實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分析和數(shù)據(jù)處理

1、 緒緒 論 論 物理實(shí)驗(yàn)物理實(shí)驗(yàn) 是研究自然現(xiàn)象、總結(jié)物理規(guī)律的基本方法， 同時(shí)也是驗(yàn)證新理論的必經(jīng)之路。 物理實(shí)驗(yàn)大體分為下面幾個(gè)步驟： a. 要明確實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?nèi)容、步驟，通過(guò)實(shí)驗(yàn)過(guò)程觀察某些物理現(xiàn)象， 測(cè)量某些物理量-觀察和測(cè)量； b. 測(cè)試計(jì)量是取得正確實(shí)驗(yàn)結(jié)果的關(guān)鍵一步，對(duì)測(cè)量量-準(zhǔn)確記 錄計(jì)量結(jié)果； d. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖菫榱藦臏y(cè)得的大量數(shù)據(jù)中得到實(shí)驗(yàn)規(guī)律，尋找各變量 間的相互關(guān)系-數(shù)據(jù)處理； c. 任何測(cè)量都有誤差，應(yīng)運(yùn)用誤差理論估計(jì)判斷測(cè)量結(jié)果是否可靠- -對(duì)計(jì)量結(jié)果誤差分析和計(jì)算； e. 最后寫(xiě)出測(cè)量結(jié)果-結(jié)果表達(dá)。 誤差理論基礎(chǔ)誤差理論基礎(chǔ) 緒緒 論 論 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： v基

2、本概念基本概念物理實(shí)驗(yàn)和測(cè)量誤差物理實(shí)驗(yàn)和測(cè)量誤差 v誤差分類(lèi)誤差分類(lèi)偶然誤差和系統(tǒng)誤差偶然誤差和系統(tǒng)誤差 v誤差計(jì)算誤差計(jì)算測(cè)量結(jié)果的不確定度測(cè)量結(jié)果的不確定度 v數(shù)據(jù)格式數(shù)據(jù)格式有效數(shù)字有效數(shù)字 v數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理用最二乘法作直線擬合用最二乘法作直線擬合 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 一、一、 物理實(shí)驗(yàn)和測(cè)量誤差物理實(shí)驗(yàn)和測(cè)量誤差 測(cè)量就是將待測(cè)量與選做標(biāo)準(zhǔn)單位的物理量進(jìn)行比較， 得到此物理量的測(cè)量值。 測(cè)量值必須包括:數(shù)值和單位，如測(cè)量課桌的長(zhǎng)度為 1.2534m。 測(cè)量的分類(lèi)： 按測(cè)量方式通?？煞譃椋?直接測(cè)量由儀器直接讀出測(cè)量結(jié)果的叫做直接測(cè)量 如：用米尺測(cè)量課桌的長(zhǎng)

3、度，電壓表測(cè)量電壓等 間接測(cè)量由直接測(cè)量結(jié)果經(jīng)過(guò)公式計(jì)算才能得出結(jié) 果的叫做間接測(cè)量 如：測(cè)量單擺的振動(dòng)周期T，用公式glT/2 求得g 按測(cè)量精度通?？煞譃椋喊礈y(cè)量精度通?？煞譃椋?n等精度測(cè)量對(duì)某一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，而且 每次測(cè)量的條件都相同(同一測(cè)量者，同一組儀器，同一 種實(shí)驗(yàn)方法，溫度和濕度等環(huán)境也相同)。 n不等精度測(cè)量在諸測(cè)量條件中，只要有一個(gè)發(fā)生了 變化，所進(jìn)行的測(cè)量。 n由于測(cè)量方法、測(cè)量環(huán)境、測(cè)量?jī)x器和測(cè)量者的局限 性誤差的不可避免性，待測(cè)物理量的真值同測(cè)量值 之間總會(huì)存在某種差異，這種差異就稱(chēng)為測(cè)量誤差，定 義為 測(cè)量誤差（）= 測(cè)量值（X）- 真值（a) n測(cè)量結(jié)果

4、也應(yīng)包含測(cè)量誤差的說(shuō)明及其優(yōu)劣的評(píng)價(jià) Y=NN 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 真值就是與給定的特定量的定義相一致的量值?？陀^存在 的、但不可測(cè)得的（測(cè)量的不完善造成）。 可知的真值： a.理論真值-理論設(shè)計(jì)值、理論公式表達(dá)值等 如三角形內(nèi)角和180度； b.約定(實(shí)用)真值-指定值,最佳值等， 如阿伏加德羅常數(shù), 算術(shù)平均值當(dāng)真值等。 誤差分類(lèi) 按其性質(zhì)和原因可分為三類(lèi): 系統(tǒng)誤差 偶然誤差(隨機(jī)誤差) 粗大誤差 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 1系統(tǒng)誤差：在重復(fù)測(cè)量條件下

