2012屆高考理科數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)圓錐曲線與方程教案

1、2012屆高考理科數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)圓錐曲線與方程教案第九圓錐曲線與方程高考導(dǎo)航考試要求重難點擊命題展望1了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實 際問題中的作用；2掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；3 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)；4了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；理解數(shù)形結(jié)合的思想；6 了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系本重點：1橢圓、雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)； 2直線與圓 錐曲線的位置關(guān)系問題；3求曲線的方程或曲線的軌跡；4數(shù)形結(jié)合 的思想，方程的思想，函數(shù)的思想，坐標(biāo)法本難點：1對圓錐曲線的定義及性質(zhì)

2、的理解和應(yīng)用；2直線與圓錐曲 線的位置關(guān)系問題；3曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系 圓錐曲線與函數(shù)、 方程、不等式、三角形、平面向量等知識結(jié)合是高考?？碱}型極有可 能以一小一大的形式出現(xiàn)，小題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法運用；解答題常作為數(shù)學(xué)高考 的把關(guān)題或壓軸題，綜合考查學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、 邏輯推理等方面的能力知識網(wǎng)絡(luò)91橢圓典例精析題型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點 P到兩焦點的距 離分別為43和23，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程【解析】由橢圓的定義知，2a= 43+ 23= 2,故a=,由

3、勾股定理得，(43)2 (23)2 = 42,所以 2 = 3, b2= a2-2= 103, 故所求方程為x2+ 3210= 1或3x210 + 2= 1【點撥】(1)在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，常用待定系數(shù)法，但是當(dāng)焦點所在坐標(biāo)軸不確定時，需要考慮兩種情形，有時也可設(shè)橢圓的統(tǒng)一方程形式：x2 + n2= 1(0， n0 且工n)(2)在求橢圓中的a、b、時，經(jīng)常用到橢圓的定義及解三角形的知識【變式訓(xùn)練1】已知橢圓1的中心在原點、焦點在x軸上，拋物線2的頂點在原點、焦點在x軸上小明從曲線1, 2上各取若干個點 侮條曲線上至少取兩個點)，并記錄其坐標(biāo)(x，)由于記錄失誤，使得其中 恰有一個點既不在橢

4、圓1上，也不在拋物線2上小明的記錄如下：據(jù) 此，可推斷橢圓1的方程為【解析】方法一：先將題目中的點描出，如圖，A( 2,2), B( 2, 0),(0, 6), D(2, 22), E(22, 2), F(3, 23)通過觀察可知道點F, D可能是拋物線上的點而 A , E是橢圓上的 點，這時正好點B既不在橢圓上，也不在拋物線上顯然半焦距b= 6,則不妨設(shè)橢圓的方程是x2+ 26= 1,則將點A( 2,2)代入可得=12,故該橢圓的方程是 x212 + 26= 1方法二：欲求橢圓的解析式，我們應(yīng)先求出拋物線的解析式，因為拋 物線的解析式形式比橢圓簡單一些不妨設(shè)有兩點 21 = 2px1， 22

5、 = 2px2， 2122= x1x2,則可知B( 2, 0), (0, 6)不是拋物線上的點而 D(2， 22), F(3, 23)正好符合又因為橢圓的交點在x軸上，故B( 2, 0), (0, 6)不 可能同時出現(xiàn) 故選用A( 2,2), E(22, 2)這兩個點代入，可得橢圓的方程是 x212+ 26= 1題型二 橢圓的幾何性質(zhì)的運用【例2】已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，/ F1PF2(1)求橢圓離心率的范圍;=60(2)求證：AF1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為x2a2 + 2b2= 1(ab0), |PF1|=, |PF2|=n,在 A

