高中數(shù)學 第三章 三角恒等變換 3.1 和角公式 3.1.2 兩角和與差的正弦示范教案 新人教B版必修4

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精3。1.2 兩角和與差的正弦示范教案教學分析1兩角和與差的正弦公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎上,進一步研究具有“兩角和差”關系的正弦公式的在這些公式的推導中，教科書都把對照、比較有關的三角函數(shù)式，認清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點，如：比較cos(）與cos（），它們都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式從運算或換元的角度看都有內在聯(lián)系，即()的關系,從而由公式c推得公式c,又如：比較sin（)與cos（),它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同，這就要求進行函數(shù)名的互化,利用誘導公式(5)(6）即可推得公式s、s等2通過對“兩角和與差的正弦公式”的

2、推導,揭示了兩角和差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運算規(guī)律，還使學生加深了數(shù)學公式的推導、證明方法的理解因此本節(jié)內容也是培養(yǎng)學生運算能力和邏輯思維能力的重要內容，對培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義3本節(jié)的幾個公式是相互聯(lián)系的，其推導過程也充分說明了它們之間的內在聯(lián)系，讓學生深刻領會它們的這種聯(lián)系，從而加深對公式的理解和記憶本節(jié)幾個例子主要目的是為了訓練學生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習慣，教學中應當有意識地對學生的思維習慣進行引導，例如，在面對問題時,要注意先認真分析條件,明確要求，再思考應該聯(lián)系什么公式，使用公式時要具備什么條件等；另外，還要

3、重視思維過程的表述,不能只看最后結果而不顧過程表述的正確性、簡潔性等，這些都是培養(yǎng)學生三角恒等變換能力所不能忽視的三維目標1通過讓學生探索、發(fā)現(xiàn)并推導兩角和與差的正弦公式，了解它們之間的內在聯(lián)系，并通過強化題目的訓練,加深對公式的理解，培養(yǎng)學生的運算能力及邏輯推理能力2通過兩角和與差的正弦公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明，使學生深刻體會聯(lián)系變化的觀點，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題,提高學生分析問題解決問題的能力3通過本節(jié)學習，使學生掌握尋找數(shù)學規(guī)律的方法，提高學生的觀察分析能力，培養(yǎng)學生的應用意識，提升學生的數(shù)學素質重點難點教學重點：兩角和與差的正弦公式的推導及運用教學難點：

4、靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明課時安排1課時導入新課思路1。（復習導入）教師先讓學生回顧上節(jié)課所推導的兩角和與差的余弦公式,并把公式默寫在黑板上(或打出幻燈)，注意有意識地讓學生寫整齊然后教師引導學生觀察cos（）與sin(）、sin()的內在聯(lián)系,進行由舊知推出新知的轉化過程，從而推導出s、s。本節(jié)課我們共同研究公式的推導及其應用思路2.（問題導入)教師出示問題,先讓學生計算以下幾個題目，既復習回顧上節(jié)所學公式，又為本節(jié)新課作準備若sin，(0，)，cos，(0，)，求cos（),cos（）的值學生利用公式c很容易求得cos（），從而引出新課題，并由此展開聯(lián)想新公式的探究推進新課活動：

5、引導學生觀察思考幻燈中的兩角和與差的余弦公式，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢?我們利用什么公式來實現(xiàn)正、余弦的互化呢？學生可能有的想到利用誘導公式來化余弦為正弦(也有的想到利用同角的平方和關系式sin2cos21來互化,這些想法都很好鼓勵學生試一試從誘導公式cos(）sin,sin（）cos，我們可以得到：sin()cos(）cos()cos()cossin()sinsincoscossin。在上述公式中用代之，則sin()sin（)sincos(）cossin()sincoscossin.因此我們得到兩角和與差的正弦公式,分別簡記為s、s。討論結果：略思路1例 1求sin75，sin15

6、的值活動：引導學生進行拆角轉化本例直接應用公式，可由學生自己完成解：sin75sin(4530)sin45cos30cos45sin30;sin15sin（4530)sin45cos30cos45sin30。變式訓練1已知cos（)sin,則sin()的值是(）ab。cd。答案:c2已知sin,是第四象限角，求sin(），cos（)的值解：由sin，是第四象限角,得cos，于是有sin（）sincoscossin（），cos（)coscossinsin（).例 2已知向量（3，4)，逆時針旋轉45到的位置求點p(x，y)的坐標(圖1)解：設xop.圖1因為op5,所以cos，sin。又因為x5

