等腰三角形三線合一典型題型1

1、實用標準等腰三角形三線合一 專題訓練姓名例 1：如圖，四邊形 ABCD 中， AB DC ， BE、 CE 分別平分 ABC 、BCD ，且點 E在 AD 上。求證： BC=AB+DC 。文檔，AB2，BC3，CD1，E 是 AD 邊中點。求證：CEBE。實用標準變 2 ：如圖，四邊形 ABCD 中，AD BC， E是 CD上一點，且AE、BE分別平分 BAD、ABC.1）求證： AE BE；2 ）求證： E是 CD 的中點；3）求證： AD+ BC= AB.，BAC=90 ,AB=AC. 若 D 為 BC 的中點，過 D 作 DM DN 分別變 3 ：ABC 是等腰直角三角形1）DM DN

2、。文檔實用標準若 DM DN 分別和 BA、AC 延長線交于 M 、N。問 DM 和 DN 有何數(shù)量關系。(1) 已知：如圖，AB=AC ，E為 AB 上一點， F是 AC延長線上一點，且 BE=CF ，EF交 BC于點 D求證： DE=DF 文檔實用標準(2) 已知：如圖， AB=AC ，E為 AB 上一點， F 是 AC 延長線上一點，且， EF交 BC 于點 D，且 D 為 EF 的中點 求證： BE=CF 利用面積法證明線段之間的和差關系1、如圖，在ABC 中， AB=AC ，P 為底邊 BC 上的一點， PDAB 于 D，PEAC 于 E，文檔實用標準?CFAB 于 F，那么 PD+

3、PE 與 CF 相等嗎？變1：若 P點在直線 BC上運動，其他條件不變，則 PD 、PE與 CF的關系又怎樣，請你作圖，證明文檔實用標準1、已知等腰三角形的兩邊長分別為4、9，則它的周長為(A 17 B 22 C 17 或 22D 13根據(jù)等腰三角形的性質尋求規(guī)律例 1在ABC 中， AB=AC ，1=1 ABC，2= 1 ACB，BD 與 CE 相交于點 O，如圖， BOC22的大小與 A 的大小有什么關系？11若1= ABC ，2= ACB ，則BOC 與A 大小關系如何？3311若1= ABC ，2= ACB ，則BOC 與A 大小關系如何？nn文檔實用標準會用等腰三角形的判定和性質計算

4、與證明 例 2如圖，等腰三角形 ABC 中， AB=AC ，一腰上的中線 BD?將這個等腰三角形周長分成 15 和 6 兩長部分，求這個三角形的腰長及底邊利用等腰三角形的性質證線段相等例 3如圖，P 是等邊三角形 ABC 內的一點， 連結 PA、PB、PC ，?以 BP 為邊作 PBQ=60 ，且 BQ=BP ， 連結 CQ （1）觀察并猜想 AP 與 CQ 之間的大小關系，并證明你的結論（ 2）若 PA：PB：PC=3 ：4：5，連結 PQ，試判斷 PQC 的形狀，并說明理由例 1 、等腰三角形底邊長為 5cm ，腰上的中線把三角形周長分為差是 3cm 的兩部分， 則腰長為 （ ） A、2c

5、mB、8cmC、 2cm 或 8cmD、不能確定例 2 、已知 AD 為ABC 的高， AB=AC ，ABC 周長為 20cm ，ADC 的周長為 14cm ，求 AD 的長。文檔實用標準例 3、如圖，已知 BC=3 ，ABC 和ACB 的平分線相交于點 O ，OEAB ，OF AC ，求OEF 的周長。例 4、如圖，已知等邊 ABC 中，D 為 AC 上中點，延長 BC到 E，使CE=CD ，連接 DE，試說明 DB=DE 。例 5 、等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為45 0，則這個三角形是（）A 、銳角三角形B、鈍角三角形C、等邊三角形D、等腰直角三角形例 6、（1 ）等腰三角形的腰長為

6、 10 ，底邊上的高為 6，則底邊的長為 。（ 2）直角三角形的周長為 12cm ，斜邊的長為 5cm ，則其面積為 ；（ 3）若直角三角形三邊為 1， 2，c，則 c= 。例 7、下列說法：若在 ABC 中 a2+b 2c2，則ABC 不是直角三角形； 若ABC 是直角三角形， C=90 0，則 a2+b 2=c 2； 若在 ABC 中，a2+b2=c2，則C=90 0； 若兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，可以判定這個三角形是直角三角形。 正確的有 （把你認為正確的序號填在橫線上） 。例 8、正三角形 ABC 所在平面內有一點 P ，使得PAB、PBC 、PCA 都是等腰三角形，則這樣的 P