6、F1PF2 中，由余弦定理可知42 = 2 + n2-2ns 60 因為+ n = 2a,所以 2+ n2= (+n)2 2n= 4a2-2n,所以 42= 4a2- 3n,即 3n = 4a2 42又nw + n2)2= a2(當(dāng)且僅當(dāng)=n時取等號)，所以 4a2 42 14即e 12所以e的取值范圍是12 , 1)由(1)知 n= 43b2,所以 =12nsin 60 =33b2,即AF1PF2的面積只與橢圓的短軸 長有關(guān)【點撥】橢圓中AF1PF2往往稱為焦點三角形，求解有關(guān)問題時，要 注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍時，要特別注意橢圓定 義(或性質(zhì))與不等式的聯(lián)合使用，如|PF1

7、| |PF2| (|PF12) + (|PF2|- 12)= |PF1|+ |PF2|- 1 = 9所以|PQ|+ |PR|的最小值為9題型三有關(guān)橢圓的綜合問題【例3】(2010全國新標(biāo))設(shè)F1, F2分別是橢圓E: x2a2+ 2b2= 1(ab 0)的左、右焦點，過F1斜率為1的直線I與E相交于A , B兩點,且|AF2|, |AB|, |BF2成等差數(shù)列(1)求E的離心率；設(shè)點P(0, 1)滿足|PA|=|PB|，求E的方程【解析】(1)由橢圓定義知|AF21 + |BF2|+ |AB| = 4a,又 2|AB| = |AF2| + |BF2|,得 |AB| = 43aI的方程為=x+,

8、其中=a2 b2設(shè)A(x1 , 1), B(x2 , 2),貝S A , B兩點坐標(biāo)滿足方程組化簡得(a2 + b2)x2 + 2a2x + a2(2 b2)= 0,則 x1 + x2 = 2a2a2+ b2, x1x2 = a2(2 b2)a2 + b2因為直線 AB 斜率為 1,所以 |AB| = 2|x2 x1| = 2(x1 + x2)2 4x1x2,即 43a= 4ab2a2+ b2,故 a2= 2b2,所以E的離心率e= a= a2 b2a= 22(2 )設(shè) AB 的中點為 N(x0, 0),由(1)知 x0 = x1 + x22= a2a2+ b2=23, 0=x0 + = 3由

9、 |PA= |PB|PN= 1,即卩 0+ 1x0 = 1 = 3從而a= 32, b = 3,故E的方程為x218 + 29= 1【變式訓(xùn)練3】已知橢圓x2a2 + 2b2= 1(a b0)的離心率為e,兩焦點為F1, F2,拋物線以F1為頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個交點，若|PF1|PF牛e,貝S e的值是()A32B3322D63【解析】設(shè)F1(-,0), F2(,0), P(xO, 0),則橢圓左準(zhǔn)線x =-a2,拋 物線準(zhǔn)線為x=3, x0 ( a2)= x0- (-3)2a2= 13e= 33故選 B總結(jié)提咼1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，其結(jié)構(gòu)簡單，形式對稱且系數(shù)的幾何 意義明

10、確，在解題時要防止遺漏確定橢圓需要三個條，要確定焦點在哪條坐標(biāo)軸上(即定位)，還要確定a、 b的值(即定量)，若定位條不 足應(yīng)分類討論，或設(shè)方程為 x2 + n2= 1(0, n0,工r求解 2充分利用定義解題，一方面，會根據(jù)定義判定動點的軌跡是橢圓， 另一方面，會利用橢圓上的點到兩焦點的距離和為常數(shù)進行計算推理 3焦點三角形包含著很多關(guān)系，解題時要多從橢圓定義和三角形的幾 何條入手，且不可顧此失彼，另外一定要注意橢圓離心率的范圍92雙曲線典例精析題型一 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】已知動圓E與圓A : (x + 4)2 + 2= 2外切，與圓B: ( x - 4)2+ 2 = 2內(nèi)切，求動

