自動控制原理第七章

1、 非線性系統(tǒng)的分析第7章 對于非線性系統(tǒng)可以建立對應的非線性微分方程。然 而由于非線性特性類型不同，非線性微分方程的解析異常 困難，對其是沒有通用的解析方法的。在理論研究時總是 盡可能地將非線性問題在合理的情況下進行線性化處理線性化處理。 “小偏差法小偏差法”是常用的線性化方法之一。 “小偏差法”是以泰勒級數(shù)為數(shù)學基礎的，然后得到變量對平衡點 的線性增量方程。 “小偏差法”的適用條件：系統(tǒng)正常工作時有一個平衡工作點 (X0,Y0 )，且在(X0,Y0 )附近小范圍變化；非線性函數(shù)在平衡點(X0,Y0 )處 各階導數(shù)存在（從圖上反映為，必須是一個光滑的曲線）。 對于某些嚴重的非線性，則不能進行求

2、導運算，因而不能使用“小 偏差法”，只能作為非線性問題來處理。如繼電器特性、間歇特性 等。 小偏差法小偏差法 UriR dt di di id )( RiU 00 1 2 2 2 0)()( ! 1 .)()( ! 2 1 )( 000 n n ii n n iiii Ri di d n i di d i di d i di d ii 0 )(0 iL 0 iL 0 UrUUr0 iii0 iL 0 UrUiiRiL dt d 00)()(0 UriR dt id L UrRi dt di L (1) 鐵芯線圈的電流與磁鏈的關系為非線性，線圈的微分方程為 (2) 在平衡點i0附近區(qū)域內的磁鏈可

3、用泰勒級數(shù)展開，即 (3) 忽略掉高階無窮小項及余項，得到近似式 用增量的形式表示 (4) 將原方程中的輸入電壓、磁鏈、電流均用平衡點附近的增量形式表示，則有 (5) 在實際使用中，常常略去 增量符號寫成以下最終形式： 鐵芯線圈的線性化微分方程注意Ur、I 都是在平衡點的微小增量，L是平衡點處線圈的電感值。 小偏差法線性化的例子小偏差法線性化的例子 UriR dt di di id )( 7.2.1 典型非線性特性典型非線性特性 也稱死區(qū)，當輸入信號在零位附近的某一小范圍之內時，沒 有相應的輸出信號；只有當輸入信號大于此范圍時，才有輸 出信號。含有死區(qū)特性元件的系統(tǒng)，可以提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性， 但

4、增加了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，導致系統(tǒng)跟蹤精度的降低。 不靈敏區(qū)特性不靈敏區(qū)特性 不靈敏區(qū)的特性曲線不靈敏特性的等效增益曲線 當輸入信號超過某一范圍后，輸出信號不再隨輸入信號而變化，將 保持某一常數(shù)值。含有飽和特性元件的系統(tǒng)在大信號作用下將使系 統(tǒng)開環(huán)增益有所減小，一定程度上提高了系統(tǒng)的平穩(wěn)性，然而卻降 低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。 飽和特性飽和特性 飽和特性曲線 飽和特性的等效增益曲線 也稱回環(huán)，機械傳動中為保證齒輪轉動靈活不卡齒，主動輪、從動 輪齒輪之間必須有適當?shù)拈g隙存在，使得兩者不能同步運轉，即從 動輪滯后主動輪。含有間隙特性的系統(tǒng)，其輸出相位滯后于輸入相 位，從而減小了系統(tǒng)的相穩(wěn)定裕度，使系統(tǒng)的穩(wěn)定

5、性變壞，同時增 大了系統(tǒng)的穩(wěn)差。 間隙特性間隙特性 齒輪間隙間隙特性的等效增益曲線 繼電器線圈上的電壓大于某個數(shù)值時，觸點吸合；線圈上的電壓 小于某個數(shù)值時，觸點釋放；其吸合、釋放的電壓可能不同，因 而繼電特性中包含了死區(qū)、回環(huán)和飽和特性。利用繼電特性可以 使被控制的執(zhí)行電動機工作在額定或最大電壓下，從而充分發(fā)揮 其調節(jié)系統(tǒng)設計能力，實現(xiàn)快速跟蹤。帶死區(qū)、飽和的繼電特性 會降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，但可以提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性。 繼電器特性繼電器特性 繼電器特性曲線 （a）理想繼電特性 （b）具有死區(qū)、飽和的繼電特性 （c）具有回環(huán)的繼電特性（d）具有死區(qū)、回環(huán)的繼電特性 7.2.2 非線性系統(tǒng)特性非線性

6、系統(tǒng)特性 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應的性質不僅與系統(tǒng)本身的結構和元件非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應的性質不僅與系統(tǒng)本身的結構和元件 特性有關，而且與系統(tǒng)初始條件也有關。因而對非線性系統(tǒng)，不能籠統(tǒng)地講特性有關，而且與系統(tǒng)初始條件也有關。因而對非線性系統(tǒng)，不能籠統(tǒng)地講 系統(tǒng)是否穩(wěn)定。系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 非線性系統(tǒng)中，除了發(fā)散和收斂兩種運動形式外，還會發(fā)生自激振蕩，非線性系統(tǒng)中，除了發(fā)散和收斂兩種運動形式外，還會發(fā)生自激振蕩， 即無外界作用時系統(tǒng)自身產生的具有一定振幅和頻率的振蕩。有時同一系統(tǒng)即無外界作用時系統(tǒng)自身產生的具有一定振幅和頻率的振蕩。有時同一系統(tǒng) 還可能產生不止一種振幅和頻率的自激振蕩。

