一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)－二重積分柱體

1、一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué) 多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)二重積分二重積分 柱體體積柱體體積=？ 特點(diǎn)：曲頂特點(diǎn)：曲頂. 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、取近似、求和、分割、取近似、求和、 取極限取極限”的方法的方法 D ),(yxfz 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 D ),(yxfz 1)分割分割 用任意曲線將用任意曲線將D分為分為 n 個(gè)區(qū)域個(gè)區(qū)域 n , 21 以它們?yōu)榈装亚斨w分為以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個(gè)小曲頂柱體個(gè)小曲頂柱體 2)取近似取近似 在每個(gè)在每個(gè) k , ),( kk 3)3)求和求和 n

2、 k k VV 1 n k kkk f 1 ),( ),( kk f),2,1(),(nkfV kkkk 則則中任取一點(diǎn)中任取一點(diǎn) k ),( kk 4)4)取極限取極限的的直直徑徑為為定定義義 k kk ,PPPP 2121 max)( )(max 1 k nk 令令 n k kkk fV 1 0 ),(lim 為平頂，為平頂，視視 k V D dyxf ),(定定義義 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 8.7 二重積分二重積分 一一、二二重重積積分分的的定定義義 , ),(上上的的有有界界函函數(shù)數(shù)有有界界區(qū)區(qū)域域是是定定義義在在設(shè)設(shè)Dyxf 稱稱為為積積分分變變量量yx, D y

3、xf d),( 積分區(qū)域積分區(qū)域 被積函數(shù)被積函數(shù) 面積元素面積元素 .),(上上的的二二重重積積分分在在稱稱為為Dyxf 則則有有記記作作積積元元素素在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，把把面面,dxdyd DD dxdyyxfdyxf),(),( 存存在在，二二重重積積分分 D dyxf ),( 1.),(上可積上可積在在稱稱Dyxf ,),( 上上連連續(xù)續(xù)在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域若若Dyxf.),(上可積上可積在在則則Dyxf 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 二二重重積積分分的的幾幾何何意意義義 2. , 0),( yxf若若表示：表示： D dyxf ),(為底，為底，以以D .

4、為頂?shù)那斨w的體積為頂?shù)那斨w的體積 ),(yxfz 以曲面以曲面 , 0),( yxf若若.),(值值表表示示曲曲頂頂柱柱體體體體積積的的負(fù)負(fù) D dyxf .數(shù)數(shù)和和曲曲頂頂柱柱體體體體積積的的代代 ,1),( yxfD上上特特別別地地，若若在在 為為D 的面積的面積, 則則 .1 DD dd ),(yxfz D 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 二、二重積分的性質(zhì)二、二重積分的性質(zhì) ).( 為常數(shù)為常數(shù)k 式的性質(zhì)式的性質(zhì)第一類：有關(guān)被積表達(dá)第一類：有關(guān)被積表達(dá) 的的性性質(zhì)質(zhì)第第二二類類：有有關(guān)關(guān)積積分分區(qū)區(qū)域域 （二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性

5、質(zhì)） D dyxkf ),( 1.),( D dyxfk D dyxgyxf ),(),( 2.),(),( DD dyxgdyxf .),( ),(),( 21 DDD dyxfdyxfdyxf ),( 2121 無無公公共共內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)DDDDD 估估值值性性質(zhì)質(zhì)第第三三類類：有有關(guān)關(guān)定定積積分分的的 ),(),( 1.yxgyxfD 上上若在若在.),(),( DD dyxgdyxf 則則 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 ,),( 2.上的最大、最小值上的最大、最小值在閉區(qū)域在閉區(qū)域是是、設(shè)設(shè)DyxfmM D 的面積為的面積為 , D Mdyxfm ),( 則則 （二重積分估值不

6、等式）（二重積分估值不等式） 3. (二重積分的中值定理二重積分的中值定理),(yxf設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) ,),(D 在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上上 為為D 的面積的面積 ,則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù)連續(xù), ),(),(fdyxf D 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 三、二重積分的計(jì)算（重點(diǎn)）三、二重積分的計(jì)算（重點(diǎn)） 累次積分累次積分 yyxf x x d),( )( )( 2 1 b a xd 積積分分直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下計(jì)計(jì)算算二二重重 1. )( 1 xy )( 2 xy xbo y D a y )( 1 yx )( 2 yx x d o c )()( : 21 xyx b

