vensim中的函數(shù)

1、第8章 vensim ple 軟件包中系統(tǒng)動力學(xué)函數(shù) 系統(tǒng)動力學(xué)所以能處理復(fù)雜的系統(tǒng)問題，除提出流位流率系簡化流率基本入樹建模法去描述系統(tǒng)外，還有一個重要原因是其專用軟件都設(shè)計了一系列通用的系統(tǒng)動力學(xué)函數(shù)。第一節(jié) 數(shù)學(xué)、邏輯、測試函數(shù) 8.1.1 數(shù)學(xué)函數(shù) vensim ple備有五種普通數(shù)學(xué)函數(shù)供用戶使用。 1sin（x）定義1：sin（x）為三角正弦函數(shù)，x須以弧度表示，其值小于8.35105當(dāng)自變量是角度時,應(yīng)通過乘以2/360 轉(zhuǎn)化為弧度。2exp（x） 定義2：exp(x) = ex ，e是自然對數(shù)的底，e=2.7182，x的值必須小于36。 人們常用指數(shù)函數(shù)去描述系統(tǒng)，有了上面函數(shù)

2、將會帶來很大方便。 3. ln（x），變量x大于零。 即以e為底的對數(shù)函數(shù)，它與exp（x）互為反函數(shù)，這樣可以用exp（x）和ln（x） 來計算非以e為底的冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)。 4. sqrt（x）=x，x必須是非負量。 5. abs（x） = x，對x取絕對值。 8.1.2 邏輯函數(shù) 邏輯函數(shù)的作用類似于其它計算機語言中的條件語句，vensim ple的邏輯函數(shù)有三種。1. 最大函數(shù)max（p，q）max表示從兩個量中選取較大者，p和q是被比較的兩個量，結(jié)果也是在這兩個量中選取。 p 若pq定義1：若max（p，q）= q 若pq其中p，q是變量或常量，則max（p，q）為最大函數(shù)?？捎胢a

3、x函數(shù)從多個量中選取較大者。如從p，q，d三個量中選擇較大者可用：max（d，max（p，q）。 最小函數(shù) q 若pq定義2：若min（p，q）= p 若pq 則min（p，q）為最小函數(shù)。 min同max一樣，可以從min（p，q） 基本功能中派生出各種用法。3. 選擇函數(shù)if then else(c,t,f)定義3：若if then else(c,t,f) t c條件為真時 = （c為邏輯表達式） f 否則則if then else(c,t,f)為選擇函數(shù)。 if then else函數(shù)常用于仿真過程中作政策切換或變量選擇。有時也叫條件函數(shù)。 8.1.3 測試函數(shù) 設(shè)計這一部分函數(shù)的目的主

4、要是用于測試系統(tǒng)動力學(xué)模型性能用，所以稱為測試函數(shù)。 在給出測試函數(shù)以前，我們必須重申一個概念，系統(tǒng)動力學(xué)的變量皆是時間time的函數(shù)，所以當(dāng)仿真時間time發(fā)生變化時，各變量值都隨之發(fā)生變化。不過，各變量與time的依賴關(guān)系存在差別，有的是以time為直接自變量，有的則是間接變量。測試函數(shù)以time為直接自變量，但在函數(shù)符號中常缺省。1. 階躍函數(shù)step（p，q）定義1： q 若timeqstep（p，q）= p 若time q其中，p-階躍幅度；q-step從零值階躍變化到p值的時間，則step（p，q）為階躍函數(shù)。 p step a*(c-b) a *(time-b) 躍 q b ti

5、me 圖8.1.1 階路step（p，q）和斜坡ramp（a，b，c）函數(shù)圖2. 斜坡函數(shù)ramp（p，q，r）定義2： 0 若timeqramp（p，q，r）= p *（time-q），若rtime q p *（r-q），若timer 其中,p為斜坡斜率，q為斜坡起始時間，r為斜坡結(jié)束時間，則ramp（p，q，r）為斜坡函數(shù)。3. 脈沖函數(shù)pulse(q,r) 定義3: 若pulse(q,r)隨time變化產(chǎn)生脈沖。其中： q-第一個脈沖出現(xiàn)的時間 r-相鄰兩個脈沖的時間間隔 脈沖寬度為仿真步長，則pulse(q,r)為脈沖函數(shù)。4均勻分布隨機函數(shù)random uniform（a，b，s）

