微積分計算體積講解

1、 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi) 一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做 旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸 圓柱圓柱圓錐圓錐 圓臺圓臺 體體 積積 一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積 一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、 直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞 x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？ 取取積積分分變變量量為為x， ,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū) 間間,dxxx ， 取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而

2、成成的的薄薄 片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV 2 )( 旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為 dxxfV b a 2 )( x y o )(xfy xdxx 0,),( xdycyyx及直線及直線 所圍成的曲邊梯形繞所圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體的體積 為為 d c dyyV)( 2 x y o )(yx c d 例例1 求橢圓求橢圓 1 2 2 2 2 b y a x 所圍成的平面圖形分別繞所圍成的平面圖形分別繞 x 軸和軸和 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋 轉(zhuǎn)體（旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積轉(zhuǎn)體（旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積 類似地，由連續(xù)曲線類似

3、地，由連續(xù)曲線 這個旋轉(zhuǎn)體可以看成是由半個橢圓這個旋轉(zhuǎn)體可以看成是由半個橢圓 22 xa a b y 及及 x 軸所圍成的平面圖形繞軸所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體軸旋轉(zhuǎn)而成的立體 dxxa a b V a a 22 2 2 1 2 3 4 ab 與上同理與上同理橢球體也可以看成由半個橢圓橢球體也可以看成由半個橢圓 22 yb b a x 及及 y 軸圍成的平面圖形繞軸圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體軸旋轉(zhuǎn)而成的立體 解解 dyyb b a V b b 22 2 2 2 ba 2 3 4 特別當(dāng)特別當(dāng) a = b 時時 旋轉(zhuǎn)體成為球體旋轉(zhuǎn)體成為球體 3 21 3 4 aVV 例

4、例 2 2 求求星星形形線線 3 2 3 2 3 2 ayx )0( a繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. 解解 , 3 2 3 2 3 2 xay 3 3 2 3 2 2 xay ,aax 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 dxxaV a a 3 3 2 3 2 . 105 32 3 a 例例 3 3 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的的 一拱與一拱與0 y所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞x軸、軸、y軸旋軸旋 轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積. 解解 繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積 a 2a )(xy dxxyV a x )( 2 2 0

5、 2 0 22 )cos1()cos1(dttata 2 0 323 )coscos3cos31(dtttta .5 32a 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積 o y x a 2 A BC a2 )( 2 yxx )( 1 yxx 可可看看作作平平面面圖圖OABC與與OBC 分分別別繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積之之差差. dtyxV a y )( 2 2 0 2 dtyx a )( 2 2 0 1 2 22 sin)sin(tdtatta 0 22 sin)sin(tdtatta 2 0 23 sin)sin(tdttta .6 33a 例例4證明由平面圖形證明

6、由平面圖形 )(0 ,0 xfyba （f ( x ) 連續(xù)）連續(xù)） 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積為 b a dxxxfV)(2 ,badxxx 對應(yīng)的部分量對應(yīng)的部分量 V 可近似看成內(nèi)徑為可近似看成內(nèi)徑為 x ，外徑為，外徑為 x + dx 高為高為 f ( x ) 的薄壁圓筒的薄壁圓筒 故故 )()( 22 xfxdxxV dxxxfdV)(2 證證 或展開后近似于長為或展開后近似于長為 寬為寬為 dx 高為高為 f(x) 的薄長方體的薄長方體 x 2 dxxxfdV)(2 b a dxxxfV)(2 利用這個公式，可知上例中利用這個公式，可知上例中 dxxf

7、xV a y | )(|2 2 0 2 0 )sin()cos1()sin(2ttadtatta 2 0 23 )cos1)(sin(2dtttta .6 33a 例例 5 5 求求由由曲曲線線 2 4xy 及及0 y所所圍圍成成的的圖圖形形 繞繞直直線線3 x旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. 解解 取取積積分分變變量量為為y, 4 , 0 y 體積元素為體積元素為 dyQMPMdV 22 dyyy)43()43( 22 ,412dyy dyyV 4 0 412.64 M dy Q P 求圓心在求圓心在 ( b ,0 ) 半徑為半徑為 a ( 0 a b ) 的圓繞的圓繞 y 軸旋轉(zhuǎn)

8、一周所成的環(huán)狀體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所成的環(huán)狀體的體積 解解圓的方程圓的方程 222 )(aybx 22 )(bxay abxab dxbxaxV ab ab 22 )(22 bxt dttabt a a 22 )(4 dttabdttat a a a a 2222 44 ba 22 2 例例6 bxaxfy ),(繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) dV = 薄片圓柱的體積（底半徑為薄片圓柱的體積（底半徑為 f(x) ，高為，高為dx ） dxxfdV)( 2 柱片法柱片法 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) dV = 薄壁圓筒的體積（內(nèi)徑為薄壁圓筒的體積（內(nèi)徑為 x ，外徑為，外徑為x+dx 高為高為f ( x )

