第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析1

1、第三章第三章 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要工作是確定系統(tǒng)的數(shù)模，分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要工作是確定系統(tǒng)的數(shù)模， 一旦獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，可以采用幾種不同的方法去一旦獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，可以采用幾種不同的方法去 分析系統(tǒng)的性能。分析系統(tǒng)的性能。 時(shí)域分析法時(shí)域分析法ch3， 根軌跡法根軌跡法ch4， 頻率法頻率法ch5 描述函數(shù)法描述函數(shù)法， 相平面法相平面法ch7 Z 變換法變換法ch8 狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法 分析系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)亦即分析描述其運(yùn)動(dòng)的微分方程的解。分析系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)亦即分析描述其運(yùn)動(dòng)的微分方程的解。 以以RC網(wǎng)絡(luò)為例：網(wǎng)絡(luò)為例： RC t 0 RC t c0c

2、eUUeU) t (uU)0(u. 1 ，則有若 RC t cc UeU) t (u,0)0(u.2 則有若 可見(jiàn)可見(jiàn)：不論哪種求解方法，也不論初始條件如何，不論哪種求解方法，也不論初始條件如何， 均有：系統(tǒng)響應(yīng)均有：系統(tǒng)響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)+暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng) s 1 1(t)LR(s)1(t) 1A 0t0 0tA r(t) 1. 記記為為 稱稱單單位位階階躍躍函函數(shù)數(shù)，令令 階階躍躍函函數(shù)數(shù)（位位置置函函數(shù)數(shù)） 動(dòng)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能需要通過(guò)其對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)過(guò)程來(lái)評(píng)價(jià)。因此在分析需要通過(guò)其對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)過(guò)程來(lái)評(píng)價(jià)。因此在分析 和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，需要一個(gè)對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較的基準(zhǔn)和設(shè)計(jì)控制系

3、統(tǒng)時(shí)，需要一個(gè)對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較的基準(zhǔn)-典典 型輸入信號(hào)型輸入信號(hào)。條件：。條件：1 能反映實(shí)際輸入能反映實(shí)際輸入；2 在形式上盡可能簡(jiǎn)單，在形式上盡可能簡(jiǎn)單， 便于分析便于分析；3 使系統(tǒng)運(yùn)行在最不利的工作狀態(tài)使系統(tǒng)運(yùn)行在最不利的工作狀態(tài)。 t f(t) 0 1 系統(tǒng)響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和暫態(tài)響應(yīng)組成，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)性系統(tǒng)響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和暫態(tài)響應(yīng)組成，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)性 能描述，而暫態(tài)響應(yīng)由暫態(tài)性能描述，故系統(tǒng)的性能指標(biāo)也就能描述，而暫態(tài)響應(yīng)由暫態(tài)性能描述，故系統(tǒng)的性能指標(biāo)也就 由穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)和暫態(tài)性能指標(biāo)組成。由穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)和暫態(tài)性能指標(biāo)組成。 因?yàn)殡A躍輸入對(duì)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是最一般也是最嚴(yán)峻因?yàn)殡A躍輸

4、入對(duì)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是最一般也是最嚴(yán)峻 的工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下的暫態(tài)性的工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下的暫態(tài)性 能滿足要求，則在其他形式下的輸入信號(hào)下，其暫能滿足要求，則在其他形式下的輸入信號(hào)下，其暫 態(tài)性能也會(huì)令態(tài)性能也會(huì)令 人滿意。人滿意。 00 0 )( t tAt tr 2 1 )( 1 s ttL t f(t) 0 00 0 2 1 )( 2 t tAt tr )( 1 2 1 2 tt 3 2 1 1 2 1 )( s ttLsR t f(t) 0 1)()( tLsR 00 0 t t t 并并有有 1 dtt 及及 t (t) 0 tttttt1 2 1 11 2 求

5、導(dǎo)求導(dǎo) 積分積分 求導(dǎo)求導(dǎo) 積分積分 求導(dǎo)求導(dǎo) 積分積分 tAtr sin 22 sin)( s A tALsR t f(t) 0 c(t) = ct(t) + css(t) = 暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng) + 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 非振蕩階躍響應(yīng)過(guò)程非振蕩階躍響應(yīng)過(guò)程衰減振蕩階躍響應(yīng)過(guò)程衰減振蕩階躍響應(yīng)過(guò)程 (1) 延遲時(shí)間延遲時(shí)間td：c(t)從從0到到0.5c()的時(shí)間。的時(shí)間。 (2：c(t)第一次達(dá)到第一次達(dá)到c()的時(shí)間。的時(shí)間。無(wú)超調(diào)時(shí)無(wú)超調(diào)時(shí), c(t)從從0.1 c()到到0.9 c()的時(shí)間。的時(shí)間。 (3) c(t)到達(dá)第一個(gè)峰值的時(shí)間。到達(dá)第一個(gè)峰值的時(shí)間。 (4)調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間t

6、s： c(t)衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過(guò)衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過(guò)2%或或5%所需所需 的時(shí)間。通常該偏差范圍稱作誤差帶的時(shí)間。通常該偏差范圍稱作誤差帶,用符號(hào)表示，用符號(hào)表示， 即即 =2%或或 =5% 。 快速性快速性 (5)c(t) 最大峰值最大峰值 偏離穩(wěn)態(tài)值的部分，常用百分偏離穩(wěn)態(tài)值的部分，常用百分 數(shù)表示，描述系統(tǒng)的數(shù)表示，描述系統(tǒng)的平穩(wěn)性平穩(wěn)性。 100 ()( ) % ( ) p p c tc c 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差ess：誤差的終值。即誤差的終值。即系統(tǒng)響應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)的 實(shí)際值與期望值（即輸入量）之差。實(shí)際值與期望值（即輸入量）之差。 0 ss ts ee tsE slim ( )

