江蘇省2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期壓軸卷

1、江蘇省2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期壓軸卷江蘇省2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期壓軸卷年級(jí)：姓名：- 28 -江蘇省2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期壓軸卷（含解析）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1. 已知集合，則_【答案】【解析】【分析】直接由集合的交集運(yùn)算，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)榧希?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2. 已知復(fù)數(shù)則z 【答案】【解析】【詳解】試題分析：考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模3. 某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取

2、的人數(shù)為_.【答案】8【解析】【分析】假設(shè)共抽取人數(shù)，根據(jù)高一所占總共人數(shù)比例以及所抽出的人數(shù)，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)樣本容量為，則高二所抽人數(shù)為.故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，屬基礎(chǔ)題.4. 根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果為_【答案】205【解析】【分析】根據(jù)已知中的程序代碼，得到本程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量s的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析各個(gè)變量的變化規(guī)律，可得答案.【詳解】模擬程序語言，運(yùn)行過程，可得,滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體； 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，此時(shí)，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出s的值為，故答案為205.【點(diǎn)睛】本題

3、主要考查了程序語言的應(yīng)用問題，其中解答中應(yīng)模擬程序語言的運(yùn)行過程，以便得出輸出的計(jì)算規(guī)律，從而得到計(jì)算的結(jié)果，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5. 已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程是_.【答案】【解析】【分析】由離心率可得，再代入漸近線方程即可.【詳解】由已知可知離心率，即，又雙曲線焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查.利用雙曲線的離心率求出a，b關(guān)系，然后求解漸近線方程即可.6. 某學(xué)校有兩個(gè)食堂，甲、乙、丙三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇其中的一個(gè)食堂用餐，則他們?cè)谕粋€(gè)食堂用餐的概率為_【答案】【解析】【詳解】由題意，三名

4、學(xué)生各自隨機(jī)選擇兩個(gè)食堂中的一個(gè)用餐的情況共有（種），其中他們?cè)谕粋€(gè)食堂用餐的情況有2種，根據(jù)古典概型概率的計(jì)算公式得，所求概率為.點(diǎn)睛：此題主要考查有關(guān)計(jì)數(shù)原理、古典概型概率的計(jì)算等有關(guān)方面的知識(shí)和運(yùn)算技能，屬于中低檔題型，也是高頻考點(diǎn).在計(jì)算古典概型中任意一隨機(jī)事件發(fā)生的概率時(shí)，關(guān)鍵是要找出該試驗(yàn)的基本事件總數(shù)和導(dǎo)致事件發(fā)生的基本事件數(shù)，在不同情況下基本事件數(shù)的計(jì)算可能涉及排列、組合數(shù)的計(jì)算和使用分類計(jì)數(shù)、分步計(jì)數(shù)原理.7. 已知點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值是_【答案】7【解析】 點(diǎn)睛：1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理 2若

5、為拋物線上一點(diǎn)，由定義易得；若過焦點(diǎn)的弦 ab的端點(diǎn)坐標(biāo)為，則弦長(zhǎng)為可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到8. 已知，都是銳角，則_【答案】【解析】【分析】由，都是銳角，得出的范圍，由和的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系分別求出和的值，然后把所求式子的角變?yōu)椋脙山呛团c差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把各自的值代入即即可求出值【詳解】解：，都是銳角，又，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意角度的范圍9. 在體積為9的斜三棱柱abca1b1c1中，s是c1c上

6、的一點(diǎn)，sabc的體積為2，則三棱錐sa1b1c1的體積為_【答案】【解析】【分析】由已知棱柱體積與棱錐體積可得s到下底面距離與棱柱高的關(guān)系，進(jìn)一步得到s到上底面距離與棱錐高的關(guān)系，則答案可求【詳解】設(shè)三棱柱的底面積為，高為，則，再設(shè)到底面的距離為，則，得，所以，則到上底面的距離為，所以三棱錐的體積為故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查棱柱、棱錐體積的求法，考查空間想象能力、思維能力與計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，三棱錐體積為，本題是中檔題10. 在等差數(shù)列中，則數(shù)列的前11項(xiàng)和_.【答案】132【解析】【分析】由已知求得a6，再由s1111a6求得答案【詳解】由a9a12+6，得2a9a1212，即2a

7、1+16da111d12，a1+5d12，a612則s1111a61112132故答案為：132點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題11. 三棱錐中，已知平面，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為的中點(diǎn)，若直線與平面所成角的正弦值為，則的長(zhǎng)為_.【答案】2或【解析】【分析】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，在平面內(nèi)作，則，可證明平面，連接，則是與平面所成的角，設(shè)，利用平面所成的角的正弦值為，列方程求解即可.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，平面，為正三角形，平面，在平面內(nèi)作，則，平面，連接，則是與平面所成的角，設(shè)，在直角三角形中，求得，平面所成的角的正弦值為，,解得或，即的長(zhǎng)為2或，故答案為2

