固體物理習(xí)題解答

1、1 固體物理學(xué)作業(yè)固體物理學(xué)作業(yè) 2 第一章 思考題 1、簡(jiǎn)述晶態(tài)、非晶態(tài)、單晶、多晶、準(zhǔn)晶的特征和性質(zhì) 答： 主要區(qū)別在微結(jié)構(gòu)有序度。 固體中微觀組成粒子(原子、離子、分子)在空間排列有序， 具有微米數(shù)量級(jí)以上的三維平移周期性，這種具有長(zhǎng)程 有序態(tài)的固體稱為晶態(tài)固體(晶體)，否則為非晶態(tài)。 晶體中微觀組成粒子空間排列有序存在于整個(gè)固體中，稱為 單晶體。多晶體由許多單晶體隨機(jī)堆砌而成。 單晶體，具有以下性質(zhì)：(1)規(guī)則幾何外形；(2) 各向異性物 理性質(zhì)，(3)確定的熔點(diǎn)。 多晶體不具有規(guī)則的外形，物理性質(zhì)不表現(xiàn)各向異性。 非晶體不具有確定的熔點(diǎn)。 3 2、晶體結(jié)構(gòu)可分成布拉菲格子和復(fù)式格子嗎

2、？ 第一章 思考題 答： 可以。 以原子為結(jié)構(gòu)參考點(diǎn)，可以把晶體分成布拉菲格子和復(fù)式格 子。 任何晶體，以基元為結(jié)構(gòu)參考點(diǎn)，都是布拉菲格子描述。 任何化合物晶體，都可以復(fù)式格子描述？ 不是所有的單質(zhì)晶體，都是布拉菲格子描述？ 單質(zhì)晶體，以原子為結(jié)構(gòu)參考點(diǎn)，也可以分成布拉菲格子和 復(fù)式格子？ 4 3、引入倒格子有什么實(shí)際意義？對(duì)于一定的布拉菲格子，基 矢選擇不唯一，它所對(duì)應(yīng)的倒基矢也不唯一，因而有人說(shuō) 一個(gè)布拉菲格子可以對(duì)應(yīng)于幾個(gè)倒格子，對(duì)嗎？復(fù)式格子 的倒格子也是復(fù)式格子嗎？ 第一章 思考題 答： 引入倒格子概念，對(duì)分析和表述有關(guān)晶格周期性的各種問(wèn)題 非常有效，如：晶體X射線衍射，晶體周期函數(shù)

3、的傅里 葉變換。 布拉菲格子不可以對(duì)應(yīng)于幾個(gè)倒格子?；高x擇不唯一，但 定義的布拉菲格子是唯一確定的；同樣，倒基矢選擇不 唯一，但定義的倒格子是唯一確定的。因此，給定布拉 菲格子對(duì)應(yīng)唯一確定的倒格子。 倒格子定義在布拉菲格子概念上，而非復(fù)式格子。表達(dá)晶體 結(jié)構(gòu)周期性，以基元為格點(diǎn)的布拉菲格子是唯一的。 5 4、當(dāng)描述同一晶面時(shí)，密勒指數(shù) (hkl)與晶面指數(shù) (h1h2h3) 一 定相同嗎？ 第一章 思考題 答： 不一定相同。 密勒指數(shù)和晶面指數(shù)都定義為晶面在給定坐標(biāo)軸上的截距倒 數(shù)互質(zhì)整數(shù)比。但是，密勒指數(shù)是在晶胞基矢為坐標(biāo)軸 上定義的，而晶面指數(shù)是在原胞基矢為坐標(biāo)軸上定義的。 因此，只當(dāng)晶

4、胞基矢和原胞基矢一致時(shí)，同一晶面的密 勒指數(shù)和晶面指數(shù)才能相同。一般情況下，同一晶面密 勒指數(shù) (hkl)與晶面指數(shù) (h1h2h3) 不相同。 由于簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)的晶胞基矢和原胞基矢一致，因此，簡(jiǎn)單 立方結(jié)構(gòu)的同一晶面密勒指數(shù) (hkl)與晶面指數(shù) (h1h2h3) 相同。 6 5、試畫(huà)出體心立方和面心立方(100)、(110)、(111)面上格點(diǎn)的 分布圖。 第一章 思考題 體心立方 面心立方 (100) (110)(111) 7 6、怎樣判斷一個(gè)體系對(duì)稱性的高低？討論對(duì)稱性有何物理意義。 第一章 思考題 答： 一個(gè)物理體系對(duì)稱性用其具有的對(duì)稱操作集合來(lái)描述。一個(gè)體 系具有的對(duì)稱操作越多，其

