線性代數(shù)基本定理

1、 線性代數(shù)基本定理一、矩陣的運算1.不可逆矩陣的運算不滿足消去律AB=O,A也可以不等于O2.矩陣不可交換3.常被忽略的矩陣運算規(guī)則4.反稱矩陣對角線元素全為04.矩陣逆運算的簡便運算方法1. 特殊矩陣的乘法A對角矩陣乘以對角矩陣，結(jié)果仍為對角矩陣。且：B上三角矩陣乘以上三角矩陣，結(jié)果為上三角矩陣2.矩陣等價的判斷任何矩陣等價于其標準型3.左乘初等矩陣為行變換，右乘初等矩陣為列變換如：m*n的矩陣，左乘m階為行變換，右乘n階為列變換4. 給矩陣多項式求矩陣的逆或證明某個矩陣可逆如：，證明(A+2I)可逆。把2I項挪到等式右邊，左邊湊出含有A+2I的一個多項式，在確保A平方項與A 項的系數(shù)分別為

2、原式的系數(shù)情況下，看I項多加或少加了幾個。5.矩陣的分塊進行計算加法：分塊方法完全相同矩陣乘法（以A*B為例）：A的列的分法要與B行的分法一致，如：如紅線所示：左邊矩陣列分塊在第2列與第3列之間，那么，右邊矩陣分塊在第二行與第三行之間至于藍線，如何畫，畫不畫，只畫在哪個矩陣里都無所謂，分塊數(shù)只決定了最后結(jié)果矩陣的行列，并不能決定矩陣是否能做乘法的原則性問題。求逆：如果均可逆，若，則反塊對角陣也一樣，把反對角線上的矩陣求逆。求轉(zhuǎn)置：塊轉(zhuǎn)置，每一塊里面的也要轉(zhuǎn)置6.把普通線性組合式寫成矩陣形式二、行列式的計算計算一般行列式時需注意：A 代數(shù)余子式的正負B 初等變換用等號，行列式的值可能變化1. 特

3、殊形狀行列式上下三角行列式、反上下三角行列式det(kA)= det(A)det(AB)=det(A)det(B)塊對角行列式（用拉普拉斯展開定理證明）2. 一般行列式的計算原則A.按0多的行或者列展開，進行行列式的降階B.行列式中一行（列）出現(xiàn)加法的，可變成兩個行列式C.行列式如果某一行（列）有公因子的，可以提出來其中，B點最容易被忽略掉！例題：已知abcd=1不用計算每一個行列式值為多少，觀察發(fā)現(xiàn)此式正好得03. 范德蒙德行列式注意：范德蒙德行列式第一行（列）從1開始到n-1次方，從上到下或從左到右升冪不同底數(shù)來說，右邊減左邊或下邊減上邊，這就是i和j的用處4. 幾種n階行列式的巧算辦法：

4、見筆記本5. 克拉默法則：解決伴隨矩陣問題的好方法。還要了解行列式按某行展開，如果對被展開行的每列來說，代數(shù)余子式乘的是其他行的代數(shù)余子式，則展開后值為0，這樣，線性方程組的求解問題就可以證出來（把逆用伴隨表示）6. 矩陣的秩：可以回到定義，秩為r，就說明至少存在一個r階子式不為0，所有r+1階子式全為0三、空間解析幾何1. 易忽略的基礎(chǔ)知識點的坐標的實質(zhì)：過一個點向幾個軸做垂面空間一點在線上的投影問題就可以做這條線的垂面，再連接交點，同樣，線和向量的在直線上的投影向量就是兩點的投影，注意，如果直接說投影，那么它是一個數(shù)，可以為負。方向余弦：與坐標軸正方向的夾角的余弦投影：外積與混合積得幾何意

5、義，注意，外積的模才是平行四邊形面積，而混合積的絕對值為平行六面體體積外積用來構(gòu)建與兩個向量都垂直的向量，即法向量混合積的記法，向量共面，混合積為0，a b c，b c a，c a b這三種順序結(jié)果都相同 2平面的方程點法式，一般式：xyz誰系數(shù)為0，就與哪個軸平行，D=0平面過原點,如果平面既過原點又與某個軸平行，那么它一定通過這個軸截距式點法式和點向式化為截距式，算截距即可三點式一般不用3. 直線的方程點向式m,n,p哪個為0，直線就與這個等式里面的哪個變量所對應(yīng)的軸垂直（在與那個軸平行的平面上）。直線的方向余弦就是方向向量的方向余弦。參數(shù)式 用一個參數(shù)就可以確定x,y,z 三個變量。用在

