高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽平面幾何講座(非常詳細(xì))

1、第一講 注意添加平行線證題 在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫平行線.平行線是初中平面幾何最基本的,也是非常重要的圖形.在證明某些平面幾何問題時(shí),若能依據(jù)證題的需要,添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€,則能使證明順暢、簡(jiǎn)潔. 添加平行線證題,一般有如下四種情況.1、為了改變角的位置 大家知道,兩條平行直線被第三條直線所截,同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ).利用這些性質(zhì),?？赏ㄟ^添加平行線,將某些角的位置改變,以滿足求解的需要.例1 、設(shè)p、q為線段bc上兩點(diǎn),且bpcq,a為bc外一動(dòng)點(diǎn)(如圖1).當(dāng)點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到使bapcaq時(shí),abc是什么三角形？試證明你的結(jié)論.答： 當(dāng)點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到使bapcaq時(shí),abc為等

2、腰三角形.證明：如圖1,分別過點(diǎn)p、b作ac、aq的平行線得交點(diǎn)d.連結(jié)da.在dbpaqc中,顯然dbpaqc,dpbc.由bpcq,可知dbpaqc.有dpac,bdpqac.于是,dabp,bapbdp.則a、d、b、p四點(diǎn)共圓,且四邊形adbp為等腰梯形.故abdp.所以abac. 這里,通過作平行線,將qac“平推”到bdp的位置.由于a、d、b、p四點(diǎn)共圓,使證明很順暢.例2、如圖2,四邊形abcd為平行四邊形,bafbce.求證：ebaade. 證明：如圖2,分別過點(diǎn)a、b作ed、ec的平行線,得交點(diǎn)p,連pe. 由ab cd,易知pbaecd.有paed,pbec. 顯然,四邊

3、形pbce、pade均為平行四邊形.有 bcebpe,apeade.由bafbce,可知bafbpe.有p、b、a、e四點(diǎn)共圓.于是,ebaape.所以,ebaade. 這里,通過添加平行線,使已知與未知中的四個(gè)角通過p、b、a、e四點(diǎn)共圓,緊密聯(lián)系起來.ape成為eba與ade相等的媒介,證法很巧妙.2、欲“送”線段到當(dāng)處 利用“平行線間距離相等”、“夾在平行線間的平行線段相等”這兩條,?？赏ㄟ^添加平行線,將某些線段“送”到恰當(dāng)位置,以證題.例3、在abc中,bd、ce為角平分線,p為ed上任意一點(diǎn).過p分別作ac、ab、bc的垂線,m、n、q為垂足.求證：pmpnpq.證明：如圖3,過點(diǎn)p

4、作ab的平行線交bd于f,過點(diǎn)f作bc的平行線分別交pq、ac于k、g,連pg. 由bd平行abc,可知點(diǎn)f到ab、bc兩邊距離相等.有kqpn. 顯然,可知pgec. 由ce平分bca,知gp平分fga.有pkpm.于是,pmpnpkkqpq. 這里,通過添加平行線,將pq“掐開”成兩段,證得pmpk,就有pmpnpq.證法非常簡(jiǎn)捷.3 、為了線段比的轉(zhuǎn)化 由于“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊,所得對(duì)應(yīng)線段成比例”,在一些問題中,可以通過添加平行線,實(shí)現(xiàn)某些線段比的良性轉(zhuǎn)化.這在平面幾何證題中是會(huì)經(jīng)常遇到的.例4 設(shè)m1、m2是abc的bc邊上的點(diǎn),且bm1cm2.任作一直線分別交ab、a

5、c、am1、am2于p、q、n1、n2.試證：.證明：如圖4,若pqbc,易證結(jié)論成立. 若pq與bc不平行,設(shè)pq交直線bc于d.過點(diǎn)a作pq的平行線交直線bc于e.由bm1cm2,可知becem1em2e,易知 ,.則.所以,. 這里,僅僅添加了一條平行線,將求證式中的四個(gè)線段比“通分”,使公分母為de,于是問題迎刃而解.例5、 ad是abc的高線,k為ad上一點(diǎn),bk交ac于e,ck交ab于f.求證：fdaeda.證明：如圖5,過點(diǎn)a作bc的平行線,分別交直線de、df、be、cf于q、p、n、m. 顯然,.有bdamdcan. (1)由,有ap. (2)由,有aq. (3)對(duì)比(1)、

6、(2)、(3)有apaq.顯然ad為pq的中垂線,故ad平分pdq.所以,fdaeda.這里,原題并未涉及線段比,添加bc的平行線,就有大量的比例式產(chǎn)生,恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些比例式,就使ap與aq的相等關(guān)系顯現(xiàn)出來.4、為了線段相等的傳遞 當(dāng)題目給出或求證某點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí),應(yīng)注意到平行線等分線段定理,用平行線將線段相等的關(guān)系傳遞開去.例6 在abc中,ad是bc邊上的中線,點(diǎn)m在ab邊上,點(diǎn)n在ac邊上,并且mdn90.如果bm2cn2dm2dn2,求證：ad2(ab2ac2).證明：如圖6,過點(diǎn)b作ac的平行線交nd延長(zhǎng)線于e.連me. 由bddc,可知eddn.有bedcnd. 于是,benc.