5、對(duì)稱性就越高。在數(shù)學(xué)上，基 本操作的集合構(gòu)成 “群”，每個(gè)基本操作稱為群的一個(gè)元 素。由于晶格周期性限制，描述晶體宏觀對(duì)稱性的“點(diǎn)群” 只有32種。描述晶體微觀對(duì)稱性的“空間群”只有230種。 一個(gè)物理體系，如知道其幾何對(duì)稱性，就可在一定程度上確定 它的某些物理性質(zhì)。例如，若原子結(jié)構(gòu)具有中心反演對(duì)稱 性，則原子無(wú)固定偶極矩；若一個(gè)體系具有軸對(duì)稱性，偶 極矩必在對(duì)稱軸上；若有對(duì)稱面，偶極矩必在對(duì)稱面上。 由此可見(jiàn)，不必討論體系結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)，僅從體系的對(duì)稱性，就可 對(duì)其物理性質(zhì)作出某些判斷。對(duì)稱理論已成為定性和半定 量研究物理問(wèn)題的重要方法。 8 第一章 習(xí)題 1.1 何謂布拉菲格子？畫(huà)出NaCl晶格

6、所構(gòu)成的布拉菲格子，說(shuō) 明基元代表點(diǎn)構(gòu)成的格子是面心立方晶體，每個(gè)原胞中含 幾個(gè)格點(diǎn)？ 解： 由基元代表點(diǎn)-格點(diǎn)-形成的晶格稱為布拉菲格子或布拉菲點(diǎn) 陣。它的特征是每個(gè)格點(diǎn)周?chē)那闆r(包括周?chē)母顸c(diǎn)數(shù) 目和格點(diǎn)配置的幾何方位等)完全相同。 基元由相鄰的一個(gè)Na+和一 個(gè)Cl構(gòu)成，基元代表點(diǎn) (如： Na+ 位置) 構(gòu)成面心立方晶 格。 每個(gè)原胞中含一個(gè)格點(diǎn)。 9 第一章 習(xí)題 1.2 在下面的例子中，其結(jié)構(gòu)是不是布拉菲格子？如果是，寫(xiě) 出它的基矢；如果不是，能否挑選合適的格點(diǎn)組成基元， 使基元的重心構(gòu)成布拉菲格子？ (1) 底心立方格子； (2) 邊心立方格子； (3) 蜂窩二維格子。 底心立

7、方格子 是簡(jiǎn)單四方格子 邊心立方格子 PR Q 蜂窩二維格子 基元 基元 a i j k ka jia jia a a a 3 2 1 )( 2 )( 2 不是布拉菲格子 不是布拉菲格子 a1 a2 a3 10 1.3 對(duì)于面心立方晶格，如果取晶胞的三邊為基矢，某一族晶 面的密勒指數(shù) 為(hkl)，問(wèn)，如果取原胞的三邊為基矢，該 族晶面的晶面指數(shù)是多少？ 解：已知，面心立方晶格某晶面密勒指數(shù)(hkl)，求該晶面指數(shù) (h1h2h3)。 a i j k 。，晶面指數(shù)，密勒指數(shù) 截距倒數(shù)的關(guān)系根據(jù)晶面指數(shù)是在基矢 3 3 2 2 1 1 : hhhlkh aaacba A B C D kcjbia

8、aaa，晶胞基矢： )( 2 )( 2 )( 2 321 jiaikakja aaa ，原胞基矢： a3 a b k b h a 3 3 h a 設(shè)晶面 (hkl)在底 面截線 0， DBDC 0)()( 3 3 3 3 2 3 33 3 3 3 3 khhhkh h hhkh abaaabaaaaba 即： 第一章 習(xí)題 11 a i j k A B C D a3 a b k b h a 3 3 h a 晶面在底 面截線 kijab 2 aaa ，代入jbiaaa )( 2 3 jia a 和 0 3 3 3 3 2 3 33 khhhkh h abaaabaa DBDC 求解 0 22 2

