第 2 章 平面匯交力系與平面力偶系

1、第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 靜靜 力力 學(xué)學(xué) 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 2.1.1 平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則 F3 F2 F1 F4 A F1 F2 F3 F4 FR a b cd e ab c d e F1 F2 F4 F3 FR 各力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力多邊形。 用力多邊形求合力的作圖規(guī)則稱為力的多邊形法則。 力多邊形中表示合力矢量

2、的邊稱為力多邊形的封閉邊。 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 結(jié)論：平面匯交力系可簡(jiǎn)化為一合力，其 合力的大小與方向等于各分力的矢量和 (幾何和)，合力的作用線通過匯交點(diǎn)。 用 矢量式表示為： R12n FFFFF 如果一力與某一力系等效，則此力稱為該 力系的合力。 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 在平衡的情形下，力多邊形中最后一力的 終點(diǎn)與第一力的起點(diǎn)重合，此時(shí)的力多邊形稱 為封閉的力多邊形。于是，平面匯交力系平衡 的必要與充分條件是：該力系的力多邊形自行 封閉，這是平衡的幾何條件。 0i F 平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：

3、 該力系的合力等于零。用矢量式表示為： 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 例例2-1 已知壓路機(jī)碾子重已知壓路機(jī)碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉過欲拉過h=8cm的障礙的障礙 物。求：在中心作用的水平力物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子對(duì)障礙物的壓力。的大小和碾子對(duì)障礙物的壓力。 選碾子為研究對(duì)象選碾子為研究對(duì)象 取分離體畫受力圖取分離體畫受力圖 解：解： 當(dāng)碾子剛離地面時(shí)當(dāng)碾子剛離地面時(shí)NA=0,拉力拉力F最大最大, 這時(shí)拉力這時(shí)拉力F和自重及支反力和自重及支反力NB構(gòu)成一平衡力系。構(gòu)成一平衡力系。 由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故由平衡的幾何

4、條件，力多邊形封閉，故 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對(duì)障礙物的壓力等于由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對(duì)障礙物的壓力等于23.1kN23.1kN。 此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。 F=11.5kN , NB=23.1kN 所以所以 577. 0 )( tg 22 hr hrr 又由幾何關(guān)系又由幾何關(guān)系： tgPF cos P N B 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 求：求： 3.3.力力 沿什么方向拉動(dòng)碾子最省力，及此時(shí)力沿什么方向拉動(dòng)碾子最省力，及此時(shí)力

5、多大？多大？ F F 2.2.欲將碾子拉過障礙物，水平拉力欲將碾子拉過障礙物，水平拉力 至少多大？至少多大？ F 1.1.水平拉力水平拉力 時(shí)，碾子對(duì)地面及障礙物的壓力？時(shí)，碾子對(duì)地面及障礙物的壓力？kN5F 例例2-22-2已知已知m0.08m,0.6kN,20hRP 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 解解:1.:1.取碾子，畫受力圖取碾子，畫受力圖. . 用幾何法，按比例畫封閉力四邊形用幾何法，按比例畫封閉力四邊形 30arccos R hR 11.4kN A F 10kN B F sin cos B AB FF FFP 1.1.水平拉力水平拉力 時(shí)，碾子對(duì)地

6、面及障礙物的壓力？時(shí)，碾子對(duì)地面及障礙物的壓力？kN5F 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 2.2.碾子拉過障礙物，碾子拉過障礙物，0 A F應(yīng)有應(yīng)有 用幾何法解得用幾何法解得FPtan=11.55kN 解得解得 kN10sin min PF3.3. 2.2.欲將碾子拉過障礙物，水平拉力欲將碾子拉過障礙物，水平拉力 至少多大？至少多大？ F 3.3.力力 沿什么方向拉動(dòng)碾子最省力，及此時(shí)力沿什么方向拉動(dòng)碾子最省力，及此時(shí)力 多大？多大？ 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 已知：已知： , ,各桿自重不計(jì)；各桿自重不計(jì)； 求：求： 桿及

7、鉸鏈桿及鉸鏈 的受力的受力. .CDA kN10,FCBAC 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 按比例量得按比例量得 kN4.22,kN3.28 AC FF 用幾何法，畫封閉力三角形用幾何法，畫封閉力三角形. . 解：解： 為二力桿，取為二力桿，取 桿，畫受力圖桿，畫受力圖. .CDAB 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 cos x FF cos y FF F x y Fx Fy O 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 F Fx Fy x y

8、i j xy xy FF FFFij O 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 Rxxi FF 平面匯交力系的合力在某軸上的投影，等 于力系中各個(gè)分力在同一軸上投影的代數(shù)和。 Ryyi FF 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 2222 RRR ()() xyxiyi FFFFF R R R cos(, ) x F F Fi R R R cos(, ) y F F Fj 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 22 R ()()0 xiyi FFF 0 xi F 0 yi F 平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力

9、在 作用面內(nèi)兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零。 上式稱為平面匯交力系的平衡方程。 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 求：此力系的合力求：此力系的合力. . 解：用解析法解：用解析法 N3 .12945cos45cos60cos30cos 4321R FFFFFF ix x N3 .11245sin45sin60sin30sin 4321R FFFFFF iy y N3 .171 2 R 2 RR yx FFF 7548. 0cos R Rx F F 6556. 0cos R Ry F F 01.49,99.40 例例2-42-4已知：圖示平面共點(diǎn)力系；已知：圖

