2022版高考數(shù)學一輪復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第一講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)學案 新人教版

1、2022版高考數(shù)學一輪復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第一講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)學案 新人教版2022版高考數(shù)學一輪復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第一講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)學案 新人教版年級：姓名：第三章三角函數(shù)、解三角形第一講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)知識梳理雙基自測知識點一角的有關(guān)概念(1)從運動的角度看，角可分為正角、 負角 和 零角 .(2)從終邊位置來看，角可分為 象限角 與 軸線角 .(3)若與是終邊相同的角，則用表示為 2k，kz.知識點二弧度制及弧長、扇形面積公式(1)1弧度的角長度等于 半徑長 的弧所對的圓心角叫做1弧度的角(2)角的弧

2、度數(shù)如果半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，那么角的弧度數(shù)的絕對值是| .(3)角度與弧度的換算1 rad；1rad .(4)弧長、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為(rad)，半徑為r，則l |r ，扇形的面積為slr |r2.知識點三任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點p(x，y)，那么sin y ，cos x ，tan (x0).(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是點(1,0)如圖中有向線段mp，om，at分別叫做角的 正弦線 ， 余弦線 和 正切線 .1終邊相同的角與

3、對稱性拓展(1)，終邊相同2k，kz.(2)，終邊關(guān)于x軸對稱2k，kz.(3)，終邊關(guān)于y軸對稱2k，kz.(4)，終邊關(guān)于原點對稱2k，kz.2終邊相同的角不一定相等，相等角的終邊一定相同，在書寫與角終邊相同的角時，單位必須一致題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)小于90的角是銳角()(2)銳角是第一象限角，反之亦然()(3)將表的分針撥快5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是30.()(4)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等()(5)角ak(kz)是第一象限角()(6)若sin sin ，則.()解析根據(jù)任意角的概念知(1)(2)(3)(4)(5)(6)均是

4、錯誤的題組二走進教材2(必修4p10at8改編)下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是(c)a2k45(kz) bk360(kz)ck360315(kz) dk(kz)解析由定義知終邊相同的角的表達式中不能同時出現(xiàn)角度和弧度，應(yīng)為2k或k36045(kz)3(必修4p15t6改編)若角滿足tan 0，sin 0知，是一、三象限角，由sin 0 bcos 20 dsin 20解析是第四象限角，2k2k，kz，4k24k，kz，角2的終邊在第三、四象限或y軸非正半軸上，sin 20，cos 2可正、可負、可零故選d.6(2019浙江，14分)已知角的頂點與原點o重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的

5、終邊過點p.則sin()的值為 .解析由角的終邊過點p得sin ，所以sin()sin .考點突破互動探究考點一角的基本概念自主練透例1 (1)若角的終邊與角的終邊相同，則在區(qū)間0,2)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角為 ，.(2)若角的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線yx上，則角的取值集合是(d)a. bc d(3)(多選題)已知角的終邊在第二象限，則的終邊在第幾象限(ac)a一 b二 c三 d四解析(1)2k(kz)，(kz)依題意，02，kz，解得k，kz.k0,1,2，即在區(qū)間0,2)內(nèi)終邊與相同的角為，.(2)因為直線yx的傾斜角是，所以終邊落在直線yx上的角的取值集合為，

6、故選d.(3)由角的終邊在第二象限，所以k2k2，kz，所以22，kz，當k2m，mz時，m2m2，mz，所以終邊在第一象限；當k2m1，mz時，m2m2，mz，所以終邊在第三象限，綜上，的終邊在第一或三象限故選a、c.引申(1)本例題(3)中，若把第二象限改為第三象限，則結(jié)果如何？答案的終邊在第二或第四象限(2)在本例題(3)中，條件不變，的終邊所在的位置是 在第一、二或四象限 .(3)在本例(3)中，條件不變，則是第 一 象限角，2終邊的位置是 第三或第四象限或y軸負半軸上 .名師點撥1迅速進行角度和弧度的互化，準確判斷角所在的象限是學習三角函數(shù)知識必備的基本功，若要確定一個絕對值較大的角