9、 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3 33 kkk abaaabaa kh a hh a kh a khhhkh h 得到 ，即，0 1 2 1 2 1 33 khhhkh kjijab 2 )( 2 2 3 aa a ， hkhkh kh1 2 3 ，1 2 3 h kh , 2 3 kh h 得到同理 , 0 33 aa 2 )( 2 2 3 ，kijiaa a a a , 2 1 lk h 2 2 hl h 第一章 習(xí)題 12 1.4 如果基矢 a,b,c 構(gòu)成正交晶系，試證明晶面族 (hkl) 的面間 距為 第一章 習(xí)題 222 )()()( 1 c l b k a h dhkl

10、證明：設(shè) n 為該晶面系的法線方向，密勒指數(shù) (hkl) 與 n,a,b,c 及 d 有如下關(guān)系。 )/(),cos( 1 lcdnc 對(duì)于正交晶系， ，)/(),cos( 1 hadna),/(),cos( 1 kbdnb 1),cos(),cos(),cos( 222 ncnbna , 1 )()()( 2 2 2 2 2 2 lc d kb d ha d 即， 222222 222 2 )()()()()()( )()()( k b h a l c h a l c k b l c k b h a d ， 222 )()()( 1 c l b k a h d 證畢。 13 1.5 試求面心

11、立方結(jié)構(gòu)和體心立方結(jié)構(gòu)具有最大面密度的晶面 族，并寫(xiě)出計(jì)算這個(gè)最大面密度的表示式。 第一章 習(xí)題 解： 由格點(diǎn)面密度 與面間距 d 關(guān)系式 hkl = dhkl，知晶體格點(diǎn)體密 度 和面間距 d，可求晶面族 (hkl) 格點(diǎn)面密度表達(dá)式。 已知，面心立方和體心立方晶胞格點(diǎn)體密度分別為 4/a3 和 2/a3。 密勒指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面系，其面間距 d 較大，格點(diǎn)面密度也較大。 比較 (100)，(110)，(111)晶面，可知面心立方 (111)晶面和體心立 方 (110)晶面的格點(diǎn)面密度最大。根據(jù) ， 222 lkh a dhkl 2 110 a d體心立方，有面心立方 3 111 a d 2 1

12、10 2 23 2 a a a 體心立方，面心立方 2 111 3 34 33 4 a a a 表達(dá)式，因此，最大格點(diǎn)面密度 321321 /2 hhhhhh Gd 14 1.7 證明體心立方格子和面心立方格子互為倒格子。 第一章 習(xí)題 證明： 根據(jù) BCC和 FCC 基矢表達(dá)式， )( 2 )( 2 )( 2 )( 3 2 1 jib ikb kjb a a a BCC 倒基矢 )( 2 )( 2 )- ( 2 )( 3 2 1 kjia kjia kjia a a a BCC 正基矢 )( 2 )( 2 )( 2 )( 3 2 1 jia ika kja a a a FCC 正基矢 )(

13、2 )( 2 )- ( 2 )( 3 2 1 kjib kjib kjib a a a FCC 倒基矢 )( 2 321 32 1 aaa aa b 要求同學(xué)通過(guò)矢量運(yùn)算， 證明得出結(jié)論： 和倒格子基矢定義 )( 2 321 21 3 aaa aa b )( 2 321 13 2 aaa aa b 15 第四章 思考題 1、能帶理論作了哪些近似和假定？得到哪些結(jié)果？ 答： 能帶理論是近似理論。它作了絕熱近似、平均場(chǎng)近似和周期勢(shì) 場(chǎng)假定。 絕熱近似視固體中原子核(離子實(shí))靜止不動(dòng)，價(jià)電子在固定不變 的離子實(shí)勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。通過(guò)絕勢(shì)近似將電子系統(tǒng)和原子核 (離子實(shí))系統(tǒng)分開(kāi)考慮。 平均場(chǎng)近似視固體中每