6、定義5：random uniform（a，b，s）產(chǎn)生在區(qū)間（a，b）內(nèi)的均勻分布隨機數(shù)，s給定隨機數(shù)序列就確定，s取不同的值產(chǎn)生隨機數(shù)序列也不同。random uniform（a，b，s）為均勻分布隨機函數(shù)。上面我們給出了四種測試函數(shù)，實際上還有前面數(shù)學(xué)函數(shù)sin（x）等也可以作為測試函數(shù)。 一個系統(tǒng)動力學(xué)模型，可以通過改變常數(shù)再運行的辦法，實現(xiàn)多種測試函數(shù)分別進行測試。第二節(jié) 表函數(shù) 8.2.1 表函數(shù)表示形式1. vensim ple中表函數(shù)表示形式定義1 自變量與因變量的關(guān)系通過列表給出的函數(shù)叫表函數(shù)。例如下表就確定了一個表函數(shù)。自變量x 0 1 1.5 2 2.5 因變量y 0.51

7、 1 2 5 10 表函數(shù)是系統(tǒng)動力學(xué)的一個重要特征,它用于建立兩個變量之間的非線性關(guān)系,特別是軟變量之間的關(guān)系。例如：員工士氣對工作效率的影響程度。一般，兩個變量先歸一化或者先規(guī)整化，再根據(jù)經(jīng)驗給出大致的關(guān)系圖來。這樣設(shè)計的變量是無量綱量。在進入vensim ple 軟件equation editor，即點去圖標y=x2 后，若方程還未定義，有as graph選項。選擇此選項，會出現(xiàn)下面對話框。該對話框用于圖形化定義，上例表函數(shù)可直接填入框中(圖8.2.1)。包括自變量和函數(shù)值即因變量值列舉，自變量和函數(shù)的最大值等。當(dāng)自變量為非已知統(tǒng)計點時，可用線性插值法取其近似值。用鼠標左鍵在圖形框中點按

8、，會自動構(gòu)成圖形。 vensim ple軟件中表函數(shù)表達形式還可通過選擇方程類型type中l(wèi)ookup進行列舉表出，即把表函數(shù)自變量，因變量最大值、最小值及一些自變量與因變量對應(yīng)的點值列出。如上例描述的表函數(shù)可以在方程輸入框?qū)懗桑海?,0）-（10,10）（0,0.5）（1,1）（1.5,2）（2,5）（2.5,10）其中 中前面( )中0,0分另為自變量、因變量最小值，若自變量小于最小值，因變量取最小值，后面（ ）中10，10分別為自變量、因變量最大值，若自變量超出最大值，因變量取最大值， 后面五個（ ）是已知自變量和因變量對值點，若自變量值不在給出點中，則自動用線性插值法求因變量對應(yīng)值。自

9、變量、因變量的最小值、最大值可依據(jù)實際背景來確定，列出的對應(yīng)值點作為已知點可從歷史數(shù)據(jù)中計算或分析給出。vensim ple專用軟件對表函數(shù)的增減性、取值間隔均勻性沒有嚴格要求，但使用者可根據(jù)實際問題給出取值間隔、分段滿足增減性的表函數(shù)。在vensim ple中建立的入樹或流圖內(nèi)一個表函數(shù)必須有三部分完成，即一個自變量x,一個因變量y及一個y關(guān)于x的因子表，其因果關(guān)系為： y變量 方程可寫為： y變量=x因子表（x變量）x因子表 x變量 上例表函數(shù)中 x因子表=（0,0）-（10,10）（0,0.5）（1,1）（1.5,2）（2,5）（2.5,10） 表函數(shù)的建立方法將在8.2.2介紹。2.

