數(shù)列通項(xiàng)的求法

1、數(shù)列的通項(xiàng)的求法數(shù)列考題中大多都是考通項(xiàng)和求法，特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)中數(shù)列題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸，所以掌握求通項(xiàng)的方法是學(xué)好數(shù)列的最基本的要求。通項(xiàng)主要有以下一些求法:類型一：觀察法求通項(xiàng)公式1、寫出數(shù)列1,2,3, 4,5,的一個(gè)通項(xiàng)。答案：an ( l)n1n2、寫出數(shù)列1,0,1,0,1,的一個(gè)通項(xiàng)。答案：an1 ( 1)n 13、寫出數(shù)列0, 1 , 1,663,工，的一個(gè)通項(xiàng)公式。 2015略解：先將原式不含0的項(xiàng)變形為:1，觀察出第一項(xiàng)應(yīng)該為:6 12 20 300。最終歸納得出：an2n 1n(n 1)4、3,33 , 33

2、3,3333 , 一、1c答案：an (10n 1)3類型二：定義型主要是利用前 n項(xiàng)和的定義去求數(shù)列通項(xiàng)：an要單獨(dú)討論。題型一：公式的直接應(yīng)用g,n 1sn s1,n 2。在這里特別要注意的是：n1時(shí)一定1、求下列數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sno(1) sn2n3略解：(1)當(dāng)n 1時(shí)(2)當(dāng)n 2時(shí)a1g 5sn2n 3sn 12n 13. . . 一_ n 1將兩式相減得：an 2從而得：an5,n 12n1,n 2_122、sn -(an 1)2(對任意的4略解：(1)當(dāng)n 1時(shí)(2)當(dāng)n 2時(shí)n n冏,0)求an。1 ,.、2a g (a1 1),從而倚 a1 44sn(an 1)224

3、sn 1 (an 11)將兩式相減并化簡得：(an an 1)(an an 1 2) 0由于an 0 ,得an an 1 2 0 ,從而知 an是等差數(shù)列。易得：an 2n 1題型二：如果題中出現(xiàn)了 s2, an sn或sn1 5時(shí)，一般都是逆用公式，將 hn換成sn sn 1 3、已知數(shù)列an中，a1 = 1，前n項(xiàng)的和為sn,且ansnsn1(n 2),求為.略解：將an sn sn1變形為&sn 1& sn 1 ,兩邊同除& &111 h-sn sn 111。即知 sh為等差數(shù)列，先求sn ,進(jìn)一點(diǎn)求出an。4、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,若a1= 1,且滿足3sn2an(3sn1)(n

4、 2),求an的通項(xiàng)公式。2略解：將ansnsn1代入原式得：3& & 13&1?；喖吹茫? & 13& 1題型三：將類型一中的sn拓展成任何一個(gè)前n項(xiàng)的形式，進(jìn)而去求數(shù)列的通項(xiàng)。5、設(shè)數(shù)列 an滿足為 3a2 32 a3一一 1解：(1)當(dāng) n 1 時(shí)，a1 一3_n 1 n*. .3 an - , a n .求數(shù)列an的通。3a1 3a2 3 a33n 2an 13n1an(2)當(dāng)n 2時(shí)，由原式可得a13a232a333n2an 1兩式相減得：0n 1113 an ” an 733103a1(1)(2)綜合（1） （2）彳an3已知各項(xiàng)均a3 a3 i a： (a1求證： a2 2sn

5、 an求an的通項(xiàng)公式。解：（1）由題可得3a13a23a3iii的數(shù)列an任意的一一*.n 都有a23ana33an3a13a23a3iii3ans2(1)一2)3ansn2s21即:sn3anansn&12ansnsn-21即ansn(2)由(1)得:2an(a)(b)得:從而得:anan類型三：遞推型、累加型：（適用于anan1、已知數(shù)列 an滿足a1a2a1略解：由原式得:a3a2將上式相加得:2、已知數(shù)列ananana1滿足a1iiis2snsn2an2an 12, anan 1(1、2、-an）記數(shù)列an前n項(xiàng)的和為&。(1)(2)snsn1an。(a)2anf （n）型數(shù)列）1a

6、nna從而得到:2an 12a b(n 1)a2 iii n,an 1 an1)a2an2snan2sman 1(b)2anan 1 即 ann是一個(gè)等差數(shù)列。2an 1anan 1 o以下略。b,試用a、b表示an。（n 1）b,從而易求an。以下步驟略。1 王2 ，求 an。 n n解:由條件知：an 1 an令 n 1,2,3,(n1)n(n 1) n(a2a1)a?) (a4a3)(a n(112)1(2所以ana111) (33114)a1an3、數(shù)列an滿足a1提示：在原式中令4、數(shù)列an滿足(1)已知b1入上式得 (nan 1 )1 ,且對任意的 m,n(m, n z ),總有a

