第三章離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換

1、第三章 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換課程：數(shù)字信號(hào)處理目 錄第三章 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換2教學(xué)目標(biāo)23.1引言23.2傅里葉級(jí)數(shù)CFS33.2.1傅里葉級(jí)數(shù)CFS定義33.2.2傅里葉級(jí)數(shù)CFS性質(zhì)53.3傅里葉變換CFT63.3.1傅里葉變換CFT定義63.3.2傅里葉變換CFT的性質(zhì)73.4離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換DTFT83.4.1離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換DTFT定義83.4.2離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)83.5周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù) (DFS)123.5.1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的定義133.5.2周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)173.6離散傅里葉變換(DFT)193.6.1離散傅里

2、葉變換(DFT)193.6.2離散傅里葉變換的性質(zhì)213.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的區(qū)別與聯(lián)系233.8用DFT計(jì)算模擬信號(hào)的傅里葉分析253.9實(shí)驗(yàn)28本章小結(jié)30習(xí)題31參考文獻(xiàn)：34第三章 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換教學(xué)目標(biāo)本章講解由時(shí)域到頻域的傅里葉變換，頻域觀察信號(hào)有助于進(jìn)一步揭示系統(tǒng)的本質(zhì)，對(duì)于某些系統(tǒng)可以極大的簡(jiǎn)化其設(shè)計(jì)和分析過程。通過本章的學(xué)習(xí)，要理解連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的和離散時(shí)間信號(hào)基本概念、性質(zhì)和應(yīng)用；了解一些典型信號(hào)的傅里葉變換；理解連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)(CFS)、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換(CFT)、離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)、離

3、散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)(DTFS)和離散傅里葉變換(DFT)它們相互間的區(qū)別與聯(lián)系；掌握傅里葉變換的參數(shù)選擇，以及這些參數(shù)對(duì)傅里葉變換性能的影響；了解信號(hào)處理中其它算法（卷積、相關(guān)等）可以通過離散傅里葉變換(DFT)來實(shí)現(xiàn)。3.1 引言一束白光透過三棱鏡，可以分解為不同顏色的光，這些光再通過三棱鏡，就會(huì)得到白光。傅里葉指出，一個(gè)“任意”周期函數(shù)都可以分解為無窮多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)的和，這即是傅里葉級(jí)數(shù)。求解傅里葉系數(shù)的過程就是傅里葉變換。傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換又統(tǒng)稱為傅里葉分析。傅里葉分析方法相當(dāng)于三棱鏡，信號(hào)即是那束白光。傅里葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)：1、周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和；

4、2、非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示。傅里葉變換源自對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的研究。在對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的研究中，復(fù)雜的周期函數(shù)可以用一系列簡(jiǎn)單的正弦、余弦波之和表示。傅里葉變換是對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的擴(kuò)展，由它表示的函數(shù)的周期趨近于無窮。 根據(jù)信號(hào)的周期性、連續(xù)性，可以劃分為四種重要的傅里葉變換。周期信號(hào)（不管離散與否）都可以用傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）表示：如果輸入信號(hào)為周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)，則有連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（continuous-time Fourier series, CTFS），如果輸入信號(hào)為周期離散時(shí)間信號(hào)，則有離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（discrete-time Fourier seri

5、es，DTFS）。非周期信號(hào)（不管離散與否）都可以用傅里葉變換（Fourier transform）表示：連續(xù)非周期的輸入信號(hào)則有連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（continuous-time Fourier transform, CTFT），離散非周期輸入信號(hào)則有離散時(shí)間傅里葉變換（discrete-time Fourier transform，DTFT）?；A(chǔ)知識(shí)一、周期函數(shù)先從周期函數(shù)開始討論。設(shè)一個(gè)函數(shù)ft是周期性的，周期為T，如果有一個(gè)T0，ft=ft+nT, n=0,1,2,()使等式成立，則稱T=20，T為的最小正周期。二、三角函數(shù)時(shí)間周期的經(jīng)典例子是諧振蕩器，先從該系統(tǒng)的狀態(tài)是由一個(gè)單一的

