高中數(shù)學教學論文：正本清源——基于數(shù)學史的高中數(shù)學概念教學

1、正本清源基于數(shù)學史的高中數(shù)學概念教學摘要：基于數(shù)學史開展高中數(shù)學概念教學可介紹概念產(chǎn)生的背景及價值；利用數(shù)學史中概念產(chǎn)生的具體過程揭示概念的內(nèi)涵；通過數(shù)學史中的正、反兩方面的例子剖析概念的本質(zhì)；從歷史角度講解概念中蘊含的數(shù)學思想為切入點，采用問題策略和有指導的再創(chuàng)造策略，針對形成式概念、同化式概念實施教學，從而達到對數(shù)學概念的深層理解，進而“再創(chuàng)造”。關鍵詞：數(shù)學史；數(shù)學概念一、問題的提出1一則案例的思考【案例】單位圓定義法與終邊定義法定義任意角的三角函數(shù)的討論在人教版普通高中實驗教科書數(shù)學4必修（a版）中，三角函數(shù)采用單位圓定義法。章建躍博士在文為為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數(shù)

2、指出它符合三角函數(shù)的發(fā)展歷史三角函數(shù)發(fā)展史已經(jīng)表明，任意角的三角函數(shù)是因研究圓周運動的需要而產(chǎn)生的，數(shù)學史上，三角函數(shù)曾經(jīng)被稱為“圓函數(shù)”所以，采用“單位圓定義法”能更真實地反映三角函數(shù)的發(fā)展進程思考：“單位圓定義法”與“終邊定義法”本質(zhì)上是一致的正因為此，各種數(shù)學出版物中，兩種定義方法都有采用教材編寫者采用了還原概念原貌的編寫方式，鮮活的歷史應該會使處在應試教育中的教師對數(shù)學、尤其對數(shù)學的教育的理解有所提升. 前蘇聯(lián)教育家斯托利亞爾認為，數(shù)學史能夠向人們提供“關于數(shù)學概念、方法、語言發(fā)展的歷史道路的重要信息”，以及“學校教學中形成和發(fā)展這些概念的方法、語言的途徑”。數(shù)學發(fā)展史告訴我們，每一個

3、重要的概念的形成和發(fā)展，都有著豐富的經(jīng)歷，都充滿著人類探索的情意成分和對真理不懈追求的精神，也就是說，“在形式化的數(shù)學概念這一冰冷的美麗里面蘊含著人類探索的火熱的思考，數(shù)學概念形成過程中蘊含著豐富的生活含義”?；跀?shù)學史進行探究式數(shù)學概念學習應該是一條可行且有效的途徑。2概念理解的歷史相似性的調(diào)查【調(diào)查】用你自己的語言描述一下函數(shù)的概念（高二，124人）類別概念頻數(shù)歷史上數(shù)學家對函數(shù)的理解a變量的對應關系25傅立葉（1822）；哈代（1908）b集合的對應關系33坦納里（1904）；布爾巴基（1939）c映射10戴德金（1887）d解析式15伯努利（1696）；拉格朗日（1797）e運算8格雷

4、戈里(1667)f變量的依賴關系12萊布尼茲（1714）；柯西（1821）g圖像12歐拉（1748）h其他（模糊或錯誤的定義）9結(jié)論：函數(shù)概念從產(chǎn)生到完善歷經(jīng)數(shù)世紀之久，可見函數(shù)思想之難。即使在教材和教學的影響下，也仍然有那么多的學生給出了不同于教材,卻類似于歷史上17世紀到20世紀上葉不同時期數(shù)學家的回答，這種函數(shù)概念理解中的歷史相似性還表明：概念歷史發(fā)展過程中的認識障礙也會成為今天課堂上學生的認知障礙。弗賴登塔爾相信：“年輕的學習者重蹈人類的學習過程，盡管方式改變了。”如果我們能深入了解數(shù)學史，明確概念如何獲得，獲得的過程中遇到什么樣的困難，是如何解決的，也就知道如何幫助學生獲得概念，這對

