數(shù)列典范題目整編答案解析

1、數(shù)列經(jīng)典題目集錦、構造法證明等差、等比 類型一：按已有目標構造1、 數(shù)列a n，bn，c n滿足：bn = an 2an + 1 , Cn = an + 1 + 2an +2 2 , n N*.(1) 若數(shù)列an是等差數(shù)列，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2) 若數(shù)列bn, Cn都是等差數(shù)列，求證：數(shù)列an從第二項起為等差數(shù)列；(3) 若數(shù)列bn是等差數(shù)列，試判斷當 b1 + a3 = 0時， 數(shù)列an是否成等差數(shù)列？證明你的結論.類型二：整體構造2、 設各項均為正數(shù)的數(shù)列 an的前n項和為Sn,已知a1= 1，且(Sn +1 + X)an= (Sn + 1)an+1對一切n N 都成立.(1)

2、若A= 1，求數(shù)列an的通項公式；(2) 求泊勺值，使數(shù)列an是等差數(shù)列.二、兩次作差法證明等差數(shù)列3、 設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1 1, a2 6, a3 11 ,且(5n 8)Sn 1 (5n 2)SnAn B,n N*,(其中 A,B 為常數(shù)).(1)求A與B的值；(2)求數(shù)列an為通項公式；三、數(shù)列的單調(diào)性4.已知常數(shù)0 ,設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足：ai1 ,Sn1葩 Sn3n1an 1( n N* )an(1 )若0，求數(shù)列 an的通項公式；1（2 ）若an 1丄外對一切n N*恒成立，求實數(shù)的取值范圍.248.這三項經(jīng)適當排序3 2n 1 4n 6

3、,5設數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前 n項和為Sn,若a5 64，S5 S3（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）對于正整數(shù) k,m,l （ k m l），求證：“ m k 1且 I k 3 ”是“ 5ak,am,ai 后能構成等差數(shù)列”成立的充要條件；（3）設數(shù)列bn滿足：對任意的正整數(shù)n，都有abazbn1asbn2川anb且集合Mn|bn,n N 中有且僅有3個兀素，求的取值范圍an四、隔項（分段）數(shù)列問題6.已知數(shù)列an中，a1 = 1 , an+1 =_an + n3（n為奇數(shù)）an 3n (n為偶數(shù))（1）是否存在實數(shù) 入使數(shù)列a2n 片是等比數(shù)列？若存在,求出泊勺值；若不存在

4、，請說明理由;若Sn是數(shù)列an的前n項的和，求滿足Sn 0的所有正整數(shù)n.“隔項等差”數(shù)列.7.若bn滿足：對于n N，都有bn 2 bn d （d為常數(shù)），則稱數(shù)列bn是公差為d的（I）若G 3,0 17 , Cn是公差為8的“隔項等差”數(shù)列，求Cn的前15項之和;（H）設數(shù)列 an滿足：a a，對于n N，都有a. a. 1 2n .求證：數(shù)列 an為“隔項等差”數(shù)列，并求其通項公式;設數(shù)列an的前n項和為Sn，試研究：是否存在實數(shù)a，使得S2k、S?k 1、S?k 2成等比數(shù)列(k N*)? 若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由.五、數(shù)陣問題8.已知等差數(shù)列an、等比數(shù)列bn滿足a

5、i + a2 = a3, bib2 = b3，且a3, a2 + bi, ai + b2成等差數(shù)列，ai, a2, b2成等比數(shù)列.(1) 求數(shù)列an和數(shù)列bn的通項公式；(2) 按如下方法從數(shù)列an和數(shù)列bn中取項：第1次從數(shù)列an中取ai,第2次從數(shù)列bn中取bi, b2,第3次從數(shù)列an中取a2, a3, a4,第4次從數(shù)列bn中取b3, b4 , b5 , b6 ,第2n i次從數(shù)列an中繼續(xù)依次取2n i個項,第2n次從數(shù)列bn中繼續(xù)依次取2n個項，由此構造數(shù)歹U6:ai, bi , b2 ,a2 ,a3 ,a4 , b3 , b4 , b5 , b6 ,a5,a6 ,a7 , a8

6、 ,a9 ,b7 , b8 , b9 ,b i0 ,bii , bi2 ,，記數(shù)列Cn的前n項和為Sn.求滿足Sn2)是公差為一d 的等差數(shù)列.(14分)bn = an 2an+1,令 n = 1, a1 2a2 = a3, 即卩 a1 2a2 + a3 = 0 ,數(shù)列an是公差為一d 的等差數(shù)列.(16分)(證法 2) - bn = an 2an +1, b 1 + a3 = 0,令 n = 1 , a1 2a2= a3,即卩 a1 2a2 + a3= 0, (12 分)-bn+1 an+ 1 2an+2 , bn + 2an+2 2an+ 3,-2bn +1 bn bn+ 2 = (2an

