必修二立體幾何典型例題

1、直戰(zhàn)/平面必修二立體幾何典型例題【知識(shí)要點(diǎn)】1.空間直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系：(1)空間兩條直線(xiàn)：有公共點(diǎn)：相交，記作：a a b = a,其中特殊位置關(guān)系：兩直線(xiàn)垂直相交.無(wú)公共點(diǎn)：平行或異面.平行，記作：a/ b.異面中特殊位置關(guān)系：異面垂直.(2)空間直線(xiàn)與平面：有公共點(diǎn)：直線(xiàn)在平面內(nèi)或直線(xiàn)與平面相交.直線(xiàn)在平面內(nèi)，記作：a .直線(xiàn)與平面相交，記作：an =a,其中特殊位置關(guān)系：直線(xiàn)與平面垂直相交.無(wú)公共點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行，記作： a /.(3)空間兩個(gè)平面：有公共點(diǎn)：相交，記作： n =l,其中特殊位置關(guān)系：兩平面垂直相交.無(wú)公共點(diǎn)：平行，記作： /.2.空間作為推理依據(jù)的公理和定理：(1

2、)四個(gè)公理與等角定理：公理1 :如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi).公理2:過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直公理4:平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).(2)空間中線(xiàn)面平行、垂直的性質(zhì)與判定定理：判定定理：如果平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與此平面平行.如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行.如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么該直線(xiàn)與此

3、平面垂直.如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直.性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)該直線(xiàn)的任一個(gè)平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn) 平行.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)相互平行.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行.如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直.(3)我們把上述判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行整理，得到下面的位置關(guān)系圖：平面平面直線(xiàn)1直線(xiàn) *直線(xiàn)_l平面 一.平面,l平面【例題分析】例2 在四錐pabcd中，底面abcd是平行四邊形，m, n分別是ab, pc的中 點(diǎn)，求證：mn /平面pad.出現(xiàn)了中點(diǎn)的條件，因此可考

4、慮構(gòu)造(添加)中位線(xiàn)輔助證明.證明：方法一，取pd中點(diǎn)e,連接ae, ne.底面abcd是平行四邊形，m, n分別是ab, pc的中點(diǎn),，一1八.ma/cd, ma -cd.2 e是pd的中點(diǎn)，1八 .ne/cd, ne -cd.2 .ma/ ne,且 ma = ne, .aenm是平行四邊形，mn / ae.又ae 平面pad, mn 平面pad, .mn/平面 fad.方法二取cd中點(diǎn)f,連接mf, nf. mf / ad, nf / pd, 平面 mnf /平面pad, .mn/平面 pad.【評(píng)述】關(guān)于直線(xiàn)和平面平行的問(wèn)題，可歸納如下方法:證明線(xiàn)線(xiàn)平行：a /c, b / c,all

5、a, a 3a/ 3a%, b_l aacl 3= bn a= a, n p= ba / ba / ba / ba/ b(2)證明線(xiàn)面平行:a a a=a / ba/ 3ba, a aa 3a /aa / aa /a(3)證明面面平行:acl片a /氏 b/ 3ax, a _l 3a/，3/a, ba, a ab = aa / 3a/ 3a/ 3a/ 3例 3 在直三棱柱 abc aibici 中，aai = ac, abxac,求證：aicbci,【分析】要證明“線(xiàn)線(xiàn)垂直”，可通過(guò)“線(xiàn)面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明 aic垂直 于經(jīng)過(guò)bci的平面即可.證明：連接aci . abc a1b1c

6、1是直三棱柱，aai,平面 abc, abxaa1.又 ab ac, .ab,平面 aiacci, aicxab.又 aai = ac,，側(cè)面aiacci是正方形， aicxaci.由，得 aic,平面abci, aicxbci.【評(píng)述】空間中直線(xiàn)和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線(xiàn)面垂直”為核心展開(kāi)的.如本題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“ablac”都要將其向“線(xiàn)面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例4 在三棱錐 p-abc中，平面pabl平面 abc, abxbc, api pb,求證：平面pac ，平面pbc.【分析】要證明“面面垂直”，可通過(guò)“線(xiàn)面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而“線(xiàn)面垂直”又 可 以通過(guò)“線(xiàn)線(xiàn)垂直”進(jìn)