6、正弦波的形式說起：xat=Asin(2ft+)()在這個(gè)表達(dá)式中，參數(shù)A是振幅，頻率是f，相位是。如果將上式采樣，即：xn=xanTs=Asin2fTsn+=AsinTsn+()f為模擬頻率，單位Hz，Ts為采樣周期，單位秒s，=2f，為模擬角頻率。關(guān)系表達(dá)式如下：=2fTs=2f/fs=Ts=/fs()三、復(fù)指數(shù)函數(shù)歐拉公式，因?yàn)椋篹j=cosx+jsinx ()所以正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)形式數(shù)學(xué)定義如下：xt=ejk0t=cos(k0t)+jsin(k0t)()3.2 傅里葉級(jí)數(shù)CFS3.2.1傅里葉級(jí)數(shù)CFS定義傅里葉的思想是，所有的周期函數(shù)都可以表示為正弦信號(hào)的加權(quán)和8，即：xt=a0+k=0

7、ancosk0t+bnsin(k0t)()a0是常量，通常叫做直流分量（DC）。上式用復(fù)指數(shù)的形式可表示為：xt=k=-Xkejk0t()兩邊同時(shí)乘以e-jn0t，并從0到T積分，得到80Txte-jn0tdt=0Tk=-Xkej(k-n)0tdt=k=-Xk0Tej(k-n)0tdt ()再看：0Te-j(n-k)0tdt=0Tcosn-k0t-jsinn-k0tdt()這是一個(gè)周期為|Tn-k|的函數(shù)9，當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)果為1,，因此式（10）可以寫成：0Txte-jn0tdt=XkTX(k)=1T0Txte-jk0tdt當(dāng)nk時(shí)等式（10）的結(jié)果為0。因此傅里葉系數(shù)Fourier coef

8、ficients可以寫成：X(k)=1T0Txte-jk0tdt()故，其傅里葉變換對(duì)可以寫為10Xk=1T0-T0/2T0/2x(t)e-j2kftdt ()xt=k=-+Xkej2kft()正交基和向量理解為了便于對(duì)傅里葉變換的理解，就要借用向量。首先復(fù)習(xí)幾個(gè)概念。內(nèi)積：對(duì)于兩個(gè)向量，他們的內(nèi)積就是各個(gè)分量相乘再求和。正交是內(nèi)積為0的情況，在二維空間上可以理解為垂直。例如，在三角函數(shù)系中1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, .，任意兩個(gè)不同元素的內(nèi)積都為零，因此這個(gè)集合成為正交集合?？臻g：如果該空間的任意元素進(jìn)行加法和乘法計(jì)算后的結(jié)果仍然屬于該空間，那就組成一個(gè)向量空間

9、。如果空間內(nèi)有一個(gè)子集合，子集合的元素兩兩正交，那該子集合就是向量空間的基。上面用于展開傅里葉級(jí)數(shù)的e-jk0可以看成是一組正交的基。所以對(duì)于傅里葉展開來說，任何正交的空間，都可以作為展開的基函數(shù)，三角函數(shù)和復(fù)指數(shù)只是其中一類基函數(shù)。簡(jiǎn)單地說傅里葉變換就是把信號(hào)投影到基上。對(duì)于任意的實(shí)信號(hào)，我們都可以看做是一些不同頻率的正弦波和余弦波的疊加。這時(shí)候，我們求這個(gè)信號(hào)和傅里葉基內(nèi)積4：=0Txte-jk0tdt()就得到了傅里葉變換的定義。頻域的圖像表達(dá)以矩形波的傅里葉變換來描述信號(hào)在頻域上的圖像表示方法：縱坐標(biāo) Xk為復(fù)諧波函數(shù)ej2kFt幅度，橫坐標(biāo)k為諧波序號(hào)10。復(fù)諧波函數(shù)之和即形成原函數(shù)

10、。 【例3.2.1】圖3.2.1是一周期矩形信號(hào)，周期為T；顯然，它滿足狄利克雷條件。由(3.2.3)式可知，其傅里葉系數(shù)是一離散sinc函數(shù)，其中=0.2T，T=1，A=5，0=2PI/T。圖3.2.1 周期方波信號(hào)及其傅里葉系數(shù)Figure 3.2.1 Periodic square wave signal and its Fourier coefficients3.2.2傅里葉級(jí)數(shù)CFS性質(zhì)1. 線性：xt+y(t)FSXk+Yk()2. 時(shí)移：xt-t0FSe-j2kf0t0Xk()3. 時(shí)間反轉(zhuǎn): x-tFSX-k()4. 時(shí)間尺度變換：zt=x(at)()a. TF=T0a()Zk