5、設計概念教學，把握教學難點有指導作用。所以，對于概念的教學，我們可以根據(jù)數(shù)學史上這些讓數(shù)學家也曾困惑的問題出發(fā)，設計同樣的或類似的情境，讓學生具體感受數(shù)學知識活動的實質(zhì)，從根本上理解概念何以這樣規(guī)定，從而達到對數(shù)學概念的深層理解，進而“再創(chuàng)造”。二、基于數(shù)學史的高中數(shù)學概念教學的切入點1介紹概念產(chǎn)生的背景及價值數(shù)學概念是人們通過實踐，從數(shù)學研究對象的許多屬性中抽象出其本質(zhì)屬性，做高度概括而成的。數(shù)學概念的產(chǎn)生，是揭示數(shù)學概念發(fā)生的實際背景和基礎，它極大的影響著學生對概念的理解和運用。所以在中學數(shù)學概念教學中應注意數(shù)學情境的設計，利用數(shù)學概念的發(fā)生發(fā)展過程，有選擇的創(chuàng)設模擬情境，讓學生親歷知識的

6、發(fā)現(xiàn)過程，在感性材料中，在歷史背景下揭示出概念的本質(zhì)，完善概念體系的建立，給出嚴格的形式化的定義。例如:在講授對數(shù)概念時有目的的介紹概念產(chǎn)生的背景可以使學生體會對數(shù)概念的在當時的重要性及價值天文學家兼數(shù)學家拉普拉斯稱贊這是一項“使天文學家壽命倍增”的發(fā)明。又如介紹坐標系的概念，笛卡爾是在什么情境下發(fā)明坐標系的概念的？笛卡爾一直在思考的問題是：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這里，關鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤。他就拼命琢磨：通過什么樣的辦法、才能把“點”和“數(shù)”聯(lián)系起來。坐標系產(chǎn)生有什么意義？恩格斯高度評價笛卡爾的工作，他說：

7、“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學。”2利用數(shù)學史中概念產(chǎn)生的具體過程揭示概念的內(nèi)涵數(shù)學概念的抽象性給數(shù)學帶來了許多困難。這些困難大體可歸納為兩類：一是數(shù)學概念抽象且枯燥，難以引起學生的興趣；二是數(shù)學概念深奧，適應性廣，難以抓住其本質(zhì)。讓我們回到數(shù)學史中去，我們會看到許多抽象的數(shù)學概念或者直接來自實踐的具體對象，或者以幾經(jīng)抽象的相對的具體的問題為依托，這些具體對象被認知，相對具體的問題被識別，推進著概念的逐級抽象。歷史往往就是這樣顯示出概念內(nèi)涵的凝聚和形成。基于數(shù)學概念發(fā)展的歷史，有利于學生從整體上把握數(shù)學概念的發(fā)展脈絡，感受隱含在概念演變與修

8、正過程中的豐富智慧，對數(shù)學概念形成完整、恰當?shù)恼J識，領悟數(shù)學的本質(zhì)，并在領略數(shù)學家們?yōu)楦拍畹娜罩脸墒焖冻龅钠D辛與努力，以及所經(jīng)受的困難與挫折的過程中體驗人性化的數(shù)學。例如，在講解函數(shù)概念可以講講函數(shù)發(fā)展的歷史，通過一次次的思想的飛躍，由幾何觀下的函數(shù)到代數(shù)觀下的函數(shù)到對應關系下的函數(shù)概念，最后發(fā)展到現(xiàn)代函數(shù)概念集合論下的函數(shù)，不僅使學生的知識具有連續(xù)性，更可以看到概念的內(nèi)涵，使“函數(shù)”這個概念成為富有人性化的，而非枯燥無味的概念。3通過數(shù)學史中的正、反兩方面的例子剖析概念的本質(zhì)教材敘述概念總是采用正面闡述的形式，而學生常常對一些概念的關鍵詞語缺乏深刻地認識，對概念所要求的條件理解不全面。教育

9、心理學家認為：概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息。在教學過程中，我們不僅要運用正面的實例透徹的闡述知識，而且要運用恰當?shù)姆蠢龔牧硪粋€角度讓學生理解數(shù)學概念的本質(zhì)，彌補正面教學不足，從而加深學生對數(shù)學知識的理解。概念的發(fā)展史中比比皆是的正例和反例為教學提供了很好的素材。例如：歷史上真函數(shù)與假函數(shù)的爭論可以為函數(shù)概念的講解提供很好的反例，它可以回答分段函數(shù)是不是函數(shù)的問題。狄利柯雷函數(shù)沒有圖像，它可以解釋為什么不用圖像作為函數(shù)標準。又如在數(shù)學期望概念的學習中，設計一張史稱“點數(shù)問題”的學習單，列舉分別包括15世紀意大利數(shù)學家帕西沃里、卡蘭奇和17世紀法國數(shù)學家