5、對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限 多次測(cè)量結(jié)果的平均值減去真值 來(lái)源： 儀器、裝置誤差； 測(cè)量環(huán)境誤差； 測(cè)量理論或方法誤差； 人員誤差-生理或心理特點(diǎn)所造成的誤差。 標(biāo)準(zhǔn)器誤差標(biāo)準(zhǔn)器誤差；儀器安裝調(diào)整不妥儀器安裝調(diào)整不妥, ,不水平、不水平、 不垂直、偏心、零點(diǎn)不準(zhǔn)等，如天平不等臂不垂直、偏心、零點(diǎn)不準(zhǔn)等，如天平不等臂, , 分光計(jì)讀數(shù)裝置的偏心；附件如導(dǎo)線分光計(jì)讀數(shù)裝置的偏心；附件如導(dǎo)線 理論公式為近似理論公式為近似 或?qū)嶒?yàn)條件達(dá)不或?qū)嶒?yàn)條件達(dá)不 到理論公式所規(guī)到理論公式所規(guī) 定的要求定的要求 溫度、濕度、光照，電磁場(chǎng)等溫度、濕度、光照，電磁場(chǎng)等 特點(diǎn)特點(diǎn)：同一被測(cè)量多次測(cè)量中，保持恒定或以可預(yù)知的方

6、 式變化（一經(jīng)查明就應(yīng)設(shè)法消除其影響） anx)( 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 分類(lèi): a.定值系統(tǒng)誤差-其大小和符號(hào)恒定不變。 例如，千分尺沒(méi)有零點(diǎn)修正，天平砝碼的標(biāo)稱(chēng)值不準(zhǔn)確等。例如，千分尺沒(méi)有零點(diǎn)修正，天平砝碼的標(biāo)稱(chēng)值不準(zhǔn)確等。 b.變值系統(tǒng)誤差-呈現(xiàn)規(guī)律性變化?？赡茈S時(shí)間,隨 位置變化。例如分光計(jì)刻度盤(pán)中心與望遠(yuǎn)鏡轉(zhuǎn)軸中心 不重合，存在偏心差 發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)的方法的方法 (2)理論分析法理論分析法- - 理論公式和儀器要求的使用條件理論公式和儀器要求的使用條件 規(guī)律性變化規(guī)律性變化( (一致變大變小一致變大變小) ) 一定存在著系統(tǒng)誤差一定存在著系統(tǒng)誤差 (1)數(shù)據(jù)分析法數(shù)

7、據(jù)分析法- - 觀察觀察 隨測(cè)量次序變化 隨測(cè)量次序變化 xxx ii (3)對(duì)比法對(duì)比法 a.a.實(shí)驗(yàn)方法實(shí)驗(yàn)方法 b.b.儀器儀器 c.c.改變測(cè)量條件改變測(cè)量條件 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 處理: 任何實(shí)驗(yàn)儀器、理論模型、實(shí)驗(yàn)條件，都不可能理想 a. 消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源(原因) b. 選擇適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法 單擺單擺g=(9.8000.002)m/s2； 自由落體自由落體g=(9.77=(9.770.02)m/s2，其一存在系統(tǒng)誤差其一存在系統(tǒng)誤差 如兩個(gè)電表接入同一電路，對(duì)比兩個(gè)表的如兩個(gè)電表接入同一電路，對(duì)比兩個(gè)表的 讀數(shù)，如其一是標(biāo)準(zhǔn)表，可得另一表的修讀數(shù)，如其

8、一是標(biāo)準(zhǔn)表，可得另一表的修 正值。正值。 某些物理量的方向、參數(shù)某些物理量的方向、參數(shù) 的數(shù)值、甚至換人等的數(shù)值、甚至換人等 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 1)交換法-如為了消除天平不等臂而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差 2)替代法-如用自組電橋測(cè)量電阻時(shí) 3)抵消法-如測(cè)量楊氏模量實(shí)驗(yàn)中，取增重和減重時(shí) 讀數(shù)的平均值； 各種消減系統(tǒng)誤差的方法都具有較強(qiáng)的針對(duì)性， 都是些經(jīng)驗(yàn)型、具體的處理方法! 4)半周期法-如分光計(jì)的讀數(shù)盤(pán)相對(duì)180設(shè)置兩個(gè)游 標(biāo)，任一位置用兩個(gè)游標(biāo)讀數(shù)的平均值 圖中角度讀數(shù)為：游標(biāo)1讀數(shù): 295+132=29513 游標(biāo)2讀數(shù): 115+12=11512 分光計(jì) 讀數(shù)方