7、xa D 型區(qū)域型區(qū)域X 型型區(qū)區(qū)域域Y yyxf x x d),( )( )( 2 1 b a xd D dyxf ),( 若若D為為Y 型區(qū)域型區(qū)域 dyc yxy D )()( : 21 xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd D yxf d),( xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 222 1,3 1xyyxDdyxI D 軸和軸和是由是由其中其中計(jì)算計(jì)算例例 .所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 解解 0 y x11- 1 D 將將D看作看作X型區(qū)域型區(qū)域, 則則 :D 2 10 xy 11 x 2 1

8、xy dxdyyxI D 22 3 1 1 d x yyxd3 22 1 1 d x 1 1 4682 d)33(xxxxx 0 1 )( 2 32 x yx 0 2 1x 315 32 分分的的步步驟驟：將將二二重重積積分分化化成成累累次次積積 的的圖圖形形；畫畫出出積積分分區(qū)區(qū)域域 D 1) ；型型型型所所滿滿足足的的不不等等式式的的特特點(diǎn)點(diǎn)找找出出按按), (, 2)YXyxD . 3)確定積分限確定積分限選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序，選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序， 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 例例2 計(jì)算計(jì)算,d D yxI 其中其中D 是直線是直線 y1, x2, 及及 yx 所圍的閉區(qū)

9、域所圍的閉區(qū)域. 解解 x y 2 1 1 xy o 2 將將D看作看作X型區(qū)域型區(qū)域, 則則 :D I 2 1 d x yyx d 2 1 d x 2 1 2 1 3 2 1 dxxx 8 9 1 ) ( 2 2 1 x yx 1 x xy 1 21 x 2 1 d y 將將D看作看作Y型區(qū)域型區(qū)域, 則則 :D I xyx d 2 1 d y y yx 2 ) ( 2 2 1 2 1 3 2 1 d2yyy 8 9 y 2 2 xy 21 y 解二解二 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 例例3 計(jì)算計(jì)算,d D yx 其中其中D 是拋物線是拋物線 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.

10、及直線及直線 xy 2 2 xy 解解 D xy 2 2 xy 2 1 4 o y x 將將D看作看作Y型區(qū)域型區(qū)域, 則則 :D 2 2 yxy 21 y xyx d D yx d 2 1 dy 2 1 2 2 2 1 d 2 yyx y y 2 1 52 d)2( 2 1 yyyy 1 2 6 1 2 3 4 42 1 623 4 yyy y 8 45 2 y 2 y D xy 2 2 xy 2 1 4 o y x 1 yyx d D yx d或或 1 0 dx x x yyx d 4 1 dx 2 x x 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 1. 若積分域較復(fù)雜若積分域較復(fù)雜,

11、可將它分成若干可將它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域 , o x y 1 D 2 D 3 D . 321 DDDD 型型區(qū)區(qū)域域，型型區(qū)區(qū)域域又又是是若若積積分分區(qū)區(qū)域域既既是是YX 2.則可將二重則可將二重 .的的累累次次積積分分積積分分化化為為兩兩種種不不同同次次序序但實(shí)際計(jì)算時(shí)，但實(shí)際計(jì)算時(shí)， 可可能能影影響響計(jì)計(jì)算算的的繁繁簡(jiǎn)簡(jiǎn)，.要選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序要選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序 .必必要要時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)交交換換積積分分次次序序 改變下列積分的次序：改變下列積分的次序：例例 4 ;),( )1( 1 2 1 0 x x dyyxfdx .),(),( )2( 2 0 2 10 1 0 3 yy

12、dxyxfdydxyxfdy 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 x x dyyxfdx 1 2 1 0 ),( )1( :D2 1 0 x xyx 1 0 y x xy xy 1 2 1 將將D看作看作X型區(qū)域型區(qū)域, 則則 1 2 1 x x dyyxfdx 1 2 1 0 ),( xyxfd),( 2 1 0 dy 0 y xyxfd),( 1 2 1dy 0 y 1 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成: : 1 D 3 0yx 10 y : 2 D yx 20 21 y .),(),( )2( 2 0 2 10 1 0 3 yy dxyxfdydxyxfdy 0 y x 1