14、個(gè)電子所處的勢(shì)場(chǎng)都相同，使每個(gè)電子 所受勢(shì)場(chǎng)只與該電子位置有關(guān)，而與其它電子位置無(wú)關(guān)。 通過(guò)平均場(chǎng)近似使所有電子都滿足同樣的薛定鄂方程。 通過(guò)絕熱近似和平均場(chǎng)近似，將一個(gè)多粒子體系問(wèn)題簡(jiǎn)化為單 電子問(wèn)題。絕熱近似和平均場(chǎng)近似也稱為單電子近似。 周期勢(shì)場(chǎng)假定則認(rèn)為電子所受勢(shì)場(chǎng)具有晶格平移周期性。 通過(guò)以上近似和假定，最終將一個(gè)多粒子體系問(wèn)題變成在晶格 周期勢(shì)場(chǎng)中的單電子的薛定鄂方程定態(tài)問(wèn)題。 16 第四章 思考題 2、周期場(chǎng)是能帶形成的必要條件嗎？ 答：周期場(chǎng)是由布洛赫函數(shù)描述的能帶結(jié)構(gòu)的必要條件。 布洛赫定理推導(dǎo)出周期場(chǎng)中單電子狀態(tài)的一般屬性(主要是能帶 結(jié)構(gòu)，參見(jiàn)圖4.2-1 一維能帶結(jié)構(gòu)的

15、表示圖式)，而晶格周期 勢(shì)場(chǎng)是布洛赫定理的前提條件。 在晶體周期性結(jié)構(gòu)(平移對(duì)稱性)中，電子波函數(shù) (k) 是布洛赫 函數(shù)，能量本征值和本征函數(shù)在 k 空間具有倒格矢反演和 周期性，電子波矢 k 是與平移對(duì)稱性相聯(lián)系的量子數(shù) 。 非晶態(tài)也具有相似的基本能帶結(jié)構(gòu)，即：導(dǎo)帶、價(jià)帶和禁帶。 但非晶態(tài)的電子態(tài)與晶態(tài)比較有本質(zhì)區(qū)別。非晶態(tài)不存在 周期性，因此 k 不再是具有類(lèi)似特征的量子數(shù)。 非晶態(tài)能帶中電子態(tài)分?jǐn)U展態(tài)和局域態(tài)二類(lèi)。擴(kuò)展態(tài)的電子為 整個(gè)固體共有，可在整個(gè)固體內(nèi)找到，在外場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)類(lèi)似 晶體中電子；局域態(tài)的電子基本局限在某一區(qū)域，狀態(tài)波 函數(shù)只能在圍繞某一不大的尺度內(nèi)顯著不為零，它們依靠 聲

16、子協(xié)助，進(jìn)行跳躍式導(dǎo)電。 17 第四章 思考題 3、按自由電子近似，禁帶產(chǎn)生的原因是什么？緊束縛近似呢？ 答： 按自由電子近似，零級(jí)近似波函數(shù)是平面波，它在晶體中傳播 如同X射線。當(dāng)波矢 k 不滿足布拉格條件時(shí)，晶格的影響 很弱，電子幾乎不受阻礙地通過(guò)晶體。但當(dāng) k = n/a (處在 布里淵區(qū)邊界)，波長(zhǎng) = 2/k = 2a/n 正好滿足布拉格反射 條件，受到晶格的全反射，反射波和入射波干涉形成駐波， 使電子分布密度發(fā)生變化。一部分主要分布在離子實(shí)之間， 受離子實(shí)吸引較弱，勢(shì)能較高，一部分主要分布在離子實(shí) 周?chē)?，受離子實(shí)吸引較強(qiáng)，勢(shì)能較低。由此出現(xiàn)能隙。 按緊束縛近似，原來(lái)孤立原子的每一能

