第九章 matlab符號計算

1、2021-6-231 第九章第九章 MATLABMATLAB符號計算符號計算 2021-6-232 n 符號對象符號對象 n 符號微積分符號微積分 n 級數(shù)級數(shù) n 符號方程求解符號方程求解 符號運算入門符號運算入門 n自然科學(xué)理論分析中各種各樣的公式、關(guān)自然科學(xué)理論分析中各種各樣的公式、關(guān) 系式及其推導(dǎo)是符號運算要解決的問題，系式及其推導(dǎo)是符號運算要解決的問題， 它與數(shù)值運算一樣，都是科學(xué)計算研究的它與數(shù)值運算一樣，都是科學(xué)計算研究的 重要內(nèi)容。重要內(nèi)容。數(shù)值運算的對象是數(shù)值數(shù)值運算的對象是數(shù)值，而符，而符 號運算的對象則是非數(shù)值的符號對象。所號運算的對象則是非數(shù)值的符號對象。所 謂符號對象

2、就是指代表非數(shù)值的符號字符謂符號對象就是指代表非數(shù)值的符號字符 串。下面列舉一些實例來具體說明。串。下面列舉一些實例來具體說明。 2021-6-233 2021-6-234 examp9_1_1examp9_1_1 2021-6-235 examp9_2_1examp9_2_1 2021-6-236 examp9_3_1examp9_3_1 2021-6-237 examp9_4_2examp9_4_2 9.1 符號對象的創(chuàng)建和使用符號對象的創(chuàng)建和使用 9.1.1 創(chuàng)建符號對象和表達式創(chuàng)建符號對象和表達式 作為符號對象的符號常量、符號變量、符作為符號對象的符號常量、符號變量、符 號函數(shù)以及符號

3、表達式，可以使用號函數(shù)以及符號表達式，可以使用 sym(),syms()加以規(guī)定和創(chuàng)建，利用加以規(guī)定和創(chuàng)建，利用class()可可 以測試建立的操作對象為何種操作對象類型以測試建立的操作對象為何種操作對象類型 以及是否為符號對象類型。以及是否為符號對象類型。 2021-6-238 (1) 函數(shù)命令函數(shù)命令sym() 其調(diào)用格式如下兩種：其調(diào)用格式如下兩種： S=sym(A,flag) S=sym(A,flag) 命令公式是由命令公式是由A來建立一個符號對象來建立一個符號對象S，其類，其類 型為型為sym類型。如果類型。如果A(不帶單引號不帶單引號)是一個數(shù)是一個數(shù) 字、數(shù)值矩陣或數(shù)值表達式，則

4、輸出是將數(shù)字、數(shù)值矩陣或數(shù)值表達式，則輸出是將數(shù) 值對象轉(zhuǎn)換成符號對象。如果值對象轉(zhuǎn)換成符號對象。如果A（帶單引號帶單引號） 是一個字符串，輸出則是將字符串轉(zhuǎn)換成的是一個字符串，輸出則是將字符串轉(zhuǎn)換成的 符號對象。符號對象。 2021-6-239 a. 其中其中flag為轉(zhuǎn)換的符號對象應(yīng)該符合的格式。為轉(zhuǎn)換的符號對象應(yīng)該符合的格式。 如果轉(zhuǎn)換的對象為數(shù)值對象，如果轉(zhuǎn)換的對象為數(shù)值對象，flag可以有如下選可以有如下選 擇：擇： nd-最接近的十進制浮點精確表示；最接近的十進制浮點精確表示； ne-帶帶(數(shù)值計算時數(shù)值計算時)估計誤差的有理表示；估計誤差的有理表示； nf-十六進制浮點表示；十六