13、2 2 xy 2 3 xy 1 D 將將D看作看作Y型區(qū)域型區(qū)域, 則則 原式原式 yyxfd),( 1 0 dx 3 x x 2 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 驟驟：變變換換積積分分次次序序的的解解題題步步 不不等等式式組組； 的的限限寫寫出出表表示示積積分分區(qū)區(qū)域域由由所所給給累累次次積積分分的的上上下下 1)D 的的圖圖形形；區(qū)區(qū)域域依依據(jù)據(jù)不不等等式式組組畫畫出出積積分分D 2) . 3) 寫寫出出新新的的累累次次積積分分 ;),()1(: 1 0 1 0 x dyyxfdxEx 改改變變下下列列積積分分次次序序 xxx dyyxfdxdyyxfdx 2 0 2 1 2

14、0 1 0 ),(),()2( 2 xy 1 y dxyxfdy 1 0 1 0 ),()1(原原式式 xy 2 2 2xxy 1 0 2 11 2 ),()2( y y dxyxfdy原原式式 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 . 20 11 : ,| 5 2 y x DdxdyxyI D 求求例例 解解 0 y x11 2 1 D 2 D : 1 D 11 x 2 2 yx : 2 D 11 x 2 0 xy I 2 2 1 1 2 )( x dyxydx 2 0 2 1 1 )( x dyyxdx 1 1 2 22 2 ) 2 1 (dxyxy x 1 1 0 22 2 ) 2

15、 1 (dxyyx x 1 1 42 ) 2 1 22(dxxx 1 1 4 2 1 dxx 1 1 42 )22(dxxx 15 46 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 為為是是以以其其中中求求例例)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(, 6 2 2 Ddxdyex D y .頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形 析析無法用初等函數(shù)表示，無法用初等函數(shù)表示， dye y2 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序 D y dxdyex 2 2 y y dxexdy 0 2 1 0 2 dy y e y 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y ). 2 1( 6 1 e

16、 解解型型區(qū)區(qū)域域，視視為為將將再再積積只只能能先先積積YDyx, 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 .0,cos,sin 7所所圍圍成成的的圖圖形形面面積積求求曲曲線線例例 xxyxy 0 y x 2 1 解解 其中其中 為為D 的面積的面積.1 DD dd D dxdyS yd 4 0 d x xsin xcos 4 0 d)sin(cos xxx12 二重積分的幾何應(yīng)用：二重積分的幾何應(yīng)用： 求平面圖形的面積：求平面圖形的面積：)1( 求曲頂柱體的體積：求曲頂柱體的體積：)( 曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為則其體積為 D yxyxfVdd

17、),( ,),(Dyx z x y oab D xycos xysin 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 . 0, 0, 00, 0, 0, 18 cbazyx c z b y a x ，求求體體積積：例例 解解 z x y o a b c D 面面上上的的投投影影可可得得所所圍圍立立體體在在令令xoyz, 0 :D )1( b y a x cz 0 y xa b D 1 b y a x ax 0 )1(0 a x by D yxyxfVdd),( a a x b dy b y a x cdx 0 )1( 0 )1( a dx a xb x a b x a b bc 0 22 2 )

18、1( 2 2 . abc 所求立體的頂是所求立體的頂是 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 .0,19 22 所所圍圍成成立立體體體體積積求求由由曲曲面面例例 zyxz 解解 x y z o 根根據(jù)據(jù)對(duì)對(duì)稱稱性性，考慮第一卦限部分，考慮第一卦限部分， D 其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為 22 1yxz 面面上上的的投投影影可可得得所所圍圍立立體體在在令令xoyz, 0 :D 0 y x D 1 x 2 1xy D yxyxfVdd),( 1 0 1 0 22 2 )1(4 x dyyxdx 1 0 2 3 2 )1( 3 8 dxx txsin 令令 2 0 4 cos 3 8 td

19、t 1 0 2 ) 2 2cos1 ( 3 8 dt t 1 0 2 )2cos2cos 4 1 ( 3 8 dttt 16 3 3 8 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 2.極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分 sin cos ry rx 令令極極坐坐標(biāo)標(biāo)變變換換 x y yxr arctan 22 )(xfy )( rr :D 1 x 2 1xy D yxyxVdd)1( 22 2 0 1 0 2 )1(4 drrd 2 0 1 0 22 )1()1(2 rdrd 2 0 1 0 22 )1( dr 2 0 d 2 : D 2 0 10 r )sin,cos(),( rr

