徑流隨機(jī)模擬講解

1、徑流隨機(jī)模擬由于實(shí)際水文資料往往比較短，難于滿足實(shí)際水文程作隨機(jī)模擬。這種隨機(jī)模擬的目的之一在于充分利用是用來延長資料長度。當(dāng)所建模型及參數(shù)準(zhǔn)確時，這種年月徑流隨機(jī)模擬方法，對于多站及更深入的隨機(jī)模擬一、隨機(jī)過程基本知識 (一)隨機(jī)過程和時間序列的定義 在實(shí)際問題中，常涉及試驗(yàn)過程隨某個參變量的變的流量、水位是隨時間變化的隨機(jī)變量，氣溫是隨時間這種隨機(jī)變量為隨機(jī)函數(shù)，并稱以時間為參數(shù)的隨機(jī)函數(shù)為隨機(jī)過程，記為，T是t變化的范圍。 隨機(jī)過程在一次試驗(yàn)或觀測中所得結(jié)果，稱為隨機(jī)過程的一個實(shí)現(xiàn)。 若時間參變量T是連續(xù)時刻的集合，則稱這種隨創(chuàng)機(jī)過程為連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過程，如水位過程、流量過程等。若時間參變

2、量T是程為離散時刻的集合，則稱這種隨機(jī)過離散參數(shù)隨機(jī)過程，也稱為隨機(jī)序列或時間序列。如年、月徑流程，年最大流量過程都是時間序列，也稱水文時間序列。 (二)隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程在任一固定時刻的狀態(tài)是隨機(jī)變量，因此可按與前述隨機(jī)變量同樣的方法定義隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望和方差。定義如下數(shù)學(xué)期望 (811)方差 (812)為了規(guī)劃隨機(jī)變量兩個不同時刻狀態(tài)間關(guān)系的密切程度，可定義隨機(jī)變量的自相關(guān)函數(shù)為 （8-13） (三)隨權(quán)過程基本分類 l。按統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的穩(wěn)定性分類 按隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)是否隨時間而變化，可分成平穩(wěn)和非平穩(wěn)過程。若隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)數(shù)字特征不隨時間的平移而變化，則稱為平穩(wěn)過程，否則為非平穩(wěn)過

3、程。 2按不同時刻狀態(tài)間的關(guān)系分類 可分成獨(dú)立過程和馬爾柯夫過程。若過程各狀態(tài)相互獨(dú)立，則稱為獨(dú)立隨機(jī)過程。在非獨(dú)立隨機(jī)過程中，最重要的一類是馬爾柯夫過程，其特點(diǎn)是時刻狀態(tài)只與時刻有關(guān)，而與以前各時刻無關(guān)。以上各個概念的嚴(yán)格定義，可參見有關(guān)文獻(xiàn)。二、徑流隨機(jī)模擬一船步驟圖87給出了單站年徑流隨機(jī)模擬的一般步驟：時間序列組成分析；模型的建立；序列的生成；模型及生成系列的檢驗(yàn)。三、水文時間序列的組成分析水文序列一殷可按下式表示： （8-14）Tt，Ct，Pt，St分別為趨勢項(xiàng)、跳躍項(xiàng)、周期項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)。 當(dāng)水文序列中不含Tt，Ct，Pt等確定性成分時，如St，即僅包括隨機(jī)成分的序列。對年徑流序列而言

4、，這種情況是出較常見的。但月徑流序列因存在明顯的年周期，所以不是僅包括隨機(jī)成分的序列。 趨勢項(xiàng)指的是水文變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)(主要是均值)的長期系統(tǒng)性升降，如圖88即存在明顯趨勢(增長)。一般是由于氣候因子或下墊面因子逐步改變而引起的緩慢變化。對實(shí)測水文序列，可用假設(shè)檢驗(yàn)或滑動平均的方法查明是否存在趨勢。若存在趨勢，呈線性變化時，常用線性方程擬合，然后從序列中將趨勢濾掉。跳躍項(xiàng)是指水文序列急劇變化的一種形式， 當(dāng)水文序列從一種狀態(tài)過渡到另一種狀態(tài)時表現(xiàn)出來。見圖8-9。跳躍是人為或自然原因造成的。如建庫后面積增大，蒸發(fā)量等損失增加，有可能出現(xiàn)跳躍，并反映在年徑流序列的均值等參數(shù)。突變可看作跳躍的一種

