立體幾何易做易錯題匯編(解答題)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載立體幾何易做易錯題匯編( 解答題)湖南 周友良1. 由平面G外一點P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為ABC O為ABC的外心，求證：OP丨r 。錯解：因為 O為ABC的外心，所以 OA= OB= OC又因為PA= PB= PC, PO公用，所以 POA POB POC都全等，所以.POA= . POB= . POC= RT ，所以 OP _ :。 錯解分析：上述解法中 POA= . POB= . POC= RT ，是對的，但它們?yōu)槭裁词侵苯?呢？這里缺少必要的證明。正 解： 取 BC 的 中 點D , 連PD ,OD ,:PB 二 PC,OB =OC, BC_PD,BC_O

2、D, BC _ 面POD, BC _ PO, 同理 AB _ PO, PO _ ：.2. 一個棱長為6cm的密圭寸正方體盒子中放一個半徑為1cm的小球，無論怎樣搖動盒子，求小球在盒子不能到達的空間的體積。錯解：認(rèn)為是正方體的內(nèi)切球。用正方體的體積減去內(nèi)切球的體積。錯誤原因是空間想像力不夠。正解：在正方體的8個頂點處的單位立方體空間內(nèi)，小球不能到達的空間為：31 4兀 34813 -(13)=8 ，除此之外，8 33在以正方體的棱為一條棱的12個11 4的正四棱柱空間內(nèi)，小球不能到達的空間共為1 21 1 4-一(二12) 4 =48-12二。其他空間小球均能到達。故小球不能到達的空間3. 如圖

3、，在長方體 ABCD-ABCD 中，AB=5, AD=8 AA=4, M為 BQ 上一點，且 B1M=2,點 N 在線段 AD上,AD丄 AN 求： (1) cos(A1 D, AM )；平面A 解: (1) 以 則 D(0,8,0)直線AD與平面ANM所成的角的大?。黄矫鍭NM與平面ABCD所成角(銳角)的大小,A (0 , 0, 4) , M(5,2,4)(1) 以A為原點，AB AD AA所在直線為x軸，y軸，z軸.AD 尸(0,8,4)AM =(5,2,4)t AD AM = 0 cosA,D,AM = 0(2) 由(1)知AD丄AM又由已知 AD丄AN, . A _平面AMN垂足為N

4、.因此AD與平面所成的角即是 DAN.易知乙 DANAAiD = arcta n2(3) / A _ 平面 ABCD AN平面 AMN AA和NAi分別成為平面 ABCD平面AMN勺法向量。設(shè)平面AMN與平面ABCD所成的角(銳角)為 貝UJ - (AAi, NAiH AAiN二 AAi DJ5=arccos54點0是邊長為4的正方形 ABCD的中心，點E , F分別是AD , BC的中點沿 對角線AC把正方形 ABCD折成直二面角 D-AC- B.(I)求.EOF的大??；(n)求二面角E-OF -A的大小.垂足為解法一：(I)如圖，過點 E作EG丄ACG,過點F作FH丄AC垂足為 H,則EG

5、 二 FH =、2 , GH =2.2 C因為二面角 D-AC- B為直二面角,.EF2GH 2 EG2 FH 2 -2EG FH cos90=(2、2)2 (切2 ( .2)2 -0 =12.又在 EOF 中，OE =OF =2,/OE2+OF2_EF 2 22 +22 _(2/3)21二 cosEOF =2OE OF2漢2漢22二 NEOF =120 (n)過點 G作GM垂直于FO的延長線于點 M連EM二面角 D-AC- B為直二面角，平面 DA丄平面 BAC交線為 AC,又t EGLACEGL平面BAC GILL OF,由三垂線定理，得 EML OFEMG就是二面角E OF A的平面角.