11、=Xk()zt=xat=k=-Zkej2akf0t()b. TF=T0()Zk=Xka ka是整數(shù) 0 其他()zt=xat=k=-Zkej2kf0t5. 時(shí)域微分：ddtxtFSj2kf0Xk0()6. 時(shí)域積分：-tx()dFSj2kf0Xk()7. 乘積-卷積對(duì)偶性: xtytFSXk*Yk ()8. x(t)周期卷積ytFST0XkYk()9. 共軛：x*tFSX*-k()10. 帕塞瓦爾定理: 1T0T0x(t)2dt=k=-X(k)2()3.3 傅里葉變換CFT3.3.1傅里葉變換CFT定義上節(jié)討論了周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)，接下來我們要從傅立葉級(jí)數(shù)過渡到傅立葉變換。我們可以將非周期信

12、號(hào)看成周期為無窮大的周期信號(hào)。首先建立一個(gè)簡(jiǎn)單的、特殊的并且很重要的信號(hào)矩形波，并且讓這個(gè)信號(hào)為周期信號(hào)，周期為T：TT2T1xt=1, &|t|T10, &T1|t|T2我們可以算出此信號(hào)的傅里葉系數(shù)X(k)=1T-T2T2e-jk0t 1 dt=1nsin(2kTT)在T時(shí)，建立函數(shù)9xt=xt, &|t|T2X(k)=1T-T2T2e-jk0t xt dtX(k)=1T-e-jk0t xtdtTX(k)=-e-jk0t xtdt根據(jù)上面傅里葉變換對(duì)的公式可以得到xt=k=-+1T-e-jk0t xtdtejk0t因?yàn)門=20，上式可以寫成xt=12k=-+-e-jk0t xtdtejk0

13、t0當(dāng)T,00，則limTx(t)=xt=12-e-jk0t XdX=-e-jk0t xtdt其傅里葉變換對(duì)為：Xf=-+x(t)e-j2ftdt ()xt=12-+X(f)ej2ftdw ()特別強(qiáng)調(diào)的是信號(hào)還需滿足如下的狄利克雷(Dirichlet)條件：1、 信號(hào)絕對(duì)可積。2、 在同一個(gè)周期內(nèi)，間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)有限；3、 極大值和極小值的數(shù)目有限；3.3.2傅里葉變換CFT的性質(zhì)1. 線性：xt+y(t)FX(f)+Y(f) xt+y(t)FX(j)+Y(j)2. 時(shí)移：xt-t0Fe-j2ft0X(f) xt-t0Fe-jt0X(j)3. 頻移：x(t)ej2f0tFX(f-f0) x(t

14、)ej0tFX(j(-0)4. 時(shí)間尺度變換： x(at)F1aX(fa) x(at)F1aX(ja)5. 頻率尺度變換： 1ax(ta)FX(af) 1ax(ta)FX(ja)6. 共軛變換：x*tFX*(-f) x*tFX*(-j)7. 乘積 - 卷積對(duì)偶性： x(t)*y(t)FX(f)Y(f) x(t)*y(t)FX(j)Y(j) x(t)y(t)FX(f)*Y(f) x(t)y(t)FX(j)*Y(j)8. 微分性質(zhì)：ddtxtFj2fX(f) ddtxtFjX(j)9. 調(diào)制： xtcos2f0tF12Xf-f0+Xf+f0 xtcos0tF12X(j-0)+X(j+0) 10.