7、 + 1 an an + 2) 一 2(2 an + 2一 an + 1 an + 3).T 數(shù)列bn是等差數(shù)列，2bn +1 b n b n + 2 = 0 ,-2an +1 an an + 2 = 2(2 an+ 2一 an +1 an + 3). (14 分)a 1 2a2 + a3 = 0， 2an+1 an an+2 = 0,數(shù)列an是等差數(shù)列.(16分)2.解析：(1)若入=1，則(Sn +1 + 1)an = (Sn + 1)an+1 , a1 = S1 = 1.Sn + 1 + 1a n+ 1 an 0 , Sn 0 , =, (2 分)Sn 十 IanS2 + 1 S3 +

8、1Sn+ 1 + 1 a2 a3an+ 1S1+ 1 S2 + 1 Sn + 1a 1 a2an 化簡，得 Sn + 1 + 1 = 2an + 1.(4 分) 當 n2 時，Sn + 1 = 2an.an +1一，得 an+1 = 2an, = 2(n2). (6 分)an/當n= 1時，a2 = 2 , n = 1時上式也成立，數(shù)列an是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，an = 2n- 1(n N*). (8分)(2)令 n = 1，得 a2 =入 +1.令 n = 2，得 a3=(入 + 1)2.(10 分)要使數(shù)列an是等差數(shù)列，必須有 2a2 = a1 + a3,解得X= 0.(11分

9、)當入=0 時，Sn+ 1an = (Sn + 1)an + 1，且 a2 = a1 = 1.當 Fl 2 時，Sn + 1 (Sn 一 Sn- 1) = (Sn + 1)( Sn +1 一 Sn),Sn + 1Sn + 1整理，得 Sn + Sn = Sn +1 Sn -1 + Sn+ 1 ,=, (13 分)Sn 1 + 1SnS2 + 1 S3 + 1 Sn + 1S3 S4Sn + 1從而 = ,S1+ 1 S2 + 1Sn 1+ 1S2 S3Sn 化簡，得 Sn + 1 = Sn + 1 , an + 1 = 1.(15 分)綜上所述，an = 1(n N ),入=0時，數(shù)列an是等

10、差數(shù)列.(16分)3.解析：(1)由 a11, a26, a311，得 S11, S27, S318 .把n 1,2分別代入（5n 8）Sn 1(5n2)SnAnB,A B 28得，解得，A 20,B8 .2A B 48(2)由知，5n (Sn1 Sn) 8Sn12Sn20n8即 5nan 1 8Sn 1 2Sn20n8,又 5(n 1)an 2 8Sn 2 2Sn 120( n1) 8-得，5(n1)an 2 5nan 18an 22an 120,即(5n 3)an 2(5n 2)an 120 .又(5n2)an 3(5n7)an 220.-得，(5n2)(an 3 2a. 2 an 1)0

11、,0 ,5n 2A0 ,- an 3 2an 2 an 1又 a3a25，所以 a3 2a2 at因此，數(shù)列an是首項為1，公差為5的等差數(shù)列.故an15(n1) 5n 4.4.解析：（1）0 時,Sn 1an 1anSnan 1SnSnn-Snan an 1an， 5 1an 1 (an3a1Sn得1an3n323n323n1 3Sn相加,則Sn- Sn則邑a2aa113n- an1 an一, anan.Sn1an 1Snan3n 1S3as32anan3n 1an 13n 1n2anS2a2321,Sn，0；& 1an3n 1 1 n 2ll|3n該式對3n 321也成立,an3n 32a

12、n11an對一切n2N*恒成立,3n1(3n123 n）對一切nN*恒成立.對一切n3n 3N*恒成立.記bn昇，則 bn bn 1 3n33332n 23n 1 34n 2 3n 63n 33n11 時，bn bn 10 ；n 2時,bnbn 1 b|b21是bn中的最大項.3綜上所述，的取值范圍是2a364a5.解析：（1）:數(shù)列 n是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，2 又-S5 & 48 ,a4 a5 8q 8q5ak, am, al這三項經(jīng)適當排序后能構成等差數(shù)列， ai，則 10 2k 2m 21 ,10 2m km k 148,ana38n 38 22n (2) (i)必要性:若2 5ak