7、 顯然,md為en的中垂線.有 emmn. 由bm2be2bm2nc2md2dn2mn2em2,可知bem為直角三角形,mbe90.有abcacb abcebc90.于是,bac90. 所以,ad2(ab2ac2). 這里,添加ac的平行線,將bc的以d為中點(diǎn)的性質(zhì)傳遞給en,使解題找到出路.例7、如圖7,ab為半圓直徑,d為ab上一點(diǎn),分別在半圓上取點(diǎn)e、f,使eada,fbdb.過d作ab的垂線,交半圓于c.求證：cd平分ef. 證明：如圖7,分別過點(diǎn)e、f作ab的垂線,g、h為垂足,連fa、eb.易知db2fb2abhb,ad2ae2agab. 二式相減,得db2ad2ab(hbag),

8、或 (dbad)abab(hbag).于是,dbadhbag,或 dbhbadag. 就是dhgd.顯然,egcdfh.故cd平分ef. 這里,為證明cd平分ef,想到可先證cd平分gh.為此添加cd的兩條平行線eg、fh,從而得到g、h兩點(diǎn).證明很精彩. 經(jīng)過一點(diǎn)的若干直線稱為一組直線束.一組直線束在一條直線上截得的線段相等,在該直線的平行直線上截得的線段也相等. 如圖8,三直線ab、an、ac構(gòu)成一組直線束,de是與bc平行的直線.于是,有 ,即 或. 此式表明,dmme的充要條件是 bnnc. 利用平行線的這一性質(zhì),解決某些線段相等的問題會(huì)很漂亮.例8 如圖9,abcd為四邊形,兩組對(duì)邊

9、延長(zhǎng)后得交點(diǎn)e、f,對(duì)角線bdef,ac的延長(zhǎng)線交ef于g.求證：eggf.證明：如圖9,過c作ef的平行線分別交ae、af于m、n.由bdef,可知mnbd.易知 sbefsdef.有sbecskg *5dfc. 可得mccn. 所以,eggf.例9 如圖10,o是abc的邊bc外的旁切圓,d、e、f分別為o與bc、ca、ab的切點(diǎn).若od與ef相交于k,求證：ak平分bc.證明：如圖10,過點(diǎn)k作bc的行平線分別交直線ab、ac于q、p兩點(diǎn),連op、oq、oe、of. 由odbc,可知okpq. 由ofab,可知o、k、f、q四點(diǎn)共圓,有foqfkq. 由oeac,可知o、k、p、e四點(diǎn)共

10、圓.有eopekp. 顯然,fkqekp,可知foqeop.由ofoe,可知rtofqrtoep. 則oqop.于是,ok為pq的中垂線,故 qkkp.所以,ak平分bc. 綜上,我們介紹了平行線在平面幾何問題中的應(yīng)用.同學(xué)們?cè)趯?shí)踐中應(yīng)注意適時(shí)添加平行線,讓平行線在平面幾何證題中發(fā)揮應(yīng)有的作用.練習(xí)題1. 四邊形abcd中,abcd,m、n分別為ad、bc的中點(diǎn),延長(zhǎng)ba交直線nm于e,延長(zhǎng)cd交直線nm于f.求證：bencfn.(提示：設(shè)p為ac的中點(diǎn),易證pmpn.)2. 設(shè)p為abc邊bc上一點(diǎn),且pc2pb.已知abc45,apc60.求acb.(提示：過點(diǎn)c作pa的平行線交ba延長(zhǎng)線

11、于點(diǎn)d.易證acdpba.答：75)3. 六邊形abcdef的各角相等,faabbc,ebd60,sebd60cm2.求六邊形abcdef的面積.(提示：設(shè)ef、dc分別交直線ab于p、q,過點(diǎn)e作dc的平行線交ab于點(diǎn)m.所求面積與emqd面積相等.答：120cm2)4. ad為rtabc的斜邊bc上的高,p是ad的中點(diǎn),連bp并延長(zhǎng)交ac于e.已知ac:abk.求ae:ec.(提示：過點(diǎn)a作bc的平行線交be延長(zhǎng)線于點(diǎn)f.設(shè)bc1,有adk,dck2.答：)5. ab為半圓直徑,c為半圓上一點(diǎn),cdab于d,e為db上一點(diǎn),過d作ce的垂線交cb于f.求證：.(提示：過點(diǎn)f作ab的平行線交

12、ce于點(diǎn)h.h為cdf的垂心.)6. 在abc中,a:b:c4:2:1,a、b、c的對(duì)邊分別為a、b、c.求證：.(提示：在bc上取一點(diǎn)d,使adab.分別過點(diǎn)b、c作ad的平行線交直線ca、ba于點(diǎn)e、f.)7. abc的內(nèi)切圓分別切bc、ca、ab于點(diǎn)d、e、f,過點(diǎn)f作bc的平行線分別交直線da、de于點(diǎn)h、g.求證：fhhg.(提示：過點(diǎn)a作bc的平行線分別交直線de、df于點(diǎn)m、n.)8. ad為o的直徑,pd為o的切線,pcb為o的割線,po分別交ab、ac于點(diǎn)m、n.求證：omon.(提示：過點(diǎn)c作pm的平行線分別交ab、ad于點(diǎn)e、f.過o作bp的垂線,g為垂足.abgf.)