15、周期信號(hào)變換：xt=k=-Xke-j2kfFtFXf=k=-Xk(f-kf0) xt=k=-Xke-jkFtFXf=2k=-Xk(-k0)11. 帕塞瓦爾定理：-x(t)2dt=-X(f)2df -x(t)2dt=12-X(j)2df12. 沖擊函數(shù)的定義：-e-2xydy=(x) 13. 對(duì)偶性： X(t)Fx(-f) X(-t)Fx(f) X(jt)F2x(-) X(-jt)F2x()14. 利用傅里葉變換得到總面積: X0=-xtdt x0=-X(f)df15. 積分：-tx()dFX(f)j2f+12X(0)(f) -tx()dFX(j)j+X(0)()3.4 離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換D

16、TFT3.4.1離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換DTFT定義在第二章討論過序列的傅里葉變換對(duì)5，即Xejw=n=-+Xne-jwnxn=12-+X(ejw)ejwndw離散時(shí)間信號(hào)指在離散時(shí)間變量時(shí)有定義的信號(hào)。如果把序列看成模擬信號(hào)的抽樣，抽樣時(shí)間間隔為T，抽樣頻率為fs=1T，s=2T,則離散信號(hào)可以表示為xn=xanTs=xaT|t=nTs()表明離散信號(hào)僅在t=nTs有值，在其他時(shí)刻沒有。3.4.2離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)本節(jié)討論DTFT的一些性質(zhì)，xn和yn是兩個(gè)離散時(shí)間信號(hào)，其離散傅里葉變換是X(F)和Y(F)，那么一下的性質(zhì)成立。一、 線性令的DTFT分別是，并令則()xt+ytFXj

17、+Y(j)()二、 時(shí)移令，則，即 x(t-t0)FX(j)e-jt0()三、 奇、偶、虛、實(shí)對(duì)稱性質(zhì)設(shè)x(n)為一復(fù)信號(hào)，將x(n),都分別寫成實(shí)部和虛部的形式即()由DTFT正，反定義的定義可得()如果x(n)是實(shí)信號(hào)，即=0，由于，分別是的偶函數(shù)和奇函數(shù)，可得下述結(jié)論。1) 的實(shí)部是的偶函數(shù)，即()2) 的虛部是的奇函數(shù)，即()把上面兩式結(jié)合起來，可得實(shí)信號(hào)DTFT的Hermitian對(duì)稱性，即3) 的幅頻響應(yīng)是的偶函數(shù)，即()式中，。4) 的相頻響應(yīng)是的奇函數(shù)，即()5) 由于，都是的偶函數(shù)，且，有()即積分只要從0到即可。6) 若x(n)再是偶函數(shù)，那么 ()以上三式說明，若x(n)

18、是以n=0為對(duì)稱的實(shí)偶信號(hào)，那么其頻譜為實(shí)值，其相頻響應(yīng)恒為0，因此，x(n)可有上式的簡(jiǎn)單形式來恢復(fù)，當(dāng)然，如果x(n)不是以n=0為對(duì)稱，那么將具有一線性相位。7) 若x(n)是實(shí)的奇函數(shù)，則 ()四、 時(shí)域卷積定理若，則()證明：因?yàn)樗?。五?頻域卷積定理若，則()證明：因?yàn)樽儞Q積分與求和的次序，有所以。六、 時(shí)域相關(guān)定理若y(n)是x(n)和h(n)的相關(guān)函數(shù)，即，則()證明：因?yàn)樗云摺?Parseval(巴塞伐)定理(3.4.20)()八、 Wiener-Khinchin(維納-辛欽)定理若x(n)是功率信號(hào)，其傅里葉變換()若上式右邊極限存在，則稱該極限為功率信號(hào)x(n)的功率

19、譜，即()此式稱為確定信號(hào)的維納-辛欽定理，它說明功率信號(hào)x(n)的自相關(guān)函數(shù)和其功率譜是一堆傅里葉變換?！纠?.4.1】 求下面離散時(shí)間傅里葉變換的逆變換。XF=rect50F-14+rect50F+14*comb(F)【解】：先查表Fsincn= rect(F)*comb(F)F150sincn50=rect(50F)*comb(F)對(duì)應(yīng)上式的頻移性質(zhì)，F(xiàn)ej2F0nxn=X(F-F0)Fejnn150sincn50=rect(50(F-14)*comb(F)Fe-jnn150sincn50=rect(50(F+14)*comb(F)最后將上面的兩個(gè)式子合并并簡(jiǎn)化：原式子的反傅里葉變換是s