7、lim( ) 現(xiàn)輸入信號(hào)的最終精度。一現(xiàn)輸入信號(hào)的最終精度。一 上述各種性能指標(biāo)中，上述各種性能指標(biāo)中， pr tt 、 描述系統(tǒng)起始段的快描述系統(tǒng)起始段的快 % 慢；慢；反映暫態(tài)過(guò)程振蕩的劇反映暫態(tài)過(guò)程振蕩的劇烈列程度；烈列程度； 總體上反映系統(tǒng)的總體上反映系統(tǒng)的 s t表示系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程持續(xù)時(shí)間，表示系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程持續(xù)時(shí)間， 快速性；快速性； sse反映系統(tǒng)復(fù)反映系統(tǒng)復(fù) % s t ss e 般以般以 、和和評(píng)價(jià)系統(tǒng)評(píng)價(jià)系統(tǒng) 響應(yīng)的穩(wěn)、響應(yīng)的穩(wěn)、 快、準(zhǔn)?？?、準(zhǔn)。 凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。 )()( )( trtc dt td

8、c T 1 1 )( )( )( TssR sC s R C r(t) c(t) 1 Ts + R(s)C(s) 1 Ts+1 R(s)C(s) 系統(tǒng)中只有一個(gè)參數(shù)系統(tǒng)中只有一個(gè)參數(shù)T, 一階系統(tǒng)也叫慣性環(huán)節(jié)。一階系統(tǒng)也叫慣性環(huán)節(jié)。 t c(t) T 2T 3T 4T 當(dāng)輸入信號(hào)當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=1(t)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)稱作其單位階躍響應(yīng)。稱作其單位階躍響應(yīng)。 01 t ec(t) T t T s ssTs sRssC 1 111 1 1 )()()( 響應(yīng)曲線在響應(yīng)曲線在0， ） 的時(shí)間區(qū)間中始終不會(huì)超的時(shí)間區(qū)間中始終不會(huì)超 過(guò)其穩(wěn)態(tài)值，把這樣的響過(guò)其穩(wěn)態(tài)值，把這樣的響

9、 應(yīng)稱為應(yīng)稱為。 無(wú)振蕩無(wú)振蕩 0.632 0.950.982 0.865 1.0 定義：定義：c(ts) 1 = ( 取取5%或或2%) T ts e %)2(4 %)5(3 Tt Tt s s 可以用時(shí)間常數(shù)可以用時(shí)間常數(shù)T去度量去度量 系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。 T 2T 3T 4T t c(t) 0.632 0.95 0.982 0.865 1.0 T反映了系統(tǒng)的反映了系統(tǒng)的 慣性。慣性。 T越小慣性越小，越小慣性越小， 響應(yīng)快！響應(yīng)快！ T越大，慣性越越大，慣性越 大，響應(yīng)慢。大，響應(yīng)慢。 01 t ec(t) T t T )(tc 1與與有確定關(guān)系，是表征系統(tǒng)響應(yīng)有確定關(guān)

10、系，是表征系統(tǒng)響應(yīng) 特征的特征的 唯一參數(shù)。唯一參數(shù)。 Tdt tdc t 1 | )( 0 T 1 2.初始速度：初始速度：，若以，若以等速上升到等速上升到 1，所需時(shí)間正好為，所需時(shí)間正好為T。 0)(14ce ss 、 TtTtt ssp 34%.3 或或均均沒(méi)沒(méi)有有。和和 快快速速性性越越好好。 s tT T 2T 3T 4T t c(t) 0.632 0.95 0.982 0.865 1.0 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線可用實(shí)驗(yàn)的方法確定，將測(cè)得的曲系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線可用實(shí)驗(yàn)的方法確定，將測(cè)得的曲 線與下圖的曲線作比較，就可以確定該系統(tǒng)是否為一階系線與下圖的曲線作比較，就可以確定該系統(tǒng)是否

11、為一階系 統(tǒng)或等效為一階系統(tǒng)。此外，用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定一階系統(tǒng)統(tǒng)或等效為一階系統(tǒng)。此外，用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定一階系統(tǒng) 的輸出響應(yīng)由零值開(kāi)始到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的的輸出響應(yīng)由零值開(kāi)始到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的63.2%63.2%所需的時(shí)間，所需的時(shí)間， 就可以確定系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)就可以確定系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T T。 r(t) = t T s T s T ssTs sC 1 11 1 1 22 )( )0( )( / tTeTttc Tt t c(t) 0 r(t)= t c(t) = t T + Te t/T 是一個(gè)與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時(shí)間上是一個(gè)與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時(shí)間上 遲后了一個(gè)時(shí)間常數(shù)遲后了一個(gè)時(shí)間常數(shù)T的斜坡

12、函數(shù)。的斜坡函數(shù)。 T T 穩(wěn)態(tài)分量（跟蹤 項(xiàng)+常值） 暫態(tài)分量 Ttc )( 表明過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位表明過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位 置上仍有誤差，一般叫做置上仍有誤差，一般叫做。 在階躍響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而減小，在階躍響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而減小， 最終趨于最終趨于0 0，而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的斜率也，而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的斜率也 最大；最大； 在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，

13、最終趨于常值最終趨于常值T T，在初始狀態(tài)下，位置誤差和響應(yīng)曲線的斜率均等，在初始狀態(tài)下，位置誤差和響應(yīng)曲線的斜率均等 于于0 0。 0 t c(t) 1.0 t c(t) 0 r(t)= t T T 表明一階系統(tǒng)在過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單表明一階系統(tǒng)在過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單 位斜坡輸入之間，在位置上仍有誤差。位斜坡輸入之間，在位置上仍有誤差。 4對(duì)斜坡響應(yīng)求導(dǎo)：對(duì)斜坡響應(yīng)求導(dǎo)： ( ) 1( ) t T dc t ect dt 階 即單位斜坡響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)是單位階躍響應(yīng)。即單位斜坡響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)是單位階躍響應(yīng)。 2初始速度：初始速度：0111 00 t T t t e dt tdc |