5、特殊情況，如由于地震塌方，攔截江河，形成水庫以后潰壩，這樣引起流量的突變，隨著臨時水壩的沖毀，又恢復(fù)到原來狀態(tài)。 跳躍是否存在于序列中，多用分割樣本的方法檢驗(yàn)。若存在較顯著的跳躍成分，應(yīng)從序列中排除掉，使得剩余序列具有原始狀態(tài)或一致條件。 周期項(xiàng)(含近似周期)是由于天體運(yùn)動的周期性影響造成的，如地球公轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)引起以年和日為周期的變化，以及太陽黑子活動引起的旱澇多年變化。通常可用諧波分析的方法析出，再從序列中濾掉。 隨機(jī)成分是由于不規(guī)則及隨機(jī)振蕩引起的，一般由相依成分和純隨機(jī)成分組成。嚴(yán)格地講，幾乎所有水文變量應(yīng)是非平穩(wěn)過程。不過除了人為影響及自然災(zāi)變外，水文環(huán)境的變化在數(shù)十年或幾百年期間都相當(dāng)

6、小，因此，從實(shí)用觀點(diǎn)，常把水文序列中的隨機(jī)成分看作平穩(wěn)過程。圖88序列趨勢變化示意圖圖89跳躍成分及包含跳躍成分的合成序列四、單站年月徑流隨機(jī)模型的建立 對年月徑流序列建立隨機(jī)模型一般是對原始年月徑流序列排除趨勢跳躍等確定性成分后的隨機(jī)成分而建立的模型。設(shè)用于建模的年徑流序列為，。 徑流序列隨機(jī)模型是實(shí)測時間序列一種概化的數(shù)學(xué)式子。目前常見的隨機(jī)模型有：線性平穩(wěn)模型、非線性平穩(wěn)模型，馬爾柯夫模型及非馬爾柯夫模型等。對年徑流序列而言，常采用線性平穩(wěn)模型或馬爾柯夫模型。 建立隨機(jī)模型的一般步驟為：選擇模型；確定階數(shù)；估計(jì)模型參數(shù) (一)單站年徑流隨機(jī)模型的建立 通常采用線性自回歸模型，即馬爾柯夫模

7、型 1線性自回歸模型的一船形式 （8-15） 第t年的年徑流量，t=1，2，常稱式（8-15）的為自回歸系列。序列的平均值；，自回歸系數(shù)或偏相關(guān)系數(shù)，反映在時間上相依性大??； 模型殘差項(xiàng)，純隨機(jī)成分， 與，無關(guān)且是獨(dú)立隨機(jī)變量，其均值為0，方差為。 由于與的方差有確定關(guān)系，因此，一般自回歸模型中參數(shù)有：、和，共p十2個參數(shù)。 該模型說明第t年年徑流量僅依賴于第t一1年、第t一2年、第t一p年的年徑流量和一個純隨機(jī)變量。 若令，則式(815)變?yōu)椋?(816)式(816)是中心化變量表示的自回歸模型。2模型參數(shù)的估計(jì) （8-19）其中K階樣本自相關(guān)系數(shù)在n較大，K較小時，計(jì)算公式為 （8-20）

8、據(jù)推導(dǎo) （8-21）在數(shù)學(xué)上序列，一般假定為正態(tài)分布，故不需計(jì)算其偏態(tài)系數(shù)。但對于具有偏態(tài)的水文系列，一般把當(dāng)作P-型分布，因此還必須估計(jì)的偏態(tài)系數(shù)。 （8-22）（t=P+1，P+2，n）是根據(jù)估計(jì)出的以上P+2個參數(shù)及觀測序列，利用公式（8-15）反推得到的。平均值是根據(jù)反推序列利用矩法估計(jì)的。3常見AR（1）及AR（2）模型參數(shù)估計(jì)公式AR（1）模型形式為： （8-23）模型參數(shù)估計(jì)公式為： （8-26）AR（2）模型形式為： （8-31）4模型階數(shù)P的確定對于AR（P）序列，可以證明：它的自相關(guān)系數(shù)隨滯時增大而減小，呈拖尾狀，而偏相關(guān)系數(shù)則呈截尾狀，在時出現(xiàn)一個截止點(diǎn)，即在時，當(dāng)時，。