7、行轉(zhuǎn)化.證明： 平面 pabl平面 abc,平面 paba平面 abc = ab,且 abxbc, .bcl平面 pab, apxbc.又 api pb, .apl平面 pbc又ap 平面pac,，平面pac，平面 pbc.【評(píng)述】 關(guān)于直線(xiàn)和平面垂直的問(wèn)題，可歸納如下方法:證明線(xiàn)線(xiàn)垂直：a c, b ii c,a ab aa ba b(1)證明線(xiàn)面垂直:a m, ana b, b aa /3, a 3a_l3,acl 3= lm, n a, man = aa3, alla aa aa aa a(1)證明面面垂直:a，& a aa_l 3例5如圖，在余三棱柱 abcaibici中，側(cè)面a1ab

8、b1是菱形，且垂直于底面 abc, /aiab = 60 , e, f 分別是 ab1, bc 的中點(diǎn).(i)求證：直線(xiàn)ef/平面a1acc1;(n)在線(xiàn)段ab上確定一點(diǎn)g,使平面efgl平面abc,并給出證明.證明：(i )連接a1c, a1e.側(cè)面a1abb1是菱形，e是ab1的中點(diǎn)，1- e也是ab的中點(diǎn)，又f是bc的中點(diǎn)，ef / a1c.i a1c 平面 a1acc1, ef 平面 a1acc1,直線(xiàn) ef /平面 a1acc1.(2)解：當(dāng) 當(dāng) 1時(shí)，平面efgl平面abc,證明如下：ga 3連接eg, fg.;側(cè)面a1abb1是菱形，且/ aab=60 ,a1ab是等邊三角形.e

9、 是 a1b 的中點(diǎn)，bg 1, egxab.ga 3.平面 a1abb1,平面 abc,且平面 a1abb1a平面 abc = ab,eg，平面 abc.又eg 平面efg, ,平面 efgl平面abc.例6如圖，正三棱柱 abc a1b1c1中，e是ac的中點(diǎn).(i)求證：平面 becd平面 acc1a1; (ii)求證：abi/平面 beci.【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對(duì)空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線(xiàn)幫助思考.證明：(i ).abc aibici是正三棱柱，aa平面abc, bexaai.abc是正三角形，e是ac的中

10、點(diǎn)，bexac,，be，平面acciai,又be 平 面 beci,平面bec平面acciai.(ii)證明：連接 bic,設(shè) bcia bic = d.bccibi 是矩形，d 是 bic 的中點(diǎn)，de / abi.又de 平面beci, abi平面beci,.abi/平面 beci .例7 在四棱錐 p-abcd中，平面 pad，平面 abcd, ab/dc, pad是等邊三角形，已知 bd=2ad = 8, ab 2dc 475.(i )設(shè)m是pc上的一點(diǎn)，證明：平面 mbd，平面fad;(ii)求四棱錐p abcd的體積.【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從

11、 m是pc上 的動(dòng)點(diǎn)分析知，mb, md隨點(diǎn)m的變動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此可考慮平面mbd內(nèi)“不動(dòng)”的直線(xiàn)bd是否垂直平面 pad.證明：(i)在4abd中，由于 ad=4, bd=8, ab 475 ,所以 ad2+bd2=ab2.故 adbd.又平面pad，平面 abcd,平面 pad n平面 abcd = ad, bd 平面 abcd,所以bd，平面pad,又bd 平面mbd,故平面 mbd，平面 pad.(n )解：過(guò) p作polad交ad于o,由于平面 pad，平面 abcd,所以po,平面 abcd.因此po為四棱錐p-abcd的高，又 pad是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.因此 po 223 4

12、2/3.在底面四邊形 abcd中，ab/dc, ab=2dc,所以四邊形abcd是梯形，在rtaadb中，斜邊ab邊上的高為 4_8 85 ,即為 4、55梯形abcd的高，所以四邊形abcd的面積為s 2汽 4 *5 皚 24.故 25vp abcd 1 24 2 3 16.3.練習(xí)、選擇題：i.已知m, n是兩條小同直線(xiàn)，, 是二個(gè)不同平囿，卜列命題中正確的是()(a)若 m /, n / ，則 m h/ n(b)若 m.,n，,則 m / n(c)若 ,，則/(d)若 m ii,m/,貝 u /2.已知直線(xiàn)m, n和平面 ，,且 mn, m,則()(a)n(b) n /,或n(c)n(d