14、 )( TTeT T t t )(lim)()(limtctre t ss 3 R(s)=1 1 1 )( Ts sC 它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函，這它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函，這 時(shí)輸出稱為脈沖（沖激）響應(yīng)時(shí)輸出稱為脈沖（沖激）響應(yīng) 函數(shù)，以函數(shù)，以g(t)標(biāo)志。標(biāo)志。 T t e T tCtg 1 )()( 脈沖 )()(tC dt d tC 斜坡階躍 )()(tC dt d tC 階躍脈沖 )()(tr dt d tr 斜坡階躍 )()(tr dt d tr 階躍脈沖 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) T 2T 3T t h(t) 0 1/T 0.368/T 0.135/T 0.05/T 1一階系統(tǒng)不能跟蹤拋物線信號(hào)。一階

15、系統(tǒng)不能跟蹤拋物線信號(hào)。 2對(duì)拋物線響應(yīng)求導(dǎo)：對(duì)拋物線響應(yīng)求導(dǎo)： T t TeTt dt tdc )( 斜坡響應(yīng)。斜坡響應(yīng)。 ） T t eTTttctrte 1 ()()()( 2 T s T s T s T sTss sC 1 1 1 1 22 233 )( )( )1( 2 1 )( 22 T t eTTtttc lim)(lim 22 T t tt ss eTTTttee故故 這是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特征，適用于任這是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特征，適用于任 何線性系統(tǒng)，但不適用于非線性系統(tǒng)。何線性系統(tǒng)，但不適用于非線性系統(tǒng)。 )()()()( 3 3 2 2 tc dt d tc dt

16、 d tc dt d tg 拋拋斜斜階階 )( 1 2 1 )( 1)( 1)(. 2 3 3 2 2 tt dt d tt dt d t dt d t )()()(sRsGsC B )()()( )( )()( 1 ssCssRsG dt tdr LsGsC BB dt tdc tc )( )( 1 2. )( 1)( )()()()( 2 sC ss sR sGdttrLsGsC BB 2( ) ( )c tc t dt 1. 。 例1 系統(tǒng)如圖所示，現(xiàn)采用負(fù)反饋方式，欲將系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間減小到原來(lái) 的0.1倍，且保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù)Ko和KH 的取值。 10 ( )10 0.21

17、( ) 10 1( )0.2110 1 0.21 O OO H HH K K G sK s s K K G ssK s 10* 101 10 02. 0* 101 2 . 0 K K K T K H O H 10 9 . 0 O H K K 1 101 2 . 0 101 10 s K K K H H O as a tgLs )()( at eth 1)( atat aeethtg 1 )()( )(1 )( )( sG sG s )( )(1)(sGsGs s a as a as a s s sG 1 )(1 )( )( 例例2 2 已知單位反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)已知單位反饋系統(tǒng)的單位階躍響

18、應(yīng) 試求試求 s , , (t) , G(s) 。 解解 )()()()(ssGssG )(1 )( )( s s sG 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為： 閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為 22 2 2 2 2 )2( 1 )2( )( nn n n n n n ss ss ss s 二階系統(tǒng)有兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)二階系統(tǒng)有兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù) ( (阻尼比阻尼比) )和和 n n( (無(wú)阻尼振蕩頻無(wú)阻尼振蕩頻 率率) ) 。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是用這兩個(gè)參數(shù)表示的。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是用這兩個(gè)參數(shù)表示的。 s(s+2 n) R(s)C(

19、s) n2 + 微分方程式為：微分方程式為： )()( )()( 2 2 trtc dt tdc RC dt tcd LC 22 2 22 212 1 )( )( )( nn n ssTssTsR sC s 零零初初條條件件 LCT L CR 2 T n /1 例如例如: RLC電路電路 R C r(t)c(t) L j 0 二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即 s 2 + 2 n s + n2 = 0 其兩個(gè)特征根為：其兩個(gè)特征根為：1 2 2, 1 nn s 上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比 的不同取值，的不同取值， 特征根有

20、不同類型的值，或者說(shuō)在特征根有不同類型的值，或者說(shuō)在s s平面上有平面上有 不同的分布規(guī)律。分述如下：不同的分布規(guī)律。分述如下： s1 s2 1 時(shí)，特征根為一對(duì)不等值時(shí)，特征根為一對(duì)不等值 的負(fù)實(shí)根，位于的負(fù)實(shí)根，位于s 平面的負(fù)實(shí)平面的負(fù)實(shí) 軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為 過(guò)阻尼過(guò)阻尼的。的。 (3) 0 1 時(shí)，特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，位于時(shí)，特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，位于s平面平面 的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為欠阻尼欠阻尼的。的。 (2) =1時(shí)，特征根為一對(duì)等值的負(fù)實(shí)根，位于時(shí)，特征根為一對(duì)等值的負(fù)實(shí)根，

21、位于s 平面的負(fù)實(shí)軸上，平面的負(fù)實(shí)軸上， 使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為臨界阻尼臨界阻尼的。的。 j 0 s1= s2 = n n s1 s2 j d n j 0 1 2 2, 1 nn s j 0 (4)(4)=0 =0 時(shí)，特征根為一對(duì)幅值相等的虛根，位于時(shí)，特征根為一對(duì)幅值相等的虛根，位于s平面的虛軸上，平面的虛軸上， 使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無(wú)阻尼的使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無(wú)阻尼的等幅振蕩等幅振蕩過(guò)程。過(guò)程。 j n j 0 (5) 1 = 1 0 1 = 0 0 j 0 s1 s2 22 2 2 )( nn n ss s 由式由式 ，其輸出的拉氏變換為其輸出的拉氏變換為 sss s

22、RssC nn n 1 2 )()()( 22 2 )( )( 21 2 sssss sC n 式中式中s1，s2是系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根。是系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根。 對(duì)上式兩端取拉氏反變換，可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)對(duì)上式兩端取拉氏反變換，可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá) 式。式。 。下面分。下面分 別加以討論。別加以討論。 （1 1）欠阻尼情況）欠阻尼情況 0 0變化率為正，變化率為正，c(t) 單調(diào)上升；單調(diào)上升；t ，變化率趨于，變化率趨于0。整整 個(gè)過(guò)程不出現(xiàn)振蕩，無(wú)超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差個(gè)過(guò)程不出現(xiàn)振蕩，無(wú)超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差0。 )0( )(11)( ttetc n t n ss sC n n