8、或.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，以及直線與平面所成的角，屬于難題. 解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理.12. 如圖，在四邊形中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)和交的延長(zhǎng)線于不同的兩點(diǎn)，則的值為_【答案】0【解析】【詳解】如圖，連ac，取ac的中點(diǎn)e，連me，ne，則分別為的中位線，所以,所以由與共線，所以，故答案：0點(diǎn)睛：（1）根據(jù)題中的，添加輔助線是解題的突破口，得到是解題的關(guān)鍵，然后根據(jù)向量的共線可得，再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求解（2）也可利用兩式相加得到13. 已知函數(shù)

9、，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍_.【答案】【解析】【分析】先運(yùn)用分段函數(shù)的解析式，得出的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間,即可求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),當(dāng),綜上可知：,則，有兩個(gè)根，,(不妨設(shè),當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),令,則，,設(shè)，,所以,，函數(shù)單調(diào)遞減,的值域?yàn)?取值范圍為,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的零點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于討論自變量的范圍得出函數(shù)的表達(dá)式，再運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的圖象趨勢(shì)，得出的函數(shù)解析式，屬于難度題.14. 在中，記角a，b，c所對(duì)的邊分別是a，b，c，面積為s，則的最大值為_【答案】【解析】【分析】利用面積公式和余弦定理，結(jié)合均值不等式以及線性規(guī)劃即可求得最大值.【詳

10、解】 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.令，故，因?yàn)椋?，故可得點(diǎn)表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點(diǎn)，如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)上，表示圓弧上一點(diǎn)到點(diǎn)點(diǎn)的斜率，由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)，即時(shí)，取得最小值，故可得， 又，故可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即三角形為等邊三角形時(shí)，取得最大值.故答案：.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理求范圍問題，涉及線性規(guī)劃以及均值不等式，屬綜合困難題.二、解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. 在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，.（1）求的值；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）先用二倍角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)

11、正弦定理即可解出；（2）用正弦定理分別表示，再用三角形內(nèi)角和及和差公式化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值.【詳解】（1）由及二倍角公式得，又即，所以；（2）由正弦定理得，周長(zhǎng)：，又因?yàn)?，所?因此周長(zhǎng)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理解三角形，三角形求邊長(zhǎng)取值范圍常用的方法：1、轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值；2、基本不等式.16. 如圖，在直三棱柱中，,分別是,的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面平面【答案】（）詳見解析（）詳見解析【解析】試題分析：（）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結(jié)合平幾知識(shí)，如三角形中位線性質(zhì)，及利用柱體性質(zhì)

12、，如上下底面對(duì)應(yīng)邊相互平行（）證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從線面垂直出發(fā)給予證明，而線面垂直的證明，往往需要利用線面垂直判定與性質(zhì)定理進(jìn)行多次轉(zhuǎn)化：由直棱柱性質(zhì)得側(cè)棱垂直于底面：底面，再轉(zhuǎn)化為線線垂直；又根據(jù)線線平行，將線線垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)線面垂直判定定理得平面試題解析：證明：（1）因?yàn)?分別是,的中點(diǎn)，所以， .2分又因?yàn)樵谌庵校? 4分又平面，平面，所以平面. 6分（2）在直三棱柱中，底面，又底面，所以. .8分又，所以， .10分又平面，且，所以平面. 12分又平面，所以平面平面 14分（注：第（2）小題也可以用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，類似給分）考點(diǎn)：線面平

13、行判定定理，面面垂直判定定理【思想點(diǎn)睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.17. 如圖所示，為美化環(huán)境，擬在四邊形空地上修建兩條道路和，將四邊形分成三個(gè)區(qū)域，種植不同品種的花草，其中點(diǎn)在邊的三等分點(diǎn)處（靠近點(diǎn)），百米，百米，.（1）求區(qū)域的面積；（2）為便于花草種植，現(xiàn)擬過點(diǎn)鋪設(shè)一條水管至道路上，求水管最短時(shí)的長(zhǎng)【答案】（1）平方百米；（2）百米.【解析】【分析】（1）由余弦定理求出百米，由此能求出區(qū)域面積；（2）記，在中，利用正弦定理求出和的值，

14、當(dāng)時(shí)，水管長(zhǎng)最短，由此能求出當(dāng)水管最短時(shí)的長(zhǎng).【詳解】（1）由題知，在中，由余弦定理得，即，所以百米所以（平方百米）.（2）記，在中，即，所以，當(dāng)時(shí)，水管最短，在中，=百米.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式的綜合應(yīng)用，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值，并求三角形面積，屬于基礎(chǔ)題.（1）根據(jù)余弦定理，可直接求得ab的長(zhǎng)度，由三角形面積公式即可求得的面積；（2）根據(jù)最短距離為垂直距離，可求得ch的長(zhǎng).18. 已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)斜率不為零的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且的垂直平分線交軸于點(diǎn)