5、進制浮點表示； nr-為缺省設(shè)置時，最接近有理表示的形式為缺省設(shè)置時，最接近有理表示的形式 2021-6-2310 b. 對于被轉(zhuǎn)換對象為字符串時，對于被轉(zhuǎn)換對象為字符串時，flag有如下幾有如下幾 種選項：種選項： npositive-限定限定A為正的實型符號變量為正的實型符號變量 nreal-限定限定A為實型符號變量為實型符號變量 nunreal-限定限定A為非實型符號變量為非實型符號變量 2021-6-2311 (2) 函數(shù)命令函數(shù)命令syms() 其調(diào)用格式為：其調(diào)用格式為： Syms s1 s2 s3 flag; 該命令可以建立該命令可以建立3個或多個符號對象個或多個符號對象 (3)

6、 函數(shù)命令函數(shù)命令class() 其調(diào)用格式如下其調(diào)用格式如下 str=class(object) 此命令將返回對象的數(shù)據(jù)類型此命令將返回對象的數(shù)據(jù)類型 2021-6-2312 1. 符號常量（符號常量（nex9_1） 符號常量是一種符號對象。數(shù)值常量如果符號常量是一種符號對象。數(shù)值常量如果 作為函數(shù)命令作為函數(shù)命令sym()的輸入?yún)⒘?，這就建立一的輸入?yún)⒘?，這就建立一 個符號對象個符號對象符號常量。雖然看上去是一符號常量。雖然看上去是一 個數(shù)值量，但已是一個符號對象了?？梢杂脗€數(shù)值量，但已是一個符號對象了?？梢杂?class()檢測其數(shù)據(jù)類型。檢測其數(shù)據(jù)類型。 2021-6-2313 2.

7、符號變量符號變量(nex9_2_2,nex9_2_3) 符號變量是內(nèi)容可變的符號對象。符號變量是內(nèi)容可變的符號對象。符號變符號變 量通常是指一個或幾個特定的字符，不是指量通常是指一個或幾個特定的字符，不是指 符號表達式，甚至可以將一個符號表達式賦符號表達式，甚至可以將一個符號表達式賦 值給一個符號變量值給一個符號變量。符號變量有時也稱自由。符號變量有時也稱自由 變量。符號變量與數(shù)值變量名稱的命名相同變量。符號變量與數(shù)值變量名稱的命名相同 例：用函數(shù)命令例：用函數(shù)命令sym()和和syms()建立符號變量建立符號變量 a、b、c 2021-6-2314 3. 符號表達式、符號函數(shù)與符號方程符號表

8、達式、符號函數(shù)與符號方程 符號表達式是由符號常量、符號變量、符號符號表達式是由符號常量、符號變量、符號 函數(shù)運算符以及專用函數(shù)連接起來的符號對象函數(shù)運算符以及專用函數(shù)連接起來的符號對象 。符號表達式有兩類：符號函數(shù)與符號方程，符號表達式有兩類：符號函數(shù)與符號方程， 符號函數(shù)不帶等號，而符號方程是帶等號的符號函數(shù)不帶等號，而符號方程是帶等號的。 例例：用命令創(chuàng)建符號函數(shù)（：用命令創(chuàng)建符號函數(shù)（nex9_3） 用函數(shù)命令用函數(shù)命令sym()創(chuàng)建符號方程創(chuàng)建符號方程(nex9_4) 2021-6-2315 4. 符號矩陣符號矩陣 元素是符號對象的矩陣叫做符號矩陣，符號元素是符號對象的矩陣叫做符號矩陣

9、，符號 矩陣既可以構(gòu)成符號矩陣函數(shù)，也可以構(gòu)成矩陣既可以構(gòu)成符號矩陣函數(shù)，也可以構(gòu)成 符號矩陣方程，它們都是符號表達式。符號矩陣方程，它們都是符號表達式。 例：建立符號矩陣（例：建立符號矩陣（nex9_5） 由例子可以看出，創(chuàng)建符號矩陣的方法可以由例子可以看出，創(chuàng)建符號矩陣的方法可以 概括為兩種，概括為兩種，sym()指令直接輸入法指令直接輸入法，如，如m1的的 實現(xiàn)；實現(xiàn)；數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)換法數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)換法，如，如m2的實現(xiàn)。的實現(xiàn)。 2021-6-2316 2021-6-2317 注：注：1. 建立符號變量和符號常量建立符號變量和符號常量 MATLAB提供了兩個建立符號對象的函數(shù)：提供了兩個建立