10、費馬和帕斯卡的解法，并組織學生討論，將數(shù)學史無聲的運用到概念教學中，把握概念的本質(zhì)。4.從歷史角度講解概念中蘊含的數(shù)學思想蘇聯(lián)學者m.m.弗利德曼指出：“在學校課程中數(shù)學的思想和方法已當占有中心地位，占有把教學大綱所有的，為數(shù)很多的概念，所有的題目和章節(jié)結(jié)成一個統(tǒng)一的學科的核心地位?！睌?shù)學概念和其他數(shù)學知識一樣，是中學數(shù)學的表層知識，而數(shù)學思想、方法是數(shù)學的深層知識，深層知識是網(wǎng)絡，將數(shù)學知識編織在一起，形成結(jié)構(gòu)，息息相關；深層知識是根和莖，使表層知識這株大樹巍然挺立，并不斷分枝、分杈，枝繁葉茂。因此，數(shù)學概念教學的主要目標之一是使學生通過概念的掌握和運用，最終理解和掌握數(shù)學思想和方法。只有當

11、學生在數(shù)學思想、方法的高度上掌握數(shù)學概念，數(shù)學知識時，才能較好的形成數(shù)學能力，受用終生。因此，學生通過數(shù)學史上概念發(fā)展可以由表層知識達到對深層知識的領悟，還可以促使學生深刻的理解數(shù)學思想方法，保證思維的連貫性，進而“再創(chuàng)造”。例如，函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展、變化中蘊含著對應思想；對數(shù)的產(chǎn)生過程蘊含著類比的思想等等。又如為了有效地促進高中解析幾何的教學，我們可以通過分析笛卡兒創(chuàng)立解析幾何過程中體現(xiàn)的數(shù)學思想，從而有效地實現(xiàn)課程目標。而作為一個整體文化系統(tǒng)的笛卡兒解析幾何思想，其中每一個子系統(tǒng)之間是互相關聯(lián)的（見圖）。笛卡爾數(shù)學思想的內(nèi)涵（一個整體文化系統(tǒng)）數(shù)學結(jié)構(gòu)哲學表現(xiàn)科學價值認識模式歷史淵源個性

12、品質(zhì)三、基于數(shù)學史的高中數(shù)學概念教學的策略1問題策略問題策略是指為了豐富學生在概念學習中的體驗，將數(shù)學史中數(shù)學概念的形成過程、形式化的數(shù)學概念以及一些相關的材料轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，形成問題情境，在問題的探究中“學數(shù)學、做數(shù)學、用數(shù)學”，最終構(gòu)建概念的心理表征。正是有了形形色色的數(shù)學問題，才產(chǎn)生了豐富多彩的數(shù)學概念，因此，概念教學的起點應是問題。真正的數(shù)學教育應遵循數(shù)學發(fā)展?jié)u進系統(tǒng)化的過程，教學生像數(shù)學家那樣“再創(chuàng)造”的方法去學習?；跀?shù)學史的概念教學必須問題化。這可從兩方面著手：其一，把概念形成過程問題化。一個概念是如何引入的？必要性和重要性何在？這些問題往往也是區(qū)分概念的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征的關

13、鍵所在。因此教學中應盡可能把知識的發(fā)生過程轉(zhuǎn)化為一系列帶有探究性的問題，真正使有關材料成為學生思考的對象。其二，把形式化的數(shù)學材料轉(zhuǎn)化為蘊含概念本質(zhì)特征、貼近學生生活的、適合學生探究的問題。通過學生動手操作，把數(shù)學拉到學生的身邊，使數(shù)學變得親切，把學生引向概念本質(zhì)。2.有指導的再創(chuàng)造策略有指導的再創(chuàng)造策略是指利用數(shù)學史料進行課堂設計讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成與應用，自主的生成概念。再創(chuàng)造策略可以使學生更好的理解數(shù)學概念形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，追尋數(shù)學發(fā)展的歷史足跡，增強學好數(shù)學的愿望和信心。特別是對于抽象數(shù)學概念的教學，要特別關注概念的形成的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概