11、圓圓心E的軌跡方程【解析】設(shè)動圓E的半徑為r，則由已知|AE| = r + 2, |BE|=r 2,所以 |AE|-|BE|= 22，又 A( - 4,0), B(4,0)，所以 |AB| = 8,22v |AB| 根據(jù)雙曲線定義知，點E的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支因為 a= 2,= 4,所以 b2= 2-a2= 14,故點E的軌跡方程是X22 214= 1(x 2)【點撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出 E點滿足的 幾何條，結(jié)合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支【變式訓(xùn)練1】P為雙曲線x29 216= 1的右支上一點，N分別是圓(x + )2 + 2 = 4

12、 和(x )2 + 2= 1上的點，貝S |P-|PN|的最大值為()A6B78D9【解析】選D題型二 雙曲線幾何性質(zhì)的運用【例2】雙曲線：x2a22b2= 1(a0, b0)的右頂點為A , x軸上有一點Q(2a,0),若上存在一點P,使=0,求此雙曲線離心率的取值范圍【解析】設(shè)P(x,),則由=0,得APIPQ,則P在以AQ為直徑的圓上，即(x 3a2)2 + 2= (a2)2,又P在雙曲線上，得x2a2 2b2= 1,由消去，得(a2 + b2)x2 3a3x+ 2a4 a2b2= 0,即(a2 + b2)x (2a3 ab2)(x a)= 0,當(dāng)x = a時，P與A重合，不符合題意，舍

13、去；當(dāng)x= 2a3 ab2a2+ b2時，滿足題意的點 P存在，需x=2a3 ab2a2+ b2 a,化簡得 a22b2，即 3a2 22, av 62,所以離心率的取值范圍是(1, 62)【點撥】根據(jù)雙曲線上的點的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式， 是求離心率的取值范圍的常用方法【變式訓(xùn)練2】設(shè)離心率為e的雙曲線：x2a2-2b2= 1(a0, b0) 的右焦點為F,直線I過焦點F,且斜率為，則直線I與雙曲線的左、 右兩支都相交的充要條是()A2 e2 1B2 e2v 1e22 1De2 2v 1【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率只需滿足bavv ba,即 2v b2a

14、2= 2 a2a2= e2 1,故選題型三有關(guān)雙曲線的綜合問題【例3】(2010廣東)已知雙曲線x22 2= 1的左、右頂點分別為A1、A2，點P(x1, 1), Q(x1, 1)是雙曲線上不同的兩個動點(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程；若過點H(0,h)(h 1)的兩條直線I1和I2與軌跡E都只有一個交點， 且I1丄I2，求h的值【解析】(1)由題意知|x1|2, A1( 2, 0), A2(2 , 0),則有直線A1P的方程為=1x1 + 2(x + 2),直線A2Q的方程為=1x1 2(x 2)方法一：聯(lián)立解得交點坐標(biāo)為x = 2x1 ,= 21x1，即x1 = 2x, 1=

15、2x,則 x工0 |x|v 2而點P(x1, 1)在雙曲線x22- 2= 1上，所以x212-21 = 1將代入上式，整理得所求軌跡E的方程為x22 + 2= 1,x0且xm2方法二：設(shè)點(x,)是A1P與A2Q的交點，X得2=-21x21-2(x2 2)又點P(x1, 1)在雙曲線上，因此x212-21= 1, 即卩21 = x212- 1代入式整理得x22 + 2= 1因為點P, Q是雙曲線上的不同兩點，所以它們與點 A1 , A2均不重 合故點A1和A2均不在軌跡E上過點(0,1)及A2(2 , 0)的直線I的方 程為 x+ 2-2= 0解方程組 得x = 2,= 0所以直線I與雙曲線只