20、inc(n50)cos(n2)25【例3.7.3】根據(jù)累加性質(zhì)和沖激函數(shù)的離散時(shí)間傅里葉變換，求xn=rectNn的傅里葉變換?！窘狻浚簒n的一階后向差分是xn-xn-1=n+N-n-(N+1)因?yàn)镕n+N-n-N+1=ej2FN-e-j2F(N+1)根據(jù)離散時(shí)間傅里葉變換的積分性質(zhì)和矩形脈沖信號(hào)的一階差分序列的和為零的事實(shí)，有Fxn=ej2FN-e-j2F(N+1)1-e-j2F=e-j2Fe-j2FejF(2N+1)-e-jF(2N+1)Fxn=sin(F(2N+1)sin(F)=2N+1drcl(F,2N+1)【例3.7.4】求如下離散時(shí)間余弦函數(shù)的傅里葉變換。xn=Acos(n2)【解

21、】：根據(jù)定義XF=n=-xne-j2Fn=n=-Acosn2e-j2Fn=A2n=-(ejn2+e-j(n2)e-j2FnXF=A2n=-(ej2(14-F)n+ej2(-14-F)n)或Xj=An=-(ej(2-)n+ej(-2-)n)根據(jù)n=-ej2xn=comb(x)并考慮到梳狀函數(shù)是偶函數(shù)，有XF=A2combF-14+combF+14或者根據(jù)梳狀函數(shù)尺度變換的性質(zhì)，Xj=Acomb-2+comb(+2)因?yàn)閤n是周期性的，所以可以得到它的離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的諧波函數(shù)Xk=1N0n=xne-j2(kF0)n=A4n=cos(n2)e-j(kn2)Xk=A21-e-jk=A4e-jk2(

22、ejk2-e-jk2)Xk=jA4e-jk2sin(k2)當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，表達(dá)式為0，當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)表達(dá)式值為A4，這些值剛好是沖擊函數(shù)XF在-34,-14,14,34時(shí)的沖激強(qiáng)度。這個(gè)結(jié)果顯示了離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)其實(shí)只是離散時(shí)間傅里葉變換的特例，就像連續(xù)時(shí)間的傅里葉級(jí)數(shù)是連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的特例一樣。如果一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)時(shí)周期性的，他的傅里葉就相當(dāng)于由一些沖激組成，這些沖激的強(qiáng)度等于它的離散時(shí)間傅里葉變換諧波函數(shù)在諧波頻率上的值。3.5 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù) (DFS)當(dāng)用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，要求信號(hào)必須以離散值作為輸入，而計(jì)算機(jī)輸出所得到的頻譜值也是離散的。計(jì)算機(jī)無法處理周期信

23、號(hào)，而上面介紹的幾種傅里葉變換形式中，或者信號(hào)的時(shí)域是連續(xù)的，或者信號(hào)的頻譜是連續(xù)的，均不適合計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。若要使用這幾種形式計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，必須針對(duì)每種情況，或者在頻域取樣，或者在時(shí)域取樣。其最后結(jié)果都將使原時(shí)間函數(shù)和頻率函數(shù)二者都成為周期離散的函數(shù)。因此，他們都可以變成一種形式離散傅里葉級(jí)數(shù)1。3.5.1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的定義回顧一下，對(duì)于周期信號(hào)，通常都可以用傅里葉級(jí)數(shù)來描述，可用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)來表示，即xn=k=-+X(k)ejkt (51)可以看成信號(hào)被分解成不同次諧波的疊加，每個(gè)諧波都有一個(gè)幅值，表示該諧波分量所占的比重。其中K任意整數(shù)k=0k；0基頻角頻率，0=2

24、/T；X(k)傅里葉系數(shù)。我們?cè)趚(n)上加以表示周期性的上標(biāo)，周期為N的周期序列，其有如下性質(zhì)：=（r為任意整數(shù)） (52)用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示應(yīng)該為= (53)其中0=2/N，是基頻分量的角頻率，基頻序列為。下面來分析一下第(K+rN)次諧波和第(k)次諧波之間的關(guān)系。將0=2/N，代入表達(dá)式中，得到=（r為任意整數(shù)） (54)這說明第(K+rN)次諧波能夠被第(k)次諧波表示，也就是說，在所有的諧波成分中，只有N個(gè)是獨(dú)立的，用N個(gè)諧波就可完全的表示出.因此，對(duì)于離散傅里葉級(jí)數(shù)，我們只取K=0到k=N-1的N個(gè)獨(dú)立諧波分量，即= (55)式中是一個(gè)常用的常數(shù)，選取它是為下面表達(dá)式的成

