高等數(shù)學級數(shù)習題課.

1、第十一章第十一章 級數(shù)級數(shù) 習題課習題課 無無窮窮級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂與與發(fā)發(fā)散散一一、 收收斂斂，則則稱稱級級數(shù)數(shù)，若若 1 lim n nn n uSS . 1 SuS n n 記記為為稱稱為為該該級級數(shù)數(shù)的的和和，且且 . 1 發(fā)散發(fā)散則稱級數(shù)則稱級數(shù) n n u 級數(shù)收斂：級數(shù)收斂：、 1 級數(shù)發(fā)散：級數(shù)發(fā)散：、 2不不存存在在，若若極極限限 n n S lim 兩個特殊級數(shù)的斂散性兩個特殊級數(shù)的斂散性、 3 .1 1)1( 1 1 時發(fā)散時發(fā)散當當時收斂，時收斂，當當?shù)缺燃墧?shù)等比級數(shù) qqaq n n .lim 1 存在存在收斂收斂級數(shù)級數(shù)說明：說明： n n n n Su .lim

2、 1 不不存存在在發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) n n n n Su .1 1 1 )2( 1 時發(fā)散時發(fā)散當當時收斂，時收斂，當當級數(shù)級數(shù) pp n p n p 級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的基本性質(zhì)二、二、 . )( 2 111 S vuSvu n n n n n n n 且且其其和和為為也也收收斂斂， 則則級級數(shù)數(shù)，、分分別別收收斂斂于于、設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)、 . 1 11 kSkuSu n n n n 且且和和為為收收斂斂，則則級級數(shù)數(shù)，收收斂斂于于設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)、 . 0 11 的斂散性相同的斂散性相同與與級數(shù)級數(shù)時，時，當當說明：說明： n n n n kuuk . 3 其其和和一一般般是是改改變變的的但但在在

3、收收斂斂時時，的的斂斂散散性性， 不不改改變變級級數(shù)數(shù)項項，增增加加或或改改變變級級數(shù)數(shù)的的有有限限去去掉掉、 . , 4且且其其和和不不變變級級數(shù)數(shù)仍仍收收斂斂收收斂斂級級數(shù)數(shù)加加括括弧弧后后所所得得、 . 級級數(shù)數(shù)未未必必收收斂斂收收斂斂級級數(shù)數(shù)去去括括弧弧后后所所得得說說明明： . 則則原原級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散，若若加加括括弧弧后后所所得得的的級級數(shù)數(shù)推推論論： 級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 1 1 n n n n uu則則收收斂斂，設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)必必要要條條件件：、 . 0lim 2 1 發(fā)散發(fā)散則級數(shù)則級數(shù)，設(shè)設(shè)推論：推論：、 n nn n uau 兩兩

4、點點說說明明：、 3 .0lim)2( 1 收收斂斂級級數(shù)數(shù)由由 n nn n uu .(1)斷級數(shù)發(fā)散的方法斷級數(shù)發(fā)散的方法上述推論給出了一個判上述推論給出了一個判 有有界界部部分分和和數(shù)數(shù)列列收收斂斂正正項項級級數(shù)數(shù) 1 n n n Su 正項級數(shù)的審斂法正項級數(shù)的審斂法四、四、 要條件要條件正項級數(shù)收斂的充分必正項級數(shù)收斂的充分必、 1 ，且且均均為為正正項項級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè) nn n n n n vuvu 11 也收斂；也收斂；則則收斂，收斂，若若 11 )1( n n n n uv . )2( 11 也發(fā)散也發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，若若 n n n n vu 比較判別法比較判別法、 2

5、 收收斂斂收收斂斂 11n n n n vu 發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散 11n n n n uv ，且且均均為為正正項項級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè)l v u vu n n n n n n n lim 11 斂散性相同；斂散性相同；與與則則時，時，當當 11 0(1) n n n n vul 收收斂斂；則則收收斂斂，且且時時，當當 11 0)2( n n n n uvl . )3( 11 發(fā)發(fā)散散則則發(fā)發(fā)散散，且且時時，當當 n n n n uvl 比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式、 3 . 級級數(shù)數(shù)等等比比級級數(shù)數(shù)或或參參考考級級數(shù)數(shù)：p 收收斂斂；時時，當當 1 1 )1( n n ul . 1 )

