高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 第一節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第二課時(shí)）示范教案 新人教A版必修4

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第三章第一節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第二課時(shí)教學(xué)分析1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的在這些公式的推導(dǎo)中，教科書都把對(duì)照、比較有關(guān)的三角函數(shù)式，認(rèn)清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點(diǎn)，如比較cos()與cos（），它們都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式從運(yùn)算或換元的角度看都有內(nèi)在聯(lián)系，即()的關(guān)系，從而由公式c（)推得公式c()，又如比較sin(）與cos（），它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同,這就要求進(jìn)行函數(shù)名的互化，利用誘導(dǎo)公式（5)(6）即可推得公式

2、s()、s（)等2通過(guò)對(duì)“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的推導(dǎo)，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，還使學(xué)生加深了數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、證明方法的理解因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力都有著十分重要的意義3本節(jié)的幾個(gè)公式是相互聯(lián)系的，其推導(dǎo)過(guò)程也充分說(shuō)明了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,讓學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)它們的這種聯(lián)系，從而加深對(duì)公式的理解和記憶本節(jié)幾個(gè)例子主要目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地對(duì)學(xué)生的思維習(xí)慣進(jìn)行引導(dǎo),例如在面對(duì)問(wèn)題時(shí)，要注意先認(rèn)真分析條件,明確要求,再

3、思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式,使用公式時(shí)要具備什么條件等另外，還要重視思維過(guò)程的表述，不能只看最后結(jié)果而不顧過(guò)程表述的正確性、簡(jiǎn)捷性等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生三角恒等變換能力所不能忽視的三維目標(biāo)1在學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上,通過(guò)讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過(guò)強(qiáng)化題目的訓(xùn)練,加深對(duì)公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問(wèn)題的能力2通過(guò)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)、恒等證明，使學(xué)生深刻體會(huì)聯(lián)系變化的觀點(diǎn)，自覺(jué)地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來(lái)分析問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力3通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握尋

4、找數(shù)學(xué)規(guī)律的方法,提高學(xué)生的觀察分析能力,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo)教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明課時(shí)安排2課時(shí)第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1。(舊知導(dǎo)入)教師先讓學(xué)生回顧上節(jié)課所推導(dǎo)的兩角差的余弦公式，并把公式默寫在黑板上或打出幻燈片，注意有意識(shí)地讓學(xué)生寫整齊然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察cos()與cos（）、sin(）的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行由舊知推出新知的轉(zhuǎn)化過(guò)程,從而推導(dǎo)出c()、s（)、s()本節(jié)課我們共同研究公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入）教師出示問(wèn)題，先讓學(xué)生計(jì)算以下幾個(gè)題目，既可以復(fù)習(xí)回顧上節(jié)所學(xué)公式，又為本節(jié)

5、新課作準(zhǔn)備若sin,（0，）,cos，(0,)，求cos（)，cos（)的值學(xué)生利用公式c（）很容易求得cos（)，但是如果求cos（)的值就得想法轉(zhuǎn)化為公式c(）的形式來(lái)求，此時(shí)思路受阻，從而引出新課題，并由此展開(kāi)聯(lián)想探究其他公式推進(jìn)新課還記得兩角差的余弦公式嗎？請(qǐng)一位同學(xué)到黑板上默寫出來(lái)在公式c(）中，角是任意角，請(qǐng)學(xué)生思考角中換成角是否可以？此時(shí)觀察角與(）之間的聯(lián)系,如何利用公式c（）來(lái)推導(dǎo)cos（）？分析觀察c（)的結(jié)構(gòu)有何特征?在公式c(）、c（)的基礎(chǔ)上能否推導(dǎo)sin(）?sin(）？公式s()、s(）的結(jié)構(gòu)特征如何?對(duì)比分析公式c（)、c（)、s（)、s（），能否推導(dǎo)出tan(

6、）？tan（)？分析觀察公式t（）、t()的結(jié)構(gòu)特征如何？思考如何靈活運(yùn)用公式解題？活動(dòng)：對(duì)問(wèn)題，學(xué)生默寫完后,教師打出課件，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察兩角差的余弦公式，點(diǎn)撥學(xué)生思考公式中的，既然可以是任意角，是怎樣任意的?你會(huì)有些什么樣的奇妙想法呢？鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，引導(dǎo)學(xué)生比較cos（)與cos（)中角的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生有的會(huì)發(fā)現(xiàn)中的角可以變?yōu)榻?，所?)也有的會(huì)根據(jù)加減運(yùn)算關(guān)系直接把和角化成差角(）的形式這時(shí)教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)移到公式c(）上來(lái)，這樣就很自然地得到cos()cos()coscos()sinsin(）coscossinsin。所以有如下公式：我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作c()

7、對(duì)問(wèn)題，教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式c()的結(jié)構(gòu)特征,可知“兩角和的余弦，等于這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時(shí)讓學(xué)生對(duì)比公式c(）進(jìn)行記憶，并填空：cos75cos(_)_.對(duì)問(wèn)題，上面學(xué)生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來(lái)實(shí)現(xiàn)正、余弦的互化呢？學(xué)生可能有的想到利用誘導(dǎo)公式(5)(6)來(lái)化余弦為正弦（也有的想到利用同角的平方和關(guān)系式sin2cos21來(lái)互化，此法讓學(xué)生課下進(jìn)行)，因此有sin（)cos（)cos（）cos()cossin()sinsincoscossin.在上述公式中，用代之,則sin(）sin（）sin