7、m nm=1即可。a11)個(gè)等式累加之a(chǎn)manmn ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公an+1-anan+1an1(n n*n )。an+1 n(n1)bn的通項(xiàng)公式。(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(3)已知 lim 二 0 ,設(shè) cnn 2nv圮 snc|cc2c2|ncnc。求 lim sn。na一一、累乘型：(適用于f(n)型數(shù)列)an 1一一一1 2n 31、已知數(shù)列 an滿足a1 -，an an 1 (n 2)的通項(xiàng)an。3 2n 1生 1a 5a33a27略解：原式可變形為生 5徭 9iiihian2n 3斗 12n 1將上述式子左右分別相乘得:an1 3 52n31 33a?5 7 92n1(2

8、n 1)(2n1) 4n212、已知數(shù)列an滿足a1 1, ana - i 1， n 1an ,n 2解析；當(dāng)n2時(shí)，an a1 2a2a1 2a2 3a3 | (n 1)an 1 ( n 2),則an的通項(xiàng)3a3 w (n 1)an 1 = an 1 (n 1)an 1 ( n 3)an nan 1 ( n 3) n ( n 3)an 1an力掃喏崗an 1 an 2 a2 a1a1 = n (n 1) j 3 1=n! ,其中當(dāng) n = 2 時(shí) a2 a1 1 , 2所以答案是：n!.2類型四：配項(xiàng)型這類題型在高中主要有四類題型：(1) an pan 1 q(其中p, q為常數(shù))，直接設(shè)a

9、n+ x p(an 1 x)求出x即可。(2) an pan 1 f (n)(其中p為常數(shù)，f (n)為一次函數(shù)或二次函數(shù)形式 ).設(shè)an+g(n) p an 1 g(n-1)。其中g(shù)(n)由當(dāng)f(n)為一次函數(shù)時(shí)，設(shè)為一次函數(shù)，f(n)為二次函數(shù)時(shí),設(shè)為二次函數(shù)。但這類題型如果在考題中出現(xiàn)多為證明形式。(3) an pan 1 n(其中戶為常數(shù)，0且1),兩邊同除n轉(zhuǎn)化為類型(1)(4)遞推公式為an 2 pan 1 qan (其中p, q均為常數(shù))。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an 2 san 1t(an 1san),st p 其中s, t滿足，再應(yīng)用前面類型1的方法求解。st q1、數(shù)列a

10、n滿足：a1 1,當(dāng)n 2總有an 3an 1 2 ,求an提示：設(shè)an+ x 3(an 1 x)求出x=1,從而知 an+ 1為等比數(shù)列，以下略。2、已知數(shù)列an滿足a11,an3n2an1 (n 2)，求 an.提示：兩邊同除3n得，an 3n1 2a，化簡得:3nan3n好1,如果令b號即得b2下略。3、在數(shù)列an中，a1*2, an 1 4an 3n 1 , n n(i)證明數(shù)列 an n是等比數(shù)列;(n)求數(shù)列 an的前n項(xiàng)和sn ；提示：對于(i),在高中主要有兩種解決方法，一種是直接配，還有一種是換元。換元法更明顯直接，更 是解決這種證明新數(shù)列的通用方法，具體做法如下：bn的設(shè)b

11、nann,從而得：anbnn,代入原式即得：bn 14bn,即數(shù)列bn為等比數(shù)列，先求出通項(xiàng)公式，剛后面問題易解決。注：此種類型的問題的一般解決方法如下:4、設(shè)數(shù)列 an : a14, an3an 1 2n 1, (n 2),求 an.解：設(shè)bnan anb,則anbn an b ,將an,an 1代入遞推式,bn an3 bn 1a(n1)2n1 3bn 1 (3a 2)n (3b3a 1)a 3a 23b 3a取 bnanbn3bn1，又 “6 ,故 bn 6 3n 12 3n代入(1 )得an 2 3n說明：若f (n)為n的二次式，則可設(shè)bnanan2bn c5、已知數(shù)列an中,a11

12、, a?2, an239n1an，求 an。3解：由an 223 an11 an可轉(zhuǎn)化為3an 2san 1t(ansan)即 an 2 (st)an 1stanst2313一(an 1anan33)nan3)0a1類型一:取倒數(shù)法形如anman 1k(an 1可歸為an 1pan1、已知數(shù)列方法一：在an 1an )1 1(3)an(當(dāng)然也可選用an 1 an是以首項(xiàng)為的方法，分別令n 1,2,3,1 ( bn1( ln2331 13in 13)。類型五：構(gòu)造新數(shù)列型遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有b)1k(anq型。an滿足anan 1anan 2a2an 1ai,(n13 ,大家可以試一試)，