9、因此從理論上講，可以通過計(jì)算不同的進(jìn)行模式識別。例如，當(dāng)從樣本序列估計(jì)在時具有明顯的截尾現(xiàn)象，那么可以推斷該水文序列即適合于AR（3）模型。但是由于實(shí)際水文樣本容量較小，故統(tǒng)計(jì)量抽樣誤差較大，即使是AR（P）序列，當(dāng)時，可能并不為零，這樣就難于做直觀判斷，必須進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。統(tǒng)計(jì)推斷方法是：取顯著水平，若，則可接受異于0的假設(shè)。例如，某河流年徑流偏相關(guān)系數(shù)如圖8-10所示，該圖表明，只有超過95%容許極限，即，故該模型階數(shù)應(yīng)為1，即AR（1）模型。（二） 單站月徑流隨機(jī)模型的建立對已有n年實(shí)測月徑流資料的單站通常有兩條途徑建立其月徑流隨機(jī)模型。一是先建立年徑流模型，再通過建立解集模型把年徑流分解

10、成各月月徑流。解集模型公式為： （8-32）公式中 -各月月徑流流量，；-年徑流量；-模型參數(shù)，反映各月月徑流流量平均分配水平；-1212的參數(shù)矩陣，反映各月之間的相關(guān)關(guān)系程度；-模型殘差項(xiàng)，相互獨(dú)立，可以是正態(tài)或偏態(tài)分布。以上參數(shù)n由年實(shí)測資料估算。本模型結(jié)構(gòu)簡單，概念清晰，但因參數(shù)多，故所需實(shí)測資料較長。二是直接建立月徑流隨機(jī)模型，通常采用季節(jié)性一階自回歸模型，即假定可用12個一階自回歸模型來描述各月月徑流流量及相關(guān)系數(shù)。各月月徑流模型如下： （8-33）公式中-年份，；-月份，；-第年第月的月徑流量；，-第月的月徑流均值和均方差，；-第月和第-1月月徑流之間的相關(guān)系數(shù)，表示第一月和上一年

11、第十二月月徑流量相關(guān)系數(shù)；-第月純隨機(jī)變量，是模型殘差想，可以是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布或標(biāo)準(zhǔn)P-分布，各月之間相互獨(dú)立，且與相互獨(dú)立。以上各有關(guān)參數(shù)可由n年實(shí)測月徑流資料用矩法估算。若采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則月徑流量也是正態(tài)分布。若采用標(biāo)準(zhǔn)P-分布，則月徑流量為近似P-分布，生成P-分布時，還需估算的偏態(tài)系數(shù) （8-34）公式中-第月徑流偏態(tài)系數(shù)，時，表示的是第12月的偏態(tài)系數(shù)，該參數(shù)可用實(shí)測n年第月月徑流序列估算。五、年月徑流序列的生成（模擬）年月徑流序列模擬涉及到純隨機(jī)變量的生成及由生成年月徑流序列的問題。（一） 純隨機(jī)變量隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生純隨機(jī)變量的分布可以是正態(tài)，也可以是偏態(tài)。它的生成一般先生成0，1均