13、第二講 巧添輔助 妙解競(jìng)賽題 在某些數(shù)學(xué)競(jìng)賽問題中,巧妙添置輔助圓?？梢詼贤ㄖ本€形和圓的內(nèi)在聯(lián)系,通過圓的有關(guān)性質(zhì)找到解題途徑.下面舉例說明添置輔助圓解初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的若干思路.1、挖掘隱含的輔助圓解題 有些問題的題設(shè)或圖形本身隱含著“點(diǎn)共圓”,此時(shí)若能把握問題提供的信息,恰當(dāng)補(bǔ)出輔助圓,并合理挖掘圖形隱含的性質(zhì),就會(huì)使題設(shè)和結(jié)論的邏輯關(guān)系明朗化.1.1 作出三角形的外接圓例1 如圖1,在abc中,abac,d是底邊bc上一點(diǎn),e是線段ad上一點(diǎn)且bed2ceda.求證：bd2cd.分析：關(guān)鍵是尋求bed2ced與結(jié)論的聯(lián)系.容易想到作bed的平分線,但因beed,故不能直接證出bd2cd.若

14、延長(zhǎng)ad交abc的外接圓于f,則可得ebef,從而獲取.證明：如圖1,延長(zhǎng)ad與abc的外接圓相交于點(diǎn)f,連結(jié)cf與bf,則bfabcaabcafc,即bfdcfd.故bf:cfbd:dc. 又befbac,bfebca,從而fbeabcacbbfe.故ebef. 作bef的平分線交bf于g,則bggf. 因gefbefcef,gfecfe,故fegfec.從而gffc. 于是,bf2cf.故bd2cd.1.2 利用四點(diǎn)共圓例2 凸四邊形abcd中,abc60,badbcd90, ab2,cd1,對(duì)角線ac、bd交于點(diǎn)o,如圖2.則sinaob_.分析：由badbcd90可知a、b、c、d四點(diǎn)

15、共圓,欲求sinaob,聯(lián)想到托勒密定理,只須求出bc、ad即可.解：因badbcd90,故a、b、c、d四點(diǎn)共圓.延長(zhǎng)ba、cd交于p,則adpabc60. 設(shè)adx,有apx,dp2x.由割線定理得(2x)x2x(12x).解得adx22,bcbp4. 由托勒密定理有 bdca(4)(22)211012. 又sabcdsabdsbcd. 故sinaob.例3 已知：如圖3,abbccaad,ahcd于h,cpbc,cp交ah于p.求證：abc的面積sapbd. 分析：因sabcbc2acbc,只須證acbcapbd,轉(zhuǎn)化為證apcbcd.這由a、b、c、q四點(diǎn)共圓易證(q為bd與ah交點(diǎn))

16、.證明：記bd與ah交于點(diǎn)q,則由acad,ahcd得acqadq.又abad,故adqabq. 從而,abqacq.可知a、b、c、q四點(diǎn)共圓. apc90pchbcd,cbqcaq, apcbcd. acbcapbd.于是,sacbcapbd.2 、構(gòu)造相關(guān)的輔助圓解題有些問題貌似與圓無關(guān),但問題的題設(shè)或結(jié)論或圖形提供了某些與圓的性質(zhì)相似的信息,此時(shí)可大膽聯(lián)想構(gòu)造出與題目相關(guān)的輔助圓,將原問題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題加以解決.2.1 聯(lián)想圓的定義構(gòu)造輔助圓例4 如圖4,四邊形abcd中,abcd,addcdbp,bcq.求對(duì)角線ac的長(zhǎng). 分析：由“addcdbp”可知a、b、c在半徑為p的d

17、上.利用圓的性質(zhì)即可找到ac與p、q的關(guān)系.解：延長(zhǎng)cd交半徑為p的d于e點(diǎn),連結(jié)ae.顯然a、b、c在d上. abcd,bcae. 從而,bcaeq.在ace中,cae90,ce2p,aeq,故 ac.2.2 聯(lián)想直徑的性質(zhì)構(gòu)造輔助圓例5 已知拋物線yx22x8與x軸交于b、c兩點(diǎn)，點(diǎn)d平分bc.若在x軸上側(cè)的a點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),且bac為銳角,則ad的取值范圍是_.分析：由“bac為銳角”可知點(diǎn)a在以定線段bc為直徑的圓外,又點(diǎn)a在x軸上側(cè),從而可確定動(dòng)點(diǎn)a的范圍,進(jìn)而確定ad的取值范圍.解：如圖5,所給拋物線的頂點(diǎn)為a0(1,9),對(duì)稱軸為x1,與x軸交于兩點(diǎn)b(2,0)、c(4,0)

18、. 分別以bc、da為直徑作d、e,則兩圓與拋物線均交于兩點(diǎn)p(12,1)、q(12,1).可知,點(diǎn)a在不含端點(diǎn)的拋物線pa0q內(nèi)時(shí),bac90.且有3dpdqadda09,即ad的取值范圍是3ad9.2.3 聯(lián)想圓冪定理構(gòu)造輔助圓例6 ad是rtabc斜邊bc上的高,b的平行線交ad于m,交ac于n.求證：ab2an2bmbn.分析：因ab2an2(aban)(aban)bmbn,而由題設(shè)易知aman,聯(lián)想割線定理,構(gòu)造輔助圓即可證得結(jié)論.證明：如圖6, 234590,又34,15,12.從而,aman.以am長(zhǎng)為半徑作a,交ab于f,交ba的延長(zhǎng)線于e.則aeafan.由割線定理有bmbn

19、bfbe(abae)(abaf)(aban)(aban)ab2an2,即 ab2an2bmbn.例7 如圖7,abcd是o的內(nèi)接四邊形,延長(zhǎng)ab和dc相交于e,延長(zhǎng)ab和dc相交于e,延長(zhǎng)ad和bc相交于f,ep和fq分別切o于p、q.求證：ep2fq2ef2.分析：因ep和fq是o的切線,由結(jié)論聯(lián)想到切割線定理,構(gòu)造輔助圓使ep、fq向ef轉(zhuǎn)化.證明：如圖7,作bce的外接圓交ef于g,連結(jié)cg.因fdcabccge,故f、d、c、g四點(diǎn)共圓.由切割線定理,有ef2(eggf)ef egefgfef ecedfcfbecedfcfbep2fq2,即 ep2fq2ef2.2.4 聯(lián)想托勒密定理

