高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù) 2. 變化的快慢與變化率—平均變化率教案 北師大版選修2-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精變化的快慢與變化率-平均變化率一、教學(xué)目標(biāo)：1、理解函數(shù)平均變化率的概念；2、會(huì)求給定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的平均變化率，并能根據(jù)函數(shù)的平均變化率判斷函數(shù)在某區(qū)間上變化的快慢。二、教學(xué)重點(diǎn)：從變化率的角度重新認(rèn)識(shí)平均速度的概念，知道函數(shù)平均變化率就是函數(shù)在某區(qū)間上變化的快慢的數(shù)量描述。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)平均速度的數(shù)學(xué)意義的認(rèn)識(shí)三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程(一）、客觀世界的一切事物，小至粒子,大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來(lái)加以描述了.由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支

2、就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說(shuō)它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。從微積分成為一門學(xué)科來(lái)說(shuō)，是在十七世紀(jì),但是,微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問(wèn)題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決，這些問(wèn)題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來(lái),大約有四種主要類型的問(wèn)題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問(wèn)題。第二類問(wèn)題是求曲線的切線的問(wèn)題.第三類問(wèn)題是求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。第四類

3、問(wèn)題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問(wèn)題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格;英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn).十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問(wèn)題（微分學(xué)的中心問(wèn)題），一個(gè)是求積問(wèn)題（積分學(xué)的中

4、心問(wèn)題）.牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量,因此這門學(xué)科早期也稱為無(wú)窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。牛頓在1671年寫了流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的,否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的靜止集合.他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù).牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問(wèn)題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑,求給定時(shí)刻的速度(微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程（積分法）.德國(guó)的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，168

5、4年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無(wú)理量,以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算。就是這樣一片說(shuō)理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義.他以含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào),遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的.微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過(guò)去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問(wèn)題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。研究函數(shù),從量

6、的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。本來(lái)從廣義上說(shuō),數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來(lái)，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來(lái)的,最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬(wàn)有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后，微積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科

7、學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展.(二）、探析新課問(wèn)題1:物體從某一時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)s表示此物體經(jīng)過(guò)時(shí)間t走過(guò)的路程，顯然s是時(shí)間t的函數(shù),表示為s=s(t)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中測(cè)得了一些數(shù)據(jù),如下表：t/s025101315s/m069203244物體在02s和1013s這兩段時(shí)間內(nèi),那一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)得快?分析：我們通常用平均速度來(lái)比較運(yùn)動(dòng)的快慢。在02s這段時(shí)間內(nèi)，物體的平均速度為；在1013s這段時(shí)間內(nèi)，物體的平均速度為。顯然，物體在后一段時(shí)間比前一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)得快。問(wèn)題2：某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如下圖所示:比較時(shí)間x從0m

8、in到20min和從20min到30min體溫的變化情況,哪段時(shí)間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢?分析：根據(jù)圖像可以看出：當(dāng)時(shí)間x從0min到20min時(shí)，體溫y從39變?yōu)?8.5,下降了0。5；當(dāng)時(shí)間x從20min到30min時(shí)，體溫y從38。5變?yōu)?8，下降了0。5。兩段時(shí)間下降相同的溫度，而后一段時(shí)間比前一段時(shí)間短，所以后一段時(shí)間的體溫比前一段時(shí)間下降得快。我們也可以比較在這兩段時(shí)間中,單位時(shí)間內(nèi)體溫的平均變化量，于是當(dāng)時(shí)間x從0min到20min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為（/min）當(dāng)時(shí)間x從20min到30min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為（/min)這里出現(xiàn)了負(fù)號(hào)，它表示體溫下降了，顯然，絕對(duì)值越大，下降的越快，這里體溫從20min到30min這段時(shí)間下降的比0min到20min這段時(shí)間要快.（三)、小結(jié)：1、對(duì)一般的函數(shù)y=f（x)來(lái)說(shuō)，當(dāng)自變量x從變?yōu)闀r(shí),函數(shù)值從f(）變?yōu)?。平均變化率就是函?shù)增量與自變量增量之比，函數(shù)在內(nèi)的平均變化率為，如我們常用到年產(chǎn)量的平均變化率。2、函