9、法示意圖 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 2偶然誤差（隨機(jī)誤差）：測(cè)量結(jié)果減去同一條件 下對(duì)被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量結(jié)果的平均值 來(lái)源：儀器性能和測(cè)量者感官分辨力的統(tǒng)計(jì)漲落，環(huán)境條 件的微小波動(dòng)，測(cè)量對(duì)象本身的不確定性(如氣壓小球直 徑或金屬絲直徑)等 特點(diǎn)：個(gè)體而言是不確定的; 但其總體服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 處理：可以用統(tǒng)計(jì)方法估算其對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響（標(biāo)準(zhǔn) 差），不可修正，但可減小之。（下面講） )(nxxi 定義: 在相同的條件下，由于偶然的不確定的因素造成每 一次測(cè)量值的無(wú)規(guī)則的漲落，測(cè)量值對(duì)真值的偏離時(shí)大時(shí) 小、時(shí)正時(shí)負(fù)，這類(lèi)誤差稱(chēng)為偶然誤差 誤誤 差 差 理 理 論 論

10、基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 測(cè)量結(jié)果測(cè)量結(jié)果分布規(guī)律分布規(guī)律的估計(jì)的估計(jì)經(jīng)驗(yàn)分布曲線經(jīng)驗(yàn)分布曲線 f(v vi)-v vi 測(cè)量列測(cè)量列 xi ， n容量容量 對(duì)大量數(shù)據(jù)處理時(shí)，往往對(duì)對(duì)大量數(shù)據(jù)處理時(shí)，往往對(duì) i取一個(gè)單位取一個(gè)單位 (盡量小盡量小)， 考慮考慮 i落在第一個(gè)落在第一個(gè) ，第二個(gè)第二個(gè) ，第三個(gè)第三個(gè) -的的f( i)， ，-經(jīng)驗(yàn)分布曲線經(jīng)驗(yàn)分布曲線 axi i f(i)- i出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率 正態(tài)分布正態(tài)分布均勻分布均勻分布三角分布三角分布 i i 正態(tài)分布規(guī)律正態(tài)分布規(guī)律: : 大多數(shù)偶然誤差服從正態(tài)分布大多數(shù)偶然誤差服從正態(tài)分布(高斯分布高斯分布)規(guī)律規(guī)律 特點(diǎn)特點(diǎn)： 1）有界性

11、）有界性. 2）單峰性）單峰性. 3）對(duì)稱(chēng)性）對(duì)稱(chēng)性. 4）抵償性）抵償性. 可以通過(guò)多次測(cè)量，利用其統(tǒng)計(jì)規(guī)律達(dá)到互相抵償隨機(jī)可以通過(guò)多次測(cè)量，利用其統(tǒng)計(jì)規(guī)律達(dá)到互相抵償隨機(jī) 誤差，找到真值的最佳近似值誤差，找到真值的最佳近似值(又叫最佳估計(jì)值或最近又叫最佳估計(jì)值或最近 真值真值)。 n i i n n 1 0 1 lim 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 2 2 2 )( 2 1 )( ax exf 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 3粗大誤差 ：明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差 來(lái)源：使用儀器的方法不正確，粗心大意讀錯(cuò)、記錯(cuò)、 算錯(cuò)數(shù)據(jù)或?qū)嶒?yàn)條件突變等原因造成的（壞值）

12、。 處理：實(shí)驗(yàn)測(cè)量中要盡力避免過(guò)失錯(cuò)誤； 在數(shù)據(jù)處理中要盡量剔除壞值。 實(shí)驗(yàn)中的異常值決不能不加分析地統(tǒng)統(tǒng)扔掉實(shí)驗(yàn)中的異常值決不能不加分析地統(tǒng)統(tǒng)扔掉 -很多驚世發(fā)現(xiàn)都是超出預(yù)期的結(jié)果！很多驚世發(fā)現(xiàn)都是超出預(yù)期的結(jié)果！ 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 精確度：用于表述測(cè)量結(jié)果的好壞 1精密度：表示測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度。 即是指在規(guī)定條件下對(duì)被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量時(shí)，所得結(jié) 果之間符合的程度，簡(jiǎn)稱(chēng)為精度。 2. 正確度：表示測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度。 它反映了在規(guī)定條件下，測(cè)量結(jié)果中所有系統(tǒng)誤差的綜 合。 3.準(zhǔn)確度：表示測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的“真值”之間的一致 程度。 它反映了

13、測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合。又稱(chēng) 精確度。 xxi ax )()(axxxax ii 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) a)精密度低, 正確度高 (b)精密度高， 正確度低 (c)精密度、 正確度和準(zhǔn)確度皆高 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) （1）直接測(cè)量中不確定度的估算 （a)多次測(cè)量：在相同條件下對(duì)一物理量X進(jìn)行了n次獨(dú)立的 直接測(cè)量，所得n個(gè)測(cè)量值為x1，x2，xn，稱(chēng)其為