6、3(不不能能確確定定其其斂斂散散性性時時，當當 l 發(fā)散；發(fā)散；時，時，或或當當 1 )( 1 )2( n n ull )( 4達朗貝爾判別法達朗貝爾判別法比值判別法比值判別法、 則則，且且為為正正項項級級數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè) lim 1 1 l u u u n n n n n 收收斂斂；時時，當當 1 1 )1( n n ul . 1 )3(不不能能確確定定其其斂斂散散性性時時，當當 l 發(fā)散；發(fā)散；時，時，或或當當 1 )( 1 )2( n n ull 根值判別法根值判別法、 5 則則，且且為正項級數(shù)，為正項級數(shù)，設(shè)設(shè) lim 1 luu n n n n n 的幾點說明：的幾點說明：關(guān)于比值與根值判

7、別法關(guān)于比值與根值判別法 . )1(不不必必找找參參考考級級數(shù)數(shù)判判別別法法優(yōu)優(yōu)點點： .1 )2(時無法判斷其斂散性時無法判斷其斂散性當當判別法缺點：判別法缺點： l . 1)3( 1 lu n n收斂 收斂由由 . )()4(采用根值判別法簡單采用根值判別法簡單時，時，當當 n n nfu )( 萊萊布布尼尼茲茲判判別別法法交交錯錯級級數(shù)數(shù)收收斂斂判判別別法法五五、 ，0lim )2( ) 2 1( )1( 1 n n nn unuu . )1( 11 1 1 nn n n n uruSu余余項項，且且其其和和收收斂斂，則則 :)0()1( 1 1 滿滿足足若若交交錯錯級級數(shù)數(shù) n n n

8、 n uu 絕絕對對收收斂斂和和條條件件收收斂斂六六、 1 絕絕對對收收斂斂：、. 11 絕絕對對收收斂斂則則稱稱收收斂斂，若若 n n n n uu 2 條條件件收收斂斂：、 . 1 11 條條件件收收斂斂則則稱稱 發(fā)發(fā)散散，但但收收斂斂，若若 n n n n n n u uu 絕對收斂的性質(zhì)絕對收斂的性質(zhì)、 3 . )1( 11 收斂收斂則則收斂，收斂，若若 n n n n uu . )2( 1 且且其其和和不不變變的的新新級級數(shù)數(shù)也也絕絕對對收收斂斂， 序序所所得得則則任任意意改改變變其其各各項項的的次次絕絕對對收收斂斂，設(shè)設(shè) n n u .)2( 1 不不成成立立條條件件收收斂斂時時，

9、性性質(zhì)質(zhì)當當說說明明： n n u .)( )( 1 1 1 00 的收斂點的收斂點項級數(shù)項級數(shù) 函數(shù)函數(shù)為為則稱則稱收斂，收斂，若數(shù)項級數(shù)若數(shù)項級數(shù)收斂點：收斂點：、 n n n n xu xxu .)( )( 2 1 1 00 的的發(fā)發(fā)散散點點項項級級數(shù)數(shù) 函函數(shù)數(shù)為為則則稱稱發(fā)發(fā)散散，若若數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散點點：、 n n n n xu xxu 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)七、七、 .)( 4 1 為收斂域為收斂域的全體收斂點的集合稱的全體收斂點的集合稱收斂域：收斂域：、 n n xu .)( 5 1 為發(fā)散域為發(fā)散域的全體發(fā)散點的集合稱的全體發(fā)散點的集合稱發(fā)散域：發(fā)散域：、 n n xu

10、 ).()( 6 1 xSxu n n 的的和和為為函函數(shù)數(shù)在在收收斂斂域域上上，和和函函數(shù)數(shù)：、 ).()(lim xSxSn n 有有在收斂域上，在收斂域上， 冪冪級級數(shù)數(shù)及及其其收收斂斂半半徑徑八八、 )( 1阿阿貝貝爾爾定定理理冪冪級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性、 . 0 n n nx a設(shè)有冪級數(shù)設(shè)有冪級數(shù) . )0()1( 0 00 0 0 絕絕對對收收斂斂時時則則當當收收斂斂，若若 n n n n n n xaxxxxa . )2( 0 1 0 1 發(fā)發(fā)散散時時則則當當發(fā)發(fā)散散，若若 n n n n n n xaxxxa 冪級數(shù)收斂半徑求法冪級數(shù)收斂半徑求法、 2 則則，且且，設(shè)有冪級