10、micro dynamo及pd plus中表函數(shù)表示形式與vensim ple軟件不同的是在micro dynamo及pd plus中有特定不同類型，其表示含義可由定義給出并固定下來?，F(xiàn)使用 vensim 軟件的讀者，可以不閱讀下面內(nèi)容。 micro dynamo兩類表函數(shù) 定義1：若table（ty，x.k，xlow，xhigh，xincr） 中： ty-表量名（因變量已給值） x-自變量 xlow-自變量x的最小值 xhigh-自變量x的最大值 xincr-自變量x的取值間隔自變量取值為xlow至xhigh間以等間隔xincr取x1，x2， xm m個值，且 m =（xhigh-xlow）

11、/xincr + 1對應(yīng)于x1，x2， xm 的ty的值在dynamo方程中以t方程： t ty= e1/e2/e m 給出。當(dāng)x0（xlow，xhigh），但x0xi（i=1,2,m）時，其變量值按線性插法給出，當(dāng)x的值超出xlow，xhigh范圍時，因變量取對應(yīng)的端點值，并給出警告信息。則 table(ty，x.k, xlow, xhigh, xincr）稱為第一類表函數(shù)。t ty= e1/e2/e m稱為其表量語句，又稱為t語言。例1：已知兩變量x和y，因變量y隨自變量x變化的關(guān)系的曲線所示(圖8.2.2)自變量x從x=-3開始，按等距離取7個點得表8.2.1。設(shè)y為輔助變量，用第一類表

12、函數(shù)語句表示的dynamo語句為：a y.k=table（ty,x.k.-3.3.1）t ty =-20/0/10/16/20/24/30。 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -20 0 10 16 20 24 30表8.2.1注1：該例在vensim ple中變量關(guān)系圖為： y變量 方程可寫為： y變量=x因子表（x變量）x因子表 x變量x因子表 = （-3,-20）-（3,20）(-3,-20),(-2,0),(-1,10),(0,16),(1,20),(2,24),(3,30) （曲線如圖8.2.3）當(dāng)x值超出-3,3時，y取對應(yīng)的端點值，不給出警告信息。定義2：若tabhl（t

13、y，x.k，xlow，xhigh，xincr）中隨x的取值范圍超出xlow,xhigh時,因變量取對應(yīng)的端點值,但不給出錯誤信息外,其它內(nèi)容與第一類表函數(shù)相同,則tabhl(ty，x.k，xlow，xhigh，xincr）稱為第二類表函數(shù)。注2：在pd plus語言中，表函數(shù)中t語句中斜線改為了逗號，且定義了下面兩類表函數(shù)，不妨稱為第三、第四類表函數(shù)。第三類表函數(shù)為：tabxl（ty，x.k，xlow，xhigh，xincr），此表函數(shù)，除x取值范圍超出xlow，xhigh范圍時，因變量取端點的趨勢外推值外，其它內(nèi)含與第一類表函數(shù)相同。第四類表函數(shù)為：tabpl（ty，x.k，xlow，xhi

14、gh，xincr），此表函數(shù)除利用多項式使曲線在各點起滑連接代替線段連接外，其它含義與第一類表函數(shù)相同，但表量語的數(shù)值后要加上m個零，如，對前面第一類表函數(shù)的例子，改為tabpl，則寫為：a y.k=tabpl（ty,x.k.-3.3.1）t ty =-20，0，10，16，20，24，30，0，0，0，0，0，0，0。 8.2.2 表函數(shù)建立方法介紹 前面介紹的vensim ple專用軟件，dynamo語言表達表函數(shù)的方式，是比較簡單、容易接受的，但一個表函數(shù)的建立卻不是如此容易的，往往是一個定性與定量相結(jié)合反復(fù)分析的結(jié)果，要建立一個具體表函數(shù)，肯定必須考慮所涉及的自變量、因變量的實際背景，