23、1 2 2 )( )( t c(t) 0 1 nn n sss 11 2 )( dnnn jjs 2 2 , 1 1 t n t n t n t n nnnn teteee dt tdc 22 )( 1 2 lim 2 2 2 0 0 nn n s ss A 其中其中 )1(12 1 )( lim 22 2 2 1 1 sss A n ss 2 2 1 10 21 2 2 2 2 2 ss A ss A s A sssss sss sC n nn n )( )( )( )1(12 1 )( lim 22 1 2 2 2 sss A n ss 1 2 2 . 1 nn s此此時(shí)時(shí) （4 4）過(guò)阻

24、尼情況）過(guò)阻尼情況 1 1、)(tc由兩項(xiàng)指數(shù)函數(shù)組成；由兩項(xiàng)指數(shù)函數(shù)組成； 1)(0)0( cc， 。與與 p t% 2、 曲線單調(diào)上升，無(wú)曲線單調(diào)上升，無(wú) 1 1 1 1 12 1 1)( )1( 2 )1( 22 2 2 t t n n e etc 011 12 1 | )( 2 0 t dt tdc 0 c(t) 1.0 ts 引入等效時(shí)間常數(shù)1 2 2, 1 nn s 響應(yīng)特性包含響應(yīng)特性包含， 且它們的代數(shù)和不會(huì)超過(guò)且它們的代數(shù)和不會(huì)超過(guò)1，因而響應(yīng)是，因而響應(yīng)是非振蕩非振蕩的。的。調(diào)節(jié)速度慢調(diào)節(jié)速度慢。 （不同于一階系統(tǒng)不同于一階系統(tǒng)） 1/1/ 1)( 21 / 12 / 21

25、 TT e TT e tc TtTt )1( 1 2 1 n T )1( 1 2 2 n T sTsTs sC n 1 11 21 2 )/)(/( )( )/)(/()/)(/( 221112 11 1 11 11 TsTTTsTTs 0 t c(t) 1.0 ts t n etc )1( 2 1)( n T )1( 1 2 此時(shí)相當(dāng)于此時(shí)相當(dāng)于 的慣性環(huán)節(jié)。的慣性環(huán)節(jié)。 07. 1 n s t 8 . 5 07. 11 時(shí)時(shí)，可可用用 （一般（一般 ） 計(jì)算。計(jì)算。 n s Tt )1( 4 4 2 當(dāng)當(dāng) 響應(yīng)是響應(yīng)是非振蕩非振蕩的。的。調(diào)節(jié)速度慢調(diào)節(jié)速度慢。（。（不同于一階系統(tǒng)不同于一階

26、系統(tǒng)） 過(guò)阻尼系統(tǒng)響應(yīng)緩慢，對(duì)于一般要求時(shí)間響應(yīng)快的過(guò)阻尼系統(tǒng)響應(yīng)緩慢，對(duì)于一般要求時(shí)間響應(yīng)快的 系統(tǒng)過(guò)阻尼響應(yīng)是不希望的。系統(tǒng)過(guò)阻尼響應(yīng)是不希望的。 但在有些應(yīng)用場(chǎng)合則需要過(guò)阻尼響應(yīng)特性：但在有些應(yīng)用場(chǎng)合則需要過(guò)阻尼響應(yīng)特性： 例如（例如（1）大慣性的溫度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)等。）大慣性的溫度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)等。 （2）指示儀表、記錄儀表系統(tǒng)，既要無(wú)超調(diào)、時(shí)）指示儀表、記錄儀表系統(tǒng)，既要無(wú)超調(diào)、時(shí) 間響應(yīng)盡可能快。間響應(yīng)盡可能快。 另外，有些高階系統(tǒng)可用過(guò)阻尼二階系統(tǒng)近似。另外，有些高階系統(tǒng)可用過(guò)阻尼二階系統(tǒng)近似。 （5）不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng) 0 總結(jié)：總結(jié)： 1）1時(shí)，響應(yīng)與一階系

27、統(tǒng)相似，無(wú)超調(diào)，但調(diào)節(jié)時(shí)，響應(yīng)與一階系統(tǒng)相似，無(wú)超調(diào)，但調(diào)節(jié) 速度慢；速度慢； 3）0時(shí)，無(wú)過(guò)渡過(guò)程，直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)等幅振時(shí)，無(wú)過(guò)渡過(guò)程，直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)等幅振 蕩；蕩； 4）01時(shí)，響應(yīng)有超調(diào)，但上升速度快，調(diào)節(jié)時(shí)間時(shí)，響應(yīng)有超調(diào)，但上升速度快，調(diào)節(jié)時(shí)間 短，合理選擇短，合理選擇可使響應(yīng)既快又平穩(wěn)，工程上把可使響應(yīng)既快又平穩(wěn)，工程上把0.707的的 二階系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)稱為； )0( )sin( 1 1 1)( 2 ttetc d t n 47 橫坐標(biāo)橫坐標(biāo) nt ，曲線只是，曲線只是 的函數(shù)。的函數(shù)。 =0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2 1. 1.欠阻尼欠阻尼 用用

28、tr , tp , p , ts 四個(gè)性能指標(biāo)來(lái)衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。 四個(gè)性能指標(biāo)來(lái)衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。 c(t) t 0 1 0.5 0.05 或或 0.02 td d n r t 2 1 arccos (1) ：從零上升至：從零上升至第一次第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí) 間，是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。間，是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。tr 越小，響應(yīng)越快。越小，響應(yīng)越快。 (2) ：響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個(gè)峰值所需：響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個(gè)峰值所需 的時(shí)間。的時(shí)間。 1)sin( 1 1 1)( 2 r n ttd t r tetc 0)sin( r ttdt 0 )( p t