11、數(shù)設(shè)有冪級數(shù) lim 1 0 n n n n n n a a xa ；時，時，當當 1 0)1( R ；時時，當當 R 0)2( . 0 )3( R時時，當當 . min 21 RRR，令令 ，和和的的收收斂斂半半徑徑分分別別為為和和設(shè)設(shè) 21 00 RRxbxa n n n n n n 冪級數(shù)的運算冪級數(shù)的運算九、九、 代數(shù)運算代數(shù)運算、 1 ， 000 )( n n nn n n n n n n xbaxbxa). (RRx， )(1 加減法：加減法： ， 0000 )()()( n n n k knk n n n n n n xbaxbxa ). (RRx， )2(乘法：乘法： 0 0

12、n x n n dxxa . 1 1 0 n n n x n a x n n n x dxxadxxS 0 0 0 )()(即即 .) ()()1(單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)內(nèi)連續(xù)且在端點收斂時內(nèi)連續(xù)且在端點收斂時，在在RRxS . ) ()()2(且且可可逐逐項項可可積積內(nèi)內(nèi)可可積積，在在區(qū)區(qū)間間RRxS 分析運算分析運算和函數(shù)和函數(shù)、)( 2xS 0 0 n x n n dxxa . 1 1 0 n n n x n a x n n n x dxxadxxS 0 0 0 )()(即即 .) ()()1(單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)內(nèi)連續(xù)且在端點收斂時內(nèi)連續(xù)且在端點收斂時，在在RRxS . ) ()()2(且且可可

13、逐逐項項可可積積內(nèi)內(nèi)可可積積，在在區(qū)區(qū)間間RRxS .)3( )2()( 可可求求冪冪級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)、的的性性質(zhì)質(zhì)利利用用說說明明：xS 分析運算分析運算和函數(shù)和函數(shù)、)( 2xS . R為為即即所所得得級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑且且收收斂斂半半徑徑不不變變， 0 )( n n nx a. 1 1 n n nx na 0 )()( n n nx axS即即 . ) ()()3(且且可可逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在RRxS . R為為即即所所得得級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑且且收收斂斂半半徑徑不不變變， . 1 1 )1( 0 1 x x n nn 或或， x x n n 1

14、1 0 這時還需利用：這時還需利用： 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)十、十、 .)( )()( )( 1 0 0 0 0 能展開成冪級數(shù)能展開成冪級數(shù)則稱則稱，使使 ，若存在冪級數(shù)若存在冪級數(shù)函數(shù)能展開成冪級數(shù)：函數(shù)能展開成冪級數(shù)：、 xfxxaxf xxa n n n n n n 0)(lim)( ! )( )( ) ( ),()()1( 0 0 0 )( 00 xRxx n xf xf xUxUxf n n n n n 內(nèi)內(nèi)，則則在在內(nèi)內(nèi)存存在在任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，在在設(shè)設(shè) .)( )!1( )( )( 1 0 )1( n n n xx n f xR 其其中中 條件條件函數(shù)能開展成冪級數(shù)的函數(shù)能開展成

15、冪級數(shù)的、 2 即即為為泰泰勒勒級級數(shù)數(shù)， 處處能能展展開開在在點點則則，有有，使使 ，若若存存在在內(nèi)內(nèi)存存在在任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，在在設(shè)設(shè) )( )( ),( 0 ),()()2( 0 )( 0 0 xxfMxfxUx MxUxf n .)( ! )( )( 0 0 0 )( n n n xx n xf xf 幾個常見函數(shù)的展開式幾個常見函數(shù)的展開式、 3 ). ( ! 1 ! 2 1 1)1( 0 2 ， xx n xxe n nx ). ( )!12( )1( ! 3 1 sin)2( 12 0 3 ， xx n xxx n n n ). ( )!2( )1( ! 4 1 ! 2 1