6、求直線與平面交點中比較簡單,其中(m,n,p)就是方向向量！還可以求過某一點與另外一條已知直線垂直的直線一般式用兩個平面相交的方程組表示方程的轉(zhuǎn)化參數(shù)式=點向式 t的系數(shù)就是方向向量，加的常數(shù)就是定點。點向式=一般式 目的是方便表示過這條直線的平面束。三個等號，兩兩聯(lián)立，變成兩個方程。加括號變?yōu)榉匠探M即可參數(shù)式=一般式參數(shù)式先變?yōu)辄c向式，再變?yōu)橐话闶近c向式=參數(shù)式 令三個比例=t一般式=點向式 方法1：任取一滿足方程的點，為定點。平面法向量叉乘為直線方向向量。方法2：任取兩點，直接求方程一般式=參數(shù)式方法1：一般式先變?yōu)辄c向式，再變?yōu)閰?shù)式方法2（較簡單）：對平面方程初等行變換，令自由變量=t

7、4. 位置關(guān)系和向量關(guān)系的轉(zhuǎn)化平面與平面的位置關(guān)系平面與平面平行（包括重合）如果重合，有：平面與平面相交 平面與平面垂直法向量垂直平面與平面的夾角余弦（銳二面角）法向量余弦的絕對值平面束過兩平面交線的平面方程（如果參數(shù)為一個，不包括參數(shù)后面的平面本身）點到平面的距離 平面與直線的位置關(guān)系直線與平面的夾角直線平面法向量夾角余弦值的絕對值就是直線與平面夾角的正弦值直線與平面相交，平行，過平面直線的方向向量與平面法向量內(nèi)積不為0相交，否則如果把直線經(jīng)過的定點滿足平面方程，則線面平行，否則直線過平面直線與平面垂直直線的方向向量與平面法向量平行直線與直線的位置關(guān)系兩直線夾角它們方向向量的夾角兩直線平行（

8、包括重合）方向向量平行。如果不重合，則可在其中一條直線上任取兩點，如果它們不都在或都不在另一條直線上，呢么兩直線不重合兩直線垂直方向向量垂直兩直線相交兩直線共面，不平行兩直線間距離：先用兩直線方向向量做叉乘構(gòu)造公垂線的方向向量，然后再把兩直線上的定點做連線向剛剛構(gòu)建的方向向量上投影兩直線共面，異面兩個定點（）構(gòu)成的一個向量，兩個方向向量。這三個向量混合積為0，就共面反之異面點到直線的距離M為線上一點 為線上另一點，到直線的距離為：,想那個平行四邊形四、n維向量空間預備知識：AX=b的矩陣表示和向量表示或者如下表示定理1.有一個解唯一一種表示方法，有無數(shù)解無數(shù)表示方法2. 向量組等價其中一個向量

9、組的每一個向量都可以用另外一個向量組表示等價具有自反性，傳遞性，對稱性3. 線性相關(guān)與線性無關(guān)1.包含0向量或相同向量的任意一個向量組線性相關(guān)2兩個向量組線性相關(guān)的充要條件是分量對應(yīng)成比例（，中共線）中，三個向量組線性相關(guān)，則它們共面3 .a1, a2, , an線性相關(guān)AX=0有非0解，當向量個數(shù)等于向量維數(shù)時，det(A)=04. 向量個數(shù)大于向量維數(shù)，向量組一定線性相關(guān)。（相當于未知量個數(shù)大于方程個數(shù)）5. 對于一個向量組，局部線性相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則局部無關(guān)6. 一組向量線性無關(guān)，多了一個變成線性相關(guān)，則多的哪一個可以用其他向量線性表示，表示式唯一（解方程時，多的那個向量系數(shù)肯定