25、立的需要，是K次諧波的系數(shù)。下面我們根據(jù)來求解，這需要用到一下的性質(zhì)，即復(fù)指數(shù)的正交性： (56)注意該表達(dá)式是對(duì)n求和，而表達(dá)式的結(jié)果取決于(k-r)的值。在=兩邊都乘以，并且從n=0到n=N-1求和，得到 (57) 交換求和順序，再根據(jù)前面證明的正交性結(jié)論可以得出： (58)將變量r換成k，則有= (59)從的表達(dá)式可以看出也是周期為N的周期序列，即= (60)則有周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)， (61)在上面的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)中，n和k的范圍是從(- )。為了表示的方便，一般書上常采用一下符號(hào)（N表示周期） (62)則(62)可以表示成正變換 Xk=DFSxn=n=0N-1xne-j2Nnk=n=

26、0N-1xnWNnk (63)反變換 xn=IDFSXk=1Nn=0N-1Xkej2Nnk=1Nn=0N-1XkWN-nk (64) DFS表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換，IDFS表示離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。針對(duì)上面的級(jí)數(shù)對(duì)，討論如下內(nèi)容：1) ，以N為周期。，；2) 只對(duì)序列的一個(gè)周期的值進(jìn)行求和，但求出的或卻是無限長(zhǎng)的；3) 由以N為周期推導(dǎo)出以N為周期；4) 對(duì)于周期序列=，因?yàn)閆變換不收斂，所以不能用Z變換，但若取的一個(gè)周期，則Z變換是收斂的。，當(dāng)取時(shí)，而，當(dāng)時(shí)，=，這相當(dāng)于在=0到=2的范圍內(nèi)，在N個(gè)等間隔的頻率上以2/N為間隔對(duì)傅里葉變換進(jìn)行采樣。5) 引入主值序列的概念，即序列在0N-1

27、區(qū)間的序列稱為主值序列?！纠?.5.1】 求的DFS系數(shù)?！窘狻浚涸O(shè)為周期沖激串=，對(duì)于0nN-1，=，可以求出=1，即對(duì)于所有的k值，均相同。表示成級(jí)數(shù)形式為=。(65)又設(shè)的周期為N=10，在主值區(qū)間內(nèi)，0n4時(shí)，=1，在5n9時(shí)，=0。畫出的圖形，則=，畫出的幅值圖。(0)=5，(1)=3.23，(2)=0，(3)=1.24，(4)=0，(5)=1，(6)=0，(7)=1.24，(8)=0，(9)=3.23，這是一個(gè)周期內(nèi)的值。設(shè)n取514，即不是取主值周期，隨便取一個(gè)周期(在主值周期外隨便取一周期)，計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)，得到的結(jié)果和在主值周期中的結(jié)果一樣。下面計(jì)算有限長(zhǎng)序列=的傅里葉變換。

28、=， (66)如果將=2k/10代入上式，則結(jié)果和一樣。的幅度一個(gè)周期圖如下所示：圖3.5.1幅度的周期圖Figure 3.5.1 Period graph of the amplitude可以看出相當(dāng)于在=0到=2的范圍內(nèi)，以2/10的頻率間隔在10個(gè)等間隔的頻率上對(duì)傅里葉變換進(jìn)行采樣?！纠?.5.2】 從例題3.5.1中得到這樣一個(gè)結(jié)論，對(duì)于以N為周期的周期序列，任取一個(gè)周期求得的傅里葉系數(shù)與在主值區(qū)間(n=0N-1)中求得的傅里葉系數(shù)相同?，F(xiàn)在已知的周期為N，=，=，m1=rN+n1，m2=rN+n1+N-1，0n1N-1，證明=。證明：=(令n-m=rN或m=n-rN)=(后一個(gè)分量作