9、dxxxfdV)(2 柱殼法柱殼法 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積bxaxfy ),(繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 所得的旋轉(zhuǎn)面的側(cè)面積為所得的旋轉(zhuǎn)面的側(cè)面積為dxxfxfS b a )(1)(2 2 一一 般地般地 如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立 體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這 個立體的體積也可用定積分來計算個立體的體積也可用定積分來計算. )(xA表表示示過過點點 x且且垂垂直直于于x軸軸 的的截截面面面面積積， x o ab )(xA為為x的的已已知知連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù) ,)(dxxAdV .)( b a

10、dxxAV立體體積立體體積 xdxx 二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積 例例 7 一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并的圓柱體的底圓中心，并 與底面交成角與底面交成角 ，計算這平面截圓柱體所得立體的體，計算這平面截圓柱體所得立體的體 積積. 解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖 底圓方程為底圓方程為 222 Ryx 垂直于垂直于x軸的截面為直角三角形軸的截面為直角三角形 截面面積截面面積,tan)( 2 1 )( 22 xRxA 立體體積立體體積 dxxRV R R tan)( 2 1 22 .tan 3 2 3 R R R x yo x 已知點

11、已知點A（1,0,1), B(0,1,0) ，線段，線段AB繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為S，求由，求由S和和 兩平面兩平面 z = 0,z = 1所圍立體的體積所圍立體的體積 解解 AB 的方程為的方程為 1 1 11 1 zyx zy zx 1 在在 z 軸上截距為軸上截距為 z 的水平面截此旋轉(zhuǎn)體所得的水平面截此旋轉(zhuǎn)體所得 截面為一個圓，此截面與截面為一個圓，此截面與 z 軸交于點軸交于點Q (0,0,z) ， 與與AB交于點交于點M (z,1-z,z) ， 222 221)1(|)(zzzzMQzr 截面面積截面面積 )221()()( 22 zzzrz

12、S 立體體積立體體積 1 0 3 2 )( dzzSV 故截面的半徑為故截面的半徑為 例例8 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周x 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周 y 繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周 平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積 思考題思考題 求求曲曲線線4 xy，1 y，0 x所所圍圍成成 的的圖圖形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. 三、小結(jié)三、小結(jié) 1 4 y xy 交點交點),1 , 4( 立體體積立體體積dyxVy 1 2 dy y 1 2 16 1 16 y .16 y xo 思考題解答思考題解答 練練 習(xí)習(xí)

13、題題 一、一、 填空題：填空題： 1 1、 連續(xù)曲線連續(xù)曲線,)(xfy 直線直線ax ，bx 軸軸及及 x所所 圍圖形圍圖形軸軸繞繞 x旋 轉(zhuǎn) 一周 而成的 立體的體 積旋 轉(zhuǎn) 一周 而成的 立體的體 積 v_，軸軸繞繞 y旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的 體體 v積積_； 2 2、 b a dxxfv)(常用來表示常用來表示_立立 體的體積；體的體積； 3 3、 拋物線拋物線axy4 2 及直線及直線)0( 00 xxx所圍成的圖所圍成的圖 形形軸軸繞繞 x旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積_； 4 4、 0, 0,cosh yaxx a x ay 所圍成的圖所圍成的圖x形繞

14、形繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的 v體積體積_； 二二、 有有一一鐵鐵鑄鑄件件，它它是是由由拋拋物物線線、 2 10 1 xy 1 10 1 2 xy與與直直線線10 y圍圍成成的的圖圖形形，軸軸繞繞 y旋旋 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體，算算出出它它的的質(zhì)質(zhì)量量（長長度度單單位位是是厘厘 米米，鐵鐵的的密密度度是是 3 8 .7厘厘米米克克）. . 三三、 把把星星形形線線 3 2 3 2 3 2 ayx 軸軸繞繞 x旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，計計算算所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 體體的的體體積積 . . 四、四、 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱，的一拱， 0 y，繞直線，繞直線ay2 旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積. . 五五、 求求 222 ayx 繞繞)0( abbx旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 體體的的體體積積 . . 六六、 設(shè)設(shè)有有一一截截錐錐體體，其其上上，下下底底均均為為橢橢圓圓，橢橢圓圓的的軸軸長長 分分別別為為和和BA 2,2ba 2,2, ,h高高為為，求求這這截截錐錐體體的的體體 積積 . . 七七、 設(shè)設(shè)直直線線baxy 與與直直線線 0 x ， 1 x 及及0 y所所圍圍 成成梯梯形形面面積積等等于于A，試試求求ba ,使使這這個個梯梯形形軸軸繞繞 y