2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第五講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)學(xué)案 新人教版

1、2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第五講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)學(xué)案 新人教版2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第五講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)學(xué)案 新人教版年級(jí)：姓名：第五講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)知識(shí)梳理雙基自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直(1)直線與平面垂直定義：若直線l與平面內(nèi)的_任意_一條直線都垂直，則直線l與平面垂直判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條_相交_直線都垂直，則該直線與此平面垂直(線線垂直線面垂直)即：a，_b_，la，lb，abpl.性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_平行_.即：a，b_ab_.(2)直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線

2、和它在平面上的射影所成的_銳角_，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，直線與平面所成角為_0_，若直線與平面垂直，直線與平面所成角為_.線面角的范圍：.知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念二面角：從一條直線出發(fā)的_兩個(gè)半平面_所組成的圖形叫做二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱_垂直_的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角二面角的范圍：0，(2)平面與平面垂直定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是_直二面角_，就說這兩個(gè)平面互相垂直判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直即：a，a_.性質(zhì)定理：兩個(gè)

3、平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于_交線_的直線與另一個(gè)平面垂直即：，a，b，ab_a_.1若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面2若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法)3垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行4一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行()(3)若直線a，b，則ab.()(4)若，a，則a.()(5)若直線a平面，直線b，則直線a與b垂直()(6)若平面

4、內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.()題組二走進(jìn)教材2(多選題)(必修2p73t1)下列命題中正確的是(abc)a如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面b如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面c如果平面平面，平面平面，l，那么l平面d如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面解析對(duì)于d，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其他選項(xiàng)均是正確的題組三走向高考3(2017課標(biāo)全國)在正方體abcda1b1c1d1中，e為棱cd的中點(diǎn)，則(c)aa1edc1ba1ebdca1ebc1da1eac解析a1b1平面bc

5、c1b1，bc1平面bcc1b1，a1b1bc1，又bc1b1c，且b1ca1b1b1，bc1平面a1b1cd，又a1e平面a1b1cd，bc1a1e.故選c4(2019北京)已知l，m是平面外的兩條不同直線給出下列三個(gè)論斷：lm；m；l.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：_若l，lm，則m.(或若l，m，則lm)_.解析由l，m是平面外的兩條不同直線，及線面平行的判定定理得：若l，lm，則m，若l，m，則由線面垂直的性質(zhì)和線面平行的性質(zhì)得lm，若l，m，則lm，故答案為：若l，lm，則m.(或若l，m，則lm)5(2020全國(節(jié)選)如圖，已知三棱柱abc

6、a1b1c1的底面是正三角形，側(cè)面bb1c1c是矩形，m，n分別為bc，b1c1的中點(diǎn)，p為am上一點(diǎn)過b1c1和p的平面交ab于e，交ac于f.證明：aa1mn，且平面a1amn平面eb1c1f.證明m，n分別為bc，b1c1的中點(diǎn)，mnbb1又aa1bb1，mnaa1在等邊abc中，m為bc中點(diǎn)，則bcam.又側(cè)面bb1c1c為矩形，bcbb1mnbb1，mnbc由mnamm，mn，am平面a1amnbc平面a1amn又b1c1bc，且b1c1平面abc，bc平面abc，b1c1平面abc又b1c1平面eb1c1f，且平面eb1c1f平面abcefb1c1ef，efbc又bc平面a1amn

7、ef平面a1amnef平面eb1c1f平面eb1c1f平面a1amn.考點(diǎn)突破互動(dòng)探究考點(diǎn)一空間垂直關(guān)系的基本問題自主練透例1 (1)(2021河北保定七校聯(lián)考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，p：mn，若p是q的必要條件，則q可能是(b)aq：m，n，bq：m，n，cq：m，n，dq：m，n，(2)(2019陜西漢中質(zhì)檢一)已知l，m表示兩條不同的直線，表示兩個(gè)不同的平面，l，m，則有下面四個(gè)命題：若，則lm，若，則lm；若lm，則；若lm，則.其中所有正確的命題是(a)abcd(3)(多選題)(2021四川成都診斷改編)已知，是空間中兩個(gè)不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線

8、，則下列說法錯(cuò)誤的是(abd)a若m，n，且，則mnb若m，n，且，則mnc若m，n，且，則mnd若m，n，且，則mn解析(1)由題知q能推出p：mn.對(duì)a，當(dāng)mn時(shí)仍然可以有m，n，.故a錯(cuò)誤對(duì)b，n，則n，又m，則mn.故b正確對(duì)c，m，則m，又n，故mn.故c錯(cuò)誤對(duì)d，當(dāng)且相交于m時(shí)，若nm，也滿足m，n.故d錯(cuò)誤lm，對(duì)；，對(duì)；由圖可知錯(cuò)故選a(3)由m，n，且，得mn或m與n相交，或m與n異面，故a錯(cuò)誤；由m，n，且，得mn或m與n相交或m與n異面，故b錯(cuò)誤；由m，得m，又n，則mn，故c正確；由m，n且，得mn或m與n相交或m與n異面，故d錯(cuò)誤，故選a、b、d名師點(diǎn)撥解決空間中線面