7、cos(45)5（coscos45sinsin45)5（）,y5sin(45)5（sincos45cossin45）5（)，所以p（，）。變式訓練已知點p（x，y)，與原點的距離保持不變，逆時針旋轉角到點p(x，y）(圖2)求證：圖2證明：設xop，|op|r，則cos，sin.從而xrcos(）r（coscossinsin)xcosysin，yrsin（）r（sincoscossin）xsinycos,即例 3求證：cossin2sin()活動：本題雖小但其意義很大，從形式上就可看出來，左邊是兩個函數(shù)，而右邊是一個函數(shù),教師引導學生給予足夠的重視對于此題的證明，學生首先想到的證法就是把等式右

8、邊利用公式s展開，化簡整理即可得到左邊，這是很自然的，教師要給予鼓勵同時教師可以有目的的引導學生把等式左邊轉化為公式s的右邊的形式,然后逆用公式化簡即可求得等式右邊的式子，這種證明方法不僅僅是方法的變化，更重要的是把兩個三角函數(shù)化為了一個三角函數(shù)證明:方法一:右邊2(sincoscossin)2(cossin）cossin左邊方法二:左邊2（cossin）2(sincoscossin)2sin（)右邊點評：本題給出了兩種證法,方法一是正用公式的典例，而方法二則是逆用公式證明的，此法也給了我們一種重要的轉化方法，要求學生熟練掌握其精神實質本例的證法二將左邊的系數(shù)1與分別變?yōu)榱伺c，即輔助角的正、余

9、弦關于形如asinxbcosx(a，b不同時為零)的式子引入輔助角變形為asin(x）的形式,其基本想法是“從右向左”用和角的正弦公式，把它化成asin（x)的形式一般情況下，如果aacos，basin,那么asinxbcosxa（sinxcoscosxsin)asin(x)由sin2cos21，可得:a2a2b2，a，不妨取a，于是得到cos，sin，因此asinxbcosxsin（x），通過引入輔助角，可以將asinxbcosx這種形式的三角函數(shù)式化為一個角的一個三角函數(shù)的形式化為這種形式可解決asinxbcosx的許多問題，比如值域、最值、周期、單調區(qū)間等教師應提醒學生注意,這種引入輔助

10、角的變換思想很重要，即把兩個三角函數(shù)化為了一個三角函數(shù)，實質上是消元思想，這樣就可以根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質來研究它的性質因此在歷年高考試題中出現(xiàn)的頻率非常高，是三角部分中高考的熱點,再結合后續(xù)內容的倍角公式,在解答高考物理試題時也常常被使用,應讓學生領悟其實質并熟練地掌握它.變式訓練1化簡下列各式：(1）sinxcosx；(2）cosxsinx。解：(1)原式2(sinxcosx）2（cossinxsincosx)2sin(x）（2）原式2(cosxsinx）2（sincosxcossinx)2sin(x)。2.求函數(shù)yasinxbcosx的最大值、最小值和周期，其中a，b是不同時為零的實數(shù)

11、解：考察以(a，b）為坐標的點p（a，b)(圖3）,設以op為終邊的一個角為，則cos,sin.圖3于是y（sinxcosx）（cossinxsincosx)sin(x)，其中cos，sin。所以函數(shù)yasinxbcosx的最大值是，最小值是，周期是2.思路2例 1若sin（）,cos（），且0，求cos()的值活動:本題是一個典型的變角問題，也是一道經(jīng)典例題,對訓練學生的運算能力以及邏輯思維能力很有價值盡管學生思考有點難度，但教師仍可放手讓學生探究討論,教師不可直接給出解答對于探究不出的學生,教師可恰當點撥引導，指導學生解決問題的關鍵是尋找所求角與已知角的內在聯(lián)系,引導學生理清所求的角與已知

12、角的關系，觀察選擇應該選用哪個公式進行求解，同時也要特別提醒學生注意:在求有關角的三角函數(shù)值時，要特別注意確定準角的范圍，準確地判斷好三角函數(shù)符號，這是解決這類問題的關鍵學生完全理清思路后，教師應指導學生的規(guī)范書寫，并熟練掌握它對于程度比較好的學生可讓其擴展本題，或變化條件，或變換所求的結論等如教師可變換，角的范圍，進行一題多變訓練,提高學生靈活應用公式的能力，因此教師要充分利用好這個例題的訓練價值解：0，0。又已知sin（)，cos(），cos（)，sin(）.cos(）sin()sin（)（）sin（)cos（)cos(）sin（)()()。點評:本題是典型的變角問題,即把所求角利用已知角

13、來表示,實際上就是化歸思想這需要巧妙地引導，充分讓學生自己動手進行角的變換,培養(yǎng)學生靈活運用公式的能力.變式訓練已知，(，)，sin（)，sin(），求cos（）的值解：,（,），sin()，sin()，2，。cos(），cos（）. cos（)cos（）(）cos(）cos()sin（）sin(）()(）。例 2化簡。解：原式0.變式訓練化簡.解：原式tan（）.例 3已知三個電流瞬時值的函數(shù)式分別是i1sint,i22sin（t45)，i34sin(t45）求它們合成后的電流瞬時值的函數(shù)式，并指出這個函數(shù)的振幅和初相解:ii1i2i3sint2sin(t45)4sin(t45）sint2（