20、fyxf 則則 )sin,cos( D drdrrf D dyxf ),(r 0 y x D r 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 x y o k D 心心圓圓劃劃分分如如圖圖，用用一一組組射射線線和和同同 為為曲曲邊邊矩矩形形， k r r r 寬寬弧弧長(zhǎng)長(zhǎng) k rr ddrrd 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 標(biāo)標(biāo)來來計(jì)計(jì)算算時(shí)時(shí)，在在將將二二重重積積分分化化為為極極坐坐 . 1正確使用正確使用 . 是是十十分分重重要要的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示積積分分區(qū)區(qū)域域 D 步驟：步驟：換換被被積積函函數(shù)數(shù)； 1); 2) rdrddxdy 換換 . 3)確定積分上、下限確定積

21、分上、下限 )(積積分分后后對(duì)對(duì)一一般般是是先先對(duì)對(duì) r 之之內(nèi)內(nèi)；極極點(diǎn)點(diǎn)在在D 1) )( rr o D :D ,20 ).(0 rr 之之外外；極極點(diǎn)點(diǎn)在在D 2) o )( 1 rr )( 2 rr :D , ).()( 21 rrr . 3)的邊界上的邊界上極點(diǎn)在極點(diǎn)在D o D )( rr :D ).(0 rr , )( )( 2 1 d)sin,cos( r r rrrrf D rrrrf dd)sin,cos( d 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 表表示示：寫寫出出下下列列區(qū)區(qū)域域的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)例例 1 ;2 . 1 222 yx ;2 . 2 22 xyx ;a

22、 . 3 2222 byx . x-1y0 1x0 . 4 解解 ox :)1(D ,20 . 20 r 2 r ox12 cos2 r :)2(D , 22 .cos20 r ox ar br :)3(D ,20 . bra o y x 1 1 sincos 1 r :)4(D , 2 0 . sincos 1 0 r 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 例例2計(jì)算計(jì)算,d 22 D yx xdyeI| ),( 222 ayxyxD 其中其中 解解 :D 20 ar 0 0 x y ar re r d 2 I 2 0 d 0 a r a r dred 0 2 2 0 2 2 1 2

23、0 0 d 2 1 2 a r e 2 0 d)1( 2 1 2 a e)1( 2 a e 注注:利用例利用例2可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上 非常有用的反常積分公式非常有用的反常積分公式 2 d 0 2 xe x 事實(shí)上事實(shí)上, 當(dāng)當(dāng)D 為為 R2 時(shí)時(shí), D yx yxedd 22 yexe yx dd 22 2 0 d 4 2 xe x )1(lim 2 b b e sin cos ry rx 令令 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 解解 : D則則22 ar 0 rrd sincos 2 I 2 2 d 2 2 0 4 d 4 1 s

24、incos a r 2 2 4 2cos 16 a 8 4 a 0 a ar r 2 2 2sin d ;0, 0,| ),(,d)1( 222 axayxyxDxyI D .16| ),(,|4|)2( 2222 yxyxDdxdyyxI D 計(jì)算計(jì)算例例 3 0 x y 8 4 a 2 r 4 r 4| ),( 22 yxyx 1 D 164| ),( 22 yxyx 2 D 1 D 2 D 0 x y sin cos )1( ry rx 令令 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 : )2( 1 D 20 20 r 2 0 2 )4(rdrr I 2 0 d 2 0 42 ) 4

25、1 2(2rr 80 4 2 24 )2 4 1 (2rr 2 r 4 r 0 x y 1 D 2 D : 2 D 20 42 r 1 D d )4( 22 yx 2 )4( 22 D dyx 2 0 d 4 2 2 )4(rdrr . 2,: 2222 平面區(qū)域平面區(qū)域 所圍所圍是由曲線是由曲線其中其中計(jì)算計(jì)算xyxDyxIEx D D cos2 r cos2 0 2 2 2 drrdI 9 32 cos 3 8 2 2 3 d 0 x y 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分柱體 路路：計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分的的基基本本思思 的圖形；的圖形；畫出積分區(qū)域畫出積分區(qū)域 D 1. ,2.選擇坐標(biāo)系選擇坐標(biāo)系點(diǎn)點(diǎn)的形狀或被積函數(shù)的特的形狀或被積函數(shù)的特根據(jù)根據(jù) D 分分；將將二二重重積積分分化化為為累累次次積積 3. . 4.作定