9、、面面垂直的問題有以下三種方法：(1)依據(jù)相關(guān)定理得出結(jié)論(2)結(jié)合符合題意的模型(如構(gòu)造正方體、長方體)作出判斷，或借助筆、紙、桌面進(jìn)行演示，注意能平移或旋轉(zhuǎn)的線，讓其動(dòng)動(dòng)再判斷(3)否定命題時(shí)只需舉一個(gè)反例即可變式訓(xùn)練1(1)(2021東北三省三校模擬)已知，是不重合的平面，m，n是不重合的直線，則m的一個(gè)充分條件是(c)amn，nbm，cn，n，mdn，mn(2)(2021福建福州調(diào)研)已知兩條直線m，n和兩個(gè)平面，下列命題正確的是(a)a若m，n，且mn，則b若m，n，且mn，則c若m，n，且mn，則d若m，n，且mn，則解析(1)對(duì)于答案a：mn，n，得出m與是相交的或是垂直的，或m

10、，故a錯(cuò)；答案b：m，得出m與是相交的、平行的都可，故b錯(cuò)；答案c：n，n，得出，再m得出m，故c正確n或n.若n，又n，；若n，則存在l且ln，又n，l，故a正確；事實(shí)上，在b中條件下，、可能相交；在c中條件下，、可能平行；在d的條件下，故選a考點(diǎn)二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)多維探究角度1線、面垂直的判定例2 如圖所示，已知pa矩形abcd所在平面，m，n分別是ab，pc的中點(diǎn)(1)求證：mncd；(2)若pda45，求證：mn平面pcd證明解法一：(1)連接ac，an ，bn，pa平面abcd，paac，在rtpac中，n為pc中點(diǎn)anpcpa平面abcd，pabc又bcab ，paaba

11、，bc平面pab，bcpb從而在rtpbc中，bn為斜邊pc上的中線，bnpcanbn，abn為等腰三角形又m為底邊ab的中點(diǎn)，mnab，又abcd，mncd(2)pa平面abcd，paad又pda45，apad四邊形abcd為矩形，adbc，pabc連接pm，cm，又m為ab的中點(diǎn)，ambm.而pamcbm90，rtpamrtcbm.pmcm，又n為pc的中點(diǎn)，mnpc由知mncd，pccdc，mn平面pcd解法二：pa平面abcd，paad，paab，又abad，pa、ab、ad兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)c(a，b,0)，p(0,0，c)，則d(0，b,0)，m，n，(1)由

12、，(a,0,0)，0，mncd(2)pda45，bc，又(a，b，b)，(a，b，b)0，mnpc，又mncd，mn平面pcd角度2線、面垂直的性質(zhì)例3 (2021河北“五個(gè)一聯(lián)盟”聯(lián)考，節(jié)選)如圖，在三棱柱abca1b1c1中，b1c1平面aa1c1c，d是aa1的中點(diǎn)，acd是邊長為1的等邊三角形證明：cdb1d證明acd是邊長為1的等邊三角形，adc60，da1c1120.d是aa1的中點(diǎn)，acd的邊長為1，ada1da1c11，即a1c1d是等腰三角形，a1dc130，從而cdc190，即cdc1db1c1平面aa1c1c，且cd平面aa1c1c，b1c1cdb1c1c1dc1，b1c

13、1平面b1c1d，c1d平面b1c1d，cd平面b1c1db1d平面b1c1d，cdb1d名師點(diǎn)撥1證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)(3)利用勾股定理的逆定理(4)利用直線與平面垂直的性質(zhì)(5)向量法：abab0.2證明線面垂直的常用方法(1)利用判定定理，它是最常用的思路(2)利用線面垂直的性質(zhì)：若兩平行線之一垂直于平面，則另一條線必垂直于該平面(3)利用面面垂直的性質(zhì)：兩平面互相垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一平面若兩相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線垂直于第三個(gè)平面(4)向量法：證明直線的方向向量與平面的法向量平行變

14、式訓(xùn)練2(1)(角度1)(2020河南六市一模)在如圖所示的幾何體中，abca1b1c1為三棱柱，且aa1平面abc，四邊形abcd為平行四邊形，ad2cdadc60，若aa1ac，求證：ac1平面a1b1cd(2)(角度2)(2021湖南炎德英才大聯(lián)考，節(jié)選)如圖，圓柱oq的上，下底面圓的圓心分別為q，o，四邊形abcd是圓柱oq的軸截面，點(diǎn)p在圓柱oq的下底面圓周上，g是dp的中點(diǎn)，圓柱oq的底面圓的直徑ab4，母線adap2.求證：agbd證明(1)證法1：ad2cd，adc 60，dcac，又aa1平面abc，aa1dcdc平面aa1c1c，又ac1平面aa1c1c，dcac1，aa1