29、t dt tdc (k1) d r tk ktt t e pdpdpd t n n 00 1 2 sinsin d n p t 2 1 0)cos( 1 )sin( 1 22 pd t d pd t n tete pnpn (3) ：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分 比表示。比表示。 100 ()( ) % ( ) p p c tc c %100)sin( 1 1 2 pd t te pn )0( )sin( 1 1 1)( 2 ttetc d t n 0)cos(1 1 )sin( 1 2 22 pd t n pd t n tete pnpn 0)cos

30、()sin( 1 )sin()cos( 1 22 pd t n pd t n tete pnpn 2 1 100 pp te%代入 %只是只是 的函數(shù)，其大小與自然頻率的函數(shù)，其大小與自然頻率n無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)。 (4) ：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過(guò)：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過(guò)5% 或或2%所需要的時(shí)間。所需要的時(shí)間。 )( )sin( 1 1 2 sd t ttte n c(t) c( ) c( ) ( t ts ) = 0.2 p = 52.7% = 0.4 p = 25.4% = 0.6 p = 9.5% = 0.707 p = 4.3% 工程上，工程上，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以采用近似的計(jì)

31、算方法，忽為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以采用近似的計(jì)算方法，忽 略正弦函數(shù)的影響，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到略正弦函數(shù)的影響，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到0.050.05（或（或0.020.02）時(shí)，）時(shí)， 過(guò)渡過(guò)程即進(jìn)行完畢，于是得到過(guò)渡過(guò)程即進(jìn)行完畢，于是得到 2 1 t n e )( s tt 05. 0 02. 0 n s t 2 1 1 ln3 n s t 2 1 1 ln4 4 4 s n tT 3 3 s n tT 1 n T 2 11 (3ln) 1 s n t 2 11 (4ln) 1 s n t 其中 為包絡(luò)線 的時(shí)間常數(shù)。 當(dāng)當(dāng)0.1 0.9 時(shí)，通常用下列二式近似計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí)間。時(shí)，通常用下列二式近似計(jì)算調(diào)

32、節(jié)時(shí)間。 例例3-1單位負(fù)反饋隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示單位負(fù)反饋隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示 解解: (1) 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與典型二階系統(tǒng)比較可得：與典型二階系統(tǒng)比較可得： K/T= n2 1/T = 2n TKTss TK KsTs K s / / )( 22 s(Ts+1) R(s)C(s)K + 2 22 2 ( ) n nn s ss (2) K = 16，T = 0.25時(shí)時(shí) )/(8/sradTK n 25. 0 2 1 KT )(24. 0 25. 018 25. 0arccos 2 str )(41. 0 25. 018 2 st p )(5 . 1 25. 08 33

33、 st n s 2 0 25 1 0 25 10047 . . % p e ( =0.05 ) K/T= n2 1/T = 2n tr=? tp=? ts=? p=? ，%16% - C R ) 1(TSS K （3）若要求）若要求 取取何何值值？不不變變時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)KT )416425. 04 ) 1 (4 25. 0*5 . 0*2 1 2 1 2 1 2 2 ssn nn eKTK s TT （將使到從即則 當(dāng)當(dāng)T不變時(shí)：不變時(shí)： 22 1831160116 .ln%，則，則為使為使 50 353 353 353353 2 22 . . . .).( ，故故 22222 35. 335.

34、383. 1)1( 例例3-2已知已知單位單位負(fù)反饋系統(tǒng)的負(fù)反饋系統(tǒng)的 單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示， 試求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。試求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。 解：由系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)解：由系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 曲線，直接求出超調(diào)量和峰值時(shí)曲線，直接求出超調(diào)量和峰值時(shí) 間。間。 p = 30% tp = 0.1 3 . 0%100 2 1 e 1 . 0 1 2 n 求解上述二式，得到求解上述二式，得到 = 0.357， n= 33.65(rad/s)。 于是二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為于是二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 )24( 31.11 )65.33357. 02( 65.33 )2

35、( )( 22 ssssss sG n n 1 c(t) t 0 1.3 0.1 的性能指標(biāo)。時(shí)，計(jì)算如圖所示系統(tǒng)、當(dāng)例)( 1)(3-3ttr - RC ) 6( 25 SS 解：解： rad ss s d n 93. 01 .536 . 0coscos 46 . 015 6 . 0 52 6 5 256 25 )( 011 2 2 且且 )(55.0 4 93.014.3 st d r 則則有有 Tp=0.785 p = e-2.355 ts=1 1. 1. 誤差的比例微分控制誤差的比例微分控制 具有誤差比例微分控制的二階系統(tǒng)如圖所示具有誤差比例微分控制的二階系統(tǒng)如圖所示: 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞

36、函數(shù)為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 )2( )1( )( 2 n dn ss sT sG 閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為() 22 2 2 )1( )( nnd dn ss sT s dnd T 2 1 式中式中 d 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的。 s(s+2n) R(s)C(s) n2 + Td s + + K(=1) 比例微分控制的二階系統(tǒng)有時(shí)稱為比例微分控制的二階系統(tǒng)有時(shí)稱為。與。與 沒(méi)有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)相比，由于沒(méi)有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)相比，由于的原因，初始快速性提高，的原因，初始快速性提高， 超調(diào)量會(huì)增大一些，但整體響應(yīng)的速度會(huì)加快。超調(diào)量會(huì)增大一些，但整體響應(yīng)的速度會(huì)加快。 t 0 1 c(t) c1(t) 可

37、見(jiàn)，可見(jiàn)，的二階系統(tǒng)不改變系統(tǒng)的自然頻率，但的二階系統(tǒng)不改變系統(tǒng)的自然頻率，但 是可以是可以以抑制振蕩。同時(shí)為系統(tǒng)增加了一個(gè)以抑制振蕩。同時(shí)為系統(tǒng)增加了一個(gè) 閉環(huán)零點(diǎn)。若令閉環(huán)零點(diǎn)。若令Z=1/Td c1(t) 有零有零 點(diǎn)的二階系統(tǒng)。點(diǎn)的二階系統(tǒng)。 c(t) 沒(méi)有沒(méi)有 零點(diǎn)的二階系零點(diǎn)的二階系 統(tǒng)。統(tǒng)。 22 2 2 )1( )( nnd dn ss sT s 2 22 2 ( ) n dnn sZ s Z ss dnd T 2 1 2 1 ( ) 1 s G s ss 2 1 ( ) 1 G s ss (2)(1) 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 22 2 2 )( nnt