13、則1),代入上式得(n的等比數(shù)列，所以1)個(gè)等式累加之，即k11一令bn 則bnanan*；(nn ),且 a1an 2同乘an 2并化簡得：1， 一21,轉(zhuǎn)化為類型四中的第一種題型。以下略。 an方法二：將原式兩邊取倒數(shù)得:an 12 1oanan 1 anan2an 1同除以an 1 an得：2、已知數(shù)列an滿足a1an 1/7； (n1 an 122,n n).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an ;提示：原式兩邊取倒數(shù)得:an1n(2)(1)an 1類型二：取對數(shù)型形如：anan 1(0)的數(shù)列可以在兩邊取對數(shù)從而化成一個(gè)新的等比數(shù)列。3、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an滿足a11,an 2al21 (n2).求數(shù)

14、列an的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對數(shù)得：log an 12logan1, loga2(log an11),設(shè) bnlogan 1貝u bn 2bn 1bn是以2為公比的等比數(shù)列,biiog2 11.n 1 on 1anbn1 22, log2，loga2nan22n 1 1類型六：特征根法題型一：設(shè)已知數(shù)列an的項(xiàng)滿足a1b,an 1cand ,其中0,c 1,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。作出一個(gè)方程x cx d,則當(dāng)xo a1時(shí)，an為常數(shù)列,ana1；當(dāng) xoa1日t,anbnx0 ,其中bn是以c為公比的等比數(shù)列，即bn b1cn 1,b1a1x0.1、已知數(shù)列an滿足：an 11 一,斛：作方程

15、x - x 2,則x0313an32,nn,ai4,求 an.當(dāng) a14時(shí)，a1 xo,b1 a1211列bn是1 bn bi( 3)1121332bn題型二：對于由遞推公式an2pan 1qan3 112 23)n1,nn.a1, a2給出的數(shù)列an ,方程x2px列an的特征方程。若 x1,x2是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng) x1 x2時(shí),數(shù)列an的通項(xiàng)為anax； 1bxn 1 苴21中a, b由a1,a2 決定(即把a(bǔ)1，a2, x1，x2和n 1,2 ,代入an ax：1nbx2a、b的方程組)；當(dāng)x1 x2時(shí)，數(shù)列an的通項(xiàng)為an (a bn)xn 1 ,其中a,b由a1決定(即把a(bǔ)1，a

16、2,x1,x2和n 1,2，代入an (a bn)x； 1,得到關(guān)于a、b的方程組)。1、已知數(shù)列 an 滿足 aa,a2b,3an 2 5an 12an0(n 0,n n),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：數(shù)列 an : 3an 2 5an 1 2an 0(n 0, nn), a1 a,a2 b 的特征方程是：3x2 5x 2 0。d 2x11, x2-3n 1 n 12 n 1an ax1bx2 a b (-)。3又由aa？b ,于是a a bb a 2b3a 3b 2ab 3(a b)-2一故 an3b 2a 3(a b)(-)n 1題型三：如果數(shù)列an滿足下列條件：已知a1的值且對于n n

17、,都有an1 -pan-q (其中p、q、r、h均為 ran h常數(shù)，且 ph qr,r 0,a10 ),那么，可作特征方程x -pxq ,當(dāng)特征方程有且僅有一根時(shí)，則rrx h 是等差數(shù)列；當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根x1、x2時(shí)，則亙一x1是等比數(shù)列。an xoan x21、數(shù)列an滿足a11 且 8anian 16ani 2a5 0(n 1).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解：由已知,得an2an 5168an,其特征方程為x2x 515且，解之，得x 1或x -16 8x246(anan161)8anan512(an /168ananan 112541 ananan1254(2)n142n2n 1

18、2n542、已知數(shù)列an滿足性質(zhì)對于n,anan2an4一,且a3,求an的通項(xiàng)公式.3解：數(shù)列an的特征方程為2x 34、一,變形得2x22x 4 0,其根為11, 22.故特征方程有兩個(gè)相異的根，則有:a11(pn 1a12p2r3 1/11 2、n1 (),n3 2 12 2n. cn2/ 1n1-(-),n n.55即an(5)n 42 ( 5)n,n2 5( 5)n1t(n.1、n 15),nn.3、已知數(shù)列an滿足：對于n n ,都有an113an 25an 3(1)右a15,求 an ；(2)若 a13,求 an；(3)若 a16,求an；(4)當(dāng)a1取哪些值時(shí),無窮數(shù)列an不存在分析:作特征方程x13x 25.變形