12、勻分布隨機(jī)數(shù)u，再通過變換生成指定分布的隨機(jī)數(shù)。 1均勻分布隨機(jī)數(shù)的生成 生成方法有隨機(jī)數(shù)表法、物理方法及數(shù)學(xué)方法。由于前兩種方法存在嚴(yán)重缺陷，故常用數(shù)學(xué)方法生成，其中應(yīng)用最廣的是乘同余法。 乘同余法生成隨機(jī)數(shù)遞推公式是： (835) (836) 式(835)、式(836)中為初值，為乘子，為模，它們均為非負(fù)整數(shù)，而且M。是被M整除后的余數(shù)，于是M，故即為0，1上的隨機(jī)數(shù)。 這種方法生成的隨機(jī)數(shù)存在著循環(huán)周期，因此，不是真正意義上的隨機(jī)數(shù)，俗稱“偽隨機(jī)數(shù)”。但由于M往往取值很大，周期也很長，目前微機(jī)上周期可達(dá)109以上，實(shí)用上完全能滿足需要。正因如此，實(shí)際大都使用該法生成0，1均勻分布隨機(jī)數(shù)。

13、不過使用前要對生成的隨機(jī)數(shù)作均勻性、獨(dú)立性等檢驗(yàn)。 2正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的生成 通常用BoxMuller變換生成，即 (837)中(837)中，為0，1上的隨機(jī)數(shù)，為相互獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)隨機(jī)數(shù)。對于任意正態(tài)分布，隨機(jī)數(shù) 生成公式，為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。 3P型分布隨機(jī)數(shù)生利用舍選法生成P型分布隨機(jī)數(shù)，詳見圖8一11。 其中（）為為0，1均勻分布隨機(jī)數(shù)，z為所需生成P型分布隨機(jī)數(shù)。該分布3個參數(shù)為：均值，離勢系數(shù)及偏態(tài)系數(shù)。在，已知的情況下，框圖中n、p、a、的計(jì)算公式如下： (838) (839)或 （8-40） （8-41） (二)年月徑流的生成下面僅介紹年徑流生成的方法，月徑流生成的方法類同。

14、設(shè)所建立的模型為AR(1)，且參數(shù)已估計(jì)出。其模型為 （8-42）式(842)中分布參數(shù)：均值為0，均方差為、，偏態(tài)系數(shù)為。下面分兩種情況介紹年徑流生成步驟：1. 考慮年徑流為正態(tài)分布這種情況下，為正態(tài)分布，即可認(rèn)為等于0。生成步驟：(1)以或(tl、2、n)為；(2)生成一個符合的正態(tài)隨機(jī)數(shù)；(3)以及代入式(842)生成一個年徑流Q1；(4)同步驟(2)，生成一個；(5)以Q1和代人式(842)，計(jì)算出Q2；(6)重復(fù)上述步驟，可得到一個很長生成序列，如容量為的序列；(7)考慮到前50項(xiàng)可能受初值影響，應(yīng)舍去，故剩下年生成的年徑流系列。2考慮年徑流為偏態(tài)分布這種情況一般考慮為P型分布，三個

15、參數(shù)是：均值（均值為0），方差，偏態(tài)系數(shù)。生成年徑流序列的方法與考慮年徑流為正態(tài)分布時幾乎一樣，唯一不同的是上述第二步改用了P型分布隨機(jī)數(shù)生成。這樣生成的序列可近似認(rèn)為是P型分布。六、模型及生成系列的檢驗(yàn) 模型檢驗(yàn)是指所選用的模型殘差為獨(dú)立隨機(jī)變量是否成立，分布是否為假定分布。生成序列檢驗(yàn)是指所生成年月徑流序列是否能反映實(shí)測徑流的統(tǒng)計(jì)特性。 1殘差獨(dú)立性檢驗(yàn)在模型及參數(shù)確定后，根據(jù)實(shí)測樣本，用式（8-15）可推出殘差序列（t=P+1，n），由序列可計(jì)算其各階自相關(guān)系數(shù)，再對作獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)。當(dāng)檢驗(yàn)通過，即滿足獨(dú)立性，說明建模時對獨(dú)立性假定是成立的，否則要分析產(chǎn)生的原因。若序列存在密切自相關(guān)，應(yīng)