16、有唯一交點A2故軌跡E不過點(0,1)同理軌跡E也不過點(0,- 1)綜上分析，軌跡 E的方程為x22 + 2= 1, XM0且xm2設(shè)過點H(0, h)的直線為=x+ h(h 1),聯(lián)立 x22 + 2= 1 得(1 + 22)x2 + 4hx + 2h2-2 = 0令= 162h2-4(1 + 22)(2h2-2)= 0,得 h2- 1-22 = 0,解得 1 = h2- 12, 2=- h2- 12由于 11 丄I2，貝卩 12=- h2- 12=- 1,故 h= 3過點A1 , A2分別引直線I1 , I2通過軸上的點H(0, h),且使I1丄I2,因此 A1H 丄A2H，由 h2X-

17、 h2)=- 1,得 h= 2此時，11, I2的方程分別為=x + 2與=x+ 2,它們與軌跡E分別僅有一個交點(23, 223)與(23, 223)所以，符合條的h的值為3或2【變式訓(xùn)練3】雙曲線x2a2 2b2= 1(a0, b0)的左、右焦點分別 為F1, F2,離心率為e,過F2的直線與雙曲線的右支交于 A, B兩 點，若AF1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2等于()A1 + 22B3 + 224 22D 22【解析】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用及基本量的求解據(jù)題意設(shè) |AF1| = x，則 |AB| = x, |BF1|= 2x由雙曲線定義有 |AF1| |AF2| = 2

18、a, |BF1|BF2匸2a(|AF1| + |BF1|) (|AF2| + |BF2|)= (2 + 1)x x= 4a,即 x= 22a=|AF1|故在 RtAAF1F2 中可求得 |AF2|= |F1F2|2- |AF1|2= 42 8a2又由定義可得 |AF2|= |AF1| 2a= 22a 2a,即卩 42 8a2= 22 2a,兩邊平方整理得 2= a2( 22)2a2= e2= 22，故選D總結(jié)提咼1要與橢圓類比理解、掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，但應(yīng)特別注意不同點，女口 a, b,的關(guān)系、漸近線等2要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條當(dāng) |PF1|PF2| = 2a

19、 v|F1F2時，P的軌跡是雙曲線；當(dāng)|PF1|PF2| = 2a=|F1F2|時，P的 軌跡是以F1或F2為端點的射線；當(dāng)|PF1|PF2|= 2a|F1F2時，P無軌跡3雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時，一般先畫出漸近線， 要掌握以下兩個問題：(1) 已知雙曲線方程，求它的漸近線；(2) 求已知漸近線的雙曲線的方程如已知雙曲線漸近線= 比ax,可將雙 曲線方程設(shè)為x2a2- 2b2=入(入專再利用其他條確定 入的值，求法 的實質(zhì)是待定系數(shù)法93拋物線典例精析題型一拋物線定義的運用【例1】根據(jù)下列條，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 拋物線過點P(2,- 4);(2) 拋物線焦點F在x軸上，

20、直線=3與拋物線交于點A, |AF| =【解析】(1)設(shè)方程為2= x或x2 = n將點P坐標(biāo)代入得2 = 8x或x2 =設(shè)A(, 3),所求焦點在x軸上的拋物線為2 = 2px(p工Q) 由定義得=|AF| = |+ p2|,又(3)2 = 2p,所以 p= 或 9, 所求方程為2= !x或2 = 8x【變式訓(xùn)練1】已知P是拋物線2=2x上的一點，另一點A(a,Q) (a Q)滿足|P A= d,試求d的最小值【解析】設(shè)P(xO, 0) (xO則20 = 2x0,所以 d= |PA= (xO a)2 + 20= (xO a)2 + 2x0= xO + (1-a)2 + 2a 1因為 a0,

21、xO0所以當(dāng) Ovav 1 時，此時有 xO= 0, din = (1 a)2+2a 1 = a;當(dāng) a1 時，此時有 xO= a 1, din= 2a 1題型二直線與拋物線位置討論【例2】(2010湖北)已知一條曲線在軸右側(cè)，上每一點到點 F(1,0)的距離減去它到軸距離的差都是1(1) 求曲線的方程；(2) 是否存在正數(shù)，對于過點(,0)且與曲線有兩個交點A，B的任一直 線，都有v 0?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由【解析】(1)設(shè)P(x,)是曲線上任意一點，那么點 P(x,)滿足：(x 1)2 + 2 x= 1(x 0)化簡得2= 4x(x0)(2)設(shè)過點(,0)(0)的直

