高考數學數列專題復習

1、絕密啟用前高三數學第二輪專題復習-數列一、本章知識結構：等差數列的性質通項及前n項和正 整 數 集數 列 的 概 念等 差 數 列等 比 數 列等比數列的性質有 關 應 用 二、高考要求1 理解數列的有關概念，了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前n項.2 理解等差（比）數列的概念，掌握等差（比）數列的通項公式與前n項和的公式. 并能運用這些知識來解決一些實際問題.3 了解數學歸納法原理，掌握數學歸納法這一證題方法，掌握“歸納猜想證明”這一思想方法.三、熱點分析1.數列在歷年高考中都占有較重要的地位，一般情況下都是一個客觀性試題加一個解答題，分值占整個試卷的10%左右.

2、客觀性試題主要考查等差、等比數列的概念、性質、通項公式、前n項和公式、極限的四則運算法則、無窮遞縮等比數列所有項和等內容，對基本的計算技能要求比較高，解答題大多以考查數列內容為主，并涉及到函數、方程、不等式知識的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價轉化，分類討論等數學思想方法，是屬于中高檔難度的題目. 2.有關數列題的命題趨勢（1）數列是特殊的函數，而不等式則是深刻認識函數和數列的重要工具，三者的綜合求解題是對基礎和能力的雙重檢驗，而三者的求證題所顯現出的代數推理是近年來高考命題的新熱點（2）數列推理題是新出現的命題熱點.以往高考常使用主體幾何題來考查邏輯推理能力，近兩年在數列題中也加強了推理

3、能力的考查。（3）加強了數列與極限的綜合考查題3.熟練掌握、靈活運用等差、等比數列的性質。等差、等比數列的有關性質在解決數列問題時應用非常廣泛，且十分靈活，主動發(fā)現題目中隱含的相關性質，往往使運算簡潔優(yōu)美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比數列的性質進行轉化：a2a4=a32，a4a6=a52，從而有a32+2aa53+a52=25，即（a3+a5）2=25.4.對客觀題，應注意尋求簡捷方法解答歷年有關數列的客觀題，就會發(fā)現，除了常規(guī)方法外，還可以用更簡捷的方法求解.現介紹如下：借助特殊數列.靈活運用等差數列、等比數列的有關性質，可更加準確、快速地解題，這種思路在解客觀題時表

4、現得更為突出，很多數列客觀題都有靈活、簡捷的解法5.在數列的學習中加強能力訓練數列問題對能力要求較高，特別是運算能力、歸納猜想能力、轉化能力、邏輯推理能力更為突出.一般來說，考題中選擇、填空題解法靈活多變，而解答題更是考查能力的集中體現，尤其近幾年高考加強了數列推理能力的考查，應引起我們足夠的重視.因此，在平時要加強對能力的培養(yǎng)。6這幾年的高考通過選擇題，填空題來著重對三基進行考查，涉及到的知識主要有：等差（比）數列的性質. 通過解答題著重對觀察、歸納、抽象等解決問題的基本方法進行考查，其中涉及到方程、不等式、函數思想方法的應用等，綜合性比較強，但難度略有下降.四、復習建議1 對基礎知識要落實

5、到位，主要是等差（比）數列的定義、通項、前n項和.2 注意等差（比）數列性質的靈活運用.3 掌握一些遞推問題的解法和幾類典型數列前n項和的求和方法.4 注意滲透三種數學思想：函數與方程的思想、化歸轉化思想及分類討論思想.5 注意數列知識在實際問題中的應用，特別是在利率,分期付款等問題中的應用.6 數列是高中數學的重要內容之一，也是高考考查的重點。而且往往還以解答題的形式出現，所以我們在復習時應給予重視。近幾年的高考數列試題不僅考查數列的概念、等差數列和等比數列的基礎知識、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學生的各種能力。五、典型例題數列的概念與性質【例1】 已知由正數組成的等比數列，若前

6、項之和等于它前項中的偶數項之和的11倍，第3項與第4項之和為第2項與第4項之積的11倍，求數列的通項公式.解：q=1時，又顯然，q1 依題意；解之又，依題意，將代入得 【例2】 等差數列an 中，=30，=15，求使an0的最小自然數n。解：設公差為d，則或或或 解得： a33 = 30 與已知矛盾 或 a33 = - 15 與已知矛盾或a33 = 15 或 a33 = - 30 與已知矛盾an = 31+(n - 1) () 31 0 n63 滿足條件的最小自然數為63。【例3】 設等差數列a的前n項和為s，已知s4=44,s7=35（1）求數列a的通項公式與前n項和公式；（2）求數列的前n