10、示平面共點(diǎn)力系； 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 0 X 0 Y 045coscos 0 CDASR 045sinsin 0 CDA SRP 例例2-5 已知已知 P=2kN 求求SCD , RA 解解: : 1. 取取ABAB桿為研究對(duì)象桿為研究對(duì)象 2. 2. 畫畫ABAB的受力圖的受力圖 3. 3. 列平衡方程列平衡方程 由由EB=BC=0.4mEB=BC=0.4m， 3 1 2.1 4.0 tg AB EB 解得：解得： kN 24. 4 tg45cos45sin 00 P SCDkN 16. 3 cos 45cos 0 CDA SR ； 4. 4. 解

11、方程解方程 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 MO(F) Oh r F A B 力F與點(diǎn)O位于同一 平面內(nèi)，點(diǎn)O稱為矩心， 點(diǎn)O到力的作用線的垂 直距離h稱為力臂。 力對(duì)對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)代數(shù)量，它的絕對(duì)值等于力的 大小與力臂的乘積，它的正負(fù)可按下法確定：力使物 體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。 ()2 OOAB MFhA F 力矩的單位常用Nm或kNm。 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 平面匯交力系的合力

12、對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于 所有各分力對(duì)于該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。 R 1 ()() n i OO i MM FF F Fx Fy x y O q x y A ()sincos O yx MxFyF xFyF qq F (1) 合力矩定理 (2) 力矩的解析表達(dá)式 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 解解: :直接按定義直接按定義 cos 78.93N m O MFF hF r 按合力矩定理按合力矩定理 cos78.93 Nm OOtOr MFMFMF Fr 例例2-62-6 求求: : ,20 60mmr 已知已知: : N,1400F )(FM O 第二章第二章 平面匯

13、交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 ql 2 1 dxqP l 0 l 0 xdxqPh l 3 2 h 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 由兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平 行力組成的力系，稱為力偶，記為(F, F)。力偶 的兩力之間的垂直距離d稱為力臂，力偶所在的 平面稱為力偶作用面。 力偶不能合成為一個(gè)力，也不能用一個(gè)力 來(lái)平衡。力和力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素。 F F d D A B C 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 F F d D A B C 力偶是由兩個(gè)力組成的特殊力系，它的作用只改 變物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。力偶對(duì)

14、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力偶矩 來(lái)度量。平面力偶對(duì)物體的作用效應(yīng)由以下兩個(gè)因素 決定： (1) 力偶矩的大小； (2) 力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向。 平面力偶可視為代數(shù)量， 以M或M(F, F)表示， 2 ABC MFdA 平面力偶矩是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力的大小 與力偶臂的乘積，正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向：一般以逆時(shí) 針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗畡t為負(fù)。力偶的單位與力矩相同。 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 定理：在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，則 兩力偶彼此等效。 推論： (1) 任一力偶可以在它的作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不 改變它對(duì)剛體的作用。因此，力偶對(duì)剛體的作用 與力偶在其作用

15、面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。 (2) 只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可 以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而 不改變力偶對(duì)剛體的作用。 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有 力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如圖所示 的符號(hào)表示力偶。M為力偶的矩。 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 1113 MFdF d 2224 MF dF d M1(F1, F1)， M2(F2, F2)3434 FFFFFF 343412 ()MFdFF dF dF dMM 在同平面內(nèi)的任意個(gè)力偶可以合成為一個(gè)合力偶

16、， 合力偶矩等于各個(gè)力偶矩的代數(shù)和。 1 n i i MM 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 所謂力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩 的代數(shù)和等于零，即 1 0 n i i M 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 剛體上A、B、C、D四點(diǎn)組成一個(gè)平行四邊形，如在其 四個(gè)頂點(diǎn)作用有四個(gè)力，此四力沿四個(gè)邊恰好組成封閉 的力多邊形，如圖所示。此剛體是否平衡？ F1 F3 B A C D F2 F4 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 P O R M 從力偶理論

17、知道，一力不能與力偶平衡。圖示輪子上的 力P為什么能與M平衡呢？ FO 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 0M 0 321 MMMlFA 解得解得 N200 321 l MMM FF BA 解：由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì)，解：由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì)， 其受力圖為其受力圖為 例例2-72-7 ;200,20,10 321 mmmNmNlMMM 求：求： 光滑螺柱光滑螺柱 所受水平力所受水平力. . 已知：已知： AB 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 例例2-8 在一鉆床上水平放置工件在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑

18、在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑 的孔的孔,每個(gè)鉆頭的力偶矩為每個(gè)鉆頭的力偶矩為 ,求工件的求工件的 總切削力偶矩和總切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? mN15 4321 mmmm mN60)15(4 4321 mmmmM 02 . 0 4321 mmmmNB N300 2 . 0 60 B N N 300 BA NN 解解: 各力偶的合力偶矩為各力偶的合力偶矩為 根據(jù)平面力偶系平衡方程有根據(jù)平面力偶系平衡方程有: 由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)， 力力NA與力與力NB組成一力偶。組成一力偶。 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 例例2-9 圖示結(jié)構(gòu)，已知圖示結(jié)構(gòu)，已知M=800N.m，求，求A、C兩點(diǎn)的約束反力。兩點(diǎn)的約束反力。 ).(255. 0mNRdRM CCAC 0 i M 0 MM AC NRC3137 第二章第二章 平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系 例例2-10圖示桿系，已知圖示桿系，已知m，l。求。求A、B處約束力。處約束力。 解解 1、研究對(duì)象二力桿：、研究對(duì)象二力桿：AD AD N C R 2、研究對(duì)象：、研究對(duì)象： 整體整體 AD N B R l m RN BAD 思考：思考：CB桿受力情況如何？桿受力情況如何？ B R C R m