15、，求直線的斜率.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，線段的中點(diǎn)為，根據(jù)，得，解方程即得直線pq的斜率.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓離心率為，當(dāng)p為c的短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積有最大值.所以，所以，故橢圓c的方程為:.（2）設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，代入，得:.設(shè)，線段的中點(diǎn)為，即因?yàn)椋瑒t，所以，化簡(jiǎn)得，解得或，即直線的斜率為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和記為，且，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和記為.若，且

16、存在不小于3的正整數(shù)，使得.（1）若，求的值；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若，是否存在整數(shù)，使得，若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）見解析（3）存在滿足題意【解析】【分析】(1)令n=3即得的值；（2）利用等差數(shù)列的中項(xiàng)公式證明數(shù)列為等差數(shù)列；（3）化簡(jiǎn)得，再分析得到.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?（2）由，得，兩式相減，得，即，所以.兩式相減，得，所以數(shù)列為等差數(shù)列.（3）依題意：，由得：，即，所以.因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，且為奇?shù)，所以時(shí)，是整數(shù)，此時(shí)，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的證明，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)

17、的理解掌握水平和分析推理能力.20. 已知，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象在處的切線方程；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；（3）若存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)圖象在處的切線方程為.（2）先求導(dǎo)得，再對(duì)a分類討論得到的取值范圍.(3對(duì)a分類討論，結(jié)合極大值小于極小值求出的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，則.又因?yàn)椋院瘮?shù)圖象在處的切線方程為，即.（2）因?yàn)樗?，且.因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，所以滿足條件.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞

18、減，所以時(shí)，這與時(shí)，恒成立矛盾.所以不滿足條件.綜上，的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以不存在極值，所以不滿足條件.當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，列表如下：極大值極小值由于在是單調(diào)減函數(shù)，此時(shí)極大值大于極小值，不合題意，所以不滿足條件.當(dāng)時(shí)，由，得.列表如下：極小值此時(shí)僅存在極小值，不合題意，所以不滿足條件.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，且?列表如下：極大值極小值所以存在極大值和極小值，此時(shí) 因?yàn)?，所以，所以，即，所以滿足條件.綜上，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究極值和不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的

19、理解掌握水平和分析推理能力.數(shù)學(xué)附加題(滿分40分，考試時(shí)間30分鐘)【選做題】 在三小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分若多做，則按作答的前兩題計(jì)分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟(選修42：矩陣與變換)21. 求橢圓在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下所得曲線的方程.【答案】【解析】【分析】設(shè)是曲線上的任一點(diǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)變換原則可求得橢圓上的點(diǎn)滿足，代入橢圓方程即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)是曲線上的任一點(diǎn)，它是橢圓上的點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)變換作用下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則，即，代入得：.即曲線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)矩陣對(duì)應(yīng)變換求解曲線方程的問題，屬于?？碱}型.(選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)22. 在

20、平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求曲線c的極坐標(biāo)方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，a（2，0），b（0，2），m是曲線c上任意一點(diǎn)，求abm面積的最小值【答案】（1）26cos8sin+210（2）92【解析】【分析】(1)先將化簡(jiǎn)成直角坐標(biāo)方程,再利用與化簡(jiǎn)即可.(2)由為以為底,到的距離為高可知要求面積的最小值即求到的距離最大值.再設(shè)求解最值即可.【詳解】（1）曲線c的參數(shù)方程為,（為參數(shù)）,有.上下平方相加得曲線c的直角坐標(biāo)方程為,化簡(jiǎn)得將與,代入得曲線c的直角坐標(biāo)方程有：（2）設(shè)點(diǎn)到直線ab：x+y+20的距

21、離為d,則,當(dāng)sin（）1時(shí),d有最小值,所以abm面積的最小值s92【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)系的互化,同時(shí)與考查了圓上的點(diǎn)到直線距離最值的問題,屬于中等題型.(選修4-5：不等式選講)23. 已知，均為正數(shù)，且，求證：【答案】詳見解析【解析】【分析】由，均為正數(shù)，運(yùn)用柯西不等式和不等式的性質(zhì)，即可得證；【詳解】因?yàn)椋鶠檎龜?shù)，所以，均為正數(shù)，由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立因?yàn)?，所以，所以【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用柯西不等式和不等式的性質(zhì)，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題【必做題】每小題10分，共20分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟24. 廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品（1）若廠家?guī)旆恐校ㄒ暈閿?shù)量足夠多）的每件產(chǎn)品合格的概率為 從中任意取出 3件進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有 件是合格品的概率；（2）若廠家發(fā)給商家 件產(chǎn)品，其中有不合格，按合同規(guī)定 商家從這 件產(chǎn)品中任取件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有 件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收求該商家可能檢驗(yàn)出的不合格產(chǎn)品的件數(shù)的分布列，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率【答案】（1）；（2）分