7、項和tn。解：（1）設數列的公差為d，由已知s4=44,s7=35可得a1=17,d=-4a=-4n+21 (nn),s=-2n+19 (nn).（2）由a=-4n+210 得n, 故當n5時，a0, 當n6時，當n5時,t=s=-2n+19n 當n6時,t=2s5-s=2n-19n+90.【例4】 已知等差數列的第2項是8，前10項和是185，從數列中依次取出第2項，第4項，第8項，第項，依次排列一個新數列，求數列的通項公式及前n項和公式。解：由 得 【例5】 已知數列：求證數列為等差數列，并求它的公差設，求的和。解：由條件，；故為等差數列，公差又知【例6】 已知數列1，1，2它的各項由一個

8、等比數列與一個首項為0的等差數列的對應項相加而得到。求該數列的前n項和sn；解：(1)記數列1，1，2為an，其中等比數列為an，公比為q；等差數列為bn，公差為d，則an =an +bn (nn）依題意，b1 =0，a1 =a1 +b1 =a1 =1 a=a+b=aq+b+d=1 a=a+b=aq2 +b+2d=2 由得d=-1, q=2, 【例7】 已知數列滿足an+sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通項an,并加以證明。解法1：由an+sn=n,當n=1時，a1=s1，a1+a1=1，得a1=當n=2時，a1+a2=s2，由a2+s2=2，得a1+2a2=2，a2=當n=3時，

9、a1+a2+a3=s3，由a3+s3=3，得a1+a2+2a3=3a3=猜想，(1)下面用數學歸納法證明猜想成立。當n=1時,a1=1-,(1)式成立假設,當n=k時,(1)式成立,即ak=1-成立，則當n=k+1時,ak+1+sk+1=k+1,sk+1=sk+ak+12ak+1=k+1-sk 又ak=k+sk2ak+1=1+ak ak+1=即當n=k+1時,猜想（1）也成立。所以對于任意自然數n,都成立。解法2：由an+sn=n得，兩式相減得：，即，即，下略【例8】 設數列是首項為1的等差數列，數列是首項為1的等比數列，又。(1)求數列的通項公式與前n項和公式；(2)當時，試判斷cn的符號（

10、大于零或小于零），并給予嚴格證明。解：(1)設數列的公比為q由條件得(2)證明：當n=5，c50命題成立假設當當也成立由，對一切n5，都有cn0且b1。(1)求數列的通項an；(2)若對4，試求b的取值范圍。解：(1)由已知條件得當n=1時，故(2)由【例11】 兩個數列、中，成等差數列，且成等比數列。(1)證明是等差數列；(2)若的值。解：(1)是等差數列(2)又，又數列的概念與性質練習一、選擇題1設（ d ）abcd2等比數列中，那么的值為（ c ）abcd311等比數列 a 中，a=7，前三項之和 s=21，則公比q的值是( c ) （） 1 （） - （） 1或 - （） -1或4首項

11、為1，公差不為零的等差數列中的是一個等比數列的前3項，則這一等比數列的第四項為（ b ）a8b8c6d不確定5已知數列的前n項和，那么這個數列中的奇數項依照原來的順序構成的數列的通項公式是（ b ）abcd 6數列an的前n項和sn=3n-2n2 (nn)，當n2時，就有（ d ） asnna1nan bsn nanna1 cna1snnan dnansn 0且時,(1)當n = 1時, (2)當(i)若q 1時, 則(ii)若0 q =0，f(n+1)f(n)。（2）f(n+1)f(n)，當n1時，f(n)的最小值為f(2)=s5-s3=必需且只須1且m2令t=則不等式等價于，解得：0t1即

12、01，即-1logm(m-1)0或0logm(m-1)0，a1，數列an是首項為a，公比也為a的等比數列，令bn=anlgan（nn）。（1）求數列bn的前n項和sn；（2）當數列bn中的每一項總小于它后面的項時，求a的取值范圍.解：（1）由題意知an=an，bn=nanlga. sn=（1 a+2 a2+3 a3+n an）lga.a sn=（1 a2+2 a3+3 a4+n an+1）lga.以上兩式相減得（1a）sn=（a+a2+a3+ann an+1）lga .a1，.（2）由bk+1bk=(k+1)ak+1lgakaklga=aklgak(a1)+a.由題意知bk+1bk0，而ak0

