結(jié)構(gòu)力學(xué)第五章

1、第 五 章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算與虛功 5-1 5-1 應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移 1、推導(dǎo)位移計(jì)算一般公式的基本思路、推導(dǎo)位移計(jì)算一般公式的基本思路 第一步：由剛體體系的虛位移原理（理論力學(xué)）得 出剛體體系的虛力原理。并由此討論靜定結(jié)構(gòu)由于支座 移動(dòng)而引起的位移計(jì)算問題。 第二步：討論靜定結(jié)構(gòu)由于局部變形引起的位移。 由剛體體系的虛力原理導(dǎo)出其位移計(jì)算公式。 第三步：討論靜定結(jié)構(gòu)由于整體變形引起的位移。應(yīng) 用第二步導(dǎo)出的局部變形引起的位移計(jì)算公式，再應(yīng)用疊 加原理就可以推導(dǎo)出整體變形引起的位移計(jì)算公式。 2、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述 （1）、結(jié)構(gòu)位移的種類）、

2、結(jié)構(gòu)位移的種類 絕對(duì)位移絕對(duì)位移：線位移和角位移桿件結(jié)構(gòu)中某一截 面位置或方向的改變。 相對(duì)位移相對(duì)位移：相對(duì)線位移和相對(duì)角位移兩個(gè)截面 位移的差值或和。 廣義位移廣義位移：絕對(duì)位移和相對(duì)位移的統(tǒng)稱。 FP C D D A B C CH CV C CD DV CD （2）、引起位移的原因）、引起位移的原因 *荷載作用； *溫度變化和材料漲縮； *支座沉陷和制造誤差。 （3）、位移計(jì)算的目的）、位移計(jì)算的目的 *檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)的剛度：位移是否超過允許的位移限制。 * 為超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算打基礎(chǔ)。 * 其它：如施工措施、建筑起拱、預(yù)應(yīng)力等。 （4）、體系（結(jié)構(gòu)）的物理特性）、體系（結(jié)構(gòu)）的物理特性 線性變形

3、體系（線彈性體）：線性變形體系（線彈性體）： *應(yīng)力、應(yīng)變滿足虎克定律；應(yīng)力、應(yīng)變滿足虎克定律； *變形微小：變形前后結(jié)構(gòu)尺寸、諸力作用變形微小：變形前后結(jié)構(gòu)尺寸、諸力作用 位置不變，位移計(jì)算可用疊加原理；位置不變，位移計(jì)算可用疊加原理； *體系幾何不變，約束為理想約束。體系幾何不變，約束為理想約束。 非線性體系：非線性體系： * 物理非線性；物理非線性； *幾何非線性（大變形）。幾何非線性（大變形）。 （5）、變形體位移計(jì)算方法及應(yīng)滿足的條件）、變形體位移計(jì)算方法及應(yīng)滿足的條件 方法：方法： 用虛功原理推導(dǎo)出位移計(jì)算公式。用虛功原理推導(dǎo)出位移計(jì)算公式。 計(jì)算時(shí)應(yīng)滿足的條件：計(jì)算時(shí)應(yīng)滿足的條件

4、： *靜力平衡；靜力平衡； *變形協(xié)調(diào)條件；變形協(xié)調(diào)條件； *物理?xiàng)l件。物理?xiàng)l件。 3、虛功原理的一種應(yīng)用形式、虛功原理的一種應(yīng)用形式 虛力原理（虛力原理（ 虛設(shè)力系，求位移）虛設(shè)力系，求位移） （1）虛功的概念）虛功的概念 功的兩個(gè)要素功的兩個(gè)要素力和位移力和位移 W= F FP P 功功= =力力相應(yīng)位移相應(yīng)位移 FP FP 相應(yīng)位移相應(yīng)位移 W=2FP(r) = M 力與位移相互對(duì)應(yīng)。力與位移相互對(duì)應(yīng)。 FP FP A B A O B r 虛功虛功 使力作功的位移不是由該力本身引起的，則： 作功的力與相應(yīng)于力的位移彼此獨(dú)立無關(guān)。 虛功 = 力 相應(yīng)于力的位移 獨(dú)立無關(guān) FP1 FP2 M

5、1 FR1 FR2 FR3 力狀態(tài)力狀態(tài) 2 1 1 c1 c2 c3 位移狀態(tài)位移狀態(tài) （2）兩種狀態(tài)）兩種狀態(tài) 兩種狀態(tài)兩種狀態(tài) 既然力與位移彼此獨(dú)立無關(guān)，故可將力與位移視為 兩種獨(dú)立的狀態(tài)。 力狀態(tài)；力狀態(tài)； 位移狀態(tài)位移狀態(tài)。 外力虛功可表示為： W = FP11+FP22+ M11 + FR1c1+ FR2c1+ FR3c3 =FFP P F FP P：包括力狀態(tài)中的所有力（力偶）及支座反力 ， 稱為廣義力。 ：包括位移狀態(tài)中的與廣義力相應(yīng)的廣義位移。 （3 3）、剛體體系虛功原理）、剛體體系虛功原理（虛位移原理、虛力原理）（虛位移原理、虛力原理） 對(duì)于具有理想約束的剛體體系，其虛功

6、原對(duì)于具有理想約束的剛體體系，其虛功原 理為：理為：設(shè)體系上作用任意的平衡力系，又設(shè)體設(shè)體系上作用任意的平衡力系，又設(shè)體 系發(fā)生符合約束條件的無限小剛體體系位移，系發(fā)生符合約束條件的無限小剛體體系位移， 則主動(dòng)力在位移上所作的虛功總和恒等于零。則主動(dòng)力在位移上所作的虛功總和恒等于零。 即：即： W = 0 理想約束理想約束約束力在可能位移上所作的功恒等于零的約束，約束力在可能位移上所作的功恒等于零的約束， 如：光滑鉸鏈、剛性鏈桿等。如：光滑鉸鏈、剛性鏈桿等。 剛剛 體體 具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系。剛體內(nèi)力在剛體的可具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系。剛體內(nèi)力在剛體的可 能位移上所作的功恒為零。能位移上所作的功恒

