北京市重點(diǎn)中學(xué)高三8月開(kāi)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試題及答案

1、20142015學(xué)年度第一學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)高 三 數(shù) 學(xué) 試 卷（考試時(shí)間120分鐘 滿(mǎn)分150分）第i卷 （選擇題 共40分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)）（1）已知集合，則 （a） （b） （c） （d）（2）設(shè)，則“”是“”的（a）充分而不必要條件 （b）必要而不充分條件 （c）充要條件 （d）既不充分也不必要條件（3）已知函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的是（a）是偶函數(shù) （b）在上是增函數(shù) （c）是周期函數(shù) （d）的值域?yàn)椋?）已知函數(shù)，. 若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （a） （b） （c） （d）（5）已

2、知向量的夾角為，且，則（a） （b） （c） （d）（6）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（a） （b） （c） （d）（7）若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小正值是（a） （b） （c） （d）（8）對(duì)于函數(shù)，若存在非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，則稱(chēng)為準(zhǔn)偶函數(shù). 下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是 （a） （b） （c） （d） 第ii卷 （非選擇題 共110分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）（9） 已知，是虛數(shù)單位.若與互為共軛復(fù)數(shù)，則 .（10）設(shè)，若，則 .（11）已知函數(shù) ，則不等式的解集為 .（12）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是. 已知，則的值為 .（

3、13）已知菱形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別在邊上，. 若，則的值為 .（14）若集合，且下列四個(gè)關(guān)系： ； ； ； .有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是 .三、解答題 （本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程）（15）（本小題13分）已知函數(shù)，.（）求的最小正周期；（）求在上的最小值和最大值.（16）（本小題14分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是. 已知，.（）求的值；（）求的面積.（17）（本小題13分） 某花店每天以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元

4、）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式；（）花店記錄了天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量頻數(shù) 假設(shè)花店在這天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求這天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)； 若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，以天記錄的的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，【文科學(xué)生繼續(xù)做】 求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于元的概率.【理科學(xué)生繼續(xù)做】 求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）的分布列與數(shù)學(xué)期望.（18）（本小題14分） 設(shè)函數(shù)，.（）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的極小值；（）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（19）（本小題13分） 設(shè)函數(shù)，且. 曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為.（）求的值；（）若存在，使得，求的取值范圍.（20）（本小

5、題13分） 已知橢圓：（）的焦距為，且過(guò)點(diǎn).（）求橢圓的方程和離心率；（）設(shè)（）為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為. 取點(diǎn)，連接. 過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).試判斷直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.20142015學(xué)年度第一學(xué)期第一次練習(xí)高 三 數(shù) 學(xué) 試 卷 答 案（考試時(shí)間120分鐘 滿(mǎn)分150分）第i卷 （選擇題 共40分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)）（1）已知集合，則 （a） （b） （c） （d） 解：，選a.（2）設(shè)，則“”是“”的（a）充分而不必要條件 （b）必要而不充分條件 （c

6、）充要條件 （d）既不充分也不必要條件解法一：按的符號(hào)分類(lèi)討論解法二：構(gòu)造函數(shù)，利用在上為增函數(shù)，選c.（3）已知函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的是（a）是偶函數(shù) （b）在上是增函數(shù) （c）是周期函數(shù) （d）的值域?yàn)榻猓鹤鞒龅膱D象，選d.（4）已知函數(shù)，. 若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （a） （b） （c） （d）解：作出函數(shù)的圖象，易得. 選b.（5）已知向量的夾角為，且，則（a） （b） （c） （d）解：，. 選d.（6）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（a） （b） （c） （d）解：令，得. 轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)出它們的圖象，知有兩個(gè)交點(diǎn). 選b.（7）若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得