16、1cos(3) 0 242 ， xx n xxx n n n ， n n n x n xxxx 1 1 32 )1( 3 1 2 1 )1ln()4( ).1 1()1(1 1 1 )5( 0 32 ， xxxxx xn nn .1 1(， x . 的的展展開開式式 求求函函數(shù)數(shù)見見函函數(shù)數(shù)的的展展開開式式得得到到所所逐逐項項積積分分等等方方法法利利用用常常 逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)、代代數(shù)數(shù)運運算算、通通過過變變量量代代換換、 4 間接展開法：間接展開法：、 EX4(2) P177、 的和的和求級數(shù)求級數(shù) 1)2( 1 nnn )2( 1 53 1 42 1 31 1 nn Sn解解： ) 2 11

17、 5 1 3 1 4 1 2 1 3 1 1( 2 1 nn ) 2 1 1 1 2 1 1( 2 1 nn ， 4 3 lim n n S. 4 3 )2( 1 1 nnn 故故 .) 1 ( 1 發(fā)散發(fā)散證明級數(shù)證明級數(shù) n n n n n n n n n n n ) 1 1( 1 lim) 1 (lim 證：證： e 1 . 0 .) 1 ( 1 發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù) n n n n EX5(3) P177、 EX1(2) P188、 . 2 sin 1 的的斂斂散散性性判判斷斷級級數(shù)數(shù) n n 22 sin ，解：解： nn ，收收斂斂又又級級數(shù)數(shù) 12n n . 2 sin 1 收斂收斂

18、級數(shù)級數(shù) n n EX2(2) P188、 . 31 2 的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù) n n n n n n n n n n n u u l 3/ 3/)1( limlim 2 12 1 解解： 2 2 3 12 lim n nn n 3 1 ，1 EX2(6) P188、 . 3 ) 1 ( 1 2 的的斂斂散散性性判判斷斷級級數(shù)數(shù) n n n n n 3 ) 1 1( limlim n n n n n ul n 解解： 3 e . 3 ) 1 ( 1 2 收收斂斂級級數(shù)數(shù) n n n n n ，1 . 31 2 收斂收斂級數(shù)級數(shù) n n n EX1(4) P194、 . ln )1(

19、 1 1 的的斂斂散散性性判判斷斷級級數(shù)數(shù) n n n n ，令令解解： x x xf ln )( . ln1 )( 2 x x xf 則則 ，時時，當當0)( xfex單調(diào)減少，單調(diào)減少，)(xf . ln 1 )1ln( 3 n n n n n 有有時時，故故當當 1 1 lim ln lim x x x xx 又又，0 . 0 ln lim n n n 所所以以 . ln )1( 1 1 收收斂斂故故級級數(shù)數(shù) n n n n EX2(8) P194、 . sin )1( 1 收收斂斂還還是是條條件件收收斂斂 是是絕絕對對若若收收斂斂，是是否否收收斂斂？判判斷斷級級數(shù)數(shù) n n n n 1

20、 sin )1( ，解：解： nn n n ，收收斂斂又又級級數(shù)數(shù) 1 ) 1 ( n 收斂，收斂，故級數(shù)故級數(shù) 1 sin )1( n n n n .且是絕對收斂且是絕對收斂 .) 1 1 ( )1( 1 1 1 的斂散性的斂散性判別判別 發(fā)散，發(fā)散，單減，單減，設(shè)正項數(shù)列設(shè)正項數(shù)列、例例 n n n n n n n a aa 單單減減且且有有下下界界，因因為為正正項項數(shù)數(shù)列列解解： n a 存在，存在，故故 n n a lim 發(fā)散，發(fā)散，又又 n n na 1 )1( ，所以所以0 a ，記記aan n lim . 0 a故故 aa l n n n n 1 1 ) 1 1 (lim，1

21、1 .) 1 1 ( n n n a 收斂收斂故故 . )!2( ) !() ! 2() ! 1( 2 1 222 nn n 的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù)、例例 ，解：解： )!2( ) !( )!2( ) !() ! 2() ! 1( 2222 n nn n n ，對級數(shù)對級數(shù) 1 2 )!2( ) !( nn nn )!2( ) !( )!1(2 )!1)(1( lim 2 2 n nn n nn l n )22)(12( )1( lim 3 nnn n n 4 1 . )!2( ) !() ! 2() ! 1( 1 222 nn n 收斂收斂故故 ，1 ，收收斂斂 1 2 )!2(