10、符號對象的函數(shù)： sym和和syms，兩個函數(shù)的用法不同。，兩個函數(shù)的用法不同。 (1) sym函數(shù)函數(shù)(ex9_1.m) sym函數(shù)用來建立單個符號量，一般調(diào)用函數(shù)用來建立單個符號量，一般調(diào)用 格式為：符號量名格式為：符號量名=sym(符號字符串符號字符串) 該函數(shù)可以建立一個符號量，符號字符串該函數(shù)可以建立一個符號量，符號字符串 可以是常量、變量、函數(shù)或表達式。可以是常量、變量、函數(shù)或表達式。 應(yīng)用應(yīng)用sym函數(shù)還可以定義符號常量，使用函數(shù)還可以定義符號常量，使用 符號常量進行代數(shù)運算時和數(shù)值常量進行的運符號常量進行代數(shù)運算時和數(shù)值常量進行的運 算不同。算不同。 2021-6-2318 (

11、2) syms函數(shù)函數(shù) 函數(shù)函數(shù)sym一次只能定義一個符號變量，使用一次只能定義一個符號變量，使用 不方便。不方便。MATLAB提供了另一個函數(shù)提供了另一個函數(shù)syms， 一次可以定義多個符號變量。一次可以定義多個符號變量。syms函數(shù)的一函數(shù)的一 般調(diào)用格式為：般調(diào)用格式為： syms 符號變量名符號變量名1 符號變量名符號變量名2 符號變符號變 量名量名n 用這種格式定義符號變量時不要在變量名用這種格式定義符號變量時不要在變量名 上加字符串分界符上加字符串分界符()，變量間用空格而不要用變量間用空格而不要用 逗號分隔。逗號分隔。 2021-6-2319 2. 建立符號表達式建立符號表達式

12、含有符號對象的表達式稱為符號表達式。含有符號對象的表達式稱為符號表達式。 建立符號表達式有以下建立符號表達式有以下3種方法：種方法： (1)利用單引號來生成符號表達式。利用單引號來生成符號表達式。 (2) 用用sym函數(shù)建立符號表達式。函數(shù)建立符號表達式。 (3) 使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達 式。式。 2021-6-2320 9.1.2 9.1.2 符號對象的基本運算符號對象的基本運算 1.基本運算符基本運算符 運算符運算符“+”、“-”、“*”、“”、 “/”、“”分別實現(xiàn)矩陣的加、減、乘、分別實現(xiàn)矩陣的加、減、乘、 左除、右除和求冪運算。左除、右除

13、和求冪運算。 運算符運算符“.+”、“.-”、“.*”、“.”、 “./”、“.”分別實現(xiàn)元素對元素的數(shù)組分別實現(xiàn)元素對元素的數(shù)組 加、減、乘、左除、右除和求冪運算加、減、乘、左除、右除和求冪運算 運算符運算符“”“”“.” 分別實現(xiàn)矩陣的共軛轉(zhuǎn)置分別實現(xiàn)矩陣的共軛轉(zhuǎn)置 和非共軛轉(zhuǎn)置。和非共軛轉(zhuǎn)置。 2. 關(guān)系運算符關(guān)系運算符 在符號對象的比較中，沒有在符號對象的比較中，沒有“大于大于”、“ 大于等于大于等于”、“小于小于”、“小于等于小于等于”的概的概 念，而只有是否念，而只有是否“等于等于”的概念。的概念。 運算符運算符“=”和和“=”分別對運算符兩邊的分別對運算符兩邊的 對象進行對象進行