14、測(cè)量 列，標(biāo)準(zhǔn)不確定度參數(shù)：數(shù)學(xué)期望（算術(shù)平均值）和標(biāo)準(zhǔn)：數(shù)學(xué)期望（算術(shù)平均值）和標(biāo)準(zhǔn) 差差 n i i x n x 1 1 算術(shù)平均值 n i ix ax n 1 2 )( 1 )(標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)不確定度 )()( 1 1 1 2 實(shí)用 n i ix xx n 任一測(cè)量結(jié)果的誤差落在-x，x范圍內(nèi)的概率為68.3%。 3不確定度的估計(jì)方法 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 n i i x x xx nnn 1 2 )( ) 1( 1 平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 算術(shù)平均值的誤差落在 范圍內(nèi)的概率為68.3%。 xx , 隨隨n的增大而減小，但當(dāng)?shù)脑龃蠖鴾p小，但當(dāng)n

15、大于大于1010后，減小速度明后，減小速度明 顯降低，通常取顯降低，通常取 5 5n1010 x 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) （b)b)單次測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)單次測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)不確定度的估算的估算： k e e e為極限不確定度（儀器的最大讀數(shù)誤差）為極限不確定度（儀器的最大讀數(shù)誤差） k為分布系數(shù)，對(duì)于為分布系數(shù)，對(duì)于正態(tài)正態(tài)分布，分布，k= =3 3, ,=e/3； 對(duì)于對(duì)于均勻均勻分布，分布，k= =3, ,即即= e/3 ； 測(cè)量結(jié)果的表示測(cè)量結(jié)果的表示: : %)100( )( x E xx x x 單位 意義意義: :真值真值a落在落在 范圍內(nèi)的概率為范圍內(nèi)的概率為68.

16、3%。 xx xx, 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 例例1 1 用溫度計(jì)對(duì)某個(gè)不變溫度等精度測(cè)量數(shù)據(jù)如表，求測(cè)量結(jié)果。 OC) 解解: n i i t n t 1 1 =530.0909 OC n i i t t tt nnn 1 2 )( ) 1( 1 =0.5301 OC %100 0909.530 5301. 0 %100 t E t =0.1000017% =0.6 OC =530.1 OC =0.11% (%)11. 0 )(6 . 01 .530 E Ct o %)100( )( x E xx x x 單位 (2)(2)間接測(cè)量結(jié)果不確定度的估計(jì)間接測(cè)量結(jié)果不確定度

17、的估計(jì)： 設(shè)間接測(cè)量設(shè)間接測(cè)量N=f（x，y，z） 量值量值： ),( zyxfN 2 2 2 2 2 2 zyx N z N y N x N n i i x x xx nnn 1 2 )( ) 1( 1 其中 標(biāo)準(zhǔn)不確定度標(biāo)準(zhǔn)不確定度： 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 相對(duì)不確定度相對(duì)不確定度： 2 2 2 2 2 2 22 Nz N Ny N Nx N N E z y xN %100 N E NN N N 單位 測(cè)量結(jié)果的表示測(cè)量結(jié)果的表示 計(jì)算順序計(jì)算順序： 計(jì)算公式以加減運(yùn)算為主，先算標(biāo)準(zhǔn)，再算相對(duì)計(jì)算公式以加減運(yùn)算為主，先算標(biāo)準(zhǔn)，再算相對(duì)不確定度不確定度； 計(jì)算公式以乘

18、除或乘方運(yùn)算為主，先算相對(duì)，再算標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算公式以乘除或乘方運(yùn)算為主，先算相對(duì)，再算標(biāo)準(zhǔn)不確不確 定度定度 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 22 yxN 2 2 yxN y xN y e x e N e y xN x e k N e xN x k N xN 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 例例2 測(cè)某立方體鋼材的長(zhǎng)寬高為 l, b, h 如表，材料的密度p=7.86gcm-3 求其質(zhì)量m。 解：m=plbh hbl pm 2 2 2 2 2 2 mh m mb m ml m m E hblm 22 2 hbl hbl n i

19、 i l l ll nnn 1 2 2 2 )( ) 1( 1 =0.00501mm2 =127.503013kg =0.02158 2 b 2 h = mE m =0.275157kg (%)2 . 2 )(3 . 05 .127 E kgm %100 m E mm m m 單位 2 2 2 2 2 2 )()()( hblp lbp hblp hlp hblp hbp hbl 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運(yùn)運(yùn) 算算 四、有效數(shù)字 數(shù)字分類(lèi)：完全準(zhǔn)確數(shù)字；有效數(shù)字。 有效數(shù)字的構(gòu)成(讀取)：準(zhǔn)確部分+一位非準(zhǔn)確部分(誤差 所在位)。 ( (I) )物體長(zhǎng)度物體長(zhǎng)度L估讀為估讀為4.2