8、cos()cossin（)sincoscossin。因此我們得到兩角和與差的正弦公式,分別簡(jiǎn)記為s（）、s（）sin()sincoscossin，sin()sincoscossin.對(duì)問(wèn)題，教師恰時(shí)恰點(diǎn)地引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行記憶，同時(shí)進(jìn)一步體會(huì)本節(jié)公式的探究過(guò)程及公式變化特點(diǎn)，體驗(yàn)三角公式的這種簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美為強(qiáng)化記憶，教師可讓學(xué)生填空，如sin（）_，sincoscossin_.對(duì)問(wèn)題，教師引導(dǎo)學(xué)生思考,在我們推出了公式c()、c(）、s（)、s(）后，自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來(lái)推導(dǎo)出tan（）?,tan（）？呢？學(xué)生很容易想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，化弦

9、為切得到在學(xué)生探究推導(dǎo)時(shí)很可能想不到討論，這時(shí)教師不要直接提醒，讓學(xué)生自己悟出來(lái)當(dāng)cos（）0時(shí)，tan（）.如果coscos0，即cos0且cos0時(shí)，分子、分母同除以coscos得tan(),據(jù)角、的任意性,在上面的式子中，用代之，則有tan()。由此推得兩角和、差的正切公式,簡(jiǎn)記為t（)、t（）tan()，tan()。對(duì)問(wèn)題，讓學(xué)生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中、的取值是任意的嗎？學(xué)生回顧自己的公式探究過(guò)程可知，、都不能等于k（kz)，并引導(dǎo)學(xué)生分析公式結(jié)構(gòu)特征，加深公式記憶對(duì)問(wèn)題,教師與學(xué)生一起歸類總結(jié)，我們把前面六個(gè)公式分類比較可得c()、s(）、t(）叫和角公式；s()、c（

10、）、t（）叫差角公式并由學(xué)生歸納總結(jié)以上六個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖可讓學(xué)生自己畫出這六個(gè)框圖通過(guò)邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,借以理解并靈活運(yùn)用這些公式同時(shí)教師應(yīng)提醒學(xué)生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用如兩角和與差的正切公式的變形式tantantan（）（1tantan),tantantan（）（1tantan）,在化簡(jiǎn)求值中就經(jīng)常應(yīng)用到,使解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美對(duì)于兩角和與差的正切公式，當(dāng)tan，tan或tan（）的值不存在時(shí)，不能使用t( )處理某些有關(guān)問(wèn)題,但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，例如：化簡(jiǎn)tan（），因?yàn)閠an的值

11、不存在，所以改用誘導(dǎo)公式tan（)來(lái)處理等思路1例1已知sin，是第四象限角，求sin(），cos（），tan(）的值活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系,在面對(duì)問(wèn)題時(shí)要注意認(rèn)真分析條件,明確要求再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時(shí)要有什么準(zhǔn)備，準(zhǔn)備工作怎么進(jìn)行等例如本題中,要先求出cos,tan的值，才能利用公式得解,本題是直接應(yīng)用公式解題，目的是為了讓學(xué)生初步熟悉公式的應(yīng)用,教師可以完全讓學(xué)生自己獨(dú)立完成解：由sin，是第四象限角,得cos。tan.于是有sin()sincoscossin(），cos()coscossinsin()，tan（)7。點(diǎn)評(píng)：本例是運(yùn)用和差角公式的基礎(chǔ)題,安排這個(gè)

12、例題的目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性,逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣變式訓(xùn)練1不查表求cos75，tan105的值解：cos75cos(4530)cos45cos30sin45sin30，tan105tan(6045)（2）2設(shè)(0,），若sin,則sin（)等于( ）a. b. c. d4答案:a例2已知sin，（，),cos,（，）求sin(),cos()，tan(）活動(dòng)：教師可先讓學(xué)生自己探究解決,對(duì)探究困難的學(xué)生教師給以適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥,指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題目中已知條件和所求值的內(nèi)在聯(lián)系根據(jù)公式s(）、c()、t()應(yīng)先求出cos、sin、tan、tan的值,然后利用公式求值，但要注意解題中三角函

13、數(shù)值的符號(hào)解：由sin,(,)，得cos，tan.又由cos，(，)，得sin，tan。sin()sincoscossin（)(）（）.cos（）coscossinsin()()().tan（）.點(diǎn)評(píng)：本題仍是直接利用公式計(jì)算求值的基礎(chǔ)題，其目的還是讓學(xué)生熟練掌握公式的應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力.變式訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生看章頭圖，利用本節(jié)所學(xué)公式解答課本章頭題，加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)解：設(shè)電視發(fā)射塔高cdx米,cab，則sin，在rtabd中，tan(45）tan。于是x30，又sin，（0,），cos，tan.tan(45）3，x30150（米）答：這座電視發(fā)射塔的高度約為150米。例3在abc中，sin