16、考慮使用其他模型。 2生成系列檢驗(yàn) 一般要求生成序列與實(shí)測序列統(tǒng)計(jì)特征相近。如差異很大，要分析原因，確實(shí)是模型結(jié)構(gòu)問題，應(yīng)考慮改變模型。七、實(shí)例紅水河龍灘站年徑流序列生成紅水河龍灘水庫為一多年調(diào)節(jié)水庫，壩址處有自19461979年共34年的資料。為了分析工作需要，要求生成年徑流系列。1徑流組成分析經(jīng)過分析，末發(fā)現(xiàn)有趨勢、突變、周期等確定成分，故可直接對實(shí)測序列建立平穩(wěn)模型。2模型選擇和參數(shù)估計(jì)為了便于選擇模型，已估算了年徑流序列統(tǒng)計(jì)參數(shù)、及自相關(guān)系數(shù)、，見表83及圖812(a)。從圖812(a)可看出，自相關(guān)系數(shù)呈指數(shù)衰減趨勢，故選用常用的AR(P)模型作為年徑流模型。為了確定模型階數(shù)，計(jì)算了

17、（），互1，2，15)見圖812(b)。從圖中可知，K3時，超過置信限范圍，而K3時，均在置信限范圍內(nèi)，說明在K3久可以認(rèn)為是0，因此，應(yīng)選定階數(shù)為3。 模型參數(shù)利用前面介紹的矩法估算，結(jié)果為：一0021，0143，0333，0931。此外，利用實(shí)測系列僅推出、計(jì)算出的，結(jié)果是接近于0。 3年徑流序列生成 由于很小，故把當(dāng)作正態(tài)分布，即用正態(tài)分布生成，利用三階自回歸模型生成1000F年徑流系列。 4模型及生成系列的檢驗(yàn) (1)對于反推序列、，求自相會系數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)可認(rèn)為是獨(dú)立的，因此，模型的假定是成立的。 (2)生成系列的檢驗(yàn)。對生成1000F年徑流系列計(jì)算、及自相關(guān)系數(shù)、，見表83。通過對比發(fā)

18、現(xiàn)兩序列各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)參數(shù)相對誤差較小。 以上檢驗(yàn)結(jié)果表明，所建模型是可接受的。 總之，徑流隨機(jī)模型是隨著數(shù)學(xué)中隨機(jī)過程理論和電子計(jì)算機(jī)技術(shù)在水文學(xué)中應(yīng)用而逐漸發(fā)展起來的，所有各種隨機(jī)模型都是建立在水文現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)特性基礎(chǔ)上，模型中參須基于實(shí)測資料所提供信息加以估計(jì)，因此，只有深入了解水文現(xiàn)象的特性以及獲得盡能多的可靠信息，才能更有效地使隨機(jī)模型應(yīng)用于工程水文中。圖812龍灘站自、偏相關(guān)函數(shù)示意圖第七節(jié) 設(shè)計(jì)枯水流量分析計(jì)算（未吃透）枯水流量亦稱最小流量，是河川徑流的一種特殊形態(tài)?？菟髁客萍s著城市的發(fā)展規(guī)模、灌溉面積、通航的容量和時間，同時，也是決定水電站保證出力的重要因素。按設(shè)計(jì)時段的長短，枯水流量又可分為瞬時、日、旬、最小流量。其中又以日、旬、月最小流量對水資源利用工程的規(guī)劃設(shè)計(jì)關(guān)系最大。一、有實(shí)測水文資料時的枯水流量計(jì)算 當(dāng)設(shè)計(jì)代表站有長系列實(shí)測徑流資料時，可按年最小選樣原則選取一年中最小的時段徑流量，組成樣本系列。 枯水流量常采用不足概率q，即以小于和等于該徑流的概率來表示，它和年最大選擇的概率P有ql一P的關(guān)系。因此在系列排對時按右小到大排列。除此之外，年枯水流量頻率曲線的繪制與時段徑流頻率曲線的繪制基本相同，也常采用P-型頻率曲線適線。圖8-13為某水文站不同天數(shù)的枯水流量頻率曲線的事例。 年枯水流量頻率由線，在某些河流上，特別是在干旱半干旱地區(qū)的中小河流上，還會出現(xiàn)