20、7cm或或4.28cm ( (II) )右端恰好與右端恰好與15cm刻度線對(duì)齊刻度線對(duì)齊, ,準(zhǔn)確數(shù)字為準(zhǔn)確數(shù)字為“15.0”， 再加上估讀數(shù)再加上估讀數(shù)“0”，則物體長(zhǎng)度，則物體長(zhǎng)度L的有效數(shù)字應(yīng)記為的有效數(shù)字應(yīng)記為 15.00cm 估計(jì)值，一般為最小分度值的估計(jì)值，一般為最小分度值的1/10的整數(shù)倍的整數(shù)倍 位數(shù)無(wú)限多，如1/3， 等 位數(shù)有限，如0.333， 3.14159等 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運(yùn)運(yùn) 算算 有效數(shù)字有效數(shù)字位數(shù)的特點(diǎn)：位數(shù)的特點(diǎn)： a.a.位數(shù)與儀器最小分度值有關(guān)，與被測(cè)量的大小也有關(guān)；位數(shù)與儀器最小分度值有關(guān)，與被測(cè)量的大小也有關(guān)； 如用最小分度值如用

21、最小分度值0.010.01mmmm的千分尺測(cè)量的長(zhǎng)度讀數(shù)為的千分尺測(cè)量的長(zhǎng)度讀數(shù)為 8.348.344 4mmmm，用最小分度值為用最小分度值為0.020.02mmmm的游標(biāo)卡尺來(lái)測(cè)量，的游標(biāo)卡尺來(lái)測(cè)量， 其讀數(shù)為其讀數(shù)為 8.3 8.34 4mmmm。 b.b.位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置（單位）無(wú)關(guān)；位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置（單位）無(wú)關(guān)； 如重力加速度如重力加速度9.80m9.80ms s2 2，0.009800.00980kmkms s2 2 或 或 980980cmcm s s2 2, , 9.809.80 x10 x103 3mmmms s2 2 都是三位有效數(shù)字都是三位有效數(shù)字 c.c.位數(shù)粗略反

22、映測(cè)量的誤差位數(shù)粗略反映測(cè)量的誤差. . 位數(shù)越多，測(cè)量的相對(duì)誤差就越小位數(shù)越多，測(cè)量的相對(duì)誤差就越小, , 如如8.348.344 4mmmm， 8.38.34 4mmmm的相對(duì)誤差的相對(duì)誤差, , 不要寫(xiě)成不要寫(xiě)成9800 mm/s2 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運(yùn)運(yùn) 算算 原則：五下舍，五上入，整五湊偶。 如保留四位有效數(shù)字如保留四位有效數(shù)字: : 3.1423.142 2.7172.717 4.5104.510 3.2163.216 6.3796.379 3.1413.1415 59 9 2.7172.7172 29 9 4.5104.5105 50 0 3.2153.2155

23、 50 0 6.3786.3785 50 0l l 7.6917.6914 49999 7.6917.691 測(cè)量誤差測(cè)量誤差的有效位數(shù)：修約原則的有效位數(shù)：修約原則-只入不舍只入不舍 相對(duì)不確定度相對(duì)不確定度-兩位，如兩位，如E=0.0010023修約為修約為0.11% 絕對(duì)絕對(duì)不確定度不確定度-一位，當(dāng)為一位，當(dāng)為1或或9時(shí)，可以保留兩位。時(shí)，可以保留兩位。 如：如：0.00123寫(xiě)為寫(xiě)為0.0013，0.0962寫(xiě)為寫(xiě)為0.10。 擬舍的第一位數(shù)字為擬舍的第一位數(shù)字為5， 其后無(wú)數(shù)字或皆為其后無(wú)數(shù)字或皆為0 保留末位為奇數(shù)保留末位為奇數(shù), , 加加1， 保留末位為偶數(shù)保留末位為偶數(shù), ,

24、 不變不變 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運(yùn)運(yùn) 算算 3. 3. 有效數(shù)字有效數(shù)字運(yùn)算運(yùn)算: : 規(guī)則規(guī)則: : 準(zhǔn)確數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字的運(yùn)算結(jié)果仍為準(zhǔn)確數(shù)字，準(zhǔn)確數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字的運(yùn)算結(jié)果仍為準(zhǔn)確數(shù)字， 準(zhǔn)確數(shù)字與非準(zhǔn)確數(shù)字或非準(zhǔn)確數(shù)字與非準(zhǔn)確數(shù)字的運(yùn)準(zhǔn)確數(shù)字與非準(zhǔn)確數(shù)字或非準(zhǔn)確數(shù)字與非準(zhǔn)確數(shù)字的運(yùn) 算結(jié)果為非準(zhǔn)確數(shù)字。運(yùn)算結(jié)果只保留一位非準(zhǔn)確數(shù)字。算結(jié)果為非準(zhǔn)確數(shù)字。運(yùn)算結(jié)果只保留一位非準(zhǔn)確數(shù)字。 (1)加減法加減法 結(jié)果的非準(zhǔn)確位與參與運(yùn)算的所有數(shù)字中非準(zhǔn)確位數(shù)結(jié)果的非準(zhǔn)確位與參與運(yùn)算的所有數(shù)字中非準(zhǔn)確位數(shù) 值最大者相同值最大者相同 (2)乘除法乘除法 結(jié)果的位數(shù)與所有參與運(yùn)算的數(shù)字中有

