向量與空間解析幾何 同濟(jì)版高數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)完美版第七章空間解析幾何與向量代數(shù)

1、向量與空間解析幾何 同濟(jì)版高數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)完美版第七章空間解析幾何與向量代數(shù) 導(dǎo)讀：就愛(ài)閱讀網(wǎng)友為您分享以下“同濟(jì)版高數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)完美版第七章空間解析幾何與向量代數(shù)”資訊，希望對(duì)您有所幫助，感謝您對(duì)的支持!第七章 空間解析幾何與向量代數(shù) 教學(xué)目的：1、理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。2、掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個(gè)向量垂直和平行的條件。3、理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，熟練掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。4、掌握平面方程和直線方程及其求法。5、會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直

2、、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題。6、點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。8、了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。9、了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。教學(xué)重點(diǎn)：1、向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積的概念、向量運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算；2、兩個(gè)向量垂直和平行的條件；3、平面方程和直線方程；4、平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的相互位置關(guān)系的判定條件；5、點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離；6、常用二次曲面的方程及其圖形；7、旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；8、空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。教學(xué)難

3、點(diǎn)：1、向量積的向量運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算；2、平面方程和直線方程及其求法；3、點(diǎn)到直線的距離；4、二次曲面圖形；5、旋轉(zhuǎn)曲面的方程； 7. 1 向量及其線性運(yùn)算一、向量概念向量: 在研究力學(xué)、物理學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)時(shí), 常會(huì)遇到這樣一類量, 它們既有大小, 又有方向. 例如力、力矩、位移、速度、加速度等, 這一類量叫做向量.在數(shù)學(xué)上, 用一條有方向的線段(稱為有向線段)來(lái)表示向量. 有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小, 有向線段的方向表示向量的方向. 向量的符號(hào):以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作AB. 向量可用粗體字母表示, 也可用上加箭頭書寫體字母表示, 例如, a、r、v、F或a、r、v

4、、F. 自由向量: 由于一切向量的共性是它們都有大小和方向, 所以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量, 并稱這種向量為自由向量, 簡(jiǎn)稱向量. 因此, 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 則說(shuō)向量a和b是相等的, 記為a = b. 相等的向量經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合. 向量的模: 向量的大小叫做向量的模.向量a、a、AB的模分別記為|a|、|a|、|AB|. 單位向量: 模等于1的向量叫做單位向量.零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 記作0或0. 零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合, 它的方向可以看作是任意的.向量的平行: 兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反, 就稱這兩個(gè)向量平行. 向量a與b平行,

5、 記作a / b. 零向量認(rèn)為是與任何向量都平行.當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí), 它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上. 因此, 兩向量平行又稱兩向量共線.類似還有共面的概念. 設(shè)有k(k3)個(gè)向量, 當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí), 如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上, 就稱這k個(gè)向量共面.二、向量的線性運(yùn)算1向量的加法向量的加法: 設(shè)有兩個(gè)向量a與b, 平移向量使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合, 此時(shí)從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱為向量a與b的和, 記作a+b, 即c=a+b .三角形法則:上述作出兩向量之和的方法叫做向量加法的三角形法則. 平行四邊形法則:當(dāng)向量a與b不平行時(shí), 平移向量使a與b的

6、起點(diǎn)重合, 以a、bcCb CA a B A B為鄰邊作一平行四邊形, 從公共起點(diǎn)到對(duì)角的向量等于向量a與b的和a+b.向量的加法的運(yùn)算規(guī)律:(1)交換律a+b=b+a;(2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律, 故n個(gè)向量a1, a2, , an(n 3)相加可寫成a1+a2+ +an,并按向量相加的三角形法則, 可得n個(gè)向量相加的法則如下: 使前一向量的終點(diǎn)作為次一向量的起點(diǎn), 相繼作向量a1, a2, , an, 再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn), 最后一向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量, 這個(gè)向量即為所求的和.負(fù)向量:設(shè)a為一向量, 與a的模相同而方向相反的向量叫做

7、a的負(fù)向量, 記為-a.向量的減法:我們規(guī)定兩個(gè)向量b與a的差為b-a=b+(-a).即把向量-a加到向量b上, 便得b與a的差b-a.特別地, 當(dāng)b=a時(shí), 有-a bb b-a a b-aa-a=a+(-a)=0.顯然,任給向量AB及點(diǎn)O, 有 AB=AO+OB=OB-OA, 因此, 若把向量a與b移到同一起點(diǎn)O, 則從a的終點(diǎn)A向b的終點(diǎn)B所引向量AB便是向量b與a的差b-a .三角不等式:由三角形兩邊之和大于第三邊的原理, 有|a+b|a|+|b|及|a-b|a|+|b|,其中等號(hào)在b與a同向或反向時(shí)成立.2向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法的定義:向量a與實(shí)數(shù)的乘積記作a, 規(guī)定a是一個(gè)向

8、量, 它的模|a|=|a|, 它的方向當(dāng)0時(shí)與a相同, 當(dāng)0時(shí)與a相反.當(dāng)=0時(shí), |a|=0, 即a為零向量, 這時(shí)它的方向可以是任意的. 特別地, 當(dāng)=1時(shí), 有1a=a, (-1)a=-a. 運(yùn)算規(guī)律:(1)結(jié)合律 (a)=(a)=()a；(2)分配律 (+)a=a+a；(a+b)=a+b.例1. 在平行四邊形ABCD中, 設(shè)AB=a, AD=b. 試用a和b表示向量MA、MB、MC、MD, 其中M是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn). 解 由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分, 所以 a+b=于是 AC=2AM, 即 -(a+b)=2MA,DC MA=-1(a+b). 2 因?yàn)镸C=-MA, 所以又因-

9、a+b=MC=12(a+b).BD=2MD, 所以MD=2(b-a). B 由于MB=-MD, 所以MB=(a-b). 2向量的單位化:設(shè)a0, 則向量于是a=|a|ea.向量的單位化: a是與|a|a同方向的單位向量, 記為ea.設(shè)a0, 則向量于是a = | a | ea. a是與|a|a同方向的單位向量, 記為ea.定理1 設(shè)向量a 0, 那么, 向量b平行于a的充分必要條件是: 存在唯一的實(shí)數(shù), 使 b = a.證明: 條件的充分性是顯然的, 下面證明條件的必要性. 設(shè)b / a. 取|=|b|, 當(dāng)b與a同向時(shí)取正值, 當(dāng)b與a反向時(shí)取負(fù)|a|值, 即b=a. 這是因?yàn)榇藭r(shí)b與a同向, 且|a|=|a|=|b|a|=|b|. |a|再證明數(shù)的唯一性. 設(shè)b=a, 又設(shè)b=a, 兩式相減, 便得 (-)a=0, 即|-|a|=0.因|a|0, 故|-|=0, 即=.給定一個(gè)點(diǎn)及一個(gè)單位向量就確定了一條數(shù)軸. 設(shè)點(diǎn)O及單位向量i確定了數(shù)軸Ox, 對(duì)于軸上任一點(diǎn)P, 對(duì)應(yīng)一個(gè)向量OP, 由OP/i, 根據(jù)定理1, 必有唯一的實(shí)數(shù)x, 使OP=xi(