7、為零。 虛功原理（又稱虛位移原理、虛力原理）虛功原理（又稱虛位移原理、虛力原理） 用于討論靜力學(xué)問題非常方便，是分析力學(xué)的用于討論靜力學(xué)問題非常方便，是分析力學(xué)的 基礎(chǔ)?；A(chǔ)。 因?yàn)樘摴υ碇衅胶饬ο蹬c可能位移無關(guān)，因?yàn)樘摴υ碇衅胶饬ο蹬c可能位移無關(guān)， 所以既可把位移視為虛設(shè)的，也可把力系視為所以既可把位移視為虛設(shè)的，也可把力系視為 虛設(shè)的。虛設(shè)的。 根據(jù)虛設(shè)的對(duì)象不同，虛功原理有兩種應(yīng)根據(jù)虛設(shè)的對(duì)象不同，虛功原理有兩種應(yīng) 用形式，解決兩類不同的問題。用形式，解決兩類不同的問題。 虛功原理的兩種不同應(yīng)用，不但適用于剛虛功原理的兩種不同應(yīng)用，不但適用于剛 體體系，也適用于變形體體系。體體系，也

8、適用于變形體體系。 （4）、虛設(shè)（擬）力狀態(tài)）、虛設(shè)（擬）力狀態(tài) 求位移求位移 例1： 圖示簡(jiǎn)支梁，支 座A向上移動(dòng)一已知 距離c1 ,現(xiàn)在擬求B點(diǎn) 的豎向線位移B。 解解：已給位移狀態(tài); 虛設(shè)力狀態(tài)，在擬求 位移B方向上加一單 位荷載FP=1，形成平 衡力系。 c1 B FP=1 FR1= - b/a 虛功方程：虛功方程： B B 1+c1FR1 =0 由平衡方程求出：由平衡方程求出： FR1 = - b/a B B=FPc1=b/a c1 注：注： a、虛設(shè)力系，應(yīng)用虛功原理，稱為虛力原理。若、虛設(shè)力系，應(yīng)用虛功原理，稱為虛力原理。若 設(shè)設(shè)FP=1，稱為虛單位荷載法。，稱為虛單位荷載法。

9、b、虛功方程在此實(shí)質(zhì)上是幾何方程。即利用靜、虛功方程在此實(shí)質(zhì)上是幾何方程。即利用靜 力平衡求解幾何問題。力平衡求解幾何問題。 c c、方程求解的關(guān)鍵，在于擬求、方程求解的關(guān)鍵，在于擬求方向虛設(shè)單位方向虛設(shè)單位 荷載，利用力系平衡求出與荷載，利用力系平衡求出與c c1 1相應(yīng)的相應(yīng)的R1, ,即利用平衡即利用平衡 方程求解幾何問題。方程求解幾何問題。 上述方法也可稱為上述方法也可稱為“單位荷載法單位荷載法” c1 B B FP=1 FR1= - b/a d、通過上例可推出靜定結(jié)構(gòu)支座移通過上例可推出靜定結(jié)構(gòu)支座移 動(dòng)時(shí)，位移計(jì)算的一般公式。動(dòng)時(shí)，位移計(jì)算的一般公式。 注：因?yàn)殪o定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)作

10、用下，不注：因?yàn)殪o定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)作用下，不 產(chǎn)生反力、內(nèi)力，也不引起應(yīng)變；所以屬于剛產(chǎn)生反力、內(nèi)力，也不引起應(yīng)變；所以屬于剛 體體系的位移問題，可用剛體虛功原理求解。體體系的位移問題，可用剛體虛功原理求解。 4、支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算、支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算 10 (6-3)RK K Fc 當(dāng)支座有給定位移ck時(shí)（可能不止一個(gè)）， （a）沿?cái)M求位移方向虛設(shè)相應(yīng)單位荷載，并求出單 位荷載作用下的支座反力FRK。 （b）令虛擬力系在實(shí)際位移上作虛功，寫虛功方程： (6-4)RK K Fc （c）由虛功方程，解出所求位移： 例例: 圖示三鉸剛架，圖示三鉸剛架， 支座支座B下沉下沉c1，

11、向，向 右移動(dòng)右移動(dòng)c2。求鉸。求鉸 C 的豎向位移的豎向位移CV和和 鉸左右截面的相對(duì)鉸左右截面的相對(duì) 角位移角位移C。 l/2l/2 l c1 c2 CV C l/2l/2 l c1 c2 CV C 實(shí)際狀態(tài)實(shí)際狀態(tài) FP=1 1/2 1/2 1/4 1/4 虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài) CV =-FRKcK= - -1/2c1 1/4c2 =c1/2+ c2/4 () l/2l/2 l c1 c2 CV C 實(shí)際狀態(tài)實(shí)際狀態(tài) C=-FRK cK=- -1/l c2= c2 /l ( ) FP=1 1 /l 1 /l 5-2 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式 結(jié)構(gòu)屬于變形體，在一般情況下，