20、構(gòu)造輔助圓例8 如圖8,abc與abc的三邊分別為a、b、c與a、b、c,且bb,aa180.試證：aabbcc. 分析：因bb,aa180,由結(jié)論聯(lián)想到托勒密定理,構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形加以證明.證明：作abc的外接圓,過c作cdab交圓于d,連結(jié)ad和bd,如圖9所示. aa180ad, bcdbb, ad,bbcd. abcdcb. 有, 即 . 故dc,db. 又abdc,可知bdacb,bcada.從而,由托勒密定理,得 adbcabdcacbd,即 a2cb. 故aabbcc.練習(xí)題1. 作一個(gè)輔助圓證明：abc中,若ad平分a,則.(提示：不妨設(shè)abac,作adc的外接圓交ab于e,證

21、abcdbe,從而.)2. 已知凸五邊形abcde中,bae3a,bccdde,bcdcde1802a.求證：baccaddae.(提示：由已知證明bcebde1803a,從而a、b、c、d、e共圓,得baccaddae.)3. 在abc中abbc,abc20,在ab邊上取一點(diǎn)m,使bmac.求amc的度數(shù).(提示：以bc為邊在abc外作正kbc,連結(jié)km,證b、m、c共圓,從而bcmbkm10,得amc30.)4如圖10,ac是abcd較長(zhǎng)的對(duì)角線,過c作cfaf,ceae.求證：abaeadafac2. (提示：分別以bc和cd為直徑作圓交ac于點(diǎn)g、h.則cgah,由割線定理可證得結(jié)論.

22、)5. 如圖11.已知o1和o2相交于a、b,直線cd過a交o1和o2于c、d,且acad,ec、ed分別切兩圓于c、d.求證：ac2abae.(提示：作bcd的外接圓o3,延長(zhǎng)ba交o3于f,證e在o3上,得aceadf,從而aeaf,由相交弦定理即得結(jié)論.)6已知e是abc的外接圓之劣弧bc的中點(diǎn).求證：abacae2be2. (提示：以be為半徑作輔助圓e,交ae及其延長(zhǎng)線于n、m,由ancabm證abacanam.)7. 若正五邊形abcde的邊長(zhǎng)為a,對(duì)角線長(zhǎng)為b,試證：1.(提示：證b2a2ab,聯(lián)想托勒密定理作出五邊形的外接圓即可證得.) 第三講 點(diǎn)共線、線共點(diǎn)在本小節(jié)中包括點(diǎn)共

23、線、線共點(diǎn)的一般證明方法及梅涅勞斯定理、塞瓦定理的應(yīng)用。1、點(diǎn)共線的證明點(diǎn)共線的通常證明方法是：通過鄰補(bǔ)角關(guān)系證明三點(diǎn)共線；證明兩點(diǎn)的連線必過第三點(diǎn)；證明三點(diǎn)組成的三角形面積為零等。n(n4)點(diǎn)共線可轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線。例1、如圖，設(shè)線段ab的中點(diǎn)為c，以ac和cb為對(duì)角線作平行四邊形aecd，bfcg。又作平行四邊形cfhd，cgke。求證：h，c，k三點(diǎn)共線。證：連ak，dg，hb。由題意，adeckg，知四邊形akgd是平行四邊形，于是akdg。同樣可證akhb。四邊形ahbk是平行四邊形，其對(duì)角線ab，kh互相平分。而c是ab中點(diǎn)，線段kh過c點(diǎn)，故k，c，h三點(diǎn)共線。例2 如圖所示，菱形

24、abcd中，a=120，o為abc外接圓，m為其上一點(diǎn)，連接mc交ab于e，am交cb延長(zhǎng)線于f。求證：d，e，f三點(diǎn)共線。證：如圖，連ac，df，de。因?yàn)閙在o上，則amc=60=abc=acb，有amcacf，得。又因?yàn)閍mc=bac，所以amceac，得。所以，又bad=bcd=120，知cfdade。所以ade=dfb。因?yàn)閍dbc，所以adf=dfb=ade，于是f，e，d三點(diǎn)共線。例3 四邊形abcd內(nèi)接于圓，其邊ab與dc的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)p，ad與bc的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)q。由q作該圓的兩條切線qe和qf，切點(diǎn)分別為e，f；求證：p，e，f三點(diǎn)共線。證 ：如圖：連接pq，并在pq上取一

25、點(diǎn)m，使得b，c，m，p四點(diǎn)共圓，連cm，pf。設(shè)pf與圓的另一交點(diǎn)為e，并作qg丄pf，垂足為g。易如qe2=qmqp=qcqb pmc=abc=pdq。從而c，d，q，m四點(diǎn)共圓，于是pmpq=pcpd 由，得pmpq+qmpq=pcpd+qcqb，即pq2=qcqb+pcpd。易知pdpc=pepf，又qf2=qcqb，有pepf+qf2=pdpc+qcab=pq2，即pepf=pq2-qf2。又pq2qf2=pg2gf2=(pg+gf)(pggf)=pf(pggf)，從而pe=pggf=pgge，即gf=ge，故e與e重合。所以p，e，f三點(diǎn)共線。例4 以圓o外一點(diǎn)p，引圓的兩條切線p