14、“相等相等”、“不等不等”的比較。的比較。 2021-6-2321 3. 三角函數(shù)、雙曲函數(shù)以及它們的反函數(shù)三角函數(shù)、雙曲函數(shù)以及它們的反函數(shù) 除除atan2僅能用于數(shù)值計算外，其余的無論在僅能用于數(shù)值計算外，其余的無論在 數(shù)值計算還是符號計算中，使用方法相同。數(shù)值計算還是符號計算中，使用方法相同。 4. 對數(shù)、指數(shù)函數(shù)對數(shù)、指數(shù)函數(shù) 函數(shù)函數(shù)sqrt、exp、expm、log2、log10使用方法使用方法 相同。相同。 5. 復(fù)數(shù)函數(shù)復(fù)數(shù)函數(shù) 共軛共軛(conj)、實部、實部(real)、虛部、虛部(imag)、模、模 (abs)使用方法相同使用方法相同 6. 矩陣代數(shù)指令矩陣代數(shù)指令 di

15、ag triu tril inv det rank poly expm eig 22 9.2 任意精度數(shù)學(xué)計算（任意精度數(shù)學(xué)計算（nex9_7） 符號計算一個顯著特點是由于計算過程中不符號計算一個顯著特點是由于計算過程中不 會出現(xiàn)舍入誤差，從而可以得到任意精度的數(shù)會出現(xiàn)舍入誤差，從而可以得到任意精度的數(shù) 值解。值解。 在符號運算工具箱中有三種不同類型的算術(shù)在符號運算工具箱中有三種不同類型的算術(shù) 運算運算(nex9_6) 數(shù)值類型：浮點算術(shù)運算數(shù)值類型：浮點算術(shù)運算 有理數(shù)類型：有理數(shù)類型：Maple的精確符號計算的精確符號計算 VPA類型：類型：Maple的任意精度算術(shù)運算的任意精度算術(shù)運算

16、這三種運算各有利弊，在計算時應(yīng)根據(jù)計算精這三種運算各有利弊，在計算時應(yīng)根據(jù)計算精 度、時間、存儲空間的要求進行合理的選擇度、時間、存儲空間的要求進行合理的選擇 2021-6-23。23 n通過運算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，浮點運算是最快通過運算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，浮點運算是最快 的運算，需要計算機內(nèi)存最小，但結(jié)果不的運算，需要計算機內(nèi)存最小，但結(jié)果不 精確，存在三種舍入誤差。符號運算中的精確，存在三種舍入誤差。符號運算中的 有理數(shù)算術(shù)運算，所需要時間和內(nèi)存開銷有理數(shù)算術(shù)運算，所需要時間和內(nèi)存開銷 都是最大的，但總能產(chǎn)生精確的結(jié)果。都是最大的，但總能產(chǎn)生精確的結(jié)果。 n一般符號計算的結(jié)果都是字符串，特別是一般符號

17、計算的結(jié)果都是字符串，特別是 一些符號計算結(jié)果從形式上看來是數(shù)值，一些符號計算結(jié)果從形式上看來是數(shù)值， 但從類型上來說仍然是字符串。但從類型上來說仍然是字符串。 n要從精確解中獲得任意精度的解，并改變要從精確解中獲得任意精度的解，并改變 默認精度，把任意精度符號解變成默認精度，把任意精度符號解變成“真正真正 的的”數(shù)值解，就需要用到如下幾個函數(shù)。數(shù)值解，就需要用到如下幾個函數(shù)。 2021-6-2324 1.digits(d) 調(diào)用該函數(shù)后的近似解的精度變成調(diào)用該函數(shù)后的近似解的精度變成d位有效數(shù)位有效數(shù) 字。字。d的默認值是的默認值是32位。位。 另外，調(diào)用另外，調(diào)用digits命令，（沒參數(shù)

18、）可以得到命令，（沒參數(shù)）可以得到 當前采用的數(shù)值計算的精度當前采用的數(shù)值計算的精度 2. vpa（A,d） 求符號解求符號解A的近似解，該近似解的有效位數(shù)有的近似解，該近似解的有效位數(shù)有 參數(shù)參數(shù)d來指定。如果不指定來指定。如果不指定d，則按照一個，則按照一個 digits(d)指令設(shè)置的有效位數(shù)輸出指令設(shè)置的有效位數(shù)輸出 2021-6-2325 3. double(A) 把符號矩陣或任意精度表示的矩陣把符號矩陣或任意精度表示的矩陣A轉(zhuǎn)換成雙轉(zhuǎn)換成雙 精度矩陣。精度矩陣。 注注：對于：對于vpa函數(shù)的輸入既可以是符號對象，函數(shù)的輸入既可以是符號對象， 也可以是數(shù)值對象，而其輸出一定為符號對也