22、線I與曲線的交點為 A(x1 , 1), B(x2 , 2)設(shè)I的方程為x = t+,由 得2 4t4= 0,= 16(t2 + ) 0,于是又=(x1 1, 1),= (x2 1, 2)v 0& #8660;(x1 1)(x2 1)+ 12 = x1x2 (x1 +x2) + 1 + 12v 0 又 x = 24,于是不等式等價于 214224 + 12 (214 + 224)+ 1v 0 (12)216 + 12 14(1 + 2)2 212 + 1v 0 由式，不等式等價于2- 6 + 1v 4t2對任意實數(shù)t,4t2的最小值為0,所以不等式對于一切t成立等價于2-6+ 1V 0, 即

23、卩 3-22VV 3+ 22由此可知，存在正數(shù)，對于過點(,0)且與曲線有兩個交點 A , B的任 一直線，都有 V 0,且的取值范圍是(3- 22, 3 + 22)【變式訓(xùn)練2】已知拋物線2 = 4x的一條弦AB , A(x1 , 1), B(x2 ,2), AB所在直線與軸的交點坐標(biāo)為(0,2),貝S 11 + 12 =【解析】2 4+ 8= 0,所以 11+ 12= 1+ 212= 12題型三 有關(guān)拋物線的綜合問題【例3】已知拋物線：=2x2，直線=x+ 2交于A, B兩點，是線段AB的中點，過作x軸的垂線交于點N(1) 求證：拋物線在點N處的切線與AB平行；(2) 是否存在實數(shù)使 =

24、0?若存在，求的值；若不存在，說 明理由【解析】(1)證明：如圖，設(shè)A(x1,2x21), B(x2,2x22),把=乂+ 2 代入=2x2,得 2x2-x 2= 0,由韋達(dá)定理得x1 + x2= 2, x1x2 =- 1,所以xN =x = x1 + x22 = 4,所以點N的坐標(biāo)為(4, 28)設(shè)拋物線在點N處的切線I的方程為28 = (x 4),將=2x2代入上式，得 2x2-x + 4 28= 0,因為直線I與拋物線相切，所以 A= 2-8(4 28)= 2-2 + 2 = (-)2 = 0,所以=，即卩I / AB(2)假設(shè)存在實數(shù)，使 = 0,貝S NA丄NB ,又因為是AB的中點

25、，所以|N|= |AB|由(1)知=12(1 + 2)= 12(x1 + 2 + x2 + 2)= 12(x1 + x2) + 4 = 12(22 + 4) =24+ 2因為 N丄x 軸，所以 |N|=| N| = 24+ 2-28 = 2+ 168又 |AB| = 1 + 2& #8226;|x1 - x2|= 1 + 2& #8226;(x1 + x2)2 - 4x1x2=1 + 2(2)2 -40- 1)= 122 + 12 + 16 所以 2+ 168= 142+ 12 + 16,解得=即存在=i2,使 = 0【點撥】直線與拋 物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系； 有關(guān)拋物線的弦

26、長問題，要注意弦是否過焦點，若過拋物線的焦點， 可直接使用公式|AB| = x1 + x2 + p，若不過焦點，則必須使用一般弦 長公式【變式訓(xùn)練3】已知P是拋物線2 = 2x上的一個動點，過點P作圓(x -3)2 + 2= 1的切線，切點分別為、N，則|N|的最小值是【解析】4總結(jié)提咼1在拋物線定義中，焦點F不在準(zhǔn)線I上，這是一個重要的隱含條， 若F在I上，則拋物線退化為一條直線2掌握拋物線本身固有的一些性質(zhì)：(1)頂點、焦點在對稱軸上； 準(zhǔn)線垂直于對稱軸；(3)焦點到準(zhǔn)線的距離為p; (4)過焦點垂直于對稱軸的弦(通徑)長為2p3拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應(yīng)關(guān)