12、結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)結(jié)構(gòu)屬于變形體，在一般情況下，結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn) 生應(yīng)變。結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算問題，屬于變形體體系生應(yīng)變。結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算問題，屬于變形體體系 的位移計(jì)算問題。采用方法仍以虛功法最為普遍。的位移計(jì)算問題。采用方法仍以虛功法最為普遍。 推導(dǎo)位移計(jì)算一般公式有幾種途徑：推導(dǎo)位移計(jì)算一般公式有幾種途徑： 1、根據(jù)變形體體系的虛功方程，導(dǎo)出位移計(jì)算的一 般公式。 2、應(yīng)用剛體體系的虛功原理，導(dǎo)出局部變形的位移 公式；然后應(yīng)用疊加原理，導(dǎo)出變形體體系的位移計(jì)算公 式。 一、局部變形時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算舉例一、局部變形時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算舉例 設(shè)靜定結(jié)構(gòu)中的某個(gè)微段出現(xiàn)局部變形，微段兩端設(shè)靜定結(jié)構(gòu)中的某個(gè)微段出

13、現(xiàn)局部變形，微段兩端 相鄰截面出現(xiàn)相對(duì)位移。而結(jié)構(gòu)的其他部分沒有變形，相鄰截面出現(xiàn)相對(duì)位移。而結(jié)構(gòu)的其他部分沒有變形， 仍然是剛體。仍然是剛體。 因此，當(dāng)某個(gè)微段有局部變形時(shí)，靜定結(jié)構(gòu)的位因此，當(dāng)某個(gè)微段有局部變形時(shí)，靜定結(jié)構(gòu)的位 移計(jì)算問題可以歸結(jié)為當(dāng)該處相鄰截面有相對(duì)位移時(shí)移計(jì)算問題可以歸結(jié)為當(dāng)該處相鄰截面有相對(duì)位移時(shí) 剛體體系的位移計(jì)算問題。舉例說明。剛體體系的位移計(jì)算問題。舉例說明。 例例5-1：懸臂梁在截面：懸臂梁在截面B有相對(duì)轉(zhuǎn)角有相對(duì)轉(zhuǎn)角，求，求A點(diǎn)豎向點(diǎn)豎向 位移位移AV（是由于制造誤差或其他原因造成的）。是由于制造誤差或其他原因造成的）。 A B C a a A1 A B C

14、 A1 A B C M 1 解 ：解 ： 、 在、 在 B 處 加 鉸處 加 鉸 （將實(shí)際位移狀態(tài)明確地表（將實(shí)際位移狀態(tài)明確地表 示為剛體體系的位移狀態(tài)）。示為剛體體系的位移狀態(tài)）。 、A點(diǎn)加單位荷載點(diǎn)加單位荷載 FP=1，在鉸，在鉸B處虛設(shè)一對(duì)彎處虛設(shè)一對(duì)彎 矩矩M（為保持平衡）（為保持平衡） M=1a （4-5） 、虛功方程： 1AV- M=0 AV = M= a() 例例5-2：懸臂梁在截面：懸臂梁在截面B有相對(duì)剪切位移有相對(duì)剪切位移，求，求A點(diǎn)點(diǎn) 與桿軸成與桿軸成角的斜向位移分量角的斜向位移分量（ 是由于制造誤差或是由于制造誤差或 其他原因造成的）。其他原因造成的）。 AB C a

15、a A1B1 AB C 解：解：、在、在B截面處加截面處加 機(jī)構(gòu)如圖（將實(shí)際位移狀態(tài)機(jī)構(gòu)如圖（將實(shí)際位移狀態(tài) 明確地表示為剛體體系的位明確地表示為剛體體系的位 移狀態(tài)）。移狀態(tài)）。 A1 B1 、A點(diǎn)加單位荷載點(diǎn)加單位荷載 FP=1，在鉸，在鉸B處虛設(shè)一對(duì)剪處虛設(shè)一對(duì)剪 力力FQ（為保持平衡）（為保持平衡） FQ= sina AB C 1 FQ 、虛功方程： 1- FQ =0 = FQ 二、局部變形時(shí)的位移公式二、局部變形時(shí)的位移公式 基本思路：基本思路： 把局部變形時(shí)的位移計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為剛體體系的位把局部變形時(shí)的位移計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為剛體體系的位 移計(jì)算問題。移計(jì)算問題。 如圖所示，已知只有如圖

16、所示，已知只有B點(diǎn)附近的微段點(diǎn)附近的微段 ds 有局部變形，有局部變形， 結(jié)構(gòu)其他部分沒有變形。求結(jié)構(gòu)其他部分沒有變形。求A點(diǎn)沿點(diǎn)沿方向的位移分量方向的位移分量d d局部變形有三部分：局部變形有三部分： 軸向伸長(zhǎng)應(yīng)變軸向伸長(zhǎng)應(yīng)變 平均剪切應(yīng)變平均剪切應(yīng)變 0 軸線曲率軸線曲率 （ = 1/R，R為桿件軸向?yàn)闂U件軸向 變形后的曲率半徑）變形后的曲率半徑） 位移狀態(tài)（實(shí)際）位移狀態(tài)（實(shí)際） 力狀態(tài)（虛擬）力狀態(tài)（虛擬） （1） 兩端截面的三種相對(duì)位移兩端截面的三種相對(duì)位移 相應(yīng)內(nèi)力相應(yīng)內(nèi)力 相對(duì)軸向位移相對(duì)軸向位移 d= d s 相對(duì)剪切位移相對(duì)剪切位移 d=0ds 相對(duì)轉(zhuǎn)角相對(duì)轉(zhuǎn)角 d=d s

17、/R= d s 軸力軸力 FN 剪力剪力 FQ 彎矩彎矩 M 相對(duì)位移相對(duì)位移d、 d、 d是描述微段總變形的是描述微段總變形的 三個(gè)基本參數(shù)。三個(gè)基本參數(shù)。 基本思路：基本思路： d A BC A BC sds A1 d d d ds d BC d d R FNFN FQ FQ M M 1 FN FQ M （2） d s趨近于趨近于0，三種相對(duì)位移還存在。，三種相對(duì)位移還存在。 相當(dāng)于整個(gè)結(jié)構(gòu)除相當(dāng)于整個(gè)結(jié)構(gòu)除B截面發(fā)生集中變形（截面發(fā)生集中變形（d，d， d）外，其他部分都是剛體，沒有任何變形。）外，其他部分都是剛體，沒有任何變形。 屬剛體體系的位移問題。屬剛體體系的位移問題。 （3） 應(yīng)