10、不是0）7. 向量組的任意兩個最大無關(guān)組都等價（于原向量組）8. 再求向量組的秩時初等變換線性相關(guān)性不變對應(yīng)著方程組的解不變9. 設(shè)向量組可由向量組線性表示，且線性無關(guān)，則（系數(shù)矩陣K為s*r，必須讓方程的個數(shù)多一些）10若向量組I可由向量組II線性表示則R(I)=R(II)，如果兩個向量組等價，則它們的秩相等11. 方程AX=b有解，則11.幾個關(guān)于秩的四個不等式R(AB)=min(R(A),R(B) （和定理9的不等式有關(guān)）若,則R(A)+R(B)=n （和基礎(chǔ)解系有關(guān)）R(A+B)=n，試證det(AB)=03.，求AX=b通解三、向量組的最大無關(guān)組通過初等變換就可以求出最大無關(guān)組判斷最

11、大無關(guān)組向量組里的每一個向量均可由最大無關(guān)組表出五、特征值與特征向量定理1. 如果是A在特征值下的幾個特征向量，那么的線性組合也是A在特征值下的一個特征向量.線性組合組成特征子空間所以在求特征向量時，一定要有系數(shù)k（多解）2. 三角矩陣（包括對角矩陣）特征值就是對角線上元素3. 是矩陣A的k重特征值，則對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量不超過k，特征向量的個數(shù)為A的維數(shù)與特征矩陣的秩之差，為n-R(I-A)4. 如果是A在特征值下的特征向量，那么是f(A)在特征值f()下的特征向量5. 某矩陣特征值的和為矩陣的跡，積為矩陣的行列式。（給特征值求行列式是一個知識點）因此有了以下命題： A可逆A的任何一個特

12、征值不為06. 相似矩陣具有相同的特征多項式，相同的特征值，相同的行列式、相同的跡（解決代參數(shù)的矩陣相似問題很快）、相同的秩。7. A與B相似=與相似，多項式f(A)與f(B)相似8. n階矩陣A與對角陣相似A有n個線性無關(guān)的特征向量不同特征值的特征向量線性無關(guān)，所有特征值的特征向量構(gòu)成一個向量組，它們線性無關(guān)9. 兩兩正交的非零向量組線性無關(guān)10. A為正交矩陣A的行列向量組都是標準正交向量組11. 實對稱矩陣不同特征值的特征向量兩兩正交應(yīng)用這個定理，可以在已知其他兩個特征值得特征向量的情況下，求出第三個特征值對應(yīng)的特征向量方法：1.證明某值（向量）是否為特征值（特征向量），可以帶入等式，也

13、可以帶入特征方程。 2.證明矩陣相似（充要）： 1.（具體證明）證明兩矩陣特征多項式相同（兩矩陣特征值相同，說明他們相似于同一個對角陣，根據(jù)相似的傳遞性）2.（抽象證明）找可逆的P，3.兩個矩陣同時相似于第三個矩陣3. 向量的內(nèi)積表示: 4.判斷n階方陣是否可以對角化：有n個不同的特征值或n個線性無關(guān)的特征向量，則一定能對角化k重特征值下有k個特征向量，當然，只用驗證k=2的情況，看矩陣的秩是否等于n-k4. 線性無關(guān)向量組的標準正交化再把單位化六、二次型二次型的合同變換：方法1. 二次型化為標準型配方法：f (x1, x2 , x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2 x3形如此類二次型令正交變換法（實質(zhì)是讓中間的變成對角陣）：配方法為什么一定是可退化？因為方程可反解合同變換法：X=CY，因此特征值就是標準型的系數(shù)2. 正定矩陣判斷(0)充要條件1. A的特征值全部為正數(shù)2. n元二次型的正慣性指數(shù)為n3. A與I合同（有了標準型，化為規(guī)范性，正定，對角線都是正1）4. A的各階順序主子式為正，即：判斷不正定：矩陣A對角線上的數(shù)有一個不03. 探究曲面的形狀平行截割法、旋轉(zhuǎn)法柱面少了一個變量，少哪個變量，母線就與哪個變量平行4. 求旋轉(zhuǎn)曲面的方程繞著哪個軸旋轉(zhuǎn)，哪個變量不變，把另一個變量替換為不含所繞軸的兩個變