19、可以是數(shù)值對象，而其輸出一定為符號對 象象 2021-6-2326 2021-6-2327 1. 符號表達式的因式分解與展開符號表達式的因式分解與展開(ex9_2.m) MATLAB提供了符號表達式的因式分解與展提供了符號表達式的因式分解與展 開的函數(shù)，函數(shù)的調(diào)用格式為：開的函數(shù)，函數(shù)的調(diào)用格式為： factor(s)：對符號表達式：對符號表達式s分解因式。分解因式。 expand(s)：對符號表達式：對符號表達式s進行展開。進行展開。 collect(s)：對符號表達式：對符號表達式s合并同類項。合并同類項。 collect(s,v)：對符號表達式：對符號表達式s按變量按變量v合并同類合并同

20、類 項。項。 9.3 9.3 符號表達式的化簡符號表達式的化簡 2021-6-2328 2. 符號表達式的化簡符號表達式的化簡 MATLAB提供的對符號表達式化簡的函數(shù)提供的對符號表達式化簡的函數(shù) 有：有： simplify(s):應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對s進行簡化。進行簡化。 r,how=simple(S) :通過對表達式嘗試多種通過對表達式嘗試多種 不同的算法進行化簡，以尋求符號表達式不同的算法進行化簡，以尋求符號表達式S的的 最簡形式最簡形式;r為返回的簡化形式，為返回的簡化形式，how 為化簡過為化簡過 程中使用的主要方法，程中使用的主要方法，simple 函數(shù)綜合使用函數(shù)綜合使用

21、 了下列化簡方法：了下列化簡方法： simplify函數(shù)對表達式進行化簡；函數(shù)對表達式進行化簡； simple(s)： 調(diào)用調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達式進行綜合的其他函數(shù)對表達式進行綜合 化簡，并顯示化簡過程?；?，并顯示化簡過程。 2021-6-2329 Simplify函數(shù)對表達式進行化簡；函數(shù)對表達式進行化簡； radsimp函數(shù)對含根式的表達式進行化簡函數(shù)對含根式的表達式進行化簡; ; combine 函數(shù)將表達式中以求和、乘積、冪函數(shù)將表達式中以求和、乘積、冪 運算等形式出現(xiàn)的項進行合并；運算等形式出現(xiàn)的項進行合并； collect 合并同類項；合并同類項； factor 函數(shù)

22、實現(xiàn)因式分解函數(shù)實現(xiàn)因式分解; convert 函數(shù)完成表達式形式的轉(zhuǎn)換函數(shù)完成表達式形式的轉(zhuǎn)換. 2021-6-2330 3. 3. 符號表達式的替換符號表達式的替換(ex9_4.m)(ex9_4.m) MATLAB MATLAB的符號數(shù)學(xué)工具箱提供了兩個符的符號數(shù)學(xué)工具箱提供了兩個符 號表達式的替換函數(shù)號表達式的替換函數(shù)subexprsubexpr和和subs, subs, 可以可以 通過符號替換使表達式的輸出形式簡化，通過符號替換使表達式的輸出形式簡化， 以得到一個簡單的表達式。以得到一個簡單的表達式。 2021-6-2331 將表達式中重復(fù)出現(xiàn)的字符串用將表達式中重復(fù)出現(xiàn)的字符串用變量

23、變量代替代替 的函數(shù)為的函數(shù)為subexpr,其調(diào)用格式為：其調(diào)用格式為： Y,SIGMA=subexpr(S,SIGMA):此函數(shù)用變此函數(shù)用變 量量SIGMA的值的值(必須為必須為符號對象符號對象)來代替符號來代替符號 表達式（可以是矩陣）中重復(fù)出現(xiàn)的字符串，表達式（可以是矩陣）中重復(fù)出現(xiàn)的字符串， Y返回替換后的返回替換后的b結(jié)果，被替換的字符串由結(jié)果，被替換的字符串由 SIGMA返回。返回。 Y,SIGMA=subexpr(S,SIGMA):和上面形和上面形 式的不同在于第二個輸入?yún)?shù)是式的不同在于第二個輸入?yún)?shù)是字符或字符字符或字符 串串，它用來替換符號表達式中重復(fù)出現(xiàn)的字，它用來替