13、，lgak(a1)+a0. （1）若a1，則lga0，k(a1)+a0，故a1時，不等式成立；（2）若0a1，則lga0，不等式成立恒成立.綜合（1）、（2）得a的取值范圍為【例4】 已知數列an的前n項和為sn，又有數列bn，它們滿足關系，對有。（1）求證bn是等比數列，并寫出它的通項公式（2）求解：證法一：當 n=1時，。同理，(2)(1),即由于是由(3),(4)知的等比數列，證法二：同上算得，猜想且數學歸納法證明，(1) 當，命題成立(2)假設時命題成立，即成立。 又由(1)(2)知對 猜想成立的等比數列， 解法2：由，bn是等比數列；且【例5】 已知是首項為1，公差為d的等差數列，其

14、前n項和為，是首項為1，公比為q(|q| 0)，其前n項和為s。（1）寫出數列的通項公式及前n項和sn的公式；（2）設，寫出bn關于x和n的表達式；（3）判斷數列bn的增減性；（4）求。解：（1）（2）（3）當；當n1時，綜上知為遞減數列。（4）當數列的綜合應用(1) 一、選擇題1等差數列的通項公式為的前n項和s等于( a ) (a) (b) (c) (d) 2一個等比數列的前n項和，則該數列各項和為（ b ）ab1cd任意實數3已知數列an滿足an+1=anan1（n2），a1=a，a2=b，記sn=a1+a2+a3+an，則下列結論正確的是（ a ）.（a）a100=a，s100=2ba

15、（b）a100=b，s100=2ba（c）a100=b，s100=ba （d）a100=a，s100=ba4設首項為3，公比為2的等比數列a的前n項和為s，首項為2，公比為3的等比數列a的前n項和為s，則的值等于( c ) （） （） （） （） 25在等比數列中，首項a1 1bq 1c0 q 1dq 0,a+b1,nn.（1）求的通項公式，并證明；（2）令，試判斷數列中任意相鄰兩項的大小.解：（1）當n=1時也能滿足上式，（2）由（1）及對數的性質可得數列中各項皆為正值又，.2已知數列，前n項和為，對于任意總成等差數列。（1）求的值；（2）求通項（3）計算.解：（1）當n2時，成等差數列；，

16、類似地 （2）當n2時，即得 為常數，成等比數列.；其中故（3）= 數列的綜合應用(2)【例1】 已知函數具有下列性質： （1）當n一定，記求的表達式 （2）對解：（1） 即又，即，由n為定值，則數列是以為首項，為公比的等比數列，由于 （2），欲證，只需證明，只需證明【例2】 已知函數f(x)=（1）求f(x)的反函數f1 (x)的表達式；（2）數列中，a1 =1；an =f1 (an1)(nn，n2)，如果bn =(nn)，求數列的通項公式及前n項和sn；（3）如果g(n)=2sn17n，求函數g(x) (xr)在區(qū)間t,t+2 (tr)上的最小值h(t)的表達式。解：（1） f1 (x)=

17、 （2） 是以1為首項，公差為1的等差數列 （3）g(n)=2sn17n=n216n xrg(x)函數圖像是以頂點m（8，64）且開口向上的拋物線(i)當t8時，g(x)在t,t+2上是增函數 h(t)=g(t)=t216t(ii)當t+20，等比數列中，公比q0且若，求a的取值范圍.解：由已知不等式，得 ，當時，若，則，若，則，當時，若，則，若時，則，綜上：若時， 或時，或數列的綜合應用(2)練習一、選擇題1設sn =，則等于（ a ） a b c0 d2已知數列中，那么等于（ b ）a、495b、765c、1080d、31053在等差數列中，（ a ）a、0b、mc、nd、不確定4一個等差數列的首項為4，它的第一項、第七項、與第十項成等比數列，這個數列的通項公式是（ c ）a、b、c、d、5設等于（ c ）a、b、c、d、16數列1,b,c,8中，前三項1,b,c成等差數列，后三項b,c,8成等比數列，則必有（ b ）a、c0b、b0c、c0d、b0)的等比數列，且 . 3在等比數列中，記：，若則公比q= 34數列的前n項和為的值為 。15數列的通項公式前n項和為(a為實常數)，則a的值等于 。26已知等比數列的各項都是正數，且前n項中最大的一項為54，則n= 。4三、解答題1、若分別表示數列的前n項