18、用剛體體系虛功原理，根據(jù)截面應(yīng)用剛體體系虛功原理，根據(jù)截面B 的相對(duì)位移可分別求出點(diǎn)的相對(duì)位移可分別求出點(diǎn)A的位移的位移d，局部變，局部變 形位移公式：形位移公式： 0 1 () NQ NQ dM dFdFd dMFFds （4-8） 三、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式三、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式 0 ()NQ ll dMFFds 0 ()NQ l MFFds 由疊加原理：由疊加原理： 總位移=疊加每個(gè)微段變形在該點(diǎn)(A)處引起的微小 位移d 即： 若結(jié)構(gòu)有多個(gè)桿件，則： （4-9） 單位荷載虛功單位荷載虛功 = 所求位移所求位移 考慮支座有給定位移，則可得出結(jié)構(gòu)位移考慮支座有給定位移，則可得出結(jié)構(gòu)位移

19、 計(jì)算的一般公式：計(jì)算的一般公式： 0 ()NQRK K MFFdsF c 其中包含：其中包含： 彎曲變形對(duì)位移的影響彎曲變形對(duì)位移的影響 M ds （4-11） 軸向變形對(duì)位移的影響軸向變形對(duì)位移的影響 NFds （4-12） 剪切變形對(duì)位移的影響剪切變形對(duì)位移的影響 0 QFds （4-13） 支座移動(dòng)對(duì)位移的影響支座移動(dòng)對(duì)位移的影響 （4-10） RK K F c （4-14） （3）、式（）、式（4-10）是普遍公式。（因?yàn)樵谕疲┦瞧毡楣?。（因?yàn)樵谕?導(dǎo)中未涉及變形因素、結(jié)構(gòu)類型、材料性質(zhì)）可導(dǎo)中未涉及變形因素、結(jié)構(gòu)類型、材料性質(zhì)）可 考慮任何情況：考慮任何情況： 、變形類型：彎曲、

20、軸向、剪切變形。、變形類型：彎曲、軸向、剪切變形。 、產(chǎn)生變形的因素：荷載、溫度改變、支座移、產(chǎn)生變形的因素：荷載、溫度改變、支座移 動(dòng)等。動(dòng)等。 、結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、拱、桁架等靜定、超、結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、拱、桁架等靜定、超 靜定。靜定。 、材料性質(zhì)：彈性、非彈性。、材料性質(zhì)：彈性、非彈性。 （4）、變形體虛功原理：）、變形體虛功原理： 將式（將式（4-10）改寫為：）改寫為： 0 1()RKNQ K F cMFFds （4-15） 外力虛功外力虛功W = 內(nèi)虛功內(nèi)虛功Wi （4-16） 可視為變形體虛功原理的一種表達(dá)形式?？梢暈樽冃误w虛功原理的一種表達(dá)形式。 四、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般步驟四

21、、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般步驟 已知結(jié)構(gòu)桿件各微段的應(yīng)變已知結(jié)構(gòu)桿件各微段的應(yīng)變、0（根據(jù)引（根據(jù)引 起變形的原因而定），支座移動(dòng)起變形的原因而定），支座移動(dòng)ck。 求結(jié)構(gòu)某點(diǎn)沿某方向的位移求結(jié)構(gòu)某點(diǎn)沿某方向的位移。 1、沿欲求、沿欲求方向設(shè)方向設(shè)FP=1。 2、根據(jù)平衡條件求出、根據(jù)平衡條件求出FP=1作用下的作用下的M、FN、 FQ、FR。 3、根據(jù)公式（、根據(jù)公式（5-4）可求出）可求出。 注意正負(fù)號(hào)：注意正負(fù)號(hào)： 、公式（4-10）中各乘積表示，力與變形方向一致， 乘積為正，反之為負(fù)。 、求得為正，表明位移的實(shí)際方向與所設(shè)單 位荷載方向一致。 五五 、廣義位移計(jì)算、廣義位移計(jì)算 廣義位移：

22、某截面沿某方向的線位移； 某截面的角位移； 某兩個(gè)截面的相對(duì)位移；等。 在利用（5-4）求廣義位移 時(shí)，必須根據(jù)廣義位移的性質(zhì) 虛設(shè)廣義單位荷載。 A B q AB A B MA =1 MB=1 如：右圖所示簡(jiǎn)支梁，求AB兩截面 的相對(duì)角位移。 求解過程： 可先求A和B，再疊加。 也可直接求出AB= A+ B 廣義位移和廣義虛單位荷載示例廣義位移和廣義虛單位荷載示例 廣義位移廣義虛單位荷載（外力）虛功 B A A B B A FP=1 FP=1 1A+1B =A+B =AB AB lABB A AB A B lAB 1 lAB 1 1/lABA+ 1/lABB =(A+B)/ lAB =AB

23、廣義位移和廣義虛單位荷載示例廣義位移和廣義虛單位荷載示例 廣義位移廣義虛單位荷載（外力）虛功 AB B A C C li lj i A i B j B j C 1 li 1 li 1 lj 1 lj 1/liAi + 1/liBi +1/ljAj+ 1/ljAj = (Ai+Bi)/ li+ (Bj+Cj)/ lj =i+ j = ij C A B L C R C C C A B 1 1 1 CL+1 CR = CL + CR = C 5-3 荷載作用下的位移計(jì)算荷載作用下的位移計(jì)算 1、荷載作用下的結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式、荷載作用下的結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式 根據(jù)公式根據(jù)公式（5-95-9） (6-9)