13、?m k 12l k 1am21 k,1 21 k 1, 若2am 若2ai綜合，（ii）充分性：5a k5ak得 m kai ,am ,則 2 2m 5 2k 212m 1 k 21 k同理也不成立，1,l k 3，所以必要性成立.1, l k 3,5，左邊為偶數(shù),等式不成立,10分因為 a1bna2bn 1a3bn 2IIan bi3 2n 14n 6即 21bn22bn 123bn 2II2nbi3 2n 14n 6 ,(*)1當n 2時，2bn1 22bn223bn3 Hl1.- j2 b13 24n2 , (*)則（*）式兩邊冋乘以2,得 2 bn 123bn 224bn3III2n

14、b13 2n 1(*) _ ( * )得2bn4r2即 bn 2n 1(n2),又當n 1時，203 22102，即 01,適合bn2n1(n2),bn 2n 114分bn 2n 1bnbn12n 12n 35 2nan2n ，anan12n2n12n(3)bn 1則 5ak,am,ai 這三項為 5ak,ak 1,ak 3，即 5ak,2ak,8ak,調(diào)整順序后易知2ak,5ak,8ak成等差數(shù)列，所以充分性也成立 綜合（i）（i），原命題成立.8n 4 , ( *)2時,bnanan 10，即a2b. ai ；3 時，-an an 10，此時單調(diào)遞減, anbi又a1712，a212 .b

15、2鳥 5a38，7_16，16分6.解析：(1)設 bn= a2n 入，b n+ 1因為肓1a2n +1 +( 2n + 1)入 a2n + 2 入 3a2n 一入a2n 一入1(a2n 6n ) + ( 2n + 1)入3a2n 一入1_a2n + 1 入3.(2 分)a2n 一入1a2n + 1 入若數(shù)列a2n 心是等比數(shù)列，則必須有3=q(常數(shù)),a2n 一入1即 3 q a2n+ (q 1)入 + 1 = 0,即313q=0(q 1 )入 +1 = 03(5分)3131此時b1=a2-廠孑1 +1-2 =-6勿，所以存在實數(shù)3& ，使數(shù)列a2n心是等比數(shù)列.(6分)(注：利用前幾項，求

16、出曲勺值，并證明不扣分)1由(1)得bn是以一為首項，613為公比的等比數(shù)列，311 n -1 11 n11n 3故 bn = a2n 一=_ _ ,即 a2n =+ 一.(8 分)263=2323211 1 n-115由 a2n = a2n 1 + (2n 1)，得 a2n 1 = 3a2n 3(2 n 1) = 6n +, (10 分)32 3211 n -11 n1 n所以 a2n 1 + a2n =一 +6n + 9 = 2 6n + 9,233311 2 1 nS2n = (a1 + a2) + (a3+ a4)+ (a2n 1+ a2n)= 2+ 3 + 6(1 + 2 + + n

17、)+ 9n3331 1 n_1 一 _ 33 n (n + 1)1 n1 n=2 6 + 9n =一 一 1 3n2 + 6n =一 一3(n 1)2+ 2 , (12 分)12331 -3顯然當n N*時，S2n單調(diào)遞減.7又當 n= 1 時，S2 = - 0,38當 n = 2 時，S4=- -v 0,所以當 n 2 時，S2n0.綜上，滿足Sn 0的所有正整數(shù)n為1和2.(16分)4n7.解析：（I）易得數(shù)列Cn4n1,當n為奇數(shù)時；9,當n為偶數(shù)時.前15項之和2(17 65)7535(n) anan 12n ( n)(1 ),an 1an 22(n 1) (2)(1)(2 )得 an

18、 2an2 ( n N ).所以,an為公差為當n為偶數(shù)時，an當n為奇數(shù)時，an2的“隔項等差”數(shù)列.n 12an6分2(n1)2(n 1)當n為偶數(shù)時,Sn當n為奇數(shù)時，Sn故當n2k時,S2k由S2k2S2kS2k所以存在實數(shù)a2k2,n n2 22n 1 n211 2n21 n12 2212分S2k 1 2k2 2k22，則(2k 2k使得 Szk、S?k 1、S2k 22(k 1)2 ,2 2 2a) 2k 2(k 1)，解得 a 0.S2k 2成等比數(shù)列（k N ）16分8.解析：（1）設等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,ai +( ai + d)= ai + 2d ,依題意，得bi (biq) = biq2,解得 ai = d = i , bi = q = 2. (ai + 2d ) + ( ai + biq) = 2 (ai + d ) + bi,(ai + d ) 2 = ai (biq ),故 an= n,bn = 2n.(6 分)將ai,bi,b2記為第 i 組，a2, a3, a4, b3, b4, b5, b6 記為第 2 組，a5, a6, a7, a8, a9, b7,b8, b9, bio,bii ,bi2記為第3組，以此類推，則第 n組中，有2n i項選取