26、a，pb，a，b為切點(diǎn)。割線pcd交圓o于c，d。又由b作cd的平行線交圓o于e。若f為cd中點(diǎn)，求證：a，f，e三點(diǎn)共線。證：如圖，連af，ef，oa，ob，op，bf，of，延長(zhǎng)fc交be于g。易如oa丄ap，ob丄bp，of丄cp，所以p，a，f，o，b五點(diǎn)共圓，有afp=aop=pob=pfb。又因cdbe，所以有pfb=fbe，efd=feb，而fog為be的垂直平分線，故ef=fb，feb=ebf，所以afp=efd，a，f，e三點(diǎn)共線。2、線共點(diǎn)的證明證明線共點(diǎn)可用有關(guān)定理(如三角形的3條高線交于一點(diǎn))，或證明第3條直線通過另外兩條直線的交點(diǎn)，也可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)共線的問題給予證明。例5

27、 以abc的兩邊ab，ac向外作正方形abde，acfg。abc的高為ah。求證：ah，bf，cd交于一點(diǎn)。證：如圖。延長(zhǎng)ha到m，使am=bc。連cm，bm。設(shè)cm與bf交于點(diǎn)k。在acm和bcf中，ac=cf，am=bc，mac+hac=180，hac+hca=90，并且bcf=90+hca，因此bcf+hac=180mac=bcf。從而macbcf，acm=cfb。所以mkf=kcf+kfc=kcf+mcf=90，即 bf丄mc。同理cd丄mb。ah，bf，cd為mbc的3條高線，故ah，bf，cd三線交于一點(diǎn)。例6 設(shè)p為abc內(nèi)一點(diǎn)，apbacb=apcabc。又設(shè)d，e分別是apb

28、及apc的內(nèi)心。證明：ap，bd，ce交于一點(diǎn)。證：如圖，過p向三邊作垂線，垂足分別為r，s，t。連rs，st，rt，設(shè)bd交ap于m，ce交ap于n。易知p，r，a，s；p，t，b，r；p，s，c，t分別四點(diǎn)共 圓，則apbacb=pac+pbc=prs+prt=srt。同理，apcabc=rst，由條件知srt=rst，所以rt=st。又rt=pbsinb，st=pcsinc，所以pbsinb=pcsinc，那么。由角平分線定理知。故m，n重合，即ap，bd，ce交于一點(diǎn)。例7 o1與o2外切于p點(diǎn)，qr為兩圓的公切線,其中q，r分別為o1，o2上的切點(diǎn)，過q且垂直于qo2的直線與過r且垂

29、直于ro1的直線交于點(diǎn)i，in垂直于o1o2,垂足為n,in與qr交于點(diǎn)m.證明：pm，ro1，qo2三條直線交于一點(diǎn)。證：如圖，設(shè)ro1與qo2交于點(diǎn)o，連mo，po。 因?yàn)閛1qm=o1nm=90，所以q，o1，n，m四點(diǎn)共圓，有qmi=qo1o2。 而iqo2=90=rqo1，所以iqm=o2qo1，故qimqo2o1，得同理可證。因此 因?yàn)閝o1ro2，所以有 由，得moqo1。 又由于o1p=o1q，po2=ro2，所以 ，即opro2。從而moqo1ro2op，故m，o，p三點(diǎn)共線，所以pm，ro1，qo2三條直線相交于同一點(diǎn)。3、 塞瓦定理、梅涅勞斯定理及其應(yīng)用定理1 (塞瓦(c

30、eva)定理):設(shè)p，q，r分別是abc的bc，ca，ab邊上的點(diǎn)。若ap，bq，cr相交于一點(diǎn)m，則。證：如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有, , .以上三式相乘，得.定理2 (定理1的逆定理): 設(shè)p，q，r分別是abc的bc，ca，ab上的點(diǎn)。若，則ap，bq，cr交于一點(diǎn)。證：如圖，設(shè)ap與bq交于m，連cm，交ab于r。由定理1有. 而，所以.于是r與r重合，故ap，bq，cr交于一點(diǎn)。定理3 (梅涅勞斯(menelaus)定理): 一條不經(jīng)過abc任一頂點(diǎn)的直線和三角形三邊bc，ca，ab(或它們的延長(zhǎng)線)分別交于p，q，r，則證：如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有, , .將以上三式相乘，得

31、.定理4 (定理3的逆定理): 設(shè)p，q，r分別是abc的三邊bc，ca，ab或它們延長(zhǎng)線上的3點(diǎn)。若，則p，q，r三點(diǎn)共線。定理4與定理2的證明方法類似。塞瓦定理和梅涅勞斯定理在證明三線共點(diǎn)和三點(diǎn)共線以及與之有關(guān)的題目中有著廣泛的應(yīng)用。例8 如圖，在四邊形abcd中，對(duì)角線ac平分bad。在cd上取一點(diǎn)e，be與ac相交于f，延長(zhǎng)df交bc于g。求證：gac=eac。證：如圖，連接bd交ac于h，過點(diǎn)c作ab的平行線交ag的延長(zhǎng)線于i，過點(diǎn)c作ad的平行線交ae的延長(zhǎng)線于j。對(duì)bcd用塞瓦定理，可得 因?yàn)閍h是bad的角平分線，由角平分線定理知,代入式 因?yàn)閏iab，cjad，則，。代入式得

32、.從而ci=cj。又由于aci=180bac=180dac=acj，所以aciacj，故iac=jac，即gac=eac.例9 abcd是一個(gè)平行四邊形，e是ab上的一點(diǎn)，f為cd上的一點(diǎn)。af交ed于g，ec交fb于h。連接線段gh并延長(zhǎng)交ad于l，交bc于m。求證：dl=bm.證：如圖，設(shè)直線lm與ba的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)j，與dc的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)i。在ecd與fab中分別使用梅涅勞斯定理，得， .因?yàn)閍bcd，所以， .從而，即，故ci=aj. 而，且bm+mc=bc=ad=al+ld. 所以bm=dl。例10 在直線l的一側(cè)畫一個(gè)半圓t，c，d是t上的兩點(diǎn)，t上過c和d的切線分別交l于b和a，

