行列式的性質(zhì)與計算論文

1、目 錄摘 要 1 abstract 1 引 言 2 1 行列式的定義和性質(zhì) 2 1.1 行列式的定義 2 1.1.1 排列 2 1.1.2 行列式的定義 3 1.2 行列式的相關(guān)性質(zhì) 3 2 行列式的計算方法 3 2.1行列式計算的基本方法 3 2.1.1利用行列式的性質(zhì)計算 4 2.1.2 三角形法 4 2.1.3代數(shù)余子式法 5 2.1.4 加邊法6 2.1.5降階法 8 2.1.6 分塊法 9 2.2行列式計算的特殊方法 10 2.2.1遞推公式法 10 2.2.2數(shù)學歸納法11 2.2.3 分拆法 12 3 小結(jié) 13 參考文獻 14 成果聲明 15 致 謝 16 淺談行列式的相關(guān)性質(zhì)

2、及計算方法張祝波摘要：本文在歸納行列式性質(zhì)的基礎上，通過案例分析總結(jié)了計算行列式的幾種常用方法. 這些方法包括三角形法、代數(shù)余子式法、加邊法、降階法、數(shù)學歸納法和分拆法等. 在介紹各種計算方法的同時，也給出了如何根據(jù)行列式特征，恰當選擇相應計算方法的技巧.關(guān)鍵詞: 行列式性質(zhì) 行列式計算 案例分析on the determinant of the nature and common solutionzhang zhuboabstract: this paper summarized the determinant in the nature of the foundation, through

3、 the case analysis summarizes several common methods of calculating the determinant. these include triangle method、more than algebra son type method、add edge method、depression of order、mathematical induction and split method. introduced the various calculation methods at the same time, also given ho

4、w according to the determinant features, the calculation method of appropriate choice corresponding skills.keywords: determinant properties determinant calculation case analysis1引 言在中學數(shù)學和解析幾何里，我們學習過兩個未知量和三個未知量的線性方程組及其解法. 在數(shù)學研究和實際問題的解決過程中，經(jīng)常會遇到含多個未知量的線性方程組. 為了解決這些具體的問題，數(shù)學家們經(jīng)過長期的探索，萊布尼茨和關(guān)孝于十七世紀晚期對行列式概

5、念有了最初的認識，它最早出現(xiàn)在解線性方程組中. 十八世紀開始，行列式開始作為獨立的數(shù)學概念被研究. 十九世紀以后，行列式理論得到進一步發(fā)展和完善. 在引入矩陣概念后，更多有關(guān)行列式的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)，其應用領域變得更廣. 目前，人們在線性自同態(tài)和矢量組中也引入了行列式的定義1-3. 1 行列式的定義和性質(zhì)1.1 行列式的定義1.1.1 排列在一個排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么他們的排列就稱為一個逆序. 一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù). 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列；逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.例如排列2541，含有逆序21、54、41和51，逆

6、序數(shù)為4，故排列2541為偶排列.1.1.2 行列式的定義定義 階行列式 (1)等于所有取自不同列的個元素的乘積的代數(shù)和.這一定義也可以寫成： (2)1.2 行列式的相關(guān)性質(zhì)4,5性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)2 交換行列式的兩行（列），行列式改變符號.推 論 若一個行列式有兩行（列）完全相同，那么這個行列式為零.性質(zhì)3 把一個行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一個數(shù),等于數(shù)乘這個行列式.性質(zhì)4 一個行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號的外邊.性質(zhì)5 如果一個行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么這個行列式等于0.性質(zhì)6 行列式中若有兩行（列）的對應元素成比例，

7、那么這個行列式為零.性質(zhì)7 若行列式的第行元素都可以表示成，則.性質(zhì)8 行列式的某一行(列)的元素乘以同一個數(shù)后加到另一行（列）的對應元素上，行列式不變.2 行列式的計算方法為了系統(tǒng)把握行列式的計算方法，下面我們通過案例對行列式的一些計算方法進行歸納和總結(jié).2.1 行列式計算的基本方法行列式基本的解法包括：三角形法、代數(shù)余子式法、加邊法、降階法、范德蒙行列式法等6-8.2.1.1利用行列式的性質(zhì)計算行列式例1 一個階行列式的元素滿足，則稱為反對稱行列式，證明：奇數(shù)階反對稱行列式為零.證明：由知，因此, 可表示為. 由行列式的性質(zhì)知,.由于為奇數(shù)，所以，即.2.1.2 三角形法三角形法是將原行列

8、式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺竭M行計算的一種方法，它是計算行列式的常用方法之一.例2 計算如下行列式的值.分析 若直接按定義計算該行列式，計算十分繁瑣，利用行列式的性質(zhì)將其化為三角形行列式進行計算，要方便得多.解：2.1.3代數(shù)余子式法在一個階行列式中，把所在的行與列劃去后，剩下的個元素按照原來的次序組成的一個階行列式，稱為元的余子式，帶上符號稱為的代數(shù)余子式，記作.定理 .例3 計算四階行列式.證明：按第一行展開，有對等式右端的兩個3階行列式都按第3行展開可得, .2.1.4 加邊法有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進行計算，這種計算行列式的方法稱為加邊法或升階法.