24、K NQ MdsFdsFds 本節(jié)討論中，設(shè)材料是線彈性的。在此，微本節(jié)討論中，設(shè)材料是線彈性的。在此，微 段應(yīng)變段應(yīng)變 、 、 0 是由荷載引起的（實(shí)際位移狀是由荷載引起的（實(shí)際位移狀 態(tài)），由荷載態(tài)），由荷載內(nèi)力內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變順序求出。應(yīng)變順序求出。 由材料力學(xué)公式可知：由材料力學(xué)公式可知： 荷載作用下相應(yīng)的彎曲、拉伸、剪切荷載作用下相應(yīng)的彎曲、拉伸、剪切 應(yīng)變可表示為：應(yīng)變可表示為： 彎曲應(yīng)變：彎曲應(yīng)變： = MP /EI 軸向應(yīng)變：軸向應(yīng)變： = FNP /EA (5-18) 剪切應(yīng)變：剪切應(yīng)變： 0= k FQP /GA 式中：式中： 、 FNP， FQP ， MP是荷載作用下，結(jié)

25、構(gòu)各截是荷載作用下，結(jié)構(gòu)各截 面上的軸力，剪力，彎矩。注意這是在實(shí)際狀面上的軸力，剪力，彎矩。注意這是在實(shí)際狀 態(tài)下的內(nèi)力。態(tài)下的內(nèi)力。 、E，G材料的彈性模量和剪切彈性模量。材料的彈性模量和剪切彈性模量。 、A，I桿件截面的面積和慣性矩。桿件截面的面積和慣性矩。 、EA，GA ， EI桿件截面的抗拉，抗剪，抗桿件截面的抗拉，抗剪，抗 彎剛度。彎剛度。 、k是與截面形狀有關(guān)的系數(shù)（剪應(yīng)力分布是與截面形狀有關(guān)的系數(shù)（剪應(yīng)力分布 不均勻系數(shù)）不均勻系數(shù)） 計(jì)算公式計(jì)算公式 （5-8） dA b s I A k A 2 2 2 將將（4-18）代入代入（4-9）可得荷載作用下平面可得荷載作用下平面

26、桿件結(jié)構(gòu)彈性位移計(jì)算的一般公式：桿件結(jié)構(gòu)彈性位移計(jì)算的一般公式： ds EI MM ds GA FFk ds EA FF P QP Q NP N KP （5-19） 將位移計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為兩種狀態(tài)下的內(nèi)力計(jì)算問題。將位移計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為兩種狀態(tài)下的內(nèi)力計(jì)算問題。 正負(fù)號(hào)規(guī)定：正負(fù)號(hào)規(guī)定： FN 、 FNP 拉力為正；拉力為正； FQ 、 FQP 同材料力學(xué)同材料力學(xué) M、 MP使桿件同側(cè)纖維受拉時(shí)，乘積為正。使桿件同側(cè)纖維受拉時(shí)，乘積為正。 2、各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式、各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式 （1）、梁和剛架：位移主要由彎曲變形引起。）、梁和剛架：位移主要由彎曲變形引起。 (6-20) P MM

27、ds EI （2）、桁架：各桿只有軸力，且各桿截面和）、桁架：各桿只有軸力，且各桿截面和 各桿軸力沿桿長(zhǎng)一般為常數(shù)。各桿軸力沿桿長(zhǎng)一般為常數(shù)。 (6-21) NN NPNP F FF F l ds EAEA （3）、組合結(jié)構(gòu)：一些桿件主要受彎，一些桿件只 有軸力。 (6-22) N NPP FFlMM ds EIEA （4）、拱： 扁平拱及拱的合理軸線與拱軸相近時(shí)： (6-23) N NPP F FMM dsds EIEA 通常情況： (6-20) P M M ds E I 例例: 簡(jiǎn)支梁的位移計(jì)算。簡(jiǎn)支梁的位移計(jì)算。 求圖示簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)求圖示簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)C 的豎向位移的豎向位移CV 和截面和截面

28、 B的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角B。 解：求C點(diǎn)的豎向位移。 虛擬狀態(tài)如圖； FP=1 1/2 實(shí)際狀態(tài) 虛擬狀態(tài) MP=q(lx-x2)/2M=x/2 FQP=q(l-2x)/2 FQ=1/2 因?qū)ΨQ性，只計(jì)算一半。 5-4 荷載作用下的位移計(jì)算舉例荷載作用下的位移計(jì)算舉例 討論剪切變形和彎曲變形對(duì)位移的影響：討論剪切變形和彎曲變形對(duì)位移的影響： GA kql EI ql dxxl q GA k dxxlx qx EI l CV 8384 5 )2( 22 11 2 )( 22 1 2 24 2 2/ 0 設(shè)簡(jiǎn)支梁為矩形截面，設(shè)簡(jiǎn)支梁為矩形截面，k=1.2, I /A= h2 / 12, 橫向變形系數(shù)橫向變

29、形系數(shù) =1/3, E/G=2(1+ )=8/3。 / = ( kql2/8GA)/(5ql4/384EI) =9.6/l2kE/G I /A = 2.56(h/l)2 當(dāng)當(dāng) h/l =1/10時(shí)時(shí), 則：則： / =2.56 對(duì)一般梁來說，可略去剪切變形對(duì)位移的影響。對(duì)一般梁來說，可略去剪切變形對(duì)位移的影響。 但當(dāng)梁但當(dāng)梁h/l1/5時(shí)時(shí), 則：則： / =10.2 對(duì)于深梁，剪切變形對(duì)位移的影響不可忽略。對(duì)于深梁，剪切變形對(duì)位移的影響不可忽略。 求截面求截面B的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角B 。 虛擬狀態(tài)如圖所示。虛擬狀態(tài)如圖所示。 M=1 1/l 實(shí)際狀態(tài)實(shí)際狀態(tài) 虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài) MP=q(lx-x2)

