淺談應(yīng)用題的教學(xué)

1、淺談應(yīng)用題的教學(xué)摘要：本文根據(jù)新課標(biāo)要求，針對在應(yīng)用題教學(xué)中所面臨的問題，以及學(xué)生的實際情況，提出了如何應(yīng)用方程（組）的思想，根據(jù)具體問題，尋找其隱含的數(shù)量之間的等量關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)元，列出方程（組），建立數(shù)學(xué)模型求解，指出數(shù)學(xué)建模的基本思想，使學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的基本思想有初步的了解，同時對華師大版七(下)第六、七章的教材給出了整合的思路與方案。關(guān)鍵詞：設(shè)元 尋找等量關(guān)系 方程（組）的思想 數(shù)學(xué)建模。 新課標(biāo)中，在談到“應(yīng)用意識”時指出：應(yīng)用意識主要表現(xiàn)在“認(rèn)識到現(xiàn)實生活中蘊含著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用；面對實際問題，能主動嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)知識和方法尋求解決問題

2、的策略；面對新的數(shù)學(xué)知識，能主動地尋找其實際背景，并探索其應(yīng)用價值”。而方程、方程組都是反映現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效的數(shù)學(xué)模型，因此，新課標(biāo)中要求“能夠根據(jù)具體問題，尋找其隱含的數(shù)量之間的等量關(guān)系，列出方程（組），建立數(shù)學(xué)模型”。同時，方程（組）思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想，它始終貫穿于整個數(shù)學(xué)體系之中。因此，如何使學(xué)生在掌握方程（組）解法的基礎(chǔ)上，能夠應(yīng)用于解決實際問題顯得尤為重要；另外，應(yīng)用題的學(xué)習(xí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點之一，如何突破這一難點是教師在實際教學(xué)中必須去面對的一個現(xiàn)實問題。為此，本人將結(jié)合七（下）第六章“一元一次方程” 、第七章“二元一次方程組”的教學(xué)談?wù)勛约旱囊恍┛捶ā?首先，我認(rèn)為，

3、應(yīng)用方程（組）解決實際問題的基本思想是：笫一、只要是求未知量的問題，都可以考慮用方程（組）來解決；等二、該設(shè)元的就設(shè)元，需要設(shè)幾個元就設(shè)幾個元，然后根據(jù)具體問題，尋找其隱含的數(shù)量之間的等量關(guān)系，列出方程（組），建立數(shù)學(xué)模型；第三、求解數(shù)學(xué)模型，也即求解所列的方程（組），再檢驗、作答。 其次，學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的最大困惑是：（1）無法找出問題中所存在的等量關(guān)系；（2）無法確定問題中究竟該設(shè)幾個未知數(shù)。而這兩點正是解決問題的關(guān)鍵所在，處理好這兩個困惑也就突破了教學(xué)難點。我們應(yīng)該承認(rèn)一個事實，就是學(xué)生的閱讀水平有限。因此，在審題時也就不易去理解題意，找出問題中隱含的數(shù)量之間的關(guān)系。這不僅需要我們數(shù)學(xué)老

4、師的努力，也需要語文老師的鼎力相助。但是在解決“是否需要設(shè)元，應(yīng)該設(shè)幾個元，是直接設(shè)元，抑或是間接設(shè)元”這一問題時，就需要我們數(shù)學(xué)老師來解決。我們希望，也要求學(xué)生形成這么一種數(shù)學(xué)思想：只要是求未知量的問題，都可以考慮用方程（組）來解決，不僅是現(xiàn)在懂得用方程（組）的思想來解決問題，在今后也要懂得用方程（組）思想來解決問題；不僅是在代數(shù)中懂得用方程（組）的思想來解決問題，在幾何中也要懂得用方程（組）思想來解決問題。不僅是在數(shù)學(xué)中懂得用方程（組）的思想來解決問題，在其它學(xué)科中，比如物理或化學(xué)也要懂得用方程（組）思想來解決問題。綜上所述，七（下）中的第六章與第七章的教學(xué)也就顯得尤為重要。在華師大版七（

5、下）的第六章與第七章的教材中，有這樣一個情況：第六章中的有些問題若用列方程組（即設(shè)二元）來處理，學(xué)生較容易理解；而第七章里的有些問題則列方程（即只設(shè)一元）來解決過程更為簡潔；另外，把這兩章的應(yīng)用題部分分開學(xué)習(xí)，可能會使學(xué)生產(chǎn)生一種困惑：對所碰到的應(yīng)用題，是否需要設(shè)元？應(yīng)該設(shè)幾元？是直接設(shè)元？抑或是間接設(shè)元？是列方程？還是列方程組？尤其今后在處理求未知數(shù)的問題時，這個困惑尤為突出?，F(xiàn)列舉其中的幾例說明。例1（習(xí)題6.2.2第4題）、球的表面是由一些呈多邊形的黑、白皮塊縫合而成的，共計有32塊，已知黑色塊數(shù)比白色塊數(shù)的一半多2，問兩種皮塊各有多少？分析：這里問題要求兩個未知量，可設(shè)兩個未知量，尋找