9、這種方法要求加邊后必須是保值的，而且要使所得的高階行列式較易計算. 加邊法的一般做法是：.注：特殊情況取或.利用加邊法求行列式，關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子.例4 計算階行列式.分析 若行列式中主對角線的元素都減去1，則第行含有相同因子.從而就可考慮用加邊法.解：結(jié)論 若行列式某行或某列元素有相同的因子，就可以考慮使用加邊法.例5 計算4階行列式：.解： 若，則或，故.下設，加邊后得 故無論為何值，均有.2.1.5 降階法設為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有或 其中為中的元素的代數(shù)余子式.按行（列）展開法可以將一個階行列式化為個階行列式計算.若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將

10、階行列式降階直至化為許多個2階行列式計算，這是計算行列式的又一基本方法.在應用按行（列）展開法時，應利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開.例6 計算20階行列式 .分析這個行列式中沒有一個零元素，則利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果.注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應元素僅差1，因此，可按下述方法計算：解：2.1.6 分塊法 、.其中是級方陣，是級方陣.例7 計算級行列式.解：自下而上，每一行減去相鄰的上一行，然后加邊得 2.2 行列式計算的特殊方法 對一些復雜的行列式，我們需根據(jù)行列式的特點，選擇一些特殊方法進行求解. 下面介紹一些計算

11、行列式的特殊方法9-11.2.2.1遞推公式法 遞推法是根據(jù)行列式的構(gòu)造特點，建立起與的遞推關(guān)系式，逐步推下去，從而求出的值，有時也可以找到與和的遞推關(guān)系，最后利用得到的值.用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)，如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法.例8 用遞推關(guān)系求行列式：.解：將行列式按照2.1.5降階展開即而，所以，帶入上述遞推公式，可得.2.2.2數(shù)學歸納法 數(shù)學歸納法是證明（計算）行列式的常用方法. 首先建立遞推關(guān)系，當遞推關(guān)系僅涉及相鄰兩階行列式時，采用歸納法. 但是數(shù)學歸納法一般是事先知道結(jié)論，然后歸納證明. 例9 證明：.證明：用數(shù)學歸納法： 當=2

12、時，命題成立.假設對于階行列式命題成立，即.將第1列展開所以對于階行列式命題成立.2.2.3 分拆法由行列式拆項性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個行列式之和，計算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法.例10 要求下列行列式的值，設階行列式：.且滿足對任意數(shù)，求階行列式的值.分析 該行列式的每個元素都是由兩個數(shù)的和組成，且其中有一個數(shù)是，故可用拆行（列）法計算. 解：由，且，易知.因此，.3 小結(jié)我們介紹了計算行列式的幾種方法，計算行列式的方法很多，也較靈活，還有一些方法和技巧由于篇幅所限不再列舉.行列式的計算是一個很重要的問題，也是一個復雜的問題，本文僅針對實數(shù)實數(shù)域討論行列式的計算方法和計

13、算技巧，當涉及復數(shù)域時，還可利用laplace變換和歐拉公式等工具簡化行列式的計算。計算一個行列式常常有多種方法，有時計算一個行列式需要幾種方法配合使用.我們應根據(jù)行列式的特點，靈活選用方法.參考文獻:1張賢科，許甫華.高等代數(shù)m.清華大學出版社，19982張禾瑞.高等代數(shù)m.北京：高等教育出版社，1989.73 王品超.高等代數(shù)新方法m.山東教育出版社，19894盧剛，馮翠蓮.線性代數(shù)m.北京大學出版社，2006.65蘇醒僑，盧陳輝.線性代數(shù)m.冶金工業(yè)出版社，2004.96萬勇，李兵.線性代數(shù)m.上海：復旦大學出版社，2006.87林華鐵.線性代數(shù).天津大學出版社m.1994.88樊惲，鄭

14、延履，劉合國.線性代數(shù)學習指導m.北京:科學出版社，2003.29毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納m.武漢：華中科技大學出版社，2000.310宴林，范德蒙.行列式的應用j.文山師范高等?？茖W校學報，2001.1311david c.lay，劉深泉等譯線性代數(shù)及其應用m.機械工業(yè)出版社，2005.0814成果聲明 本人聲明所提交的學位論文是我在導師的指導下進行研究工作所取得的研究成果。盡我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容和致謝的地方外，本論文不包含其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含本人或他人已申請學位或其它用途使用過的成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。本學位論文若有不實或者侵犯他人權(quán)利的，本人愿意承擔一切相關(guān)法律責任。作者簽名： 日期： 年 月 日17致 謝本文是在儲昌木老師的指導下完成的，他治學嚴謹，學識淵博，視野廣闊，為我營造了一種良好的學術(shù)氛圍. 在第一次交初稿后，他為我仔細的查閱，不耐其煩的給我講解其中的錯誤，指導我在論文的深度和廣度反面不斷加強，糾正了論文的不規(guī)范格式.置身其間，耳濡目染，潛移默化，使我不僅接受了全新的思想觀念，樹立了