一致連續(xù)函數(shù)的判定數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

1、一致連續(xù)函數(shù)的判定摘要：函數(shù)在區(qū)間i上的一致連續(xù)性與連續(xù)是兩個不同的概念,后者是一個局部性概念,前者具有整體性質(zhì),它刻畫了函數(shù)f(x)在區(qū)間i上變化的相對均勻性.給出了幾個判別函數(shù)一致連續(xù)性的方法,本文是通過連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)尋求一致連續(xù)函數(shù)的判定十五種判別方法.關(guān)鍵詞：函數(shù)；連續(xù) ；一致連續(xù) ；收斂引言: 函數(shù)的一致連續(xù)是數(shù)學(xué)分析中的一個重要概念.連續(xù)是考察函數(shù)在一個點的性質(zhì)而一致連續(xù)是考察函數(shù)在一個區(qū)間的性質(zhì).以一致連續(xù)比連續(xù)的條件要嚴格，在區(qū)間上一致連續(xù)的函數(shù)則一定連續(xù)，但連續(xù)的函數(shù)不一定一致連續(xù)。因此我去總結(jié)了通過函數(shù)的連續(xù)性尋找一些函數(shù)一致連續(xù)的判別法.一、基本概念與定理定義（一致連續(xù)）

2、：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，當時，有，則稱函數(shù)在上一致連續(xù)。注：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，當時，有，則稱函數(shù)在區(qū)間上不一致連續(xù)。（定理）：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，則在區(qū)間上一致連續(xù)。二、有限區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的判定定理1： 函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在上連續(xù)。定理2： 函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在上連續(xù)且，都存在。證明： 必要性，因為函數(shù)在上一致連續(xù)，即：對對，且，有，顯然函數(shù)在上連續(xù)，且對對，當時，當然，有。根據(jù)柯西收斂準則，存在。同理可證，存在。充分性， 因為，都存在，分別設(shè)為和，構(gòu)造函數(shù)： 顯然在上連續(xù)，由定理1可知：在上一致連續(xù)，從而在上一致連續(xù)。推論1：函數(shù)在（）上一致連續(xù)的充

3、要條件是函數(shù)在（）上連續(xù)，且（）存在。推論2： 若函數(shù)在有限區(qū)間上連續(xù)，單調(diào)，有界，則函數(shù)在上一致連續(xù)。定理3： 設(shè)在區(qū)間（是有限區(qū)間或無窮區(qū)間）連續(xù)，則在內(nèi)閉一致連續(xù)。即，在上一致連續(xù)。結(jié)論的正確性有定理直接可得。用此條件能解決很多關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的證明題。其解題思路是把開區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到閉區(qū)間上，從而利用定理。定理4： 若函數(shù)在及都一致連續(xù)，則在上一致連續(xù)。注：改為時，結(jié)論也成立。證明：已知函數(shù)在與一致連續(xù)，即：， 且 ，有；， 且，有。于是，有：，且，當：1）且，有； 2）且，有； 3）， 且，（，）有即函數(shù)在上一致連續(xù)。定理5： 函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是任給中收斂數(shù)列，函數(shù)列也收斂。

4、證明： 必要性，由于函數(shù)在上一致連續(xù)，故對于當，且時，有設(shè)是中任一收斂數(shù)列，由柯西條件對上述的時，當時，有，故。所以，函數(shù)列也收斂。 充分性，假設(shè)在上不一致連續(xù)，即，對（取），且，而 （1）且有界，故存在收斂子列。由 （），故中相應(yīng)的子列也收斂，且與極限相同，因此數(shù)列也收斂于相同極限，于是數(shù)列也收斂。故當足夠大時，與（1）矛盾，假設(shè)不成立。即函數(shù)在上一致連續(xù)。定理6： 函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是任給，時， （1）證明：“必要性”，設(shè)函數(shù)在上一致連續(xù)，則，當且時，。所以 （2）當，時，（2）式成立，故（1）式成立?！俺浞中浴?，設(shè)，當時，則， ，使得當時 有。所以函數(shù)在上一致連續(xù)。注：此命題提供

5、了一個直觀觀察一致連續(xù)的辦法：在圖象上最陡的地方，若，則，一致連續(xù)；若在某處無限變陡，則非一致連續(xù)。三、無限區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的判定定理1： 若函數(shù)在（）上連續(xù)且， （，）都存在，則函數(shù)在（）上一致連續(xù)。證明：已知存在，根據(jù)柯西收斂準則，有，有；又已知函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則函數(shù)在上一致連續(xù)，即對上述的，（使），且，有于是，且（使），有即函數(shù)在上一致連續(xù)。推論1： 若函數(shù)在（）上連續(xù)，且（）存在，則函數(shù)在（）上一致連續(xù)。推論2： 若函數(shù)在上連續(xù)且，都存在，則函數(shù)在上一致連續(xù)。定理2： 定義在上的連續(xù)函數(shù)，若當時，有水平漸近線，則在上一致連續(xù).證明：由于有水平漸近線知：存在，根據(jù)柯西收斂準則：，當時