30、/2 M= - x/l )( 逆時(shí)針 EI ql dxxlx q l x EI l B 24 )( 2 )( 1 3 2 0 計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說明實(shí)際位移與虛擬力方向相反。計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說明實(shí)際位移與虛擬力方向相反。 例例: 圖示一屋架，屋圖示一屋架，屋 架的上弦桿和其他壓架的上弦桿和其他壓 桿采用鋼筋混凝土桿，桿采用鋼筋混凝土桿， 下弦桿和其他拉桿采下弦桿和其他拉桿采 用鋼桿。用鋼桿。 試求頂點(diǎn)試求頂點(diǎn)C的豎的豎 向位移。向位移。 解：解： （1）求）求FNP 先將均布荷載先將均布荷載q化為結(jié)點(diǎn)荷載化為結(jié)點(diǎn)荷載FP=ql/4 。 求結(jié)點(diǎn)荷載作用下的求結(jié)點(diǎn)荷載作用下的FNP 。 0.278l 0

31、.263l 0.263l 0.088l 0.278l 0.444l 1 1 1 1/2 1/2 FNP 3.00 2.02.0 - 4.74 - 4.42 - 0.95 1.50 4.50 0.278l 0.263l 0.263l 0.088l 0.278l 0.444l 1 0.50.5 FN（2） 求 5-5、圖乘法、圖乘法 一、圖乘法的適用條件一、圖乘法的適用條件 計(jì)算彎曲變形引起的位移時(shí)，要求下列積分：計(jì)算彎曲變形引起的位移時(shí)，要求下列積分： ds EI MM P 符合下列條件時(shí)，積分運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為圖乘運(yùn)算，比較符合下列條件時(shí)，積分運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為圖乘運(yùn)算，比較 簡(jiǎn)便。適用條件為：簡(jiǎn)便。適用

32、條件為： （1）、桿軸為直線；）、桿軸為直線； （2）、桿段）、桿段 EI = 常數(shù)；常數(shù)； （3）、）、M和和MP中至少有一個(gè)是直線圖形。中至少有一個(gè)是直線圖形。 二、圖乘公式二、圖乘公式 圖示為圖示為AB桿的兩個(gè)彎矩桿的兩個(gè)彎矩 圖。圖。 M為直線圖形，為直線圖形， MP 為任為任 意圖形。意圖形。 該桿截面抗彎剛度該桿截面抗彎剛度EI=常數(shù)。常數(shù)。 O O MP圖圖 M圖圖 由由M圖可知：圖可知： M= y= x tan dx dA=MPdx y x C xC yC A B 1 P P MM dsMM dx EIEI 1 tan P xM dx EI 1 tanxdA EI C xdAA

33、 x = xC tana=yC =(M MP /EI)ds= 由此可見，當(dāng)滿足上述三個(gè)條件時(shí)，積分式由此可見，當(dāng)滿足上述三個(gè)條件時(shí)，積分式 的值的值就等于就等于MP圖的面積圖的面積A乘其形心所對(duì)應(yīng)乘其形心所對(duì)應(yīng)M 圖上的豎標(biāo)圖上的豎標(biāo)yC，再除以，再除以EI。 正負(fù)號(hào)規(guī)定：正負(fù)號(hào)規(guī)定： A與與yC在基線的同一側(cè)時(shí)為正，反之為負(fù)。在基線的同一側(cè)時(shí)為正，反之為負(fù)。 A xC tana 1 EI AyC 1 EI 三、應(yīng)用圖乘法計(jì)算位移時(shí)的幾點(diǎn)注意三、應(yīng)用圖乘法計(jì)算位移時(shí)的幾點(diǎn)注意 1、應(yīng)用條件：、應(yīng)用條件： 桿段必須是分段等截面；桿段必須是分段等截面；EI不能是不能是x的函數(shù)；的函數(shù)； 兩圖形中必

34、有一個(gè)是直線圖形，兩圖形中必有一個(gè)是直線圖形，yC取自直線圖取自直線圖 形中。形中。 2、正負(fù)號(hào)規(guī)定：、正負(fù)號(hào)規(guī)定： A與與yC同側(cè)，乘積同側(cè)，乘積 A yC取正；取正； A與與yC不同側(cè)，不同側(cè)， 則乘積則乘積A yC取負(fù)。取負(fù)。 3、幾種常用圖形的面積和形心位置：、幾種常用圖形的面積和形心位置： 見書見書P.72。 曲線圖形要注意圖形頂點(diǎn)位置。曲線圖形要注意圖形頂點(diǎn)位置。 4、如果兩個(gè)圖形均為直線圖形，則標(biāo)距、如果兩個(gè)圖形均為直線圖形，則標(biāo)距yC 可取自任何一個(gè)圖形?？扇∽匀魏我粋€(gè)圖形。 5、當(dāng)、當(dāng)yC所屬圖形是由所屬圖形是由 幾段直線組成的折線圖形，幾段直線組成的折線圖形， 則圖乘應(yīng)分段