7、還可能產生不止一種振幅和頻率的自激振蕩。 非線性系統(tǒng)的輸入信號為正弦函數(shù)，其穩(wěn)態(tài)輸出信號通常是包含高次諧非線性系統(tǒng)的輸入信號為正弦函數(shù)，其穩(wěn)態(tài)輸出信號通常是包含高次諧 波的非正弦周期函數(shù)，且周期與輸入信號相同。波的非正弦周期函數(shù)，且周期與輸入信號相同。 對于非線性系統(tǒng)是沒有一種通用的方法來處理的，且不能用線性微分方對于非線性系統(tǒng)是沒有一種通用的方法來處理的，且不能用線性微分方 程來描述，在研究時也不一定要對暫態(tài)過程進行求解，而常將討論的重點放程來描述，在研究時也不一定要對暫態(tài)過程進行求解，而常將討論的重點放 在系統(tǒng)是否穩(wěn)定？會不會產生自激振蕩及如會產生，其振幅和頻率為多少在系統(tǒng)是否穩(wěn)定？會不會

8、產生自激振蕩及如會產生，其振幅和頻率為多少?如如 何消除自激振蕩等。何消除自激振蕩等。 1 2 3 4 7.3.1 非線性元件的描述函數(shù)非線性元件的描述函數(shù) 1 11 2 1 2 1 1 1 tg)( B A A BA A Y AN 0 0 A因為本部分討論的典型非線性特性都是奇對稱的，所以 ， 則輸出的基波分量為 將y（t）用傅氏級數(shù)表示 tAtxsin)(，那么將設 1 0 1 0 )sin()sincos()( n nn n nn tnYAtnBtnAAty )(sin)( 1 )(cos)( 1 2 0 2 0 ttdntyB ttdntyA n n 式中 n n nnnn B A B

9、AY 122 tg n n nnnn B A BAY 122 tg )sin(sincos)( 11111 tYtBtAty 1 11 1 2 1 2 11 tg B A BAY 式中 稱為非線性元件的描述函數(shù)非線性元件的描述函數(shù)，它表示當非線性元件的輸入信號為正弦函數(shù)時，輸出信號 的基波分量與輸入信號在幅值和相位上的相互關系，類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性。 N（A）表示非線性元件，G（s）表示線性元件。 7.3.2 非線性特性的描述函數(shù)非線性特性的描述函數(shù) 非線性特性非線性特性 描描 述述 函函 數(shù)數(shù) 非線性特性非線性特性 描描 述述 函函 數(shù)數(shù) )A(N 1 )j (G 0)j (G)A(N

10、1 7.4.1 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 7.4.2 非線性系統(tǒng)結構的簡化非線性系統(tǒng)結構的簡化 )( 1 AN)( 2 AN )(AN)( 1 AN)( 2 AN )( 1 AN)( 2 AN )()()( 21 ANANAN 若兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，可將兩個環(huán)節(jié) 的特性歸化為一個特性，即以第一個非線性 環(huán)節(jié)的輸入和第二個非線性環(huán)節(jié)的輸出分別 作為歸化后非線性特性的輸入和輸出，從而 作出等效非線性特性。注意，若兩個非線性 特性的描述函數(shù)分別為 和 ，等效非 線性的描述函數(shù)為 絕不等于 和 的 乘積，并且串聯(lián)非線性環(huán)節(jié)的次序不可交換。 對于多個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，其處理方法可以 按

11、照串聯(lián)的次序，先歸化前兩個非線性環(huán)節(jié)， 等效后的非線性特性再與第三個環(huán)節(jié)進行歸 化變換。 若兩個并聯(lián)的非線性環(huán)節(jié)其描述 函數(shù)分別為 和 ，則并聯(lián)后的 等效非線性環(huán)節(jié)的描述函 數(shù) 。 系統(tǒng)的線性部分與前面所講的現(xiàn) 性系統(tǒng)的等效變換一樣，簡化的原則 是信號的等效變換，但對于非線性的 處理要遵循1、2的處理原則。 7.4.3 利用非線性特性改善控制系統(tǒng)的性能利用非線性特性改善控制系統(tǒng)的性能 某系統(tǒng)的控制特性如a)中曲線所示，是二階振蕩曲線。通過線性校正(添加局 部反饋環(huán))得到了曲線，可見超調量沒有了，系統(tǒng)也不振蕩了，但快速性是上述幾 條中最差的。在系統(tǒng)中加入非線性環(huán)節(jié)，使得系統(tǒng)的響應曲線變?yōu)椋陧憫?/p>

12、起始 階段具有很好的快速性，在快要達到控制目標時通過死區(qū)特性的作用使穩(wěn)定性得以 保證。 7.4.4 綜合舉例綜合舉例 圖示控制系統(tǒng)方框圖中含有一個繼電特性 的非線性元件，其參數(shù)是31Ba， 試完成以下要求：（1）分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性； （2）若不使系統(tǒng)產生自激振蕩，該繼電特性應如何調整。 22 1 1 12 1 4 )( AAA a A B AN 2 A 1 -112 A )A(N 1 A AN A AN )( 1 1 )( 1 解：1將繼電特性的參數(shù)代入相應公式得到： 0 )( )( )( 1 A a AN )( 1 AN 6 根據(jù) ，求得的極值為 j 1251250 5012 1251250 3 ) 1j)(1j 50 (j 2 )j (G 24 2 24 . ).( . 6670 3 2 1251250 3 )j (ReG 2 24 2 . . 3 2 2 14 )( 14 ) 1 22 A a a B A a A a B A N(A )( 1 AN 22 2 1 aA A a 處，即 )( jG 2調整繼電特性使系統(tǒng)不產生自激振蕩的極值點（該點處有 ）應小于與實軸的交點，即 a B 4