6、，有 （1）因在上連續(xù)，所以在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，對如上的，當且時，有 （2）現(xiàn),只要,若.則由(1)知若,則由(2)知若分別屬于與,則,故 綜上所述，在上一致連續(xù)。注： 此定理的結(jié)論可推廣到無窮區(qū)間或上.定理3： 定義在上的線性函數(shù) 必在內(nèi)一致連續(xù).證明：，要使，只要，取，當時，有 故 在內(nèi)一致連續(xù)。定理4： 設(shè)在上連續(xù)，若當時，以直線為斜漸近線，則在上一致連續(xù)。證明： 設(shè)，則由已知可得：在上連續(xù)。因以直線為斜漸近線，所以 即由定理2可知： 在上一致連續(xù).又由定理3知：在上一致連續(xù).故在上一致連續(xù).注：此定理的結(jié)論也可推廣到無窮區(qū)間或上。推論：若函數(shù)在上連續(xù)且曲線：存在不垂直于軸的漸近

7、線，則函數(shù)在上一致連續(xù).定理5： 若函數(shù)在區(qū)間（可開，可半開，可有限或無限）可導(dǎo)，且在有界，則函數(shù)在上一致連續(xù).證明：設(shè)， （），當時，根據(jù)微分中值定理，存在點介于與之間，使得： 即在上一致連續(xù)。定理6：若函數(shù)與在區(qū)間可導(dǎo)，且，則：當在上一致連續(xù)時，在上一致連續(xù).證明：已知在一致連續(xù)，即，當時，有： 根據(jù)柯西中值定理，存在介于與之間，使得： 所以 即 在上也一致連續(xù)。定理7：設(shè)函數(shù)為區(qū)間上連續(xù)的周期函數(shù)，則在上一致連續(xù).證明： 設(shè)為的周期，則在區(qū)間上一致連續(xù)，即：對，只要，就有： 現(xiàn)取，滿足，則必存在整數(shù)，使得： ，且故，于是故 即在上一致連續(xù).定理8： 設(shè)，均在上連續(xù)，存在，且，則在上一致連

8、續(xù)。證明： 對于，因為，所以由函數(shù)極限定義可知： ，當時，有待添加的隱藏文字內(nèi)容3又因為存在，設(shè)，所以由函數(shù)極限定義可知：，當時，有。所以取，當時，有 且 取，因為在上連續(xù)，所以在上一致連續(xù)。 在上，（使），對于，只要，就有：所以在上一致連續(xù)。故在上一致連續(xù)。定理9：設(shè)在上連續(xù)，在上一致連續(xù)，且，則在上一致連續(xù)。證明：對于任意的，因為，所以，當時，就有。又因為在上連續(xù)，所以在上連續(xù)，故在上一致連續(xù).又因為在上一致連續(xù)，所以在上一致連續(xù)。故（使），對于，只要，就有所以對于，只要，就有 所以在上一致連續(xù)所以在上一致連續(xù)。參考文獻1呂通慶 編著. 一致連續(xù)與一致收斂. 北京:人民教育出版社，1981

9、2復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系 編著. 數(shù)學(xué)分析. 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2002.3裴禮文 編著. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 . 北京: 高等教育出版社,2006.4毛羽輝 編著. 數(shù)學(xué)分析選論. 北京:科學(xué)出版社，2003.5冉凱.關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性證明的幾個方法.西安聯(lián)合大學(xué)學(xué)報，2002.6劉玉璉 編著. 數(shù)學(xué)分析講義練習(xí)題選解. 北京: 高等教育出版社,1996.7李惜雯 編著. 數(shù)學(xué)分析（一元函數(shù)部分）要點與解題.西安：西安交通大學(xué)出版社，2006.determination of the same continuous function inner mongolia normal unive

10、rsity mathematics scientific institute 07 level of mongolian classesinstructs teacher siqinabstract: this article has given several criterion function uniform continuity method. the function uniform continuity is in a mathematical analysis important concept, is the recognition difficulty. the function in the sector uniform continuity with is two entirely different concepts continuously, the latter is a topicality concept, the former has the bulk properties, it has portrayed the function the relative homogeneity which changes in the sector. t