38、n ss s 式中式中 為系統(tǒng)的有效阻尼比。為系統(tǒng)的有效阻尼比。 fnt K 2 1 2. 2.輸出量的速度反饋控制輸出量的速度反饋控制 輸出量的速度反饋控制也可以在不改變系統(tǒng)的自然頻率基礎(chǔ)輸出量的速度反饋控制也可以在不改變系統(tǒng)的自然頻率基礎(chǔ) 上，增大系統(tǒng)的有效阻尼比，使超調(diào)量減小。上，增大系統(tǒng)的有效阻尼比，使超調(diào)量減小。 s(s+2n) R(s) C(s) n2 + Kf s + 與比例微分控制不同的是，輸出量的速度反饋控制沒(méi)有附與比例微分控制不同的是，輸出量的速度反饋控制沒(méi)有附 加零點(diǎn)的影響，兩者對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的改善程度是不同的。加零點(diǎn)的影響，兩者對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的改善程度是不同的。 都為系

39、統(tǒng)提供了一個(gè)參數(shù)選擇的自由度，兼顧了都為系統(tǒng)提供了一個(gè)參數(shù)選擇的自由度，兼顧了 系統(tǒng)響應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)的和和。但是，二者改善系統(tǒng)性。但是，二者改善系統(tǒng)性 能的機(jī)理及其應(yīng)用場(chǎng)合是不同的。簡(jiǎn)述如下：能的機(jī)理及其應(yīng)用場(chǎng)合是不同的。簡(jiǎn)述如下： （1）微分控制的附加阻尼作用產(chǎn)生于系統(tǒng)）微分控制的附加阻尼作用產(chǎn)生于系統(tǒng) ，而速度反饋控制的附加阻尼作用，而速度反饋控制的附加阻尼作用 來(lái)源于系統(tǒng)來(lái)源于系統(tǒng)。 微分控制為系統(tǒng)提供了一個(gè)實(shí)零點(diǎn)，可以縮短系微分控制為系統(tǒng)提供了一個(gè)實(shí)零點(diǎn)，可以縮短系 統(tǒng)的初始響應(yīng)時(shí)間，但在相同阻尼程度下，將比速度統(tǒng)的初始響應(yīng)時(shí)間，但在相同阻尼程度下，將比速度 反饋控制產(chǎn)生更大的階躍響應(yīng)超

40、調(diào)量。反饋控制產(chǎn)生更大的階躍響應(yīng)超調(diào)量。 (2) 比例微分控制位于系統(tǒng)的輸入端，比例微分控制位于系統(tǒng)的輸入端， 。當(dāng)輸入端噪聲嚴(yán)重時(shí)，。當(dāng)輸入端噪聲嚴(yán)重時(shí)， 不宜選用比例微分控制。同時(shí)，由于微分器的輸入不宜選用比例微分控制。同時(shí)，由于微分器的輸入 信號(hào)是低能量的誤差信號(hào)，要求比例微分控制具有信號(hào)是低能量的誤差信號(hào)，要求比例微分控制具有 足夠的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，足夠的放大作用，為了不明顯惡化信噪比， 輸出速度反饋控制，是從高能量的輸出端向低能輸出速度反饋控制，是從高能量的輸出端向低能 量的輸入端傳遞信號(hào)，無(wú)需增設(shè)放大器，并對(duì)輸入端量的輸入端傳遞信號(hào)，無(wú)需增設(shè)放大器，并對(duì)輸入端 噪聲

41、有濾波作用，噪聲有濾波作用，。 G(s)，H(s) 一般是復(fù)變量一般是復(fù)變量s 的多項(xiàng)式之比，故上式可記為的多項(xiàng)式之比，故上式可記為 控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示?？刂葡到y(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示。 )()(1 )( )( )( )( sHsG sG sR sC s 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s) R(s) C(s) + H(s) 式中式中0 k 0 ( i, j =1,2, , n) 即，即，。 如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿 足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因?yàn)樯鲜絻H是必要條件。下面足上式，還不能確定一定是穩(wěn)

42、定的，因?yàn)樯鲜絻H是必要條件。下面 給出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。給出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。 1. 1. 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 勞斯表中第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位勞斯表中第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位 于右半于右半s平面上根的個(gè)數(shù)。平面上根的個(gè)數(shù)。 表中：表中：1 1）最左一列元素按）最左一列元素按s 的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識(shí)作的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識(shí)作 用，不參與計(jì)算。用，不參與計(jì)算。 2 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3 3）從第三行起各元素，是根據(jù)前二行的元素計(jì)算得到。）從第三行起

43、各元素，是根據(jù)前二行的元素計(jì)算得到。 aa2 a4 aa3 a5 bb2 b3 an sn sn1 sn2 s1 s0 1 3021 1 a aaaa b 1 5041 2 a aaaa b 0 1 2 2 1 10 nn nnn asasasasasD)( 2. 2.勞斯判據(jù)的應(yīng)用勞斯判據(jù)的應(yīng)用 例例3-3 設(shè)有下列特征方程設(shè)有下列特征方程 D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0，試用勞試用勞 斯判據(jù)判別該特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。斯判據(jù)判別該特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。 解解：勞斯表勞斯表 第一列元素第一列元素 符號(hào)改變了符號(hào)改變了2次，次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且系統(tǒng)不穩(wěn)