15、再仔細研究其包含的一般數(shù)學(xué)問題及一般統(tǒng)計問題，進行深層次的量化分析，最后得出能反應(yīng)變量間一般關(guān)系規(guī)律的量表作為表函數(shù)才能用于sd模型，日常生活中，可以經(jīng)常碰到時間間隔相同的統(tǒng)計年報表、季報表、月報表，這些都是表函數(shù)。但是，在建立一個實際系統(tǒng)的sd模型時，這些統(tǒng)計報表很難作為一個完整的表函數(shù)直接放入模型中。其一，表函數(shù)不一定以時間為自變量，實踐表明，表函數(shù)的自變量很多是同模型中其它一個或若干個變量的因變量；其二，統(tǒng)計報表沒有未來若干年的預(yù)測數(shù)據(jù)，而sd模型的目標重點在對未來規(guī)律的仿真。根據(jù)以上分析和以往的經(jīng)驗，建立一個具體表函數(shù)，必須涉及下面基本步驟：一、 確定變量變化范圍及取值間隔： 首先根據(jù)

16、實際背景，初步統(tǒng)計或估計因變量，自變量變化范圍，即最小值、最大值，再依據(jù)獲取數(shù)據(jù)的難易程度及靈敏度、精確度的要求來確定變量點間的取值間隔，由于vensim ple中自變量間隔不一定要求均勻，在定取值間隔時可依實際背景把變量范圍看作一個階段或若干階段來定，在不同階段，取值間隔可不一樣，目的是必須準確反應(yīng)變量間變化規(guī)律。二、 確定函數(shù)的變化趨勢根據(jù)變量間因果關(guān)系極性來確定函數(shù)的增減規(guī)律，對整個變量范圍要進行分析，可能某階段呈遞增態(tài)，另一個階段呈現(xiàn)遞減態(tài)，有的階段不明顯，根據(jù)變化幅度大小可以調(diào)整各階段取值間隔點間隔及點密度。三、 找出特殊點與特殊線針對一個實際系統(tǒng)，建立sd模型，調(diào)用的表函數(shù)往往涉及

17、到一些特殊取值點，如極值點、參照點、臨界點，若有這些起點，在用vensim ple時，最好能直接給出在表函數(shù)的表達形式中，比如一個表函數(shù)的因變量y是模型中其它變量乘積因子，最好找出y=1對應(yīng)的自變量x，把（x，1）直接放入表函數(shù)表達式中；如y是模型中其它變量的和式，最好找出y=0對應(yīng)的自變量x，把（x，0）直接放入表函數(shù)表達式中；如y=y0 是表函數(shù)單調(diào)性改變的點，最好找出相應(yīng)自變量x0，把（x0，y0）直接放入表函數(shù)表達式中，等等。雖然表函數(shù)一般情況下是非線性的，但不排除在某階段呈線性，若在某階段呈線性，可在表函數(shù)表達式直接給出此階段的兩端點，（x1，y1），（x2，y2）。（此兩點代表確定

18、的那條直線）。特殊線是指y=x，y=y0 或y= x0，的一些線段，反映了表函數(shù)的某種特征，若有，最好能直接給出。對于如何確定特殊點、特殊線，必須據(jù)實際背景，采用各種系統(tǒng)工程方法來定，可參考后面表函數(shù)實例。四、 確定斜率 這里講的斜率主要是指非特殊點的變化情況，在一個表函數(shù)中除找出特殊點外，更重要的是非特殊點的變化規(guī)律，在vensim ple中，表函數(shù)表達式內(nèi)必須列出反應(yīng)變化規(guī)律的若干非特殊點，這些點通過分析歷史數(shù)據(jù)、預(yù)測數(shù)據(jù)得到，直接關(guān)系到表函數(shù)是否有效，其分析方法可根據(jù)實際背景借用各種相關(guān)理論及技術(shù)手段。為了讓讀者更直觀的了解表函數(shù)的建立過程，下面給出二個現(xiàn)有sd模型的表函數(shù)進行簡單分析。