25、效數(shù)字位數(shù)最結(jié)果的位數(shù)與所有參與運(yùn)算的數(shù)字中有效數(shù)字位數(shù)最 少的相同少的相同 (3)(3)乘方開(kāi)方乘方開(kāi)方 結(jié)果的位數(shù)與相應(yīng)的底數(shù)的位數(shù)相同結(jié)果的位數(shù)與相應(yīng)的底數(shù)的位數(shù)相同 如如674.6-21.3542的結(jié)果取的結(jié)果取 為為653.2 如如23.4*26的結(jié)果取為的結(jié)果取為 6.1*102 如如23.42的結(jié)果取的結(jié)果取 為為548 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運(yùn)運(yùn) 算算 (4)(4)對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) 結(jié)果的位數(shù)與真數(shù)的位數(shù)相同結(jié)果的位數(shù)與真數(shù)的位數(shù)相同 (5)(5)三角函數(shù)三角函數(shù) 以上方法對(duì)少量數(shù)據(jù)運(yùn)算可用以上方法對(duì)少量數(shù)據(jù)運(yùn)算可用, 運(yùn)算過(guò)程中可多保留運(yùn)算過(guò)程中可多保留 位數(shù)。對(duì)大量數(shù)

26、據(jù)用統(tǒng)計(jì)方法處理位數(shù)。對(duì)大量數(shù)據(jù)用統(tǒng)計(jì)方法處理. 如如 ln23.4的結(jié)果取為的結(jié)果取為3.15 如如sin(16O2512)的結(jié)果取為的結(jié)果取為 0.282676 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運(yùn)運(yùn) 算算 4. 4. 測(cè)量最終結(jié)果測(cè)量最終結(jié)果的有效數(shù)字的有效數(shù)字： %100 N E NN N N 單位 結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度求出并修約后，測(cè)量量結(jié)果的最后結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度求出并修約后，測(cè)量量結(jié)果的最后 位與標(biāo)準(zhǔn)不確定度對(duì)齊，測(cè)量量結(jié)果按四舍五入的原則位與標(biāo)準(zhǔn)不確定度對(duì)齊，測(cè)量量結(jié)果按四舍五入的原則 修約。修約。 如如由公式求得的楊氏模量由公式求得的楊氏模量 Y=2.182641011(kg

27、/m2)， 求得標(biāo)準(zhǔn)不確定度為求得標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 Y=0.02318641011(kg/m2)。 則根據(jù)上述規(guī)則，最終結(jié)果為則根據(jù)上述規(guī)則，最終結(jié)果為 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運(yùn)運(yùn) 算算 (1)加減法加減法求求N=X+Y+Z，其中其中X=(98.70.3)cm，Y=(6.2380.006)cm， Z=(14.360.08)cm (2)乘除法乘除法 求立方體體積求立方體體積V，其中其中L=(22.4550.002)mm，H=(90.350.03)mm， B=(279.680.05)mm 五、舉例五、舉例： 解解: N=X+Y+Z=98.7+6.238+14.36= 119.298 (

28、cm) 4 . 031. 008. 0006. 03 . 0 222222 ZYXN 所以所以 N=(119.3 0.4) (cm) 所以所以 V=(56743)*102 mm3 =219.866 mm3 2 2 2 2 2 2 HBLV H V B V L V 3 37104.56741768.27935.90455.22mmLHBV 2 2 2 2 2 2 HBLv LBLHBH 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運(yùn)運(yùn) 算算 (3)(3)指數(shù)指數(shù) 求求e ex x，已知，已知 x x=7.85=7.850.050.05 xx edxed/ )( 385. 7 1013. 005. 0)(

29、exee xx 385. 7 10566. 2 ee x 故故 e ex x = =（2.572.570.130.13）10103 3 (4)(4)三角函數(shù)三角函數(shù)- - 已知已知x = 38241，求求sinx sin38sin3824= 0.62114778 24= 0.62114778 0003. 0 60 1 180 2438coscos)(sin xxx 所以所以 sin3824= 0.6211 0.00030.0003 xdxxdcos/ )(sin (5)(5)對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)- - 已知已知x = 65.48，求求lnx lnx = ln65.48= 4.18174475 d(d(ln

30、xlnx)/)/dxdx=1/x -=1/x - (1nx) =x/ /x= 0.1/65.48=0.002 所以所以 lnx = 4.182 0.002 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運(yùn)運(yùn) 算算 必須指出，測(cè)量結(jié)果的必須指出，測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)取決于測(cè)量有效數(shù)字位數(shù)取決于測(cè)量，而，而 不取決于運(yùn)算過(guò)程。因此在運(yùn)算時(shí)，尤其是使用計(jì)算不取決于運(yùn)算過(guò)程。因此在運(yùn)算時(shí)，尤其是使用計(jì)算 器時(shí)，不要隨意擴(kuò)大或減少有效數(shù)字位數(shù)，更不要認(rèn)器時(shí)，不要隨意擴(kuò)大或減少有效數(shù)字位數(shù)，更不要認(rèn) 為算出結(jié)果的位數(shù)越多越好。為算出結(jié)果的位數(shù)越多越好。 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理不單純是數(shù)