17、級(jí)，當(dāng)原子相互接近組 成晶體時(shí)，由于原子間的相互作用就構(gòu)成一個(gè)能帶，若原 子間距離越小，原子波函數(shù)間交疊越多，相互作用越大， 能帶寬度就越寬。 18 由于晶體原胞數(shù) N 很大，倒格子原胞體積 很小， k 在波矢空間準(zhǔn)連續(xù)取值，因 此，同一能帶中相鄰 k 值的能量差別 很小， 所以 En(k) 可近似看成是 k 的 準(zhǔn)連續(xù)函數(shù)。 第四章 思考題 4、一個(gè)能帶有 N 個(gè)準(zhǔn)連續(xù)能級(jí)的物理原因是什么？ 答： 能量本征值 En(k) 與 n 和 k 有關(guān)；對(duì)給定 n ，En(k) 在波矢空 間具有倒格子周期性，因此，電子波矢 k 可限制在第一布 里淵區(qū)；在周期性邊界條件下， k 分立取值個(gè)數(shù)為晶體原 胞

18、數(shù) N； En(k)包含由于 k 的不同取值所對(duì)應(yīng)的許多能級(jí)， 稱為一個(gè)能帶。 N k * 19 第四章 思考題 5、近自由電子模型和緊束縛模型有何特點(diǎn)？它們有共同之處嗎？ 答： 近自由電子近似模型是當(dāng)晶格周期勢(shì)場(chǎng)起伏很小，電子的行為 很接近自由電子時(shí)采用的處理方法。作為零級(jí)近似，用晶 格平均勢(shì)場(chǎng)代替晶格勢(shì)場(chǎng)，以自由電子的波函數(shù)為零級(jí)近 似波函數(shù)。將晶格勢(shì)場(chǎng)與平均勢(shì)場(chǎng)的差，作為微擾求解薛 定鄂方程。 緊束縛近似模型是當(dāng)晶格周期勢(shì)場(chǎng)起伏顯著，電子在某一個(gè)原 子附近主要受到該原子勢(shì)場(chǎng)作用時(shí)采用的處理方法。作為 零級(jí)近似，用孤立原子勢(shì)場(chǎng)代替晶格勢(shì)場(chǎng)，以自由原子中 電子的波函數(shù)為零級(jí)近似波函數(shù)。將其它

19、原子勢(shì)場(chǎng)的作用 作為微擾求解薛定鄂方程。 它們共同之處，將電子所受主要?jiǎng)輬?chǎng)代替晶格勢(shì)場(chǎng)，并以此選 擇零級(jí)近似波函數(shù)，將主要?jiǎng)輬?chǎng)以外的其它勢(shì)場(chǎng)的影響作 為微擾，采用量子力學(xué)微擾理論求解薛定鄂方程。 20 第四章 思考題 6、試述晶體電子作準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的條件和準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本公式。 答： 量子力學(xué)采用準(zhǔn)經(jīng)典模型來(lái)描述晶體電子對(duì)外場(chǎng)的響應(yīng)，并用 布洛赫波組成波包，用波包群速度對(duì)應(yīng)經(jīng)典粒子在外場(chǎng)中 的運(yùn)動(dòng)。 2 2 )( )(),( kk kk tkxi k dkexutx 由此可見(jiàn)，用準(zhǔn)經(jīng)典模型描述晶體電子對(duì)外場(chǎng)響應(yīng)的條件： 這一外場(chǎng)相對(duì)波包范圍變化緩慢，從而相對(duì)晶體原胞范圍 變化更為緩慢。 根據(jù)波包

20、定義： 這是因?yàn)?，從測(cè)不準(zhǔn)原理xk 1，ka/2。即：當(dāng)波包波矢范圍 k 比布里淵區(qū)尺度 小得多，則波包在晶體空間的范圍將覆蓋許多原胞。 只要令波包的波矢范圍 k 相對(duì)布里淵區(qū)尺度為小量， 即： k2 /a，則 En(k)可代表這一波包內(nèi)所有電子的狀態(tài)？ 21 第四章 思考題 6、試述晶體電子作準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的條件和準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本公式。 因此，準(zhǔn)經(jīng)典模型是將變化周期遠(yuǎn)大于波包范圍和晶體原胞尺 度的外場(chǎng)采用經(jīng)典理論處理，將變化周期遠(yuǎn)小于波包范圍 的晶格周期勢(shì)場(chǎng)采用量子理論結(jié)果。 準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本公式：波包的群速度等于晶體電子作為經(jīng)典 粒子后的平均速度；并由此導(dǎo)出晶體電子在外場(chǎng)作用下的 動(dòng)力學(xué)方程、