14、念的學習方式。弗萊登塔爾說得好：“我們不應該遵循發(fā)明者的足跡，而是經(jīng)過改良同時又更好的引導作用的歷史過程”，在教學過程中，學生應當有機會經(jīng)歷與數(shù)學事件的歷史發(fā)展相類似的探究過程，但此時并不是真正的去創(chuàng)造，而是在教師的引導下獲得知識。學生沿著歷史發(fā)展的路徑，了解某部分的數(shù)學概念的來龍去脈，在此過程中他們的學習也包含了再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的意義。有指導的再創(chuàng)造策略的應用要求教師的課堂設計應當具有一定的開放性，為學生提供“提出問題、探索問題”的空間，培養(yǎng)學生勤于思考的習慣、堅韌不拔的意志和勇于創(chuàng)新的精神。四、基于數(shù)學史的高中數(shù)學概念教學的實施1基于數(shù)學史的形成式概念教學基于數(shù)學史的形成式概念教學可按照如下

15、程序進行:具體特例觀察共性抽象本質(zhì)形成定義概念應用強化概念 階段1教師給出一組概念的正例，以便供學生主動地進行觀察和分析，而這些例子可來源于數(shù)學史提供的素材。 階段2學生處理資料，可以以小組討論的形式或通過個人的觀察，概括出這些具體特例表明數(shù)學關系的本質(zhì)屬性。在這一過程中，學生往往會根據(jù)具體特例逐步剔除非本質(zhì)的屬性，抓住本質(zhì)屬性，抽象、概括并提出一些假設，然后經(jīng)過比較、分析、驗證、并修正這些假設。 階段3教師和學生共同歸納，抽象、概括出該組特例的本質(zhì)屬性。同時，考慮適當?shù)匾敫拍畎l(fā)展史，介紹歷史上人們對此概念的認識過程，即人們是怎樣對生產(chǎn)實踐中出現(xiàn)的問題進行分析，是怎樣抓住問題的本質(zhì)屬性，并加

16、以歸納、抽象、概括而提出各種假設，然后，又怎樣進行比較、分析修正這些假設，最后形成數(shù)學概念。 階段4教師給出概念的定義，或者由學生自己根據(jù)討論或個人的觀察、分析下定義。針對學生對概念下定義有不完善的情況，教師根據(jù)情祝引入數(shù)學概念發(fā)展史，人們對概念下定義的各種不同認識，并給予進行逐一進行分析、評判并加以修正。 階段5采用由學生舉出更多概念的正例，教師舉出反例讓學生判斷的方法，強化學生對概念的理解。階段6概念的應用，包括概念的直接應用和討論概念的性質(zhì)，而討論概念的性質(zhì)就轉(zhuǎn)入了命題學習階段。2. 基于數(shù)學史的同化式概念教學基于數(shù)學史的同化式概念教學的可按照如下程序進行:已學過的概念定義概念分析概念概

17、念應用強化概念 階段1教師呈現(xiàn)學生己學過的數(shù)學概念，確定其與所要學習的概念之間可以是下位、上位或并列關系。 階段2教師給出概念的定義，適時地介紹數(shù)學概念發(fā)展史，呈現(xiàn)人類對此概念的認識過程，這需要教師根據(jù)學生學習情況或課堂氣氛靈活安排。 階段3教師引導學生仔細辨認概念與已經(jīng)學過的有關概念相聯(lián)系，區(qū)分異同，剖析概念的結(jié)構(gòu)，揭示概念內(nèi)涵，明辨概念外延，充分利用原有認知結(jié)構(gòu)中的有關概念同化新概念。 階段4強化概念。采用由學生舉出更多概念的正例，教師舉出反例讓學生判斷的方法。 階段5概念的應用，包括概念的直接應用和討論概念的性質(zhì)，而討論概念的性質(zhì)就轉(zhuǎn)入了命題學習階段。五、結(jié)束語歷史是最好的啟發(fā)式！龐加萊指出：“教育工作者的任務就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，迅速通過某些階段而不跳過任何階段?！辈ɡ麃喸跀?shù)學的發(fā)現(xiàn)中指出：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的