7、 點有（ ）（A）1個（B）4 個（C）7個（D）10 個文檔實用標準例 9. 四邊形 ABCD 中， AB= BC，ABC= CDA =90 ，BEAD 于點 E，且四邊形 ABCD 的面積為 8，則 BE= （）A2B3C 2 2D 2 3例 10. 已知ABC 為正三角形， P 為其內一點， 且 AP=4 ， BP= 2 3 ， CP=2 ，則ABC 的邊長為 （ ）A） 2 5（B） 2 7（C） 4（D） 42三鞏固練習1 、已知等腰三角形的一邊等于 5 ，另一邊等于 9 ，求它的周長。2、在ABC 中， AB=AC ，B=40 0，則A=。3、等腰三角形的一個內角是 70 0，則它

8、的頂角為。4 、有一個內角為 40 的等腰三角形的另外兩個內角的度數(shù)為.140 呢5、如圖，在 RtABC中，C105 o，直線 BD交 AC于 D，把直角三角形沿著直線 BD 翻折，點 C恰好落在斜邊 AB 上，如果ABD 是等腰三角形，那么 A 等于 （ ）CD6 、若ABC 三邊分別為 a 、b 、 c ，且滿足 a2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c，則ABC 的形狀為A）等腰三角形（ B）直角三角形C）等腰直角三角形（D ）等邊三角形（A）40 o （B） 30 o（C） 25o（D ） 15o7 、判定兩個等腰三角形全等的條件可以是（ ）。A 、有一腰和一角對應相等B 、有

9、兩邊對應相等C、有頂角和一個底角對應相等D 、有兩角對應相等文檔實用標準8 、等腰三角形一腰上的高線與底邊的夾角等于（）A 、頂角B、底角C、頂角的一半D 、底角的一半9 、在等腰三角形 ABC 中，A 與B 度數(shù)之比為 5 2，則A 的度數(shù)是（）A、100 B、75 C、150 D 、 75 或100 10 、如圖， P、Q 是ABC 邊 BC 上的兩點，且 QCAPAQBPPQ，則BAC（）A、125B、130 0C、900D 、 120 011 、如圖， ABC 中， ABAC，BD 、CE為中線，圖中共有等腰三角形（）個。A 、4 個B、6 個10 題圖11 題圖12 題圖12 、如圖

10、， ABAC，AEEC，ACE280，則B 的度數(shù)是（ ）A 、60 0B、700C、760D 、 45C 除外）， 設甲蟲 P 到13 、如圖是一個等邊三角形木框，甲蟲P在邊框 AC 上（端點 A、另外兩邊距離之和為 d ，等邊三角形 ABC 的高為 h， 則 d 與 h 的大小關系是（ ）解題方法指導 】例 1. 已知，如圖， AB AC CD，求證： B2D文檔實用標準例 2. 已知，如圖， ABC 是等邊三角形，AD/BC ，AD BD， BC 6 ，求 AD 的長?！究键c指要】等腰三角形、等邊三角形及含 30 角的直角三角形是應用非常廣泛的圖形，因此，在中考試題中經 常以證明題或計算

11、題頻頻出現(xiàn)，而且經常把它們結合在一道題中加以應用，雖然題目的難度不是很大， 但也要善于分析，找出圖形中有關的性質。典型例題分析 】例 1. （ 2005 年 蘇州）如圖，等腰三角形 ABC 的頂角為 120 ，腰長為 10，則底邊上的高 AD 。文檔實用標準例 2. 已知，如圖， ABC 中，C 90 ，AB 的垂直平分線交AB 于 E，交 AC 于 D，AD 8，A 30 ，求 CD 的長。B例 3. 已知，如圖， ABC 是等邊三角形， E 是 AB 上一點， D 是 AC 上一點，且 AECD ，又 BD 與CE交于點 F，試求BFE 的度數(shù)。綜合測試】1. 已知，如圖， ABAC，AB

12、DACD ，求證： DBDC文檔實用標準C2. 已知，如圖， D、E是 BC 上兩點， ABAC，AD AE，求證： BDCE3. 已知，如圖， ABC 中，4. 已知，如圖， ABC 中，DE/BC ，AB AC，求證：AD AEABAC ，D 是 AB 上一點，E是 AC 延長線上一點，DE 交 BC 于 F，又BD CE，求證： DF EF5. 已知，如圖， D 是 BC 上一點， ABC 、BDE 都是等邊三角形，求證： ADCE文檔實用標準6. 已知，如圖， ABC 中，B90 ，AC 的垂直平分線交 AC 于 D，交 BC 于 E，又C15 ，EC10 ，求 AB 的長。圖5例 6

13、、如圖 11 ，在ABC 中，A90，ABAC，D 為 BC 邊中點， E、F 分別在 AB、AC 上，且 DEDF，求證： AEAF 是一個定值 .證明：連接 AD ，AB AC， D 為 BC 中點，ADBC，BAC90 ，AB AC ， BC 45 ，BAD 45 ，CAD 45 ，AD BD CD ，EDF90，EDAADF90 ，又由 AD BC 得BDE ADE 90 ，BDE ADF ，在BDE 和ADF 中，BDAF，BDAD ，BDEADF ，BDE ADF ，BEAF ，AE AF AE BEAB （定值） . 思考：四邊形 AEDF 的面積是否也是定值呢？為什么？文檔實用