27、系求拋物線方程時，若由已知條可知曲線的類型，可采用待定系數(shù) 法4拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握但由于拋物線的離心率為1,所以拋物線的焦點有很多重要性質(zhì)，而且 應(yīng)用廣泛，例如：已知過拋物線2= 2px(p0)的焦點的直線交拋物線 于A、B兩點，設(shè)A(x1 , 1), B(x2, 2),則有下列性質(zhì)：|AB| = x1 + x2 + p 或 |AB| = 2psin2 a (為 AB 的傾斜角)，12 = p2, x1x2 = p24 等94直線與圓錐曲線的位置關(guān)系典例精析題型一 直線與圓錐曲線交點問題【例1】若曲線2= ax與直線=(a+ 1)x 1恰有一個公共點，求實

28、數(shù)a的值【解析】聯(lián)立方程組(1)當(dāng)a= 0時，方程組恰有一組解為當(dāng)a0時，消去x得a+ 1a2 1 = 0,若a+ 1a= 0,即a= 1,方程變?yōu)橐辉淮畏匠?1 = 0,方程組恰有一組解右 a+ 1aM0 即 1,令= 0,即卩 1 + 4(a + 1)a= 0,解得 a= 4,這時直線與曲線相切，只有一個公共點綜上所述，a= 0或a= 1或a= 4【點撥】本題設(shè)計了一個思維 陷阱”即審題中誤認(rèn)為azQ解答過 程中的失誤就是不討論二次項系數(shù) =0,即a= 1的可能性，從而 漏掉兩解本題用代數(shù)方法解完后，應(yīng)從幾何上驗證一下：當(dāng)a= 0時，曲線2= ax,即直線=0,此時與已知直線=x 1恰有

29、交點(1,0); 當(dāng)a= 1時，直線=1與拋物線的對稱軸平行，恰有一個交點(代 數(shù)特征是消元后得到的一元二次方程中二次項系數(shù)為零);當(dāng)a= 4時直線與拋物線相切【變式訓(xùn)練1】若直線=x 1與雙曲線x2 2 = 4有且只有一個公共 點，則實數(shù)的取值范圍為()A1 , 1, 2, 2B( , 2U 2 ,+乂)(, 1 U 1，+乂 )D(-, 1)U 2 ,+乂)【解析】由 (1 2)x2 2x = 0,=翌，結(jié)合直線過定點(0， 1)，且漸近線斜率為，可知答 案為A題型二直線與圓錐曲線的相交弦問題【例2】(2010遼寧)設(shè)橢圓：x2a2 + 2b2= 1(ab0)的右焦點為F, 過F的直線I與

30、橢圓相交于A, B兩點，直線I的傾斜角為60= 2(1) 求橢圓的離心率；(2) 如果|AB| = 14,求橢圓的方程【解析】設(shè)A(x1 , 1), B(x2 , 2),由題意知1V 0, 20(1) 直線I的方程為=3(x )，其中=a2- b2聯(lián)立得(3a2 + b2)2 + 23b2 3b4= 0解得 1 = 3b2( + 2a)3a2+ b2, 2= 3b2( 2a)3a2+ b2因為 =2，所以1 = 22,即 3b2( + 2a)3a2+ b2= 2 3b2( 2a)3a2+ b2解得離心率e= a= 23(2) 因為|AB| = 1 + 13|2 1|,所以 2343ab23a2

