CB BA , 5 1 , 5 2 , 5 4 CBA , 121 2 x CBx x A )1)(21( 1 2 xx 整理得整理得 例例4 4 求積分求積分 . )1( 1 2dx xx dx xx 2 )1( 1 dx xxx 1 1 )1( 11 2 dx x dx x dx x 1 1 )1( 11 2 .|1|ln 1 1 |lnCx x x 解解 例例5 5 求積分求積分 解解 . )1)(21( 1 2 dx xx dx x x d

6、x x 2 1 5 1 5 2 21 5 4 dx xx)1)(21( 1 2 dx x dx x x x 22 1 1 5 1 1 2 5 1 |21|ln 5 2 .arctan 5 1 )1ln( 5 1 |21|ln 5 2 2 Cxxx 例例6 6 求積分求積分 解解 . 1 1 632 dx eee xxx 令令 6 x et ,ln6tx , 6 dt t dx dx eee xxx 632 1 1 dt tttt 6 1 1 23 dt ttt )1)(1( 1 6 2 dt t t tt 2 1 33 1 36 說明說明 將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出將有理函數(shù)化為部分分

7、式之和后，只出 現(xiàn)三類情況：現(xiàn)三類情況： ) 1 ( 多項式；多項式； ; )( )2( n ax A ; )( )3( 2n qpxx NMx 討論積分討論積分 , )( 2 dx qpxx NMx n , 42 2 2 2 p q p xqpxx 令令 t p x 2 , 4 2 2 p qa , 2 Mp Nb 則則 dx qpxx NMx n )( 2 dt at Mt n )( 22 dt at b n )( 22 , 222 atqpxx , bMtNMx 記記 , 1)2( n dx qpxx NMx n )( 2 122 )(1(2 n atn M . )( 1 22 dt a

8、t b n 這三類積分均可積出這三類積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù). 結(jié)論結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). . , 1)1( n dx qpxx NMx 2 )ln( 2 2 qpxx M ; 2 arctanC a p x a b 三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算 構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR 2 cos 2 sin2sin xx x 2 sec 2 tan2 2 x x , 2 tan1 2 tan2 2 x x , 2

9、 sin 2 coscos 22 xx x 二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分 2 sec 2 tan1 cos 2 2 x x x , 2 tan1 2 tan1 2 2 x x 令令 2 tan x u , 1 2 sin 2 u u x , 1 1 cos 2 2 u u x uxarctan2 du u dx 2 1 2 dxxxR)cos,(sin. 1 2 1 1 , 1 2 22 2 2 du uu u u u R （萬能置換公式）（萬能置換公式） 例例7 7 求積分求積分. cossin1 sin dx xx x 解解, 1 2 sin 2 u u x 2 2 1

10、 1 cos u u x , 1 2 2 du u dx 由萬能置換公式由萬能置換公式 dx xx x cossin1 sin du uu u )1)(1( 2 2 du uu uuu )1)(1( 112 2 22 例例8 8 求積分求積分. sin 1 4 dx x 解（一）解（一）, 2 tan x u , 1 2 sin 2 u u x , 1 2 2 du u dx dx x 4 sin 1 du u uuu 4 642 8 331 C u u uu 3 3 3 3 1 8 1 3 3 . 2 tan 24 1 2 tan 8 3 2 tan8 3 2 tan24 1 3 3 C x

11、x x x 解（二）解（二）修改萬能置換公式修改萬能置換公式,xutan 令令 , 1 sin 2 u u x , 1 1 2 du u dx dx x 4 sin 1 du u u u 24 2 1 1 1 1 du u u 4 2 1 C uu 1 3 1 3 .cotcot 3 1 3 Cxx 解（三）解（三）可以不用萬能置換公式可以不用萬能置換公式. dx x 4 sin 1 dxxx)cot1(csc 22 xdxxxdx 222 csccotcsc )(cot xd .cot 3 1 cot 3 Cxx 結(jié)論結(jié)論 比較以上三種解法比較以上三種解法, 便知萬能置換不一定便知萬能置換不

12、一定 是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的計算中先考故三角有理式的計算中先考 慮其它手段慮其它手段, 不得已才用萬能置換不得已才用萬能置換. 討論類型討論類型 ),( n baxxR ),( n ecx bax xR 解決方法解決方法作代換去掉根號作代換去掉根號. . 例例9 9 求積分求積分 dx x x x 11 解解 令令 t x x 1 , 1 2 t x x 三、簡單無理函數(shù)的積分三、簡單無理函數(shù)的積分 例例1010 求積分求積分 . 11 1 3 dx xx 解解 令令1 6 xt,6 5 dxdtt dx xx 3 11 1 dtt tt 5 23 6 1 dt t t 1 6

13、 3 Ctttt |1|ln6632 23 .)11ln(6131312 663 Cxxxx 說明說明 無理函數(shù)去根號時無理函數(shù)去根號時, 取根指數(shù)的最小公倍數(shù)取根指數(shù)的最小公倍數(shù). 例例1111 求積分求積分 . 1213 dx xx x 解解先對分母進行有理化先對分母進行有理化 原式原式 dx xxxx xxx )1213)(1213( )1213( dxxx)1213( )13(13 3 1 xdx)12(12 2 1 xdx .)12( 3 1 )13( 9 2 2 3 2 3 Cxx 簡單無理式的積分簡單無理式的積分. 有理式分解成部分分式之和的積分有理式分解成部分分式之和的積分.

14、（注意：必須化成真分式）（注意：必須化成真分式） 三角有理式的積分三角有理式的積分.（萬能置換公式）（萬能置換公式） （注意：萬能公式并不萬能）（注意：萬能公式并不萬能） 四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題 將分式分解成部分分式之和時應注意什么？將分式分解成部分分式之和時應注意什么？ 思考題解答思考題解答 分解后的部分分式必須是最簡分式分解后的部分分式必須是最簡分式. 一一、 填填空空題題： 1 1、 dx xx CBx x A dx x111 3 23 ，其其 A _ _ _ _ _, , B _ _ _ _ _ _ _ _ _ , , C_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 2 2、 dx x C x B x A dx xx x 11 111 1 22 2 , , 其其