24、換符號表達式中重復(fù)出現(xiàn)的字 符串，其他同上。符串，其他同上。 2021-6-2332 函數(shù)函數(shù)subs是用指定符號替換符號表達式中是用指定符號替換符號表達式中 的某一特定符號，調(diào)用格式為：的某一特定符號，調(diào)用格式為： R=subs(S,old,new)， 它可用新的符號變量它可用新的符號變量 new替換原來符號表達式替換原來符號表達式S中的中的old. 當當new為為 數(shù)值形式時，顯示的結(jié)果雖然是數(shù)值，但它數(shù)值形式時，顯示的結(jié)果雖然是數(shù)值，但它 事實上是符號變量。事實上是符號變量。 2021-6-2333 4. 符號表達式與數(shù)值表達式之間的轉(zhuǎn)換符號表達式與數(shù)值表達式之間的轉(zhuǎn)換 利用函數(shù)利用函數(shù)

25、sym可以將數(shù)值表達式變換成它的可以將數(shù)值表達式變換成它的 符號表達式。符號表達式。 函數(shù)函數(shù)numeric或或eval可以將符號表達式變換可以將符號表達式變換 成數(shù)值表達式。成數(shù)值表達式。 2021-6-2334 MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號中的符號可以表示符號變量和符號 常量。常量。findsym可以幫助用戶查找一個符號表可以幫助用戶查找一個符號表 達式中的的符號變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為：達式中的的符號變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為： findsym(s,n) 函數(shù)返回符號表達式函數(shù)返回符號表達式s中的中的n個符號變量，若個符號變量，若 沒有指定沒有指定n，則返回，則返回s中的全部

26、符號變量。中的全部符號變量。 9.49.4符號表達式中變量的確定符號表達式中變量的確定(ex9_3.m)(ex9_3.m) 2021-6-2335 在在MATLAB中，以最接近中，以最接近x的順序排列默認的順序排列默認 自變量的順序，由于自變量的順序，由于i和和j通常表示虛數(shù)單位，通常表示虛數(shù)單位， 在符號運算中不能作為自變量。在符號運算中不能作為自變量。 2021-6-2336 9.5.1 9.5.1 符號極限（符號極限（nex9_8nex9_8） limit函數(shù)的調(diào)用格式為：函數(shù)的調(diào)用格式為： (1) limit(f,x,a)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。的極限值。 即計算當變

27、量即計算當變量x趨近于常數(shù)趨近于常數(shù)a時，時，f(x)函數(shù)的極函數(shù)的極 限值。限值。 (2) limit(f,a)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。由的極限值。由 于沒有指定符號函數(shù)于沒有指定符號函數(shù)f(x)的自變量，則使用該的自變量，則使用該 格式時，符號函數(shù)格式時，符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)的變量為函數(shù)findsym(f) 確定的默認自變量，即變量確定的默認自變量，即變量x趨近于趨近于a。 9.5 9.5 符號微積分符號微積分 2021-6-2337 (3) limit(f)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。符號的極限值。符號 函數(shù)函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)的變量為函數(shù)fi

28、ndsym(f)確定的默認確定的默認 變量；沒有指定變量的目標值時，系統(tǒng)默變量；沒有指定變量的目標值時，系統(tǒng)默 認變量趨近于認變量趨近于0，即，即a=0的情況。的情況。 (4) limit(f,x,a,right)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f的極限的極限 值。值。right表示變量表示變量x從右邊趨近于從右邊趨近于a。 (5) limit(f,x,a,left)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f的極限值。的極限值。 left表示變量表示變量x從左邊趨近于從左邊趨近于a。 例例9-1 求下列極限。求下列極限。 2021-6-2338 9.5.2 9.5.2 符號微分（符號微分（nex9_10nex9_10