21、加速度、準(zhǔn)動(dòng)量和有效質(zhì)量。 22 第四章 思考題 7、試述有效質(zhì)量、空穴的意義，引入它們有什么用處？ 答： 關(guān)于有效質(zhì)量： 有效質(zhì)量是在討論晶體電子在外場(chǎng)作用下的加速度時(shí)引入的物 理量，F(xiàn)=m*a。 有效質(zhì)量是張量，因此電子的加速度一般與外力方向不一致， 這是因?yàn)殡娮映耸芡饬ψ饔猛?，還受到晶格周期勢(shì)場(chǎng)的 作用，這個(gè)作用由有效質(zhì)量概括。 有效質(zhì)量與電子狀態(tài)有關(guān)，是波矢 k 的函數(shù) me*(k)；有效質(zhì)量 可以取正值，也可以取負(fù)值。 引入有效質(zhì)量，概括了晶格周期勢(shì)場(chǎng)，晶體電子在外力下運(yùn)動(dòng)， 在形式上仍有經(jīng)典動(dòng)力學(xué)方程。 引入有效質(zhì)量，在能帶極值附近的電子可以看成是具有有效質(zhì) 量的自由電子。 23

22、 第四章 思考題 7、試述有效質(zhì)量、空穴的意義，引入它們有什么用處？ 關(guān)于空穴： 空穴是在討論半導(dǎo)體滿帶(價(jià)帶)電子受激發(fā)到達(dá)空帶，使?jié)M帶 留下一個(gè)空狀態(tài)成為近滿帶的導(dǎo)電行為時(shí)引入的概念。 一個(gè) k 狀態(tài)空著的能帶所產(chǎn)生的電流與一個(gè)帶正電荷 e，以該 狀態(tài)的電子速度 V(k) 運(yùn)動(dòng)的粒子所產(chǎn)生的電流相同，我 們稱這種空的狀態(tài)為“空穴”。 空穴在外場(chǎng)下的運(yùn)動(dòng)，可以看成是一個(gè)帶正電荷 e，具有正的 有效質(zhì)量 mh*(k) 的粒子。 引入空穴，使得對(duì)一個(gè)近滿帶(2N-1)電子在外場(chǎng)下行為的描述 轉(zhuǎn)化為對(duì)一個(gè)空穴的描述。引入空穴，對(duì)于解釋半導(dǎo)體及 一些物理現(xiàn)象起著重要作用，如：可以用來(lái)解釋某些材料 霍

23、爾系數(shù)為正的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 24 第四章 習(xí)題 4.1 周期場(chǎng)中電子的波函數(shù) k(r) 應(yīng)是布洛赫波，若一維晶格常數(shù) 為 a，電子波函數(shù)為 試求這些電子態(tài)的波矢。 解： 根據(jù)布洛赫定理 l k k k flaxfx x a ix x a x ) ( )()( )3( ) 3 cos()( )2( )sin()( ) 1 ( 是一個(gè)確定的函數(shù) )()(rRr Rk n i n e )sin()( ) 1 (x a x k 1 ，即，要求 ika e )()sin()sin()(sin()( xx a x a ax a ax kk 25 第四章 習(xí)題 ) 3 cos()( )2(x a ix k .3

24、 , 2 , 1 ,.) 12(. 53 1 n a n aaa k eika ，即應(yīng)有 ，若要求 .3 , 2 , 1 . ,) 12(. 53 1 n a n aaa k eika ，即應(yīng)有 ，若要求 )()(rRr Rk n i n e 1 ，即要求 ika e )( ) 3 cos()3 3 cos()( 3 cos()( x x a ix a iax a iax k k 26 第四章 習(xí)題 .210 ,. 2 . 42 0 1 ，即應(yīng)有 ，若要求 n a n aa k eika l k laxfx)()( )3()()(rRr Rk n i n e 1 ，即要求 ika e )( )