7、圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小正值是（a） （b） （c） （d）解：，令，再取，得，.當(dāng)時(shí)，得的最小正值是. 選c.（8）對(duì)于函數(shù)，若存在非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，則稱(chēng)為準(zhǔn)偶函數(shù). 下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是 （a） （b） （c） （d） 解：由題設(shè)知的圖象關(guān)于直線(xiàn)（非軸）對(duì)稱(chēng)，選d. 第ii卷 （非選擇題 共110分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）（9）已知，是虛數(shù)單位.若與互為共軛復(fù)數(shù)，則 . 解：. .（10）設(shè)，若，則 .解：，由題設(shè)知，.（11）已知函數(shù) ，則不等式的解集為 .解法一：代數(shù)法解法二：圖象法，解集為.（12）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.

8、 已知，則的值為 .解：由及正弦定理得，即. 又，故.所以.（13）已知菱形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別在邊上，. 若，則的值為 .解法一：以為基底. .解法二：分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系. 用坐標(biāo)法解.（14）若集合，且下列四個(gè)關(guān)系： ； ； ； .有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是 .解：分類(lèi)討論（1）若 真，則 均假. 即，. 于是，矛盾?。?）若 真，則 均假. 即，. 此時(shí)有個(gè)解：與.（3）若 真，則 均假. 即, ,. 此時(shí)有個(gè)解：.（4）若 真，則 均假. 即,. 此時(shí)有個(gè)解：.故符合條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是.三、解答題 （本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演

9、算步驟或證明過(guò)程）（15）（本小題13分）已知函數(shù)，.（）求的最小正周期；（）求在上的最小值和最大值.解：（） 2分 4分 6分的最小正周期為. 7分（） 9分當(dāng)，即 時(shí)，取最小值； 11分當(dāng)， 即 時(shí)，取最大值. 13分（16）（本小題14分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是. 已知，.（）求的值；（）求的面積.解：（）因，故. 2分因，故. 4分由正弦定理，得. 6分（）. 8分 10分 11分. 12分的面積為. 14分（17）（本小題13分） 某花店每天以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)

10、（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式；（）花店記錄了天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量頻數(shù) 假設(shè)花店在這天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求這天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)； 若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，以天記錄的的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，【文科學(xué)生繼續(xù)做】 求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于元的概率.【理科學(xué)生繼續(xù)做】 求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（） ，. 5分（） 平均數(shù)為. 8分【文科學(xué)生繼續(xù)做】利潤(rùn)不少于元當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于枝，所求概率為. 13分 【理科學(xué)生繼續(xù)做】.，.（單位：元）的分布列為 13分（每個(gè)結(jié)果各1分）（18）（本小題14分）

11、 設(shè)函數(shù)，.（）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的極小值；（）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：（）當(dāng)時(shí)，其定義域?yàn)? 1分 2分令，. 3分極小值 5分故當(dāng)時(shí)，取得極小值. 6分（），其定義域?yàn)? 7分令，得. 8分設(shè)，其定義域?yàn)? 則的零點(diǎn)為與的交點(diǎn). 9分極大值故當(dāng)時(shí)，取得最大值. 11分作出的圖象，可得 當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)； 12分 當(dāng)或時(shí)，有且僅有個(gè)零點(diǎn)； 13分 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn). 14分（19）（本小題13分） 設(shè)函數(shù)，且. 曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為.（）求的值；（）若存在，使得，求的取值范圍.解：（）， 2分由曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，得， 3分即，. 4分（）由，得. 5分令，得，. 6分 當(dāng)時(shí)，在上，為增函數(shù)，令，即，解得. 8分 當(dāng)時(shí)，極小值不合題意，無(wú)解. 10分 當(dāng)時(shí)， ，符合題意. 12分 綜上，的取值范圍是. 13分（20）（本小題13分） 已知橢圓：（）的焦距為，且過(guò)點(diǎn).（）求橢圓的方程和離心率；（）設(shè)（）為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為. 取點(diǎn)，連接. 過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).試判斷直線(xiàn)與橢圓的