14、標準例 4、如圖 9 ，已知 AD 為ABC 的高， E 為 AC 上一點， BE 交 AD 于 F，且有 BFAC，F(xiàn)DCD ，你 認為 BE 與 AC 之間有怎樣的位置關系 ?你能證明它嗎？證明：線段 BE AC，理由如下： AD BC，ADB ADC 90FBDBFD90 ，在 RtBDF 和 RtADC 中， BFAC ，F(xiàn)DCD， RtBDFRtADC，BFDC，F(xiàn)BDC 90BEC180 (FBDC) 180 90 90 ，即BEAC.例 5、如圖 10 ，在ABC 中，ACB 90，AC BC，M 是 AB 上一點， 求證：AM 222BM 2 2CM 2 .證明：過 C 作 C

15、DAB 于點 D，ACB90 ，ACBC， CDAB ， AB45 ，ACD BCD 45 ，AACD ，BBCD ，AD BD， BDCD ，即 AD BD CD，2 2 2CD AB，DM 2 CD2 CM 2 ，圖102 2 2 2 AM 2 BM 2 (AD DM )2 (BD DM )2222(DM 2 CD 2)22CM 2 .思考：請同學們試試用另外的方法來證明本題例 1、如圖 5 ，在ABC 中， ABAC ，點 O 在ABC 內，OB OC ，求證： AO BC.證明：延長 AO 交 BC 于點 D，文檔實用標準AB AC，OB OC ，OA OA ，ABO ACO ，BAO

16、 CAO ，即BAD CAD ，AD BC，即 AO BC.例 2、如圖 6，在等邊ABC 中， D、E 分別在邊 BC、BA 的延長線上，且 AE圖6BD ，求證： CEDE.證明：過 E 作 EFCD 于點 F，ABC 是等邊三角形， B60 ，BEF30BE2BF ，即 BAAEBCBD2BCCD2（BCCF），CD 2CF， CFDF，在CEF 和DEF 中， CFDF，CFEDFE90 ，EFEF，CEFDEF，CE DE.例 3、如圖 7，已知在 ABC 中， ABAC，P 為底邊 BC 上任意一點，PD AB 于點 D，PE AC 于點E，求證： PDPE 是一個定值解：連接 A

17、P，過點 C 作 CFAB 于點 F，由S11ABCABCF ， S PABAB PD ，22SPAC1 AC1 PE ABPE ， S ABC S PAB S PAC ，1 AB221AB PE ，得：CF1AB PD222即，PDPECF （定值）圖7說明：本例的結論可用文字語言敘述為： 等腰三角形底邊上 一點到兩腰的距離之和等于腰上的高 .拓展：如果點 P 不是在邊 BC 上，而是在 BC 的延長線上，P文檔實用標準其它條件保持不變，那么 PD 與 PE 之間又有怎樣的關系呢？解：連接 AP，過點 C 作 CFAB 于點 F，（如圖 8）11 由 S ABC AB CF ， S PAB

18、AB PD ，2211S PAC AC PE AB PE ，22S ABC S PAB S PAC ，111 得： AB CF AB PD AB PE ，222即,PD PE CF （定值） .即，當點 P 在 BC 延長線上時， PD 與 PE 之差為一定值 .基礎訓練 ： 1、填空題：（1）等腰三角形中，如果底邊長為 6 ，一腰長為 8 ，那么周長是。（ 2）如果等腰三角形有一邊長是 6，另一邊長是 8，那么它的周長是 ；如果等腰三角形的兩邊長分別是 4、 8，那么它的周長是。（ 3 ）等腰三角形的對稱軸最多有條。2、填空題：（ 1）如果ABC 是等腰三角形，那么它的邊長（或周長）可以是（

19、）A 、三條邊長分別是 5，5，11B、三條邊長分別是 4，4， 8C、周長為 14 ，其中兩邊長分別是 4，5 D、周長為 24 ，其中兩邊長分別是 6，12（ 2）等腰三角形一邊長為 2，周長為 5，那么它的腰長為（ ）A 、3B、 2C、1.5D 、2 或 1.53 、已知等腰三角形的腰長是底邊的3 倍，周長為 35cm ，求等腰三角形各邊的長。4、已知：如圖， AD 平分BAC ，AB=AC ，請你說明 DBC 是等腰三角形。文檔實用標準x+2y=43x+y=7C5 、已知等腰三角形的底邊和一腰長是方程組的解，求這個三角形的各邊長。（ 1）等腰三角形的頂角平分線、 互相重合。（2）等腰三角形有一個角是 120 ，那么其他兩個角的度數(shù)是 和 。（ 3）ABC 中，A= B=2 C，那么 C=。（4）在等腰三角形中，設底角為 x，頂角為y，則用含x 的代數(shù)式表示 y，得 y= ；用含 y 的代 數(shù)式表示 x ，得 x=。2、選擇題：（ 1）等腰三角形的一個外角為 140 ，那么底角等于（ ）A、4