25、() 1()()( x maxfalxflaaxfax k mll k 27 第四章 習(xí)題 4.2 電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能為 其中 a = 4b， 為常數(shù)。 (1) 試畫(huà)出勢(shì)能曲線，并求其平均值。 (2) 用近自由電子近似模型求出晶體的第一和第二禁帶寬度。 解： (1) 示意勢(shì)能曲線 bnaxban bnaxbnanaxbm xV ) 1( 0 )( 2 1 )( 222 當(dāng) 當(dāng) a-bb-a2a-2a x V(x) 22 2 1 bm 周期為 a=4b 28 第四章 習(xí)題 (1) 求平均值 22 222 6 1 )( 8 1 bm dxxdxbm b b b b b a-bb-a2a-2a x

26、 V(x) 22 2 1 bm 根據(jù)周期性 dxxbm b dxxbm L V b b L 2 1 4 1 2 11 222 0 222 29 第四章 習(xí)題 (2) 求 第 1 個(gè)能隙寬度 3 22 222 2 222 0 2 1 11 4 ) 2 sin() 2 cos( 8 1 2 1 4 1 )( 1 2 bm dxx b ix b xbm b dxexbm b dxexV L V VE b b b b x b i L x a i g a-bb-a2a-2a x V(x) 22 2 1 bm 3 22 1 8 bm Eg 30 第四章 習(xí)題 (2) 求 第 2 個(gè)能隙寬度 2 22 2

27、bm Eg a-bb-a2a-2a x V(x) 22 2 1 bm 2 22 222 222 0 2 2 2 22 2 1 )sin()cos( 8 1 2 1 4 1 )( 1 2 bm dxx b ix b xbm b dxexbm b dxexV L V VE b b b b x b i L x a i g 31 第四章 習(xí)題 4.6 一維晶格中，用緊束縛近似及最近鄰近似，求 S 態(tài)電子的能 譜 E(k) 的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有效質(zhì)量。 解： 已知，在緊束縛近似及最近鄰近似下 nn m i i m eE , )()(Rk Rk 對(duì)于一維晶格，令晶格常數(shù)為 a， S態(tài)相互作用積

28、分為 ， )cos(2)()(kaeekE i aikaik i 4)(kE 能譜表示式 2)cos(2)( 2)0cos(2)( 0 max min ii ii a a kE a k kEk ， ， 帶寬 32 第四章 習(xí)題 4.6 一維晶格中，用緊束縛近似及最近鄰近似，求 S 態(tài)電子的能 譜 E(k) 的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有效質(zhì)量。 )cos(2)()(kaeekE i aikaik i 2 2 2 1 )(1 *)( dk kEd m )cos( 1 2 2 2 kaa 2 2 2 * a m 底 有效質(zhì)量表示式 2 2 2 * a m 頂 2 2 2 21 1 2)cos(

29、1 2*)( aam a k ，帶頂有效質(zhì)量 2 2 2 21 1 2)0cos( 1 2*)( 0 aamk ，帶底有效質(zhì)量 根據(jù) 33 第四章 習(xí)題 4.7 二維正方格子的晶格常數(shù)為 a，用緊束縛近似及最近鄰近似， 求 S 態(tài)電子的能譜 E(k) 的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有 效質(zhì)量。 解：已知，在緊束縛近似及最近鄰近似下 nn m i i m eE , )()(Rk Rk 令 S 態(tài)相互作用積分為 ， )cos(cos2 )()( akak eeeeE yxi aikaik aikaik i yy xx k 4 )cos()(cos(2)( 4) 11 (2)( 0 max min

30、i iyx iiyx a a a a E a kk Ekk k k ， ， 能譜表示式 帶寬8)()()( minmax kkkEEE 34 第四章 習(xí)題 )cos(cos2)(akakE yxi k 4.7 二維正方格子的晶格常數(shù)為 a，用緊束縛近似及最近鄰近似， 求 S 態(tài)電子的能譜 E(k) 的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有 效質(zhì)量。 根據(jù) 有效質(zhì)量表示式 )cos(0 0)cos( 2 2 2 ak ak a y x 2 22 2 2 2 2 1 )()( )()( 1 * y E xy E yx E x E m kk kk 35 第四章 習(xí)題 4.7 二維正方格子的晶格常數(shù)為 a，用緊束縛近似及最近鄰近似， 求 S 態(tài)電子的能譜 E(k) 的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有 效質(zhì)量。 10 01 2 )