22、) !( nn nn . 3 111 收收斂斂證證明明級級數(shù)數(shù)收收斂斂，、設(shè)設(shè)正正項項級級數(shù)數(shù)、例例 n nn n n n n vuvu 收斂，收斂，證明：證明： 1 n n u. 0lim n n u n n n u u 2 lim ，0lim n n u . 1 2收 收斂斂故故 n n u. 1 2收 收斂斂同同理理 n n v ，又又 2 22 nn nn vu vu . 1 收收斂斂故故 n nnv u . 4 11 2 收收斂斂證證明明級級數(shù)數(shù)收收斂斂，設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)、例例 n n n n n u u ，證：證： 2 1 2 2 n u n u n n 收斂，收斂，又又 1 2 1

23、nn 收斂，收斂， 1 n n n u . 1 收斂收斂故故 n n n u . 5 1 收收斂斂域域求求冪冪級級數(shù)數(shù)、例例 n n n x n e n n n a a 1 lim 解解 1 lim n en n . 1 e R n e n e n n n 1 lim 1 ，e ，級數(shù)為級數(shù)為時，時，當當 )1( 1 1 n n ne x ，級級數(shù)數(shù)為為時時，當當 1 1 1 nne x ). e 1 1 ，故故收收斂斂域域為為 e .該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂 .該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散 .1 43 1 )( 6的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開為為將將、例例 x x xf )1(47 1 )( x xf解解：

24、， )1( 7 4 1 1 7 1 x ，又又)1 1( )1( 1 1 0 xx xn nn )1 1()1( 7 4 )1( 7 4 )1( 7 1 )( 0 ， xxxf n nn ). 4 11 4 3 ( )1( 7 )4( 0 1 ， xx n n n n 1 2 2 3 2 )2( 1 (1) . 1 n n n n n n ， 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性、 ， 12 (3) 1 nn n ).0( 2 1 )4( 1 a an n . )1(1 4 11 的的和和的的和和函函數(shù)數(shù)，并并求求求求冪冪級級數(shù)數(shù)、 n n n n n x n .)2( 1 3 1 的的收

25、收斂斂域域求求、 n n x n . 4 1 2 1 的的收收斂斂半半徑徑及及收收斂斂域域求求冪冪級級數(shù)數(shù)、 n n n x n 若若收收斂斂求求其其和和的的斂斂散散性性，判判斷斷，求求 ，的的部部分分和和設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)、 )2( )1( 3 13 5 1 1 1 n nn n n n n n uu Su ，因因為為解解： nn n1 1 )1( 3 發(fā)發(fā)散散，又又 2 1 nn . 1 2 3 發(fā)散發(fā)散所以所以 nn n n n n u u l 1 lim (2) 因為因為 n n n n n 2 2 )1( lim 2 1 2 2 2 2 )1( lim n n n 2 1 ，1 . 2 2

26、 2 收收斂斂所所以以 n n n 1 2 2 3 2 )2( 1 (1) . 1 n n n n n n ， 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性、 ， 12 (3) 1 nn n ).0( 2 1 )4( 1 a an n 2 1 12 lim (3) n n n 解解：，0 . 12 1 發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) nn n 1 2 2 3 2 )2( 1 (1) . 1 n n n n n n ， 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性、 ， 12 (3) 1 nn n ).0( 2 1 )4( 1 a an n ，有有時時，當當 n n aa a) 1 ( 2 1 1 )4( 收收斂斂，又又 1 ) 1 ( n n a . 2 1 1 收收斂斂所所以以 n n a 2 1 2 1 lim 10 n n a a時時，當當 ，0 . 2 1 1 發(fā)發(fā)散散所所以以 n n a 3 1 2 1 lim 1 n n a a時時，當當 ，0 . 2 1 1 發(fā)發(fā)散散所所以以 n n a 級級數(shù)數(shù)收收斂斂；時時，故故當當 1 a. 10級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散時，時，故當故當 a n n n a a 1 lim 解解 n n n n n