15、ac，四邊形aa1c1c為菱形，ac1a1c，而dca1cc，ac1平面a1b1cd證法2：ad2cd，adc60，acd90，則cd，ca，cc1兩兩垂直如圖，建立空間直角坐標(biāo)系cxyz.不妨設(shè)cd1，則c(0,0,0)，d(1,0,0)，a(0，0)，c1(0,0，)，a1(0，)(0，)，(1,0,0)，(0，)易得0，0.ac1cd，ac1ca1，又cdca1c，ac1平面a1b1cd(2)證法1：adap，又g是dp的中點(diǎn)，agdp.ab為圓o的直徑，apbp，易知da底面abp，dabp，而adapa，bp平面adp，又ag平面adp，bpag，由可知：ag平面bdp，又bd平面b

16、dp，agbd證法2：ab為o的直徑，papb，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意知p(0,0,0)，a(0,2，0)，b(2,0,0)，d(0,2，2)，g(0，)，(0，)，(2,2，2)，0，即agbd考點(diǎn)三兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)師生共研例4 (2020四川成都二診)如圖，在正三棱柱abca1b1c1中，ab4，aa16，e，f分別為bb1，ac的中點(diǎn)(1)求證：平面a1ec平面acc1a1；(2)求幾何體aa1ebc的體積解析(1)證明：如圖，連接ac1交a1c于點(diǎn)o，連接oe，of，在正三棱柱abca1b1c1中，四邊形acc1a1為矩形，所以oaoc1.又因?yàn)閒為ac的中點(diǎn)，所以of

17、cc1且ofcc1.因?yàn)閑為bb1的中點(diǎn)，所以becc1且becc1.所以beof且beof.所以四邊形beof是平行四邊形，所以bfoe.因?yàn)閍bcb，f為ac的中點(diǎn)，所以bfac，所以oeac因?yàn)閍a1底面abc，所以aa1bf，所以oeaa1.又aa1，ac平面acc1a1，且aa1aca，所以oe平面acc1a1.因?yàn)閛e平面a1ec，所以平面a1ec平面acc1a1.(2)四棱錐a1eb1c1c的高為h4sin 602，底面為直角梯形，面積為s(36)418，得va1eb1c1c21812，故幾何體aa1ebc的體積為vaa1ebcvabca1b1c1va1eb1c1c4461212

18、.例5 (2021黑龍江大慶市質(zhì)檢)在四棱錐pabcd中，平面pad平面abcd，papd2，四邊形abcd是邊長為2的菱形，dab60，e是ad的中點(diǎn)(1)求證：be平面pad；(2)求點(diǎn)e到平面pab的距離解析(1)連接bd，在pad中，papd2，e是ad的中點(diǎn)，pead，平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，pe平面abcd，pebe，又四邊形abcd是邊長為2的菱形，dab60，abd為等邊三角形，bead，又peade，pe平面pad，ad平面pad，be平面pad(2)在pab中，paab2，pb，則spab，在abe中，ab2，ae1，be，則sabe，由pe面a

19、bcd，pe，得vpabe1，由vpabevepab，設(shè)點(diǎn)e到平面pab的距離為h，則h，則h，即點(diǎn)e到平面pab的距離為.名師點(diǎn)撥(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知面面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直(3)變式訓(xùn)練3(1)(2020湖南婁底模擬)如圖所示，在四棱錐pabcd中，底面abcd是菱形，dab，側(cè)面pad是等邊三角形，且平面pad平面abcd，e為棱pc上一點(diǎn)，若平面ebd平面abcd，則_.(2)(2021云南玉海一中期中)已知三棱錐pabc(如圖1)的展開圖如圖2，其

20、中四邊形abcd為邊長等于的正方形，abe和bcf均為正三角形證明：平面pac平面abc解析(1)取ad的中點(diǎn)o，連接oc交bd于f點(diǎn)，連接ef，pad是等邊三角形，poad，odbc，bc2od，fc2of.又平面pad平面abcd，poad，po平面abcd，又平面bde平面abcd，po平面bde.opef，.故答案為：.(2)證明：如圖取ac的中點(diǎn)o，連接bo，po.由題意可知papbpc，po1，aoboco1，在pac中，papc，o為ac的中點(diǎn)，poac在pob中，po1，ob1，pb，po2ob2pb2，poobacobo，ac，ob平面abc，po平面abc，po平面pac，平面pac平面abc名師講壇素養(yǎng)提升立體幾何中的軌跡問題例6 (多選題)(2021山東青島模擬)在如圖所示的棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)p在側(cè)面bcc1b1所在的平面上運(yùn)動(dòng)，則下列命題中正確的為(abd)a若點(diǎn)p總滿足pabd1，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是一條直線b若點(diǎn)p到點(diǎn)a的距離為，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是一個(gè)周長為2的圓c若點(diǎn)p到直線ab的距離與到點(diǎn)c的距離之和為1，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是橢圓d若點(diǎn)p到直線ad與直線cc1的距離相等，則動(dòng)