19、例1：如圖8.2.4為一個城市建設(shè)簡化模型中剩余可建面積對其事業(yè)單位新建面積的影響因子elbc關(guān)于已占有土地比lfo的表函數(shù)，即elbc=f（lfo），兩個變量均為無量綱，此函數(shù)無法用基本初等函數(shù)表示，但可采用定性定量相結(jié)合的方法建立表函數(shù)。第一步：確立自變量lfo的變化范圍及間距。假設(shè)建模研究時，已建土地比是0.1,又不考慮土地余留，故lfo變化范圍為0.1,1。對于0.1,1區(qū)間如何等份？根據(jù)整個模型的精度要求及日常實際，分成9個等份。間隔取0.1為宜。因若在仿真中l(wèi)fo需取兩位小數(shù)，也可由表函數(shù)的線性取值辦法解決(因一般統(tǒng)計土地比只保留到兩位小數(shù))。第二步：確定函數(shù)增減性。當(dāng)lfo0.1

20、,0.4時，elbc隨lfo遞增當(dāng)lfo0.4，1時，elbc隨lfo遞減前式表明年新增長面積隨城市建筑的增多而增加。這是因為，在城市發(fā)展的早期階段，大量土地有待開發(fā)，且已有企事業(yè)單位的建成會為更多企事業(yè)單位的建立創(chuàng)造了有利的條件。如磚廠促進了建筑加快；路面的鋪砌使材料運輸更方便、更迅速；水、氣、電企事業(yè)單位建立能提供生活基本保障。另外，經(jīng)實地分析，當(dāng)已占土地比不超過40%時，建地挑選也有更大余地。出于上述定性分析得前式成立。根據(jù)定性分析，與其它城市建立的歷史事實橫向比較，已占面積lfo超40%以后，由于各種主要類型企事業(yè)單位已基本建立，市場供給網(wǎng)已基本建立，好的建筑環(huán)境為數(shù)不多，建筑土地資金

21、費相應(yīng)增加，這些都制約著開發(fā)地區(qū)的年建筑面積的新增，則有后式成立。第三步：確定特殊點。1、 由歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，當(dāng)土地面積比lfo=0.1時,年新增建筑面積比為60%,則0. 7elbc=0.6,elbc=0.86得點(0.1,0.86)2、 有企業(yè)建設(shè)年新建面積方程分析，當(dāng)lfo=0.2時，elbc=13、 確定極大值點lfo=0.4時，elbc的值，這是一個預(yù)測值，確定這種值，系統(tǒng)動力學(xué)本身未提供有效的方法，一般建模者常借用其它預(yù)測方法來幫助解決，如借用特爾菲方法，趨勢外推，時間序列法，回歸分析法、gm模型等方法。最簡單的是專家咨詢法。通過定性分析的elbc最大值為1.1。得特殊點（0.4，1

22、.1）。由實際情況，顯然還有特殊點（1，0）。第四步：確定斜率也就是確定非特殊點對應(yīng)的elbc值。這些數(shù)據(jù)來自兩部分，一部分是歷史數(shù)據(jù)，另一部分是預(yù)測數(shù)據(jù)。據(jù)系統(tǒng)分析綜合兩部分結(jié)果，參考有關(guān)資料得到了圖8.2.5的表函數(shù)。例2：如圖8.2.5為我們建立的珠海市宏觀經(jīng)濟sd模型中建城區(qū)綠地面積第三產(chǎn)業(yè)影響因子關(guān)于第三產(chǎn)業(yè)指數(shù)的表函數(shù)。這里第三產(chǎn)業(yè)指數(shù)是第三產(chǎn)業(yè)增加值的函數(shù)，根據(jù)珠海市的實際情況，珠海市1997年的建城區(qū)綠地面積占有率作為標準年，即當(dāng)?shù)谌a(chǎn)業(yè)增加值為珠海市1997年實際值時，第三產(chǎn)業(yè)指數(shù)為1，這樣得到了表函數(shù)的特殊點（1，1），根據(jù)珠海市第三產(chǎn)業(yè)的發(fā)展規(guī)模和速度，第三產(chǎn)業(yè)指數(shù)的取值