29、） diff函數(shù)用于對符號表達式求導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)函數(shù)用于對符號表達式求導(dǎo)數(shù)。該函數(shù) 的一般調(diào)用格式為：的一般調(diào)用格式為： diff(s)：沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)：沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng) 按按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s 求一階導(dǎo)數(shù)。求一階導(dǎo)數(shù)。 diff(s,v)：以：以v為自變量，對符號表達式為自變量，對符號表達式s求求 一階導(dǎo)數(shù)。一階導(dǎo)數(shù)。 2021-6-2339 diff(s,n)：按：按findsym函數(shù)指示的默認變量對函數(shù)指示的默認變量對 符號表達式符號表達式s求求n階導(dǎo)數(shù)，階導(dǎo)數(shù)，n為正整數(shù)。為正整數(shù)。 diff(s,v

30、,n)：以：以v為自變量，對符號表達式為自變量，對符號表達式s求求 n階導(dǎo)數(shù)。階導(dǎo)數(shù)。 例例9-2 求求a t3; tcos(x) lnx對對x的一階導(dǎo)數(shù)、對的一階導(dǎo)數(shù)、對t二二 階導(dǎo)數(shù)、二階混合導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)、二階混合導(dǎo)數(shù) 2021-6-2340 9.5.3 9.5.3 符號積分符號積分 符號積分由函數(shù)符號積分由函數(shù)int來實現(xiàn)。該函數(shù)的一般來實現(xiàn)。該函數(shù)的一般 調(diào)用格式為：調(diào)用格式為： int(s)：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時， 系統(tǒng)按系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對被積函函數(shù)指示的默認變量對被積函 數(shù)或符號表達式數(shù)或符號表達式s求不定積分。求不定積分

31、。 int(s,v)：以：以v為自變量，對被積函數(shù)或符號為自變量，對被積函數(shù)或符號 表達式表達式s求不定積分。求不定積分。 2021-6-2341 int(s,v,a,b)：求定積分運算。：求定積分運算。a,b分別表示定積分別表示定積 分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間 a,b上的定積分。上的定積分。a和和b可以是兩個具體的數(shù)，可以是兩個具體的數(shù)， 也可以是一個符號表達式，還可以是無窮也可以是一個符號表達式，還可以是無窮(inf)。 當函數(shù)當函數(shù)f關(guān)于變量關(guān)于變量x在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上可積時，函上可積時，函 數(shù)返回一個定積分結(jié)果。當數(shù)返回一個定積分

32、結(jié)果。當a,b中有一個是中有一個是inf 時，函數(shù)返回一個廣義積分。當時，函數(shù)返回一個廣義積分。當a,b中有一個中有一個 符號表達式時，函數(shù)返回一個符號函數(shù)。符號表達式時，函數(shù)返回一個符號函數(shù)。 例例9-3 求積求積分（分（examp9_3_1,examp9_3_2） 2021-6-2342 9.5.4 9.5.4 積分變換積分變換 常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變 換和換和Z變換。變換。 1. 傅立葉傅立葉(Fourier)變換變換 在在MATLAB中，進行傅立葉變換的函數(shù)是：中，進行傅立葉變換的函數(shù)是： Fw=fourier(ft,t,w)：求時

33、域函數(shù)：求時域函數(shù)ft的的Fourier 變換變換Fw，ft是以是以t為自變量的時域函數(shù)，為自變量的時域函數(shù)，F(xiàn)w 是以圓頻率是以圓頻率w為自變量的頻域函數(shù)；為自變量的頻域函數(shù)； ft=ifourier(Fw,w,t)：求頻域函數(shù)：求頻域函數(shù)Fw的的Fourier 反變換。反變換。 例例9-4 求函數(shù)的傅立葉變換及其逆變換。求函數(shù)的傅立葉變換及其逆變換。 2021-6-2343 2. 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)變換變換 在在MATLAB中，進行拉普拉斯變換的函數(shù)是中，進行拉普拉斯變換的函數(shù)是: Fs=laplace(ft,t,s):求時域函數(shù)求時域函數(shù)ft的的Laplace變換變換 F