31、學(xué)運(yùn)算，而是要以一定的物實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理不單純是數(shù)學(xué)運(yùn)算，而是要以一定的物 理模型為基礎(chǔ)，以一定的物理?xiàng)l件為依據(jù)，理模型為基礎(chǔ)，以一定的物理?xiàng)l件為依據(jù)，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù) 的整理、分析和歸納計(jì)算，得出明確的實(shí)驗(yàn)結(jié)論的整理、分析和歸納計(jì)算，得出明確的實(shí)驗(yàn)結(jié)論。 1 列表法列表法- - 記錄數(shù)據(jù)時(shí)，把數(shù)據(jù)列成表格記錄數(shù)據(jù)時(shí)，把數(shù)據(jù)列成表格 要求要求(1)(1)表格設(shè)計(jì)合理表格設(shè)計(jì)合理; (2) (2)標(biāo)題欄中寫(xiě)明各物理量的符號(hào)和單位標(biāo)題欄中寫(xiě)明各物理量的符號(hào)和單位; (3) (3)表中所列數(shù)據(jù)要正確反映測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字；表中所列數(shù)據(jù)要正確反映測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字； (4) (4)實(shí)驗(yàn)室給出的數(shù)據(jù)或

32、查得的單項(xiàng)數(shù)據(jù)應(yīng)列在表格實(shí)驗(yàn)室給出的數(shù)據(jù)或查得的單項(xiàng)數(shù)據(jù)應(yīng)列在表格 的上部的上部 m (g)t1 (s)t2 (s)t3 (s) 5.00 10.00 15.00 如如： r =2.50cm , h = cm 六、數(shù)據(jù)處理六、數(shù)據(jù)處理 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 2 圖示法圖示法-將數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或其變化情況用圖線直將數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或其變化情況用圖線直 觀地表示出來(lái)觀地表示出來(lái) 優(yōu)點(diǎn)：物理量之間的變化規(guī)律；優(yōu)點(diǎn)：物理量之間的變化規(guī)律； 內(nèi)插法求值；內(nèi)插法求值； 外推法求值。外推法求值。 缺點(diǎn)：三個(gè)及其以上的變量不適用；缺點(diǎn)：三個(gè)及其以上的變量不適用； 繪圖時(shí)易引入人為誤差。繪圖時(shí)易引入

33、人為誤差。 作圖步驟作圖步驟 ： 選用合適的坐標(biāo)紙選用合適的坐標(biāo)紙 坐標(biāo)軸的比例與標(biāo)度坐標(biāo)軸的比例與標(biāo)度 a.a.用粗實(shí)線描出坐標(biāo)軸用粗實(shí)線描出坐標(biāo)軸(箭頭箭頭)，橫軸代表自變量，橫軸代表自變量,縱軸縱軸 代表因變量，標(biāo)明物理量名稱(chēng)代表因變量，標(biāo)明物理量名稱(chēng)(或符號(hào)或符號(hào))及單位。及單位。 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 b.b.原則上，原則上， 可根據(jù)情況選擇這一位的可根據(jù)情況選擇這一位的“1”“1”、“2”“2” 或或“5”“5”倍倍 c.c.坐標(biāo)軸的起點(diǎn)不一定從零開(kāi)始，標(biāo)度用整數(shù)，不坐標(biāo)軸的起點(diǎn)不一定從零開(kāi)始，標(biāo)度用整數(shù)，不 用測(cè)量值。用測(cè)量值。 標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn) a.a.以以“+”

34、、“”、 “” “”、 “ “”等符號(hào)等符號(hào) 標(biāo)出實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，測(cè)量數(shù)據(jù)落在所標(biāo)符號(hào)的中心，標(biāo)出實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，測(cè)量數(shù)據(jù)落在所標(biāo)符號(hào)的中心， 大小適中。大小適中。禁止用禁止用“ “ ” b.b.一條實(shí)驗(yàn)曲線用同一種符號(hào)。一條實(shí)驗(yàn)曲線用同一種符號(hào)。 連圖線（擬合線）連圖線（擬合線） a.a.把點(diǎn)連成直線或光滑曲線；不要無(wú)限延長(zhǎng)把點(diǎn)連成直線或光滑曲線；不要無(wú)限延長(zhǎng) b.b.要求數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻地分布在圖線兩旁，連線要細(xì)而清晰要求數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻地分布在圖線兩旁，連線要細(xì)而清晰 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 (5) 注解說(shuō)明注解說(shuō)明 a. 圖形的意義、數(shù)據(jù)來(lái)源、所用公式等圖形的意義、數(shù)據(jù)來(lái)源、所用公式等 b. 圖線的名