44、定，且s 右半平右半平 面有面有2個(gè)根。個(gè)根。 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 5 2 4 6 15 5 例例3-4 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 D(s) = s3 3s + 2 = 0 試用勞斯判據(jù)確定正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。試用勞斯判據(jù)確定正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。 解：系統(tǒng)的勞斯表為解：系統(tǒng)的勞斯表為 ：勞斯表中某勞斯表中某 行的第一列元素為零，而其余行的第一列元素為零，而其余 各項(xiàng)不為零，或不全為零。對(duì)各項(xiàng)不為零，或不全為零。對(duì) 此情況，可作如下處理：此情況，可作如下處理： s3 s2 s1 s0 1 3 0 2 用一個(gè)很小的正數(shù)用一個(gè)很小的正數(shù) 來(lái)代替第一列為零的項(xiàng)，從而使勞來(lái)代替第一列為

45、零的項(xiàng)，從而使勞 斯表繼續(xù)下去。斯表繼續(xù)下去。 可用因子可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中乘以原特征方程，其中a可為可為任意任意正數(shù)，正數(shù)， 再對(duì)新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。再對(duì)新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。 1 23 b 0+時(shí)，時(shí)，b1 0，勞斯表，勞斯表 中第一列元素符號(hào)改變了兩中第一列元素符號(hào)改變了兩 次次 系統(tǒng)有兩個(gè)正根，不穩(wěn)定。系統(tǒng)有兩個(gè)正根，不穩(wěn)定。 用（用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程為：）乘以原特征方程，得新的特征方程為： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0 s3 s2 s1 s0 1 3 0() 2 2 s4

46、 s3 s2 s1 s0 1 3 6 3 7 2/3 6 20 6 例例3-5 設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0 試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解解:該系統(tǒng)的勞斯表如下：該系統(tǒng)的勞斯表如下： 勞斯表中某行元素全為零。此時(shí)，特征勞斯表中某行元素全為零。此時(shí)，特征 方程中存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根（實(shí)根，共軛虛根或共軛復(fù)方程中存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根（實(shí)根，共軛虛根或共軛復(fù) 數(shù)根）。對(duì)此情況，可作如下處理：數(shù)根）。對(duì)此情況，可作如下處理： s4 s3 s2 s1 s0 1 3 2 1 1 2 2 0

47、 0 由于勞斯表中第一列元素的符號(hào)改變了兩次，由于勞斯表中第一列元素的符號(hào)改變了兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)正系統(tǒng)有兩個(gè)正 根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。通過(guò)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。通過(guò)解輔助方程解輔助方程可求出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根：可求出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根： s1=1 和和 s2= 1 。 對(duì)本例題，可用長(zhǎng)除法求出另二個(gè)根，分別為對(duì)本例題，可用長(zhǎng)除法求出另二個(gè)根，分別為 s3=1 和和 s4= 2 。 用全零行的上一行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程，用全零行的上一行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程，對(duì)輔助對(duì)輔助 方程求導(dǎo)方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)勞斯表。，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)勞斯表。 s4 s3 s2 s1 s0 1 3

48、 2 1 1 2 2 4 2 F(s) = 2s2+ 2 F (s)= 4s 例例3-6 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K 的取值范圍。的取值范圍。 解：系統(tǒng)特征方程式解：系統(tǒng)特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第 一列元素均大于零。一列元素均大于零。 0 K 0 , 1+0.5K 0 , 3(1+0.5K)K 0 , 1+0.5K 0 , 3(1+0.5K)2K 02K 0 解得解得 K 0K 0，K-2K-2，K 6K 6 所以，當(dāng)所以，當(dāng)0 K 60 K6K 6時(shí)，系統(tǒng)將不穩(wěn)定

49、。時(shí)，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。 )12)(1( )15 .0( )( limlim 00 sss sK sGK ss p K sss SK sssGK ss v )12)(1( )15 .0( )( limlim 00 KKK e vp ss 55 1 10 r(t)=10+5tr(t)=10+5t 給定穩(wěn)態(tài)誤差給定穩(wěn)態(tài)誤差（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差） 擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差（由擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）（由擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差） 對(duì)于對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，隨動(dòng)系統(tǒng)，給定輸入變化，要求系統(tǒng)輸給定輸入變化，要求系統(tǒng)輸 出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定出量以一定的精度跟隨輸

50、入量的變化，因而用給定 穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。 對(duì)對(duì)恒值系統(tǒng)，恒值系統(tǒng)，給定輸入通常是不變的，需要分給定輸入通常是不變的，需要分 析輸出量在擾動(dòng)作用下所受到的影響，因而用擾動(dòng)析輸出量在擾動(dòng)作用下所受到的影響，因而用擾動(dòng) 穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。 所有的控制系統(tǒng)除承受輸入信號(hào)作用外，還經(jīng)常處于各種擾動(dòng)作用所有的控制系統(tǒng)除承受輸入信號(hào)作用外，還經(jīng)常處于各種擾動(dòng)作用 之下。因此，系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值，反映了系統(tǒng)的抗之下。因此，系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值，反映了系統(tǒng)的抗 干擾能力。干擾能力。 例例3-11 G1(s

51、) R(s) C(s) + H(s) E(s) G2(s) N(s) + H(s) =1，G1(s)=K1，G2(s)=K2 / s(Ts+1) 試求系統(tǒng)在單位階躍給定和單位階躍擾動(dòng)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。試求系統(tǒng)在單位階躍給定和單位階躍擾動(dòng)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：（解：（1）單位階躍給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差: 系統(tǒng)是系統(tǒng)是型系統(tǒng)：型系統(tǒng)： Kp = ess = 0 （2）單位階躍擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。單位階躍擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 系統(tǒng)誤差的拉氏變換為系統(tǒng)誤差的拉氏變換為 sKKsTs K sN Tss KK Tss K sEn 1 )( )1( 2 1 )1( )

52、( 21 2 2 1 2 K1 R(s) C(s) + E(s) N(s) + 1 0 /1)(limKssEe n s ssn （3）根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)在單位階躍給定）根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)在單位階躍給定 和單位階躍擾動(dòng)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為和單位階躍擾動(dòng)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為 1 /1 Keee ssnssrss sKKsTs K sN Tss KK Tss K sEn 1 )( )1( 2 1 )1( )( 21 2 2 1 2 練習(xí)練習(xí) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知輸入系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知輸入 , 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 2 42)(tttr 解解 )(

53、)1( )( 2 1 ass TsK sG 2 1 v aKK )1()( )( 1 2 1 TsKass K s 0)( 11 23 KTsKasssD ttr2)( 1 0 1 ss e 22 2 2 1 84)(tttr 1 2 8 K a K A ess 1 21 8 K a eee ssssss 例例3-12 3-12 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。 （1 1）Kt=0 時(shí)系統(tǒng)的性能時(shí)系統(tǒng)的性能? ? （2 2）Kt 時(shí)，時(shí)， , , ts 變化趨勢(shì)變化趨勢(shì)? ? 0.7070.707時(shí)時(shí), , , , ts =？ （3 3）Kt ，r(t)=t ，ess變化趨勢(shì)變化趨勢(shì)?