33、半圓的圓心在線段ba上，e是線段ac和bd的交點(diǎn)，f是l上的點(diǎn)，ef垂直l。求證：ef平分cfd。證：如圖，設(shè)ad與bc相交于點(diǎn)p，用o表示半圓t的圓心。過p作ph丄l于h，連od，oc，op。由題意知rtoadrtpah，于是有.類似地，rtocbrtphb， 則有.由co=do，有，從而.由塞瓦定理的逆定理知三條直線ac，bd，ph相交于一點(diǎn)，即e在ph上，點(diǎn)h與f重合。因odp=ocp=90，所以o，d，c，p四點(diǎn)共圓，直徑為op. 又pfc=90，從而推得點(diǎn)f也在這個(gè)圓上，因此dfp=dop=cop=cfp，所以ef平分cfd。例11 如圖，四邊形abcd內(nèi)接于圓，ab，dc延長(zhǎng)線交于

34、e，ad、bc延長(zhǎng)線交于f，p為圓上任意一點(diǎn)，pe，pf分別交圓于r，s. 若對(duì)角線ac與bd相交于t. 求證：r，t，s三點(diǎn)共線。先證兩個(gè)引理。引理1:a1b1c1d1e1f1為圓內(nèi)接六邊形，若a1d1，b1e1，c1f1交于一點(diǎn)，則有.如圖，設(shè)a1d1，b1e1，c1f1交于點(diǎn)o，根據(jù)圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)易知 oa1b1oe1d1，ob1c1of1e1，oc1d1oa1f1，從而有, ,.將上面三式相乘即得，引理2：圓內(nèi)接六邊形a1b1c1d1e1f1，若滿足則其三條對(duì)角線a1d1，b1e1，c1f1交于一點(diǎn)。該引理與定理2的證明方法類似，留給讀者。例11之證明如圖，連接pd，as，rc，b

35、r，ap，sd.由ebrepa，fdsfpa，知,.兩式相乘，得. 又由ecrepd，fpdfas，知，. 兩式相乘，得 由，得. 故. 對(duì)ead應(yīng)用梅涅勞斯定理，有 由得.由引理2知bd，rs，ac交于一點(diǎn),所以r，t，s三點(diǎn)共線。練 習(xí)a組1. 由矩形abcd的外接圓上任意一點(diǎn)m向它的兩對(duì)邊引垂線mq和mp，向另兩邊延長(zhǎng)線引垂線mr，mt。證明：pr與qt垂直，且它們的交點(diǎn)在矩形的一條對(duì)角線上。2. 在abc的bc邊上任取一點(diǎn)p，作pdac，peab，pd，pe和以ab，ac為直徑而在三角形外側(cè)所作的半圓的交點(diǎn)分別為d，e。求證：d，a，e三點(diǎn)共線。3. 一個(gè)圓和等腰三角形abc的兩腰相切

36、，切點(diǎn)是d，e，又和abc的外接圓相切于f。求證：abc的內(nèi)心g和d，e在一條直線上。4. 設(shè)四邊形abcd為等腰梯形，把a(bǔ)bc繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)某一角度變成abc。證明：線段ad, bc和bc的中點(diǎn)在一條直線上。5. 四邊形abcd內(nèi)接于圓o，對(duì)角線ac與bd相交于p。設(shè)三角形abp，bcp，cdp和dap的外接圓圓心分別是o1，o2，o3，o4。求證：op，o1o3，o2o4三直線交于一點(diǎn)。6. 求證：過圓內(nèi)接四邊形各邊的中點(diǎn)向?qū)吽鞯?條垂線交于一點(diǎn)。7. abc為銳角三角形，ah為bc邊上的高，以ah為直徑的圓分別交ab，ac于m，n；m，n與a不同。過a作直線la垂直于mn。類似地作出直線

37、lb與lc。證明：直線la，lb，lc共點(diǎn)。8. 以abc的邊bc，ca，ab向外作正方形，a1，b1，c1是正方形的邊bc，ca，ab的對(duì)邊的中點(diǎn)。求證：直線aa1，bb1，cc1相交于一點(diǎn)。b組9. 設(shè)a1，b1，c1是直線l1上的任意三點(diǎn)，a2，b2，c2是另一條直線l2上的任意三點(diǎn)，a1b2和b1a2交于l，a1c2和a2c1交于m，b1c2和b2c1交于n。求證：l，m，n三點(diǎn)共線。10. 在abc，abc中，連接aa，bb，cc，使這3條直線交于一點(diǎn)s。求證：ab與ab、bc與bc、ca與ca的交點(diǎn)f，d，e在同一條直線上(笛沙格定理)。11. 設(shè)圓內(nèi)接六邊形abcdef的對(duì)邊延長(zhǎng)

38、線相交于三點(diǎn)p，q，r，則這三點(diǎn)在一條直線上(帕斯卡定理)。第四講 四點(diǎn)共圓問題“四點(diǎn)共圓”問題在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題一般有兩種形式：一是以“四點(diǎn)共圓”作為證題的目的，二是以“四點(diǎn)共圓”作為解題的手段，為解決其他問題鋪平道路.判定“四點(diǎn)共圓”的方法，用得最多的是統(tǒng)編教材幾何二冊(cè)所介紹的兩種（即p89定理和p93例3），由這兩種基本方法推導(dǎo)出來的其他判別方法也可相機(jī)采用.1、“四點(diǎn)共圓”作為證題目的例1給出銳角abc，以ab為直徑的圓與ab邊的高cc及其延長(zhǎng)線交于m，n.以ac為直徑的圓與ac邊的高bb及其延長(zhǎng)線將于p，q.求證：m，n，p，q四點(diǎn)共圓.(第19屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：