23、范圍定為0.5到10，根據(jù)珠海市過去的綠地面積占有率和城市的發(fā)展理念，對比1997年的情況，建城區(qū)綠地面積第三產(chǎn)業(yè)影響因子的取值范圍定為0.9到2，珠海市是一個高度重視環(huán)境綠化的城市，近幾年其綠地占有率逐年上升，可以預(yù)知隨著第三產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，綠地面積占有率還會提高，最后達到一個較穩(wěn)定的數(shù)據(jù)，通過以上分析和專家咨詢，綜合珠海市的發(fā)展規(guī)劃得到了上面圖8.2.5表函數(shù)。該表函數(shù)可以隨時根據(jù)珠海的發(fā)展進行調(diào)整，適當(dāng)?shù)臅r候可納入珠海市的宏觀調(diào)控計劃模擬中。此sd模型在珠海市已使用了兩年，得到了各方面的肯定，表函數(shù)的功能得到了充分發(fā)揮。 第三節(jié) 延遲函數(shù)8.3.1 vensim ple中延遲函數(shù)表示及使用方

24、法一、 定延遲函數(shù)的概念義1 量變化需要經(jīng)過一段時間的滯后才能得到響應(yīng)，這種現(xiàn)象稱為延遲?？虅澭舆t現(xiàn)象的函數(shù)稱為延遲函數(shù)。 延遲是系統(tǒng)動力學(xué)中一個重要概念，因為在系統(tǒng)中存在大量延遲現(xiàn)象，例如培訓(xùn)的學(xué)員要經(jīng)過一段時間才能發(fā)揮作用；投資要經(jīng)過一段時間才能成為新的增生產(chǎn)能力；人得病，有潛伏期；污染物排放到江河之中，要經(jīng)過擴散才能使江河發(fā)生污染等。另外，延遲函數(shù)的構(gòu)造豐富了系統(tǒng)動力學(xué)理論。二、 延遲函數(shù)的分類 發(fā)生的物流流線上的延遲稱為物流延遲；發(fā)生在信息流線上的延遲稱為 信息延遲。根據(jù)以上概念，原則上所有的物流和信息流，在其流線上都會出現(xiàn)延遲，但我們在建模時，應(yīng)抓住主要延遲進行設(shè)計，才能使復(fù)雜與精確

25、性得到統(tǒng)一。由物流和信息流的不同，延遲函數(shù)分為物流指數(shù)延遲函數(shù)和信息延遲函數(shù)，在vensim ple中其函數(shù)名有固定的表示形式，分別為delay1、delay2、delay3和smooth、smooth3等。三、 使用方法delay函數(shù)的用法delay1i( in , dtime , init )。 (in) -要延遲的那個變量dtime -延遲時間init-變量的初始值延遲函數(shù)在vensim ple軟件中直接給出，其函數(shù)在用到時可直接調(diào)用。圖8.3.1是倉存invent.dml模型的簡化流率基本入樹，其中變量接到的訂單ordrcv是關(guān)于延遲時間del的延遲函數(shù)變量，其方程為：接到的訂單ord

26、rcv=delay3（訂單率ordrs，延遲時間del）流位方程為：倉存inv=integ（接到的訂單ordrcv-貨運率ship，期望的倉存dsinv）在此該延遲變量可以不出現(xiàn)在入樹或流圖中，而可以直接放在流位方程中，這樣在入樹或流圖中保證了流率對流位的直接作用對應(yīng)關(guān)系，此時流位方程可直接寫為：倉存inv=integ（delay3（訂單率ordrs，延遲時間del）-貨運率ship，期望的倉存dsinv），其運行結(jié)果和前面一樣。下面是倉存invent.dml模型的所有方程，其中test是測試變量由測試函數(shù)組成，上機對test1、test2、test3、test4中的某個賦值1，其余的值仍為零，觀察運行結(jié)果可以通過測試函數(shù)了解該模型變量的實增、穩(wěn)態(tài)的下降、振動和隨機擾動，這樣能幫助我們弄清楚模型的反饋結(jié)構(gòu)及其動態(tài)行為之間的聯(lián)系（有興趣的讀者可以上機試試）。(01)標準貨運nship=100units: 貨運單位/周(02)測試輸入量test=step(10, 2 )*test1+test2*ramp(20, 2 , 20 )+test3*pulse(2, 200)+test4*random uniform(-5, 5 , 0.25)units: *undefined*(03)倉存調(diào)整時