13、) n /,或n3.設(shè)a, b是兩條直線(xiàn)， 、是兩個(gè)平面，則a，b的一個(gè)充分條件是()(a)a,b/,(b)a, b,/(c)a,b,/(d)a, b/,4.設(shè)直線(xiàn)m與平面 相交但不垂直，則下列說(shuō)法中正確的是()(a)在平面 內(nèi)有且只有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)m垂直(b)過(guò)直線(xiàn)m有且只有一個(gè)平面與平面垂直(c)與直線(xiàn)m垂直的直線(xiàn)不可能與平面平行(d)與直線(xiàn)m平行的平面不可能與平面垂直二、填空題：5 .在三棱錐 p abc 中，pa pb 6 ,平面 pabl平面 abc, fax pb, abxbc, /bac=30 ,貝u pc =.6 .在直四棱柱 abcd aibicidi中，當(dāng)?shù)酌?abcd滿(mǎn)足

14、條件 時(shí)，有aicbidi.(只 要求寫(xiě)出一種條件即可)7 .設(shè)， 是兩個(gè)不同的平面，m, n是平面 ， 之外的兩條不同直線(xiàn)，給出四個(gè)論斷：m,n n，m，以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出正確的一個(gè)命題 .8 .已知平面，平面 ， n =|,點(diǎn)ac , a l,直線(xiàn) ab/ l,直線(xiàn) acl,直線(xiàn) m/,m/,給出下列四種位置： ab/ m；ac，m；ab/; ac ,上述四種位置關(guān)系中，不一定成立的結(jié)論的序號(hào)是 .三、解答題：9 .如圖，三棱錐 pabc的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是 1的等邊三角形，m, n分別為pa, bc 的中點(diǎn).(i )求mn的長(zhǎng)；(ii)求證：faxbc.

15、10 .如圖，在四面體 abcd中，cb=cd, adxbd,且e、f分別是 ab、bd的中點(diǎn).求 證：(i )直線(xiàn)ef /平面acd ;(n)平面efc,平面 bcd.11 .如圖，平面abefl平面abcd,四邊形abef與abcd都是直角梯形，/bad = / fab 一一_ 1 1 一=90 ,bc/ad, bc ad,beaf,be af , g, h 分別為 fa, fd 的中點(diǎn).22(i)證明：四邊形 bchg是平行四邊形；(n)c, d, f, e四點(diǎn)是否共面？為什么？(m)i ab=be,證明：平面 adel平面 cde.專(zhuān)題七立體幾何參考答案練習(xí)一、選擇題：1. b 2.

16、d3. c4. b二、填空題：5. j106. ac，bd(或能得出此結(jié)論的其他條件 )7.、；或、8.三、解答題：9 . ( i )解：連接 mb, mc. 三棱錐p-abc的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是 1的等邊三角形，mb mc 23l 且底面 abc也是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形n 為 bc 的中點(diǎn)，mnxbc.在 rtmnb 中，mn jmb2 bn2 苧(n)證明：: m是pa的中點(diǎn)， raxmb,同理 paxmc. . mbnmc=m, . pal平面 mbc, 又 bc 平面 mbc,pax bc.10 .證明：(i).e、f分別是ab、bd的中點(diǎn)，. ef 是 abd 的中位線(xiàn)，ef/ad.

17、acd.又ef 平面acd, ad 平面acd,直線(xiàn) ef/平面(n)v ef / ad, ad bd, ，ef，bd.,. cb = cd, f 是 bd 的中點(diǎn)，cfxbd. cfnef=f, .bd，平面 cef.bd 平面bcd,平面 efc，平面 bcd.2 ad，gh / bc, gh = bc,11. (i)由題意知，fg = ga, fh = hd, . . gh /ad, gh1 一 又 bc / ad, bc -ad ,2，四邊形bchg是平行四邊形.（n）c, d, f, e四點(diǎn)共面.理由如下：_ .由 be/af, bf af,g 是 fa 的中點(diǎn)，2得 be / fg,且 be= fg.ef / bg .由（i ）知b