6、兩個等量關(guān)系，列兩個方程組成方程組來求解。解：設(shè)黑、白兩種皮塊各有塊、塊，依題意得：（下略）.例2（第六章復(fù)習(xí)題b組第11題）、學(xué)校在植樹活動中種了楊樹和杉樹兩類樹種，已知種植楊樹的棵數(shù)比總數(shù)的一半多56棵，杉樹的棵數(shù)比總數(shù)的三分之一少14棵兩類樹各種了多少棵？分析：這里問題同樣要求兩個未知量，可設(shè)兩個未知量，尋找兩個等量關(guān)系，列兩個方程，組成方程組來求解。解：設(shè)楊樹和杉樹兩類樹種各種了棵、棵，依題意得：（下略）.例3（習(xí)題7.3第1題）、某市為更有效地利用水資源，制定了用水標(biāo)準(zhǔn)：如果一戶三口之家每月用水量不超過mm3，按每立方米水1.30元計算；如果超過mm3，超過部分按每立方米水2.90元

7、收費，其余仍按每立方米水1.30元計算.小紅一家三人，1月份共用水12m3，支付水費22元.問該市制定的用水標(biāo)準(zhǔn)m為多少？小紅一家超標(biāo)使用了多少立方米的水？解： 解得：這時，小紅一家超標(biāo)使用的水=12-8 = 4（立方米）.答：（略）.說明：此題盡管在第七章的“二元二次方程組” 中出現(xiàn)，但是依題意只需列一元一次方程即可求解.例4（第七章復(fù)習(xí)題a組第4題）、今年，小李的年齡是他爺爺?shù)?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)?試求出今年小李的年齡.解：設(shè)今年小李歲，則他爺爺歲，依題意得：.（下略）.這里或許會有人提出，上述的例1若只設(shè)一元不就可以解決了嗎？當(dāng)然可以，可是在第七章中也有類似的問題，

8、課本給出“設(shè)二元，列方程組”的方法來解決。比如，在第七章的例6中，問題為：某蔬菜公司收購到某種蔬菜140噸，準(zhǔn)備加工后上市銷售.該公司的加工能力是：每天可以精加工6噸或者粗加工16噸.現(xiàn)計劃用15天完成加工任務(wù)，該公司應(yīng)安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完成任務(wù)？如果每噸蔬菜粗加工后的利潤為1000元，精加工后為2000元，那么該公司出售這些加工后的蔬菜共可獲利多少元？解：設(shè)應(yīng)安排x天精加工，y天粗加工.根據(jù)題意，有（下略）.在所配套的習(xí)題也出現(xiàn)了類似的情況，比如：第六章復(fù)習(xí)題c組第18題：小趙為班級購買筆記本作晚會上的獎品回來時向生活委員小陳交賬說：“一共買了36本，有兩種規(guī)格，單價分別為

9、1.80元和2.60元去時我領(lǐng)了100元，現(xiàn)在找回27.60元”小陳算了一下，說：“你肯定搞錯了”小趙一想，發(fā)覺的確不對，因為他把自己口袋里原有的2元錢一起當(dāng)作找回的錢款給了小陳請你算一算兩種筆記本各買了多少？想一想有沒有可能找回27.60元，試應(yīng)用方程的知識給予解釋 第七章7.2練習(xí)：1、22名工人按定額完成了1400件產(chǎn)品，其中三級工每人定額200件，二級工每人定額50件.若這22名工人中只有二級工與三級工，問二級工與三級工各有多少名？2、為改善富春河的周圍環(huán)境，縣政府決定，將該河上游a地的一部分牧場改為林場.改變后，預(yù)計林場和牧場共有162公頃，牧場面積是林場面積的20%.請你算一算，完

10、成后林場、牧場的面積各為多少公頃？3、某般的載重為260噸，容積為1000m3.現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為8m3，乙種貨物每噸體積為2m3，若要充分利用這艘船的載重與容積，甲、乙兩種貨物應(yīng)各裝多少噸？（設(shè)裝運貨物時無任何空隙）. 顯然，這幾道問題既可設(shè)一元也可以設(shè)二元，但在兩章都分別出現(xiàn)，如此一來，勢必會使學(xué)生產(chǎn)生困惑：究竟何時設(shè)一元，何時設(shè)二元呢？以至無所適從，無法作出正確的選擇. 針對教材中所存在的上述情況，我對兩章的教材內(nèi)容進行整合。首先使學(xué)生熟練地掌握一元一次方程、二元一次方程組的解法，在此基礎(chǔ)上再進行應(yīng)用題的學(xué)習(xí)。為此，在第一課時，先通過一組改造后的簡單例題，給出