6、1在 Rr ： EGM中 , . EGM =90：, EG = . 2 , GM OE=1,2eg tanEMG2 EMG = arctan ：/2 .GM所以，二面角 E - OF - A的大小為arctan . 2 .解法二：(I)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系O- xyz ,則 OE =(1,一1, .一一), OF =(0,2,0).OE OF.cos ：OE,OF :|OE|OF|(n)設(shè)平面OEF的法向量為ni= (1y,z). EOF =120、.由 n；O.0,n：OF.0,得、一z 二21v + 7一z = 01 y0,解得 y=0,2y =0,所以，=(1,0,-又因為平面 AO

7、F勺法向量為n2 =(0,0,1),cos ： ： m, n2 =. = arccosg II n?|3所以，二面角E-OF-A的大小為昨嗚Ci5 .斜三棱柱 ABC-A1B1C的底面是邊長為 a的正三角形，側(cè)棱長等于b, 條側(cè)棱 AA與底面相鄰兩邊 AB AC都成45角，求這個三棱柱的側(cè)面積。解：過點 B 作 BM AA 于 M,連結(jié)。皿在厶 ABMOA ACM中, v AB=AC / MABM MAC=45, MA為公用邊，ABMA ACMAMCM AMB=90, AA丄面 BHC 即平面 BMC為直j272-截面，又 BM=CM=ABsinAa , BMC周長為 2x 一 a+a=(1+

8、2 )a ,且棱長為 b, S 22側(cè)=（1+ J2 ）ab點評：本題易錯點一是不給出任何證明，直接計算得結(jié)果；二是作直截面的方法不當(dāng)， 即“過 BC作平面與 AAi垂直于 M;三是由條件“/ AiAB=/ AiAJ / AA在底面 ABC上的射影是/ BAC的平分線”不給出論證。6 如圖在三棱柱 ABC-ABC中，已知底面 ABC是底角等于30 ,底邊AC=4 3的等腰三AB與AB交于點E。角形，且 BC _ AC,BC = 2 2，面 BAC與面 ABC成45 ,1）求證：AC _ BA;2）求異面直線AC與BA的距離；3）求三棱錐B-BEC的體積。正解：證：取AC中點D,連ED,-E是A

9、B的中點，ED/ BC = 22BC _ AC, DE _ AC又 ABC是底角等于30的等腰.: , BD_AC,BN DE二DAC _ 面BDE, AC _ BE,即卩 AC _ BA解：由知 EDB是二面角B-AC-B的一個平面角，J3 ZEDB = 45 , ED = 2BD = ADtan30 =2 3 =23在=2DBE 中：EB2 二 ED2 BD2 2ED BD cos45 = 2 4 - 2 一 2 :EB2, ABDE是等腰Rt：ED BE, ED是異面直線 AC與BA的距離,為. 2連 AD,ED = EAED 二2,. AD _ BD,又AC _ 面BED ,AD 面B

10、ED, AD _ AC, AD _ 面ABC且AD = 2VB /BC3S ABC AD =3 2（BD AC） AD =3,33323VB -BEC=Vq -BEBVc JBB2=1VB-ABC23誤解：求體積，不考慮用等積法，有時，硬算導(dǎo)致最后錯解。7 .如圖，在正三棱柱 ABC-ABC中，AB=3 AA=4,M為AA的中點，P是BC上一點，且由 P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CG到M點的最短路線長為29，設(shè)這條最短路線與 OC的交點為N。求4)5)6)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；PC和NC的長；平面NMF和平面ABC所成二面角（銳角）的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）正解：正三棱柱ABC-ABCi的側(cè)面展開圖是一個長為 9,寬為4的矩形，其對角線長為.9?4 97如圖1,將側(cè)面BC旋轉(zhuǎn)120使其與側(cè)面AC在同一平面上，點P運動到點Pi的位置，連接MP，則MP就是由點P沿 棱柱側(cè)面經(jīng)過 CG到點M的最短路線。設(shè) PC= x，貝U PiC= x ,在 Rt MAPi中，（3+ x）222 = 29,x=2MCMAP1CNC =4P1A 5連接PP（如圖2），則PP就是NMP與平面ABC的交線，作