54、 ? 0.7070.707時(shí)時(shí), , ess=？ 0 t K解解. (1) . (1) 時(shí)時(shí) 2 100 )( s sG 0100)( 2 ssD 100 100 )( 2 s s 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定！系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定！ (2 2) 時(shí)時(shí)0 t K )10( 100 )( t Kss sG 1 10 v K K t 10010 100 )( 2 sKs s t 22 10 10100 t n t n KK ns t t t t K K K 5 . 32 1, 2 0 0 s tt t KK 0 , 1, 2 0 0 414. 1 707. 0 2 t t K K 495. 0 5 5 . 3 ,5

55、0 0 0 0 t s K t (2 2) 時(shí)時(shí) (3) ns tt t KK 3 :2 0 0 s tt t KK 0 :2 0 0 414. 1 707. 0 t K 424. 0 ,5 0 0 0 0 s t 0 t K t KK/10 10 1 t sst K K eK )10( 100 )( t Kss sG 1 10 v K K t 100)10( 100 )( t Kss s 上面的分析和例題可知：上面的分析和例題可知： 通過(guò)調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，可以提高系統(tǒng)精度，比如：通過(guò)調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，可以提高系統(tǒng)精度，比如： ；但積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)一般不能超過(guò)；但積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)一般不能超過(guò)

56、2個(gè)，個(gè)，K也不能任意擴(kuò)大，否則會(huì)造成動(dòng)態(tài)品質(zhì)變差，甚至造成系統(tǒng)也不能任意擴(kuò)大，否則會(huì)造成動(dòng)態(tài)品質(zhì)變差，甚至造成系統(tǒng) 不穩(wěn)定。不穩(wěn)定。 例例3-12 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。圖中控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。圖中 試確定補(bǔ)償通道的傳遞函數(shù)，使系統(tǒng)在試確定補(bǔ)償通道的傳遞函數(shù)，使系統(tǒng)在單位斜坡給定作用下單位斜坡給定作用下無(wú)穩(wěn)無(wú)穩(wěn) 態(tài)誤差。態(tài)誤差。 432 1 )( 23 sss sG Gb(s) C(s) +G (s)+ 432 1 )( 23 sss sG 解：系統(tǒng)誤差的拉氏變換為解：系統(tǒng)誤差的拉氏變換為(根據(jù)梅遜公式根據(jù)梅遜公式) 223 23 1 532 )(432 )( )(1 )()(1 )(

57、 ssss sGsss sR sG sGsG sE bb 0)( 43)( 0 s b ssE ssG，即可符合要求。只要 練習(xí)：練習(xí)：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知輸入系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知輸入 , ,求求 , ,使穩(wěn)態(tài)誤差為零。使穩(wěn)態(tài)誤差為零。Attr )( 解解)1( )( Tss K sG 1v KK KTss sKGTss Tss K Tss sKG sR sE s c c e )1( )()1( )1( 1 )1( )( 1 )( )( )( 0)( 2 KsTssD K s sGc )( )(sGc 0 )(1 )1( )(1 lim)(lim 0 2 0 K sG s K A KT

58、ss sG s K sTA s A sse cc s e s ss 按前饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制方案可以有效提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度按前饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制方案可以有效提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度 練習(xí)：設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示，其中 給定輸入 ，擾動(dòng)輸入 （ 和 均為常數(shù) ），試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 s K sG 1 1 1 1 )( )1 ( )( 2 2 2 ss K sG )( 1)(tRtr r )( 1)(tRtn n r R n R 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 C(s) R(s) - )( 1 sG)( 2 sG + N(s) 解 當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到給定輸入和擾動(dòng)輸入的作用時(shí)，其穩(wěn)定誤差為 給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差的疊加。

59、 令n(t)=0時(shí)，求得給定輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為 所以給定穩(wěn)態(tài)誤差為 ) s (G) s (G1 1 ) s ( 21 er 0 s R KK) s1)(s1 ( s ) s1)(s1 (s ) s (G) s (G1 ) s (Rs e r 2121 21 2 0s 21 0s ssrlimlim C(s) R(s) - )( 1 sG)( 2 sG + N(s) s K sG 1 1 1 1 )( )1 ( )( 2 2 2 ss K sG 令r(t)=0時(shí)，求得擾動(dòng)輸入作用下的誤差傳遞 函數(shù)為 所以擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差為 由上式計(jì)算可以看出，r(t)和n(t)同是階躍信號(hào)，由于在系統(tǒng)中的

60、作用點(diǎn)不同，故它們產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。此外，由擾動(dòng)穩(wěn)態(tài) 誤差的表達(dá)式可見(jiàn)，提高系統(tǒng)前向通道中擾動(dòng)信號(hào)作用點(diǎn)之前的環(huán) 節(jié)的放大系數(shù)（即 ），可以減小系統(tǒng)的擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差。 )()(1 )( )( 2 2 sGsG sG s en 12121 12 0 21 2 0 )1)(1 ( )1 ( )()(1 )()( limlim K R s R KKsss sKs sGsG sNssG e nn ss ssn 1 K s K sG 1 1 1 1 )( )1 ( )( 2 2 2 ss K sG 該系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為 為了分析系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的影響，我們假設(shè)圖3 中 給定輸入和擾動(dòng)輸