29、變量m-N=n)=?！纠?.5.3】設(shè)一序列的周期為N，其DFS系數(shù)為。也是周期為N的周期序列，試?yán)们蟮腄FS系數(shù)。解：= =，所以=。用k替換上式中的r，即Xk=Nx(-k)3.5.2周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)離散傅里葉級(jí)數(shù)很多性質(zhì)和Z變換的性質(zhì)相似，而DFS是和周期性序列聯(lián)系在一起，所以它們存在一些重要差別。另外，在DFS表達(dá)式中時(shí)域和頻域之間存在著完全的對(duì)偶性，而在序列的傅里葉變換和Z變換的表示式中這一點(diǎn)不存在?？紤]兩個(gè)周期序列、，其周期均為N，若，(1) 線性a+ba+b，周期也為N。由定義式證明。(2) 序列的移位 ，那么。證明： = (3) 調(diào)制特性因?yàn)橹芷谛蛄械母道锶~級(jí)數(shù)的

30、系數(shù)序列也是一個(gè)周期序列，所以有類似的結(jié)果，為整數(shù)，有。證明：。(4) 對(duì)稱性給出幾個(gè)定義：1) 共扼對(duì)稱序列滿足的序列。2) 共扼反對(duì)稱序列滿足=的序列。3) 偶對(duì)稱序列、奇對(duì)稱序列若和為實(shí)序列，且滿足=和=，則被稱作偶對(duì)稱序列和奇對(duì)稱序列。4) 任何一個(gè)序列都可表示成一個(gè)共扼對(duì)稱序列和一個(gè)共扼反對(duì)稱序列之和(對(duì)實(shí)序列，就是偶對(duì)稱序列和奇對(duì)稱序列之和)。即有=+，其中=(+)/2，=(-)/2 下面為對(duì)稱性： ；=(+)/2 證明：=(任意一個(gè)周期的DFS系數(shù)和主值區(qū)間中的DFS系數(shù)是一樣的)=；=， (67)+=，(68)(5) 周期卷積如果=，則=， (69)這是一個(gè)卷積和公式，但與線性

31、卷積有所不同，首先在有限區(qū)間0mN-1上求和，即在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行求和；對(duì)于在區(qū)間0mN-1以外的m值，的值在該區(qū)間上周期地重復(fù)。周期卷積與線性卷積的區(qū)別為：（1） 周期卷積中參與運(yùn)算的兩個(gè)序列都是周期為N的周期序列；（2） 周期卷積只限于一個(gè)周期內(nèi)求和，即m=0,1,N-1；（3） 周期卷積的計(jì)算結(jié)果也是一個(gè)周期為N的周期序列。3.6 離散傅里葉變換(DFT)3.6.1離散傅里葉變換(DFT)離散傅里葉級(jí)數(shù)變換是周期序列，但是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜分析及其他方面的處理工作時(shí)，對(duì)信號(hào)的要求是：在時(shí)域和頻域都應(yīng)是離散的，且都應(yīng)是有限長(zhǎng)。離散傅里葉級(jí)數(shù)雖然是周期序列卻只有N個(gè)獨(dú)立的復(fù)值，只要知道它

32、一個(gè)周期的內(nèi)容，其他的內(nèi)容也就知道了。即把長(zhǎng)度為N的有限序列x(n)看成周期為N的周期序列的一個(gè)周期，這樣利用離散傅里葉級(jí)數(shù)計(jì)算周期序列的一個(gè)周期，也就是計(jì)算了有限長(zhǎng)序列2。設(shè)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，即只在n=0,1,N-1時(shí)有值，其他n時(shí)，=0。我們把它看做是周期為N的周期序列的一個(gè)周期，而把看成是以N為周期的周期延拓，表達(dá)式為 xn=xn (0nN-1)0 (n為其他值)或 xn=xnRN(n)式中RNn=1 (0nN-1)0 (n為其他值)為矩形截?cái)嘈蛄?，?(-nN，則將序列截短為N點(diǎn)序列，再作N點(diǎn)的DFT；（2） 若序列x的長(zhǎng)度MN，則將序列截短為N點(diǎn)序列，再作N點(diǎn)的IDFT；（2） 若序列x的長(zhǎng)度MN， 則將原序列補(bǔ)零至N點(diǎn)，然后計(jì)算N點(diǎn)的