11、了數(shù)學(xué)建模的基本思想。問題1（課本6.1問題1的改造）我校初一年級共有328名師生，現(xiàn)在年段準(zhǔn)備組織乘車外出春游活動。（1）若已有2輛可乘坐54人的汽車，還需租用44座的客車多少輛？（2）若考慮到帶隊的老師只有8人，每位老師跟一輛車，則需租用32座與44座的客車各多少輛，使得座位剛好坐滿？思考：問題1（2）中需設(shè)幾個未知數(shù)？列幾個方程？未知數(shù)的個數(shù)與方程的個數(shù)一樣嗎？說明：這里借助了一元一次方程和二元一次方程組來解決問題。根據(jù)問題所求的未知量設(shè)未知數(shù)（設(shè)元）；根據(jù)問題所給的數(shù)量關(guān)系列出方程（組）；然后解方程（組），并把所求得的解進行檢驗，看是否符合題意；最后作答。而這解題過程實際上就是如下的過

12、程：實際問題分析建立數(shù)學(xué)模型求解數(shù)學(xué)模型解的分析與檢驗解 答注意：這里的數(shù)學(xué)模型就是我們所列出的方程或方程組，這也是解題的關(guān)鍵。而一但模型建立，剩下的求解就是數(shù)學(xué)問題了。問題2（課本7.1問題1的改造）在學(xué)?！八囆g(shù)節(jié)”活動期間，年段舉行了足球比賽，規(guī)定：勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分。我們班比賽了9場，共得17分。已知負(fù)了2場，問：勝了幾場？平了幾場？問題3（課本6.2例7的改造）學(xué)校團委組織65名新團員為學(xué)校建花壇搬磚女同學(xué)每人搬6塊，男同學(xué)每人搬8塊，每人搬了4次，共搬了1800塊問這些新團員中各有多少名男女同學(xué)？通過對課本問題的改造，把應(yīng)用方程、方程組解決實際問題的基本思想有機

13、地結(jié)合起來，使學(xué)生從整體上來認(rèn)識、理解并初步了解應(yīng)用方程、方程組來解決實際問題中求未知量的基本思想及基本步驟：（1）只要是求未知量的問題，都可以考慮用列方程（組）來解決；（2）該設(shè)元的就設(shè)元，需要設(shè)幾元就設(shè)幾元，然后根據(jù)具體問題，尋找其隱含的數(shù)量之間的等量關(guān)系，列出方程、方程組建立數(shù)學(xué)模型；（3）求解數(shù)學(xué)模型，也即求解所列的方程、方程組，再檢驗、作答。 而后，對兩章中的例題、練習(xí)、習(xí)題進行適當(dāng)?shù)臍w類、調(diào)整（因篇幅所限，不再贅述），在教學(xué)過程中，逐步地滲透數(shù)學(xué)建模的思想，但不強調(diào)應(yīng)該設(shè)幾個未知數(shù)，而是要求視具體情況而定。從而使學(xué)生在整體上來逐步地理解和掌握應(yīng)用方程、方程組來解決實際問題中求未知量

14、的基本思想及基本方法。下面是學(xué)生們對課本中的一道問題給出的幾種不同的解法，非常有創(chuàng)意，思路不拘一格。6.3 “實踐與探索”問題1用一根長60厘米的鐵絲圍成一個長方形 （1） 使長方形的寬是長的，求這個長方形的長和寬 （2） 使長方形的寬比長少4厘米，求這個長方形的面積 （3） 比較（1）、（2）所得兩個長方形面積的大小還能圍出面積更大的長方形嗎？注：這里只給出第（1）題的解答.解一：所以，長 =寬答：（略）.解二、設(shè)長方形的長為，則寬為，依題意得： .（下略）.解三、設(shè)長方形的長和寬分別為，依題意得： .（下略）.解四、設(shè)長方形的長為，寬為，依題意得： （下略）. 從上述的幾種解法不難看出，學(xué)

15、生在處理問題時，思路不再禁錮于設(shè)元或不設(shè)元，該設(shè)幾元；該列算式或方程或方程組，體現(xiàn)了整體教學(xué)對學(xué)生開拓思維的教學(xué)效果。待添加的隱藏文字內(nèi)容3最后，再列舉兩例說明應(yīng)用方程、方程組來解決實際問題中求未知量的基本思想及基本方法。例5（華師大版七下同步訓(xùn)練p314（2）班委組織部分學(xué)生騎車到郊外春游，上午9時出發(fā)，到達目的地后午餐和舉辦活動，逗留了3個小時后沿原路返回，下午3時回到學(xué)校.若途中在平路的平均速度是15千米/時，上坡的平均速度是10千米/時，下坡的平均速度是30千米/時，且在往返途中各休息了20分鐘.問：共騎了多少路程？解：設(shè)平路的路程為千米，上坡的路程為千米，下坡的路程為千米，依題意得： ，解得： 答：共騎了35千米.說明：這里涉及到平路、上坡、下坡的路程共三個未知量，但直接的等量關(guān)系只有來回所耗的總時間，設(shè)三元而只能列一個方程?？墒亲罱K的求解結(jié)果并非要求出平路、上坡、下坡的路程，此題體現(xiàn)了“該設(shè)元的就設(shè)元，需要設(shè)幾元就設(shè)幾元，然后根據(jù)具體問題，尋找其隱含的數(shù)量之間的等量關(guān)系，列出方程、方程組建立數(shù)學(xué)模型，再求解數(shù)學(xué)模型”這一基本思想。 例6（華師大版七下同步訓(xùn)練p8010