14、a（0a45）,cosb（45b90)，求sinc與cosc的值活動(dòng)：本題是解三角形問(wèn)題,在必修5中還作專門的探究，這里用到的僅是與三角函數(shù)誘導(dǎo)公式與和差公式有關(guān)的問(wèn)題,難度不大，但應(yīng)是學(xué)生必須熟練掌握的同時(shí)也能加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力教師可讓學(xué)生自己閱讀、探究、討論解決，對(duì)有困難的學(xué)生教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意和找清三角形各角之間的內(nèi)在聯(lián)系,從而找出解決問(wèn)題的路子教師要提醒學(xué)生注意角的范圍這一隱含條件解：在abc中，abc180，c180（ab)又sina且0a45，cosa.又cosb且45b90，sinb.sincsin180（ab）sin(ab）sinacosbc

15、osasinb，cosccos180（ab）cos（ab）sinasinbcosacosb。點(diǎn)評(píng)：本題是利用兩角和差公式,來(lái)解決三角形問(wèn)題的典型例子，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，也使學(xué)生更加認(rèn)識(shí)了公式的作用，解決三角形問(wèn)題時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和等于180這一隱含條件。變式訓(xùn)練在abc中，已知sin(ab)cosbcos(ab）sinb1，則abc是（ ）a銳角三角形 b鈍角三角形c直角三角形 d等腰非直角三角形答案：c思路2例1若sin（）,cos（)，且0，求cos()的值活動(dòng)：本題是一個(gè)典型的變角問(wèn)題，也是一道經(jīng)典例題，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力以及邏輯思維能力很有價(jià)值盡管學(xué)生思考時(shí)有點(diǎn)難度,但教師仍

16、可放手讓學(xué)生探究討論，教師不可直接給出解答對(duì)于探究不出的學(xué)生，教師可恰當(dāng)點(diǎn)撥引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找所求角與已知角的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生理清所求的角與已知角的關(guān)系，觀察選擇應(yīng)該選用哪個(gè)公式進(jìn)行求解,同時(shí)也要特別提醒學(xué)生注意:在求有關(guān)角的三角函數(shù)值時(shí)，要特別注意確定準(zhǔn)角的范圍，準(zhǔn)確判斷好三角函數(shù)符號(hào)，這是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵學(xué)生完全理清思路后，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生的規(guī)范書寫，并熟練掌握它對(duì)于程度比較好的學(xué)生可讓其擴(kuò)展本題，或變化條件，或變換所求的結(jié)論等如教師可變換，角的范圍，進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，提高學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力,因此教師要充分利用好這個(gè)例題的訓(xùn)練價(jià)值解：0,，0.又sin(），cos(）

17、，cos（),sin(）。cos(）sin(）sin(）（）sin(）cos()cos（)sin()（）（）.本題是典型的變角問(wèn)題，即把所求角利用已知角來(lái)表示，實(shí)際上就是化歸思想這需要巧妙地引導(dǎo)，充分讓學(xué)生自己動(dòng)手進(jìn)行角的變換，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。變式訓(xùn)練已知，(,)，sin()，sin().求cos()的值解：,(，）,sin（),sin()，2，。cos（)，cos(). cos（)cos(）（)cos（）cos()sin(）sin（）（）()。例2化簡(jiǎn) .活動(dòng)：本題是直接利用公式把兩角的和、差化為兩單角的三角函數(shù)的形式，教師可以先讓學(xué)生自己獨(dú)立地探究,然后進(jìn)行講評(píng)解：原式0.點(diǎn)評(píng)

18、：本題是一個(gè)很好的運(yùn)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)的例子，通過(guò)學(xué)生獨(dú)立解答，培養(yǎng)學(xué)生熟練運(yùn)用公式的運(yùn)算能力.變式訓(xùn)練化簡(jiǎn)。解：原式tan(）。課本本節(jié)練習(xí)14。1（1），（2)，（3），（4)2.2。3。.42。已知0,，cos()，sin()，求sin（)的值解：，0.sin（）.又0，cos（）.sin（）cos()cos（)（）cos（）cos(）sin（)sin（）()().1先由學(xué)生回顧本節(jié)課都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，有哪些收獲與提高，在公式推導(dǎo)中你悟出了什么樣的數(shù)學(xué)思想?對(duì)于這六個(gè)公式應(yīng)如何對(duì)比記憶?其中正切公式的應(yīng)用有什么條件限制？怎樣用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明2教師畫龍點(diǎn)睛:我們本節(jié)課要理解并掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo)，明白從已知推得未知，理解數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化思想，并要正確熟練地運(yùn)用公式解題在解題時(shí)要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系，一個(gè)題目能給出多種解法，從中比較最佳解決問(wèn)題的途徑,以達(dá)到優(yōu)化解題過(guò)程，規(guī)范解題步驟,領(lǐng)悟變換思路,強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法之目的1本節(jié)課是典型的公式教學(xué)模式,是在兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此本教案的設(shè)