35、稱(chēng)、實(shí)驗(yàn)日期、實(shí)驗(yàn)者等圖線的名稱(chēng)、實(shí)驗(yàn)日期、實(shí)驗(yàn)者等 圖解法圖解法-求直線的斜率和截距求直線的斜率和截距 (y=a+bx ) 在圖線上測(cè)量范圍內(nèi)靠近兩端取兩相距較遠(yuǎn)的點(diǎn)，在圖線上測(cè)量范圍內(nèi)靠近兩端取兩相距較遠(yuǎn)的點(diǎn)， 如如P1(x1，y1)和和P2(x2，y2)(不同于實(shí)驗(yàn)點(diǎn)不同于實(shí)驗(yàn)點(diǎn)),用不同于實(shí)用不同于實(shí) 驗(yàn)點(diǎn)的符號(hào)表明驗(yàn)點(diǎn)的符號(hào)表明 12 12 xx yy b 斜率 1 12 12 1 x xx yy ya 截距 3 12 12 3 x xx yy ya 或三點(diǎn)法 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 圖示法圖示法舉例舉例 在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)保持塔輪半徑在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)保持塔輪半徑r

36、不變的情況下，懸不變的情況下，懸 掛砝碼質(zhì)量掛砝碼質(zhì)量m與下落時(shí)間與下落時(shí)間t的關(guān)系為的關(guān)系為 1 2 1 1 22 1 112 C t K gr M tgr hI m m與與1/t2成成線性關(guān)系線性關(guān)系 m(g) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t(s) 2 1 t(10-3 s-2) 5.00 16.02 15.60 15.42 15.68 4.07 10.00 10.62 10.81 10.23 10.55 8.98 15.00 8.40 8.47 8.31 8.39 14.19 20.00 6.92 7.02 6.92 6.95 20.68 25.00 6.12 6.32 6

37、.15 6.19 26.04 30.00 5.74 5.64 5.73 5.70 30.74 35.00 5.14 5.28 5.16 5.19 37.08 其中 r = 2.50 cm h = 89.50 cm 測(cè)出一組測(cè)出一組m m 1/1/t t2 2值值, ,作出它們關(guān)系曲線作出它們關(guān)系曲線, ,求出斜率求出斜率K K1 1即即 可得到可得到I I1 1 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 O O O 作圖：作圖： 選坐標(biāo)紙；選坐標(biāo)紙； 坐標(biāo)軸的比坐標(biāo)軸的比 例與標(biāo)度；例與標(biāo)度； 標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)；標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)； 連圖線；連圖線； 注解說(shuō)明注解說(shuō)明 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 求直線的斜率

38、和截距 在圖線上測(cè)量范圍內(nèi)靠近兩端任取兩相距較遠(yuǎn)的點(diǎn)，如 P1(x1，y1)和P2(x2，y2)(不同于實(shí)驗(yàn)點(diǎn)),用不同于實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的 符號(hào)標(biāo)明 P1（x1, y1）=(5.0010-3, 6.02)， P2 (x2, y2)=(36.0010-3, 34.30) )(10123. 9 10)00. 500.36( 02. 630.34 22 3 12 12 1 sg xx yy k C1=1.65（g） （延長(zhǎng)與延長(zhǎng)與Y 軸交點(diǎn)；由軸交點(diǎn)；由P1，P2的坐標(biāo)值；取第三點(diǎn)。）的坐標(biāo)值；取第三點(diǎn)。） 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 3 逐差法 - 充分利用測(cè)量數(shù)據(jù)減小測(cè)量誤差 兩個(gè)條件： 函數(shù)具

39、有y=a+bx的線性關(guān)系(或代換后是線性） 自變量x是等間距變化的,測(cè)量次數(shù)為偶數(shù) 如: 楊氏模量, 等 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 4 線性回歸（方程法） 根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用函數(shù)解析形式求出經(jīng)驗(yàn)公式，既無(wú)根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用函數(shù)解析形式求出經(jīng)驗(yàn)公式，既無(wú) 人為因素影響，也更為明確和快捷人為因素影響，也更為明確和快捷, ,這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為回歸回歸 分析分析 a. 函數(shù)關(guān)系已經(jīng)確定，但式中的系數(shù)是未知的，利函數(shù)關(guān)系已經(jīng)確定，但式中的系數(shù)是未知的，利 用測(cè)量的用測(cè)量的n對(duì)對(duì)(xi，yi)值，確定系數(shù)的最佳估計(jì)值。值，確定系數(shù)的最佳估計(jì)值。 b. 第二類(lèi)問(wèn)題是第二類(lèi)問(wèn)題是y和和x之間的函數(shù)關(guān)系未知，需要從之間的函數(shù)關(guān)系未知，需要從 n對(duì)對(duì)(xi，yi)測(cè)量數(shù)據(jù)中尋找出它們之間的函數(shù)關(guān)測(cè)量數(shù)據(jù)中尋找出它