14、sintcos45costsin45）4（sintcos45costsin45）4sintcost（sintcost)（sintcoscostsin)sin（t），其中arctan142.所以isin(t142），振幅為，初相為142.點評：由本例可知：幾個振幅和初相不同，但頻率相同的正弦波之和，總是等于另一個具有相同頻率的正弦波,同時可求得這個正弦波的振幅和初相1先由學生回顧本節(jié)課都學到了哪些數(shù)學知識和數(shù)學方法，有哪些收獲與提高，在公式推導中你悟出了什么樣的數(shù)學思想？對于公式應如何對比記憶？其中正切公式的應用有什么條件限制?怎樣用公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值與恒等式證明2教師畫龍點睛：

15、我們本節(jié)課要理解并掌握兩角和與差的正弦公式及其推導，明白從已知推得未知，理解數(shù)學中重要的數(shù)學思想“轉化思想，并要正確熟練地運用公式解題1課本本節(jié)練習b組14。2已知函數(shù)f(x）2sincos2sin2.(1)求函數(shù)f（x）的最小正周期及最值；(2)令g（x）f(x），判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由解:(1）f（x)sin(12sin2)sincos2sin()，f(x）的最小正周期t4。當sin（）1時，f（x)取得最小值2；當sin（)1時，f（x)取得最大值2。（2）由（1)知f(x)2sin(），又g（x)f(x)，g（x）2sin（x）2sin()2cos.g(x)2cos（）2

16、cosg(x)函數(shù)g(x)是偶函數(shù)1本節(jié)課是典型的公式教學模式,本節(jié)課是在兩角差的余弦公式的基礎上進行的，因此本教案的設計流程是“提出問題轉化推導分析記憶應用訓練;引導學生利用舊知識推導、證明新知識，并學會記憶公式的方法，靈活運用公式解決實際問題，從而使學生領會了數(shù)學中重要的數(shù)學思想“轉化思想”，并培養(yǎng)他們主動利用“轉化思想”指導探索解決數(shù)學問題的能力2縱觀本教案的設計,知識點集中，容量較大，重點是公式的推導證明、記憶以及簡單的應用等,通過本節(jié)的學習，使學生深刻理解公式的推導證明方法，熟練會用公式解決簡單的問題同時教給學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索推導，獲取新知的方法，讓他們真正體驗到自己發(fā)現(xiàn)探索數(shù)學知識

17、的喜悅和成功感一、三角函數(shù)知識口訣三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號坐標注；函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)同角關系很重要，化簡證明都需要;同角僅是正余切,平方商除有技巧誘導公式就是好，負化正后大化?。蛔兂射J角好查表，化簡證明少不了三角公式就是美，二的一半整數(shù)倍；千變萬化有規(guī)律，奇數(shù)化余偶不變將其后者視銳角，符號原來函數(shù)判;兩角和的余弦值，化為單角好求值計算證明角先行,注意結構函數(shù)名；保持基本量不變，繁難向著簡易變換角變形眾公式，抓住角的相對性;公式雖多巧記憶,互余角度變名稱二、備用習題1在abc中,sinasinbcosacosb，則abc是（)a直角三角形 b鈍角三角形c銳角三角形 d等腰三角形2。c

18、ossin的值是（）a0 b c。 d23在abc中，有關系式tana成立，則abc為（)a等腰三角形ba60的三角形c等腰三角形或a60的三角形d不能確定4若cos（），cos，（0，),(0，),則有()a（0，） b(，）c(，0) d5求值：_。6若sinsin1，則coscos_.7已知cos（)，cos（)，則tantan_.8求函數(shù)y2sin（x10)cos（x55)的最大值和最小值9化簡2cos（ab)10已知5sinsin（2)，求證：2tan（)3tan。參考答案:1b2。c3.c4。b5。6。07。8解：y2sin（x10)cos（x10）452sin（x10)cos(x10)sin(x10)sin(x10）cos（x10)sinx10)45sin（x55)，又1sin（x55)1，當x55k36090，即xk360145（kz)時,ymin;當x55k36090，即xk36035（kz)時，ymax。9解：原式.點評：本題中三角函數(shù)均為弦函數(shù)，所以變換的問題只涉及角一般來說，三角函數(shù)式的化簡問題首先考慮角，其次是函數(shù)名,再次是代數(shù)式的結構特點10證明:（)，2（），5sin（)sin（)，即