高等數(shù)學(xué)：二重積分的計(jì)算法（1）

1、如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋? bxa ).()( 21 xyx X型型 )( 2 xy a b D )( 1 xy D b a )( 2 xy )( 1 xy 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)( 1 x )( 2 x ,ba 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法(1) 一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 為曲頂?shù)闹w的體積為曲頂?shù)闹w的體積 為底，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以 ),( ),( yxf zDdyxf D 應(yīng)用計(jì)算應(yīng)用計(jì)算“平行截平行截 面面積為已知的立面面積為已知的立 體求體積體求體積”的方法的方法, z y x )( 2

2、 xy )( 1 xy ),( yxfz )( 0 xA 得得 .),(),( )( )( 2 1 D b a x x dyyxfdxdyxf ab 0 x d 如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋?,dyc ).()( 21 yxy Y型型 )( 2 yx )( 1 yx D c d c d )( 2 yx )( 1 yx D .),(),( )( )( 2 1 D d c y y dxyxfdydyxf X型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直軸的直 線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). Y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)

3、域且平行于x軸的直軸的直 線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). 若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，則必須分割則必須分割. 在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別 使用積分公式使用積分公式 . 321 DDDD 3 D 2 D 1 D 注注 ）二重積分化累次積分的步驟）二重積分化累次積分的步驟 畫域，選序，定限畫域，選序，定限 ）累次積分中積分的上限不小于下限）累次積分中積分的上限不小于下限 ）二重積分化累次積分定限是關(guān)鍵，積分限）二重積分化累次積分定限是關(guān)鍵，積分限 要根據(jù)積分區(qū)域的形狀來(lái)確定，這首先要畫好要根據(jù)積分區(qū)域的形狀來(lái)確定，這首先要畫好 區(qū)域的草圖，區(qū)域的草

4、圖，畫好圍成畫好圍成D的幾條邊界線，的幾條邊界線， 若是若是X型，型， 就先就先 y 后后 x 若是若是Y型，就先型，就先 x 后后 y ， 注意內(nèi)層積分限是外層積分變量的函數(shù)，外層注意內(nèi)層積分限是外層積分變量的函數(shù)，外層 積分限是常數(shù)。積分限是常數(shù)。 例例 1 1 改改變變積積分分 x dyyxfdx 1 0 1 0 ),(的的次次序序. 解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖 xy 1 原原式式 y dxyxfdy 1 0 1 0 ),(. 例例 2 2 改改變變積積分分 xxx dyyxfdxdyyxfdx 2 0 2 1 2 0 1 0 ),(),( 2 的的次次序序. 解解 積分區(qū)域如圖積分區(qū)

5、域如圖 xy 2 2 2xxy 原原式式 1 0 2 11 2 ),( y y dxyxfdy. 例例3 計(jì)算計(jì)算 D dxdyxy 2 D 2 ,xyxy 10 2 x xyx 解一解一 D：X型型 11 2 2 xy 2 11yx 2 1 11yx 2 2 11yx D 2 xy D 1 0 63 1 0 22 40 1 )( 3 1 2 dxxxx dyydxdxdyxy D x x 解二解二D 10y yxy Y型型 1 0 22 1 0 2 40 1 )( 2 1 dyyyydxxydyI y y 例例4 計(jì)算計(jì)算 D xyyxyDdxdy x y 1, 2,:, 2 2 x y o

6、 yx 解解 D 21 1 y yx y Y型型 I = 2 1 1 2 2 y y dx x y dy 若先若先 y 后后 x 由于由于D的下邊界曲線在的下邊界曲線在 x 的不同范的不同范 圍內(nèi)有不同的表達(dá)式，圍內(nèi)有不同的表達(dá)式， 須分片積分，計(jì)算較麻煩。須分片積分，計(jì)算較麻煩。 2 1 32 4 9 )(dyyyy 2 1 2 1 2 1 x y o 1xy 2y yx 1x 由以上兩例可見，為了使二重積分的計(jì)算較為由以上兩例可見，為了使二重積分的計(jì)算較為 方便，究竟選用哪一種積分次序主要由積分區(qū)域的方便，究竟選用哪一種積分次序主要由積分區(qū)域的 特點(diǎn)來(lái)確定，在積分區(qū)域的表達(dá)式中選取比較簡(jiǎn)單