31、+ b2= 14由 a= 23 得 b= 3a,所以 4a= 14,即 a= 3, b =所以橢圓的方程為x29 + 2= 1【點撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長問題，以及用待定系數(shù)法求橢圓方程【變式訓(xùn)練2】橢圓ax2 + b2= 1與直線=1 x交于A, B兩點，過 原點與線段AB中點的直線的斜率為32,則ab的值為【解析】設(shè)直線與橢圓交于 A、B兩點的坐標(biāo)分別為(x1, 1), (x2,2),弦中點坐標(biāo)為(x0, 0),代入橢圓方程兩式相減得a(x1 x2)(x1 + x2) + b(1 2)(1 + 2) = 0& #868;2ax0+ 2b01 2x1 x2 = 0& #8

32、68;ax0 b0= 0故 ab= 0x0= 32題型三對稱問題【例3】在拋物線2= 4x上存在兩個不同的點關(guān)于直線I := x+ 3對 稱，求的取值范圍【解析】設(shè)A(x1 , 1)、B(x2、2)是拋物線上關(guān)于直線I對稱的兩點，由題意知工0設(shè)直線AB的方程為=一 1x+ b,聯(lián)立消去x,得142 b= 0,由題意有 A= 12 + 414b 0, 即卩 b+ 1 0(*)且 1 + 2=-4 又 1 + 22=- 1x1 + x22 + b 所以 x1 + x22= (2 +b)故AB的中點為E(2 + b),- 2)因為 I 過 E,所以一2= 2(2 + b) + 3, 即卩 b=- 2

33、-32-2代入(*)式，得2-33- 2+ 1 0& #8660;3 + 2+ 33v 0( + 1)(2 + 3)v0- 1vv 0,故的取值范圍為(1,0)【點撥】(1)本題的關(guān)鍵是對稱條的轉(zhuǎn)化 A(x1 , 1)、B(x2 , 2)關(guān)于直線I對稱，則滿足直線I與AB垂 直，且線段AB的中點坐標(biāo)滿足I的 方程；(2)對于圓錐曲線上存在兩點關(guān)于某一直線對稱，求有關(guān)參數(shù)的范圍問題，利用對稱條求出過這兩點的直線方程， 利用判別式大于零建立 不等式求解；或者用參數(shù)表示弦中點的坐標(biāo)，利U用中點在曲線內(nèi)部的 條建立不等式求參數(shù)的取值范圍【變式訓(xùn)練3】已知拋物線=-x2 + 3上存在關(guān)于x + = 0對

34、稱的兩點A , B，則 |AB|等于()A3B432D42【解析】設(shè)AB方程：=x + b,代入=x2 + 3,得x2 + x + b 3 = 0, 所以 xA +xB = 1,故 AB 中點為（12, 12+ b） 它又在x+ = 0上，所以b= 1,所以|AB| = 32,故選總結(jié)提咼1本節(jié)內(nèi)容的重點是研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判別式方法及弦 中點問題的處理方法2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解的討 論，即聯(lián)立方程組通過消去（也可以消去x）得到x的方程ax2 + bx + = 0進行討論這時 要注意考慮a= 0和aO兩種情況，對雙曲線和拋物線而言，一個公 共點的情況

35、除aQ = 0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋 物線的對稱軸平行時，都只有一個交點 （此時直線與雙曲線、拋物線 屬相交情況）由此可見，直線與圓錐曲線只有一個公共點，并不是直 線與圓錐曲線相切的充要條3弦中點問題的處理既可以用判別式法，也可以用點差法；使用點差 法時，要特別注意驗證 相交”的情形9圓錐曲線綜合問題典例精析題型一求軌跡方程【例1】已知拋物線的方程為x2 = 2, F是拋物線的焦點，過點F的 直線I與拋物線交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線I1和I2，記I1和I2交于點(1) 求證：I1丄12 ;(2) 求點的軌跡方程【解析】(1)依題意，直線I的斜率存在，設(shè)直線