34、s，ft是以是以t為自變量的時域函數(shù)，為自變量的時域函數(shù)，F(xiàn)S是以復(fù)是以復(fù) 頻率頻率s為自變量的頻域函數(shù)；為自變量的頻域函數(shù)； ft=ilaplace(Fs,s,t):求頻域函數(shù)求頻域函數(shù)Fs的的Laplace反反 變換。變換。 例例9-5 計算計算y=x3的拉普拉斯變換及其逆變換。的拉普拉斯變換及其逆變換。 2021-6-23 44 3. Z變換變換 當函數(shù)當函數(shù)f(x)呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列f(n)時，對時，對 數(shù)列數(shù)列f(n)進行進行z變換的變換的MATLAB函數(shù)是：函數(shù)是： FZ=ztrans(fn,n,z)：求時域函數(shù)：求時域函數(shù)fn的的Z變換變換 FZ，fn是以是

35、以n為自變量的時域序列，為自變量的時域序列，F(xiàn)Z是是 以復(fù)頻率以復(fù)頻率z為自變量的頻域函數(shù)；為自變量的頻域函數(shù)； fn=iztrans(FZ,z,n)：求頻域函數(shù)：求頻域函數(shù)FZ的的Z反反 變變 換換fn。 例例9-6 求數(shù)列求數(shù)列 fn=e-2n的的Z變換及其逆變換。變換及其逆變換。 2021-6-2345 9.5.5 9.5.5 級數(shù)求和級數(shù)求和 求無窮級數(shù)的和需要符號表達式求和函數(shù)求無窮級數(shù)的和需要符號表達式求和函數(shù) symsum，其調(diào)用格式為：，其調(diào)用格式為： symsum(s,v,a,b) 其中其中s表示一個級數(shù)的通項，是一個符號表表示一個級數(shù)的通項，是一個符號表 達式。達式。v是求

36、和變量，是求和變量，v省略時使用系統(tǒng)的默省略時使用系統(tǒng)的默 認變量。認變量。a和和b是求和的開始項和末項。是求和的開始項和末項。 例例9-7 求求 2021-6-2346 9.5.6 9.5.6 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù) MATLAB提供了提供了taylor函數(shù)將函數(shù)展開為冪函數(shù)將函數(shù)展開為冪 級數(shù)，其調(diào)用格式為：級數(shù)，其調(diào)用格式為： taylor(f):計算符號表達式計算符號表達式f f在默認自變量等于在默認自變量等于0 0 處的處的5 5階階Taylor級數(shù)展開式。級數(shù)展開式。 taylor(f,n,v):計算符號表達式計算符號表達式f f在自變量在自變量v=0v=0處處 的的n-1n-1階階Ta

37、ylor級數(shù)展開式。級數(shù)展開式。 taylor(f,n,v,a):計算符號表達式計算符號表達式f f在自變量在自變量v=av=a處處 的的n-1n-1階階Taylor級數(shù)展開式級數(shù)展開式 例例9-8 求函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式。求函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式。 2021-6-23 47 9.6.1 9.6.1 符號代數(shù)方程求解（符號代數(shù)方程求解（examp9_9examp9_9） 在在MATLAB中，求解用符號表達式表示的代中，求解用符號表達式表示的代 數(shù)方程可由函數(shù)數(shù)方程可由函數(shù)solve實現(xiàn)，其調(diào)用格式為：實現(xiàn)，其調(diào)用格式為： solve(s)：s可以是符號表達式或不帶符號的字可以是符號表達式或不帶符號的字 符串，求解變量為默認變量。符串，求解變量為默認變量。 solve(s,v)：求解變量為：求解變量為v。 solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)：求解符號表達：求解符號表達 式式s1,s2,sn組成的代數(shù)方程組，求解變量分別組成的代數(shù)方程組，求解變量分別 v1,v2,vn。 9.6 9.6 符號方程求解符號方程求解 輸出的解有三種情況：輸出的解有三