7、特點(diǎn)來(lái)確定，在積分區(qū)域的表達(dá)式中選取比較簡(jiǎn)單 的一組，從而確定相應(yīng)的公式，同時(shí)還要兼顧被積的一組，從而確定相應(yīng)的公式，同時(shí)還要兼顧被積 函數(shù)的特點(diǎn)，看被積函數(shù)對(duì)哪一個(gè)變量較容易積分，函數(shù)的特點(diǎn)，看被積函數(shù)對(duì)哪一個(gè)變量較容易積分， 總之要兼顧積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)。總之要兼顧積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)。 例例5 計(jì)算計(jì)算 D xy xyyxxDdxdyye1, 2, 2, 1:, 解解 D是是X型區(qū)域型區(qū)域 2 1 2 1 x xydy yedxI 要分部積分，不易計(jì)算要分部積分，不易計(jì)算 D 1 2ox y 1 2 若先若先 x 后后 y 則須分片則須分片 2 1 2 1 xy 1 2 1 2

8、 y 1 xy dxyedydxyedyI 易見盡管須分片積分，但易見盡管須分片積分，但 由于被積函數(shù)的特點(diǎn)，積由于被積函數(shù)的特點(diǎn)，積 分相對(duì)而言也較方便。分相對(duì)而言也較方便。 例例6 6 改改變變積積分分)0(),( 2 0 2 2 2 adyyxfdx aax xax 的的次次序序. 解解axy2 2 2xaxy 22 yaax D 原式原式= ayaa a y dxyxfdy 0 2 22 2 ),( aa yaa dxyxfdy 0 2 22 ),( .),( 22 2 2 a a a a y dxyxfdy a2a a2 a 例例 7 7 求求 D dxdyyx)( 2 ，其中，其中

9、D是由拋物線是由拋物線 2 xy 和和 2 yx 所圍平面閉區(qū)域所圍平面閉區(qū)域. 解解 兩兩 曲曲 線線 的的 交交 點(diǎn)點(diǎn) ),1 , 1( ,)0 , 0( 2 2 yx xy 2 xy 2 yx D dxdyyx)( 2 1 0 2 2 )( x x dyyxdx dxxxxxx)( 2 1 )( 42 1 0 2 . 140 33 例例8 求求 D y dxdyex 2 2 ，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(為頂點(diǎn)的三角形為頂點(diǎn)的三角形. 解解 dye y2 無(wú)法用初等函數(shù)表示無(wú)法用初等函數(shù)表示 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序 D y dxd

10、yex 2 2 y y dxexdy 0 2 1 0 2 dy y e y 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y ). 2 1( 6 1 e 2 xy 2 yx 例例10 計(jì)算計(jì)算 D xyxyDdxdy x xy 2,:, 1 ) 1sin( 2 解解 根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn) 1 4 -1 2應(yīng)先對(duì)應(yīng)先對(duì) x 后對(duì)后對(duì) y 積分積分 dx x xy dyI y y 2 1 2 2 1 ) 1sin( 但由于但由于 1 ) 1sin( x x 對(duì)對(duì) x 的積分求不出，無(wú)法計(jì)算，的積分求不出，無(wú)法計(jì)算， 須改變積分次序。須改變積分次序。 x y 先先 y 后

11、后 x 有有 dy x xy dx x x 4 12 1 ) 1sin( dx x x xx 1 )1sin( )2( 2 1 0 2 4 1 dx x x xx 4 1 2 1 )1sin( )45( 2 1 4 1 )1sin()4( 2 1 dxxx )3sin3( 2 1 dy x xy dxI x x 1 0 1 ) 1sin( 奇函數(shù)奇函數(shù) 1 4 -1 2 x y xy xy 2 xy 化二重積分為累次積分時(shí)選擇積分次序的化二重積分為累次積分時(shí)選擇積分次序的 重要性，有些題目?jī)煞N積分次序在計(jì)算上難易程重要性，有些題目?jī)煞N積分次序在計(jì)算上難易程 度差別不大，有些題目在計(jì)算上差別很大，甚至度差別不大，有些題目在計(jì)算上差別很大，甚至 有些題目對(duì)一種次序能積出來(lái)，而對(duì)另一種次序有些題目對(duì)一種次序能積出來(lái)，而對(duì)另一種次序 卻積不出來(lái)卻積不出來(lái) 另外交換累次積分的次序：先由累次積分另外交換累次積分的次序：先由累次積分 找出二重積分的積分區(qū)域，畫出積分區(qū)域，交找出二重積分的積分區(qū)域，畫出積分區(qū)域，交 換積分次序，寫出另一種次序下的累次積分。換積分次序，寫出另