36、I的方程為=x+ 12 聯(lián)立 消去整理得x2 2x 1= 0設(shè)A的坐標(biāo)為(x1,1),B的坐標(biāo)為(x2, 2),則有x1x2 = 1,將拋物線方程改寫為=12x2,求導(dǎo)得=x 所以過點A的切線I1的斜率是1 = x1,過點B的切線I2的斜率是2 =x2因為12 = x1x2= 1,所以I1丄12直線 I1 的方程為1 = 1(x x1)，即x212 = x1(x x1)同理直線I2的方程為x222= x2(x x2)聯(lián)立這兩個方程消去得 x212 x222 = x2(x x2) x1(x x1),整理得(x1 x2)(x x1 + x22) = 0,注意到x1mx2所以x = x1 + x22

37、此時=x212 + x1(x x1) = x212 + x1(x1 + x22 x1) = x1x22= 12由(1)知 x1 + x2= 2,所以 x = x1 + x22= R所以點的軌跡方程是=12【點撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一， 本題用的就是直接 法要注意 求軌跡方程”和 求軌跡”是兩個不同概念， 求軌跡”除了首 先要求我們求出方程，還要說明方程軌跡的形狀，這就需要我們對各 種基本曲線方程和它的形態(tài)的對應(yīng)關(guān)系了如指掌【變式訓(xùn)練1】已知MB的頂點為A( - ,0), B(,0), AAB的內(nèi)切圓圓心在直線x = 3上，則頂點的軌跡方程是()Ax29 216= 1Bx216 2

38、9= 1x29 216= 1(x 3)Dx216 29= 1(x 4)【解析】如圖，|AD| = |AE| = 8, |BF|=|BE|= 2, |D| = |F|,所以 |A| |B|= 8 2 = 6,根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以 A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為x29 216= 1(x3),故選題型二 圓錐曲線的有關(guān)最值【例2】已知菱形ABD的頂點A、在橢圓x2 + 32= 4上，對角線BD 所在直線的斜率為1當(dāng)/AB = 60寸，求菱形ABD面積的最大值【解析】因為四邊形ABD為菱形，所以A丄BD于是可設(shè)直線A的方程為=x+n由得 4x2 6nx+3n2 4= 0因為A，

39、在橢圓上，所以 = 12n2+ 640,解得433v nv433設(shè) A,兩點坐標(biāo)分別為(x1, 1), (x2, 2),則 x1 + x2 = 3n2, x1x2 = 3n244,1 = x1 +n, 2= x2 + n 所以 1 + 2= n2因為四邊形ABD為菱形，且/ AB = 60所以|AB| = |B|= |A|所以菱形ABD的面積S= 32|A|2又|A|2= (x1 x2)2 + (1 2)2= 3n2+ 162,所以 S= 34( 3n2+ 16) (433v nv 433) 所以當(dāng)n= 0時，菱形ABD的面積取得最大值43【點撥】建立 目標(biāo)函數(shù)”借助代數(shù)方法求最值，要特別注意

40、自變量的取值范圍在考試中很多考生沒有利用判別式求出n的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少【變式訓(xùn)練2】已知拋物線=x2 - 1上有一定點B( 1,0)和兩個動點P、 Q,若BP丄PQ,則點Q橫坐標(biāo)的取值范圍是【解析】如圖，B( 1,0)，設(shè) P(xP, x2P 1), Q(xQ , x2Q 1),由 BPPQ= 1,得 x2P 1xP + 1x2Q x2PxQxP = 1所以 xQ = xP 1xP 1 = (xP 1) 1xP 1 1因為 |xP 1+ 1xP 1|所以 xQl 或 xQ1,直線I: x 22 = 0,橢圓：x22 + 2 =1, F1, F2分別為橢圓的左、右焦點(1) 當(dāng)直線l過右焦點F2時，求直線l的方程；(2) 設(shè)直線l與橢圓交于A, B兩點，MF1F2, ABF1F2的重心分別為G, H若原點在以線段GH為直徑