35、進(jìn)行。在折則圖乘應(yīng)分段進(jìn)行。在折 點(diǎn)處分段圖乘，然后疊加。點(diǎn)處分段圖乘，然后疊加。 A1 y1 A2 y2 A3 y3 當(dāng)桿件為階段變化桿當(dāng)桿件為階段變化桿 件時(shí)（各段件時(shí)（各段EI=常數(shù)），應(yīng)常數(shù)），應(yīng) 在突變處分段圖乘，然后疊在突變處分段圖乘，然后疊 加。加。 6、把復(fù)雜圖形分為簡(jiǎn)單圖形、把復(fù)雜圖形分為簡(jiǎn)單圖形 （使其易于計(jì)算面積和判斷形心位置）（使其易于計(jì)算面積和判斷形心位置） 取作面積的圖形有時(shí)是不規(guī)則圖形，面積取作面積的圖形有時(shí)是不規(guī)則圖形，面積 的大小或形心的位置不好確定。可考慮把圖形的大小或形心的位置不好確定。可考慮把圖形 分解為簡(jiǎn)單圖形（規(guī)則圖形）分別圖乘后再疊分解為簡(jiǎn)單圖形（

36、規(guī)則圖形）分別圖乘后再疊 加。加。 （1）、如兩圖形均為梯）、如兩圖形均為梯 形，不必求梯形形心，可將形，不必求梯形形心，可將 其分解為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形進(jìn)其分解為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形進(jìn) 行計(jì)算。行計(jì)算。 A B C D a b MP l c d M C1 yC1 C2 yC2 A C D MP C1 a A D B b MP C2 MP=MP+MP =(1/EI)MMPds =(1/EI) M(MP+MP)ds =(1/EI)(al/2)yC1+(bl/2) yC2 = l 6EI (2ac+2bd+ab+bc) (2)、左圖也可分為兩個(gè)、左圖也可分為兩個(gè) 標(biāo)準(zhǔn)三角形，進(jìn)行圖乘運(yùn)標(biāo)準(zhǔn)三角形，進(jìn)行圖乘運(yùn)

37、 算。算。 AB C D a b MP c d M l C1 yC1 yC2 C2 C1 a b C2 MP MP =(1/EI)(al/2)yC1+(bl/2) yC2 其中其中: yC1=2c/3 - d/3 yC2=2d/3 - c/3 = l 6EI (2ac+2bd-ab-bc) （3）、一般情況 右圖所示為某一 段桿(AB)的MP圖?？?將此圖分解為三個(gè)圖 形，均為標(biāo)準(zhǔn)圖形， 然后與M圖圖乘，圖 乘后疊加。 四、示例 例1、求懸臂梁中點(diǎn)C的撓度 CV，EI=常數(shù)。 解： （1）、設(shè)虛擬力狀態(tài)如圖， 作M和MP。由于均為直線圖形， 故AP可任取。 FP l/2l/2 CV FP MP

38、 FP l 1l/2 M A 5FP l/6 M: A=1/2l/2l/2=l2/8 MP: yC=5/6FP l CV=AyC /EI =(l2/85/6FP l)/EI =5FP l3/48EI () (2)、討論 若： AP=1/2FPll=Pl2/2 yC=1/3l/2=l/6 CV=APyC /EI =(FPl2/2l/6)/EI =FP l3/12EI() 對(duì)否？錯(cuò)在哪里？ FP l/2l/2 CV FP MP FP lAP 1l/2 M l/6 FP l/2l/2 CV FP AP 1l/2 3、正確的作法、正確的作法 AP1=1/2FP ll/2=FP l2/4 y1=l/3

39、AP2=1/2FP l/2l/2=FP l2/8 y2=l/6 AP3=1/2FP l/2l/2=FP l2/8 y3=0 FP l CV=APyC/EI =(FP l2/4l/3+ FP l2/8 l/6+FP l2/8 0)/EI =5FP l3/48EI () 60kN 12kN 例例: 圖示剛架，用圖示剛架，用 圖乘法求圖乘法求B端轉(zhuǎn)角端轉(zhuǎn)角 B ; CB桿中點(diǎn)桿中點(diǎn)D的的 豎向線位移豎向線位移DV。 各桿各桿EI=常數(shù)。常數(shù)。 EI=常數(shù) 解解: 1、作荷載作用下結(jié)構(gòu)的彎矩圖。、作荷載作用下結(jié)構(gòu)的彎矩圖。 72kN 72kN 12kN 252 45 90 MP圖 (kNm) 2、作虛

40、擬力狀態(tài)下的圖M。 M=11 M 3、求B。圖乘時(shí)注意圖形分塊。 C1 C2 y1 y2 C3 C4 y3 y4 252 45 90 MP圖 (kNm) 1 4、作虛擬力狀態(tài)下的圖M。 5、求CV，圖乘時(shí)注意圖形分塊。 3 M (m) 81 C1 C2 C3 C4 C5 y1 y2 y3 y4 y5 45/4 例：例： q=16kN/m 64kNm 64kNm 16kNm 16kNm 求鉸求鉸C左右截面相左右截面相 對(duì)轉(zhuǎn)角對(duì)轉(zhuǎn)角C。 各桿各桿 EI=5104 kNm2 。 解：解： 作荷載作用下的彎矩作荷載作用下的彎矩 圖；虛擬力作用下的彎矩圖；虛擬力作用下的彎矩 圖。圖。 （注意：（注意：斜

41、桿彎矩斜桿彎矩 圖的做法；圖的做法；各彎矩圖的各彎矩圖的 單位。）單位。） 32 32 C=2(1/2805)(2/35/8)+(1/2805)(2/35/8+1/31) -(2/3325)(1/25/8+1/21)/EI kNm m kN/m2 =0.005867 （弧度） 方向與虛擬力方向一致。 5-6、靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算、靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算 平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式 6)-(6 dsMdsFdsF QN K 在此：在此：， 由溫度作用引起。由溫度作用引起。 注意靜定結(jié)構(gòu)特征：注意靜定結(jié)構(gòu)特征： 組成：無多余約束的幾何不變體系； 靜力