39、設(shè)pq，mn交于k點(diǎn)，連接ap，am. 欲證m，n，p，q四點(diǎn)共圓，須證mkknpkkq，即證(mc-kc)(mc+kc)(pb-kb)(pb+kb) 或mc2-kc2=pb2-kb2 . 不難證明 ap=am，從而有ab2+pb2=ac2+mc2.故 mc2-pb2=ab2-ac2 =(ak2-kb2)-(ak2-kc2)=kc2-kb2. 由即得，命題得證.例2a、b、c三點(diǎn)共線，o點(diǎn)在直線外，o1，o2，o3分別為oab，obc，oca的外心.求證：o，o1，o2，o3四點(diǎn)共圓.(第27屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：作出圖中各輔助線.易證o1o2垂直平分ob，o1o3垂直平分oa.觀察ob

40、c及其外接圓，立得oo2o1=oo2b=ocb.觀察oca及其外接圓，立得oo3o1=oo3a=oca.由oo2o1=oo3o1o，o1，o2，o3共圓.利用對(duì)角互補(bǔ)，也可證明o，o1，o2，o3四點(diǎn)共圓，請(qǐng)同學(xué)自證.2、以“四點(diǎn)共圓”作為解題手段這種情況不僅題目多，而且結(jié)論變幻莫測(cè)，可大體上歸納為如下幾個(gè)方面.(1)證角相等例3在梯形abcd中，abdc，abcd，k，m分別在ad，bc上，damcbk.求證：dmackb.（第二屆袓沖之杯初中競(jìng)賽）分析：易知a，b，m，k四點(diǎn)共圓.連接km，有dabcmk.dab+adc180，cmk+kdc180.故c，d，k，m四點(diǎn)共圓cmddkc.但

41、已證ambbka，dmackb.(2)證線垂直例4o過abc頂點(diǎn)a，c，且與ab，bc交于k，n(k與n不同).abc 外接圓和bkn外接圓相交于b和m.求證：bmo=90.(第26屆imo第五題)分析：這道國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，曾使許多選手望而卻步.其實(shí)，只要把握已知條件和圖形特點(diǎn)，借助“四點(diǎn)共圓”，問題是不難解決的. 連接oc，ok，mc，mk，延長(zhǎng)bm到g.易得gmc=bac=bnk=bmk.而cok=2bac=gmc+bmk=180-cmk， cok+cmk=180c，o，k，m四點(diǎn)共圓.在這個(gè)圓中，由oc=ok oc=okomc=omk.但gmc=bmk，故bmo=90.(3)判斷圖形形狀

42、例5四邊形abcd內(nèi)接于圓，bcd，acd，abd，abc的內(nèi)心依次記為ia，ib，ic，id.試證：iaibicid是矩形.(第一屆數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家集訓(xùn)選拔試題)分析：連接aic，aid，bic，bid和dib.易得aicb=90+adb=90+acb=aidba，b，id，ic四點(diǎn)共圓.同理，a，d，ib，ic四點(diǎn)共圓.此時(shí)aicid=180-abid =180-abc，aicib=180-adib=180-adc，aicid+aicib=360-(abc+adc)=360-180=270.故ibicid=90.同樣可證iaibicid其它三個(gè)內(nèi)角皆為90.該四邊形必為矩形.(4)計(jì)算例6

43、正方形abcd的中心為o，面積為19892.p為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且opb=45，pa:pb=5:14.則pb=_(1989，全國(guó)初中聯(lián)賽)分析：答案是pb=42.怎樣得到的呢？連接oa，ob.易知o，p，a，b四點(diǎn)共圓，有apb=aob=90. 故pa2+pb2=ab2=1989.由于pa:pb=5:14，可求pb.(5)其他例7設(shè)有邊長(zhǎng)為1的正方形，試在這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形中找出面積最大的和一個(gè)面積最小的，并求出這兩個(gè)面積(須證明你的論斷).(1978，全國(guó)高中聯(lián)賽)分析：設(shè)efg為正方形abcd 的一個(gè)內(nèi)接正三角形，由于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)至少必落在正方形的三條邊上，所以不妨令f，g兩點(diǎn)在

44、正方形的一組對(duì)邊上. 作正efg的高ek，易知e，k，g，d四點(diǎn)共圓kde=kge=60.同理，kae=60.故kad也是一個(gè)正三角形，k必為一個(gè)定點(diǎn). 又正三角形面積取決于它的邊長(zhǎng)，當(dāng)kf丄ab時(shí)，邊長(zhǎng)為1，這時(shí)邊長(zhǎng)最小，而面積s=也最小.當(dāng)kf通過b點(diǎn)時(shí)，邊長(zhǎng)為2，這時(shí)邊長(zhǎng)最大，面積s=2-3也最大.例8ns是o的直徑，弦ab丄ns于m，p為anb上異于n的任一點(diǎn)，ps交ab于r，pm的延長(zhǎng)線交o于q.求證：rsmq.(1991，江蘇省初中競(jìng)賽)分析：連接np，nq，nr，nr的延長(zhǎng)線交o于q.連接mq，sq.易證n，m，r，p四點(diǎn)共圓，從而，snq=mnr=mpr=spq=snq. 根據(jù)