7、所在的象限，一般是先將角化成2k(02)(kz)的形式，然后再根據(jù)所在的象限予以判斷，這里要特別注意是的偶數(shù)倍，而不是的整數(shù)倍2終邊相同角的表達式的應(yīng)用利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k(kz)賦值來求得所需角3確定(kn*)的終邊位置的方法(1)討論法：用終邊相同角的形式表示出角的范圍寫出的范圍根據(jù)k的可能取值討論確定的終邊所在位置(2)等分象限角的方法：已知角是第m(m1,2,3,4)象限角，求是第幾象限角等分：將每個象限分成k等份標注：從x軸正半軸開始，按照逆時針方向順次循環(huán)標上1,2,3,4，直至回到x軸

8、正半軸選答：出現(xiàn)數(shù)字m的區(qū)域，即為所在的象限如判斷象限問題可采用等分象限法.考點二扇形的弧長、面積公式的應(yīng)用師生共研例2 已知扇形的圓心角是，半徑為r，弧長為l.(1)若60，r10 cm，求扇形的弧長l.(2)若扇形的周長是20 cm，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？(3)若，r2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積解析(1)60，l10(cm)(2)由已知得，l2r20，所以slr(202r)r10rr2(r5)225.所以當r5時，s取得最大值25 cm2，此時l10，2.(3)設(shè)弓形面積為s弓由題知l cm.s弓s扇形s三角形222sin cm2.答案(1) cm(2)2

9、時，s最大為25 cm2(3)cm2名師點撥弧長和扇形面積的計算方法(1)在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷但要注意圓心角的單位是弧度(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值(3)記住下列公式：lr；slr；sr2.其中r是扇形的半徑，l是弧長，(02)為圓心角，s是扇形面積變式訓練1(1)(2021廣東珠海模擬)已知扇形的周長是4 cm，則扇形面積最大時，扇形的圓心角的弧度數(shù)是(a)a2 b1 c d3(2)(2020山東濰坊期中)九章算術(shù)是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中方田章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧

10、田面積(弦矢矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差現(xiàn)有圓心角為，半徑為6 m的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約是(1.73)(c)a16 m2 b18 m2 c20 m2 d25 m2解析(1)設(shè)扇形的半徑為r，則弧長l42r，扇形面積slrr(2r)r22r(r1)21，當r1時，s最大，此時l2，扇形圓心角為2弧度(2)如圖，由題意，得aob，oa6.在rtaod中，可得aod，dao，odao63，可得矢633.由adaosin 63，可得弦ab2ad236，所以弧田面積(弦矢矢2)(6332)94.520(m2

11、)，故選c.考點三三角函數(shù)的定義多維探究角度1定義的直接應(yīng)用例3 (1)(2020北京海淀期中)在平面直角坐標系xoy中，點a的縱坐標為2，點c在x軸的正半軸上在aoc中，若cos aoc，則點a的橫坐標為(a)a b c3 d3(2)若角的終邊經(jīng)過點p(，m)(m0)且sin m，則cos 的值為 .分析利用三角函數(shù)的定義求解解析(1)設(shè)點a的橫坐標為x，則由題意知，解得x或，又x0 bcos(305)0ctan0 dsin 100(2)若sin tan 0，且0，則角是(c)a第一象限角 b第二象限角c第三象限角 d第四象限角解析(1)30036060，則300是第四象限角，故sin 30

12、00，而8，所以是第二象限角，故tan0，因為310，所以10是第三象限角，故sin 100.故選b、d.(2)由sin tan 0可知sin ，tan 異號，則為第二或第三象限角由0可知cos ，tan 異號，則為第三或第四象限角綜上可知，為第三象限角故選c.名師點撥定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角終邊上一點p的坐標，可先求出點p到原點的距離|op|r，然后利用三角函數(shù)的定義求解(2)已知角的終邊所在的直線方程，可先設(shè)出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離r，再利用三角函數(shù)的定義求解，應(yīng)注意分情況討論變式訓練2(1)(角度1)若sin cos 0，則角是(d)a第一象限角 b第二象限角c第三象限角 d第四象限角(2)(角度2)已知角的終邊與單位圓的交點為p，則sin tan 等于(c)a b c d解析(1)由0，得0，cos 0，又sin cos 0，所以sin