42、：溫度作用下靜定結(jié)構(gòu)無反力、內(nèi)力； 桿件有變形，結(jié)構(gòu)有位移。 溫度作用時(shí)由于材料熱脹冷縮，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變溫度作用時(shí)由于材料熱脹冷縮，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變 形和位移。形和位移。 1、溫度變化時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)：、溫度變化時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)： （1）、有變形（熱脹冷縮）、有變形（熱脹冷縮） 均勻溫度改變（軸向變形）；均勻溫度改變（軸向變形）； 不均勻溫度改變（彎曲、軸向變形）；不均勻溫度改變（彎曲、軸向變形）； 無剪切變形。無剪切變形。 （2）、無反力、內(nèi)力。）、無反力、內(nèi)力。 2、微段由于溫度改變產(chǎn)生的變形計(jì)算、微段由于溫度改變產(chǎn)生的變形計(jì)算 設(shè)溫度沿截面厚度直線變化。設(shè)溫度沿截面厚度直線變化。 （1）軸向伸

43、長(zhǎng)（縮短）變形：）軸向伸長(zhǎng)（縮短）變形： 設(shè)桿件上邊緣溫度升高設(shè)桿件上邊緣溫度升高t10，下，下 邊緣升高邊緣升高t20。形心處軸線溫度：。形心處軸線溫度： t0 =(h1t2+h2t1)/h （截面不對(duì)稱于形心）（截面不對(duì)稱于形心） t0 =(t2+t1)/2 （截面對(duì)稱于形心）（截面對(duì)稱于形心） du = ds = t0 ds 材料線膨脹系數(shù)。材料線膨脹系數(shù)。 ds 形心軸形心軸 +t1 +t2 t0 h h1 h2 t1ds t2ds du d (2)、由上下邊緣溫差產(chǎn)生的彎曲變形： 上下邊緣溫差 t = t2 t1 d= ds = (t2-t1)ds/h= t ds /h （3）溫度作

44、用不產(chǎn)生剪切變形 ds =0 3、溫度作用時(shí)位移計(jì)算公式 0 (6-28a) N t Ft dsMds h 0 ds (6-28b) N t tFdsM h 如t0，t和h沿每桿桿長(zhǎng)為常數(shù)，則： 正負(fù)號(hào)：比較虛擬狀態(tài)的變形與實(shí)際狀態(tài) 中由于溫度變化引起的變形，若兩者變形方向相 同，則取正號(hào)，反之，則取負(fù)號(hào)。 剛架（梁）中由溫度變化引起的軸向變形 不可忽略。 例： 圖示剛架，施工 時(shí)溫度為200C，試 求冬季當(dāng)外側(cè)溫度 為-100C，內(nèi)側(cè)溫度 為00C時(shí)，點(diǎn)A的豎 向位移AV，已知 =10-5，h=40cm （矩形截面）。 l=4m l=4m A 00C -100C 外側(cè)溫度改變：t1= - 1

45、0 20 = - 300 內(nèi)側(cè)溫度改變：t2 = 0 20 = - 200 -300C -200C l=4m l=4m A -300C -200C FP=1 FN FN=0 FN= -1 FP=1 l M t0=(t1+t2)/2=（ -3020）/2= - 250 t= t2 - t1= - 20 -（- 30）=100 AV= (-25) (-1) l+(-)10/h (1/2ll+ll) = - 0.5 cm ( ) 提問： （1）、若當(dāng)結(jié)構(gòu)某些桿件發(fā)生尺寸制造 誤差，要求結(jié)構(gòu)的位移，應(yīng)如何處理？ 應(yīng)根據(jù)位移計(jì)算的一般公式進(jìn)行討論。 特點(diǎn)：除有初應(yīng)變（制造誤差）的桿件外， 其余桿件不產(chǎn)生

46、任何應(yīng)變。在有初應(yīng)變的桿件 中找、即可。 dsFdsFdsMQN （2）、靜定結(jié)構(gòu)由荷載、溫度改變、支 座移動(dòng)、尺寸誤差、材料漲縮等因素共 同作用下，產(chǎn)生的位移應(yīng)如何計(jì)算？ 可先分開計(jì)算，在進(jìn)行疊加 4-11 線性變形體系的互等定理線性變形體系的互等定理 狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài) 一、功的互等定理 貝蒂（ E. Betti 意 18231892）定理 FP1 FP1 FR1 FP2 21 12 12 dsds 令狀態(tài)上的力系在狀態(tài)的位移上作虛功 (a) ds EI MM ds GA kFF ds EA FF W QQ NN 21 21 21 12 令狀態(tài)上的力系在狀態(tài)的位移上作虛功 (b) ds EI M

47、M ds GA kFF ds EA FF W QQ NN 12 12 12 21 比較（a）、（b）兩式，知： W12=W 21 （6-66） FP112= FP221 或?qū)憺椋?功的互等定理。 在任一線性變形體系中，第 一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)位移上作 的虛功W12，等于第二狀態(tài)上的 外力在第一狀態(tài)上作的虛功W21。 應(yīng)用時(shí)注意： 廣義力 廣義位移 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 由：W12=FP112 ， W21=FP221 有：W12=W21， FP112=FP212 FP1 12 2 M2M2 1 2112 功的互等定理應(yīng)用條件： （1）材料彈性，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。 （2）小變形，不影響力的作用。即 為線性彈性體系。 思考： 功的互等定理必須應(yīng)用于線性彈性體系，為 什么？ 功的互等定理應(yīng)用條件與虛功原理有何不同？ 二、位移互等定理 （位移影響系數(shù)互等） 位移互等定理（Maxwell定理） 功的互等定理的一個(gè)特殊情況。 位移互等定理： 在任一線性彈性體系中，由荷載FP1 所引起的與荷載FP2相應(yīng)的位移影