45、圓的軸對(duì)稱性質(zhì)可知q與q關(guān)于ns成軸對(duì)稱mq=mq. 又易證m，s，q，r四點(diǎn)共圓，且rs是這個(gè)圓的直徑(rms=90)，mq是一條弦(msq90)，故rsmq.但mq=mq，所以，rsmq.練習(xí)題1.o1交o2 于a，b兩點(diǎn)，射線o1a交o2 于c點(diǎn)，射線o2a交o1于d點(diǎn).求證：點(diǎn)a是bcd的內(nèi)心.(提示：設(shè)法證明c，d，o1，b四點(diǎn)共圓，再證c，d，b，o2四點(diǎn)共圓，從而知c，d，o1，b，o2五點(diǎn)共圓.)2.abc為不等邊三角形.a及其外角平分線分別交對(duì)邊中垂線于a1，a2；同樣得到b1，b2，c1，c2.求證：a1a2=b1b2=c1c2. (提示：設(shè)法證aba1與aca1互補(bǔ)造成a

46、，b，a1，c四點(diǎn)共圓；再證a，a2，b，c四點(diǎn)共圓，從而知a1，a2都是abc的外接圓上，并注意a1aa2=90.)3.設(shè)點(diǎn)m在正三角形三條高線上的射影分別是m1，m2，m3(互不重合).求證：m1m2m3也是正三角形.4.在rtabc中，ad為斜邊bc上的高，p是ab上的點(diǎn)，過a點(diǎn)作pc的垂線交過b所作ab的垂線于q點(diǎn).求證：pd丄qd. (提示：證b，q，e，p和b，d，e，p分別共圓)5.ad，be，cf是銳角abc的三條高.從a引ef的垂線l1，從b引fd的垂線l2，從c引de的垂線l3.求證：l1，l2，l3三線共點(diǎn).(提示：過b作ab的垂線交l1于k，證：a，b，k，c四點(diǎn)共圓)

47、第五講 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心.一、外心.三角形外接圓的圓心，簡(jiǎn)稱外心.與外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理.例1過等腰abc底邊bc上一點(diǎn)p引pmca交ab于m；引pnba交ac于n.作點(diǎn)p關(guān)于mn的對(duì)稱點(diǎn)p.試證：p點(diǎn)在abc外接圓上.(杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題)分析：由已知可得mp=mp=mb，np=np=nc，故點(diǎn)m是pbp的外心，點(diǎn)n是ppc的外心.有 bpp=bmp=bac，ppc=pnc=bac. bpc=bpp+ppc=bac. 從而，p點(diǎn)與a，b，c共圓、即p在abc外接圓上. 由于pp平分bpc，顯然還有 pb:pc=bp:

48、pc.例2在abc的邊ab，bc，ca上分別取點(diǎn)p，q，s.證明以aps，bqp，csq的外心為頂點(diǎn)的三角形與abc相似.(b波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：設(shè)o1，o2，o3是aps，bqp，csq的外心，作出六邊形o1po2qo3s后再由外心性質(zhì)可知 po1s=2a， qo2p=2b，so3q=2c. po1s+qo2p+so3q=360.從而又知o1po2+o2qo3+o3so1=360 將o2qo3繞著o3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到kso3，易判斷kso1o2po1，同時(shí)可得o1o2o3o1ko3. o2o1o3=ko1o3=o2o1k=(o2o1s+so1k)=(o2o1s+po1o2)=po1s=

49、a； 同理有o1o2o3=b.故o1o2o3abc.二、重心 三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的重心.掌握重心將每條中線都分成定比2:1及中線長(zhǎng)度公式，便于解題.例3ad，be，cf是abc的三條中線，p是任意一點(diǎn).證明：在pad，pbe，pcf中，其中一個(gè)面積等于另外兩個(gè)面積的和.(第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：設(shè)g為abc重心，直線pg與ab，bc相交.從a，c，d，e，f分別作該直線的垂線，垂足為a，c，d，e，f.易證aa=2dd，cc=2ff，2ee=aa+cc，ee=dd+ff.有spge=spgd+spgf.兩邊各擴(kuò)大3倍，有spbe=spad+spcf.例4如果三角形三邊的

50、平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.分析：將abc簡(jiǎn)記為，由三中線ad，be，cf圍成的三角形簡(jiǎn)記為.g為重心，連de到h，使eh=de，連hc，hf，則就是hcf. (1)a2，b2，c2成等差數(shù)列.若abc為正三角形，易證. 不妨設(shè)abc，有cf=，be=， ad=. 將a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得cf=，be=，ad=. cf:be:ad =:=a:b:c. 故有. (2)a2，b2，c2成等差數(shù)列. 當(dāng)中abc時(shí)，中cfbead.，()2. 據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的”，有=. =3a2=4cf2=2a2+

51、b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心 三角形三條高的交戰(zhàn)，稱為三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四個(gè)等(外接)圓三角形，給我們解題提供了極大的便利.例5設(shè)a1a2a3a4為o內(nèi)接四邊形，h1，h2，h3，h4依次為a2a3a4，a3a4a1，a4a1a2，a1a2a3的垂心.求證：h1，h2，h3，h4四點(diǎn)共圓，并確定出該圓的圓心位置. (1992，全國(guó)高中聯(lián)賽)分析：連接a2h1，a1h2，h1h2，記圓半徑為r.由a2a3a4知 =2ra2h1=2rcosa3a2a4；由a1a3a4得a1h2=2rcosa3a1a4.但a3a2a4=a3a1a4，故a2h1=a1h2.易證a2h1a1a2，于是，a2h1