高一必修一數(shù)學抽象函數(shù)常見題型解法綜述

1、1抽象函數(shù)常見題型解法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。 由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內容的難點之一。本文就抽象函數(shù)常見 題型及解法評析如下：一、定義域問題例 1. 已知函數(shù)f ( x2)的定義域是1，2，求 f（x）的定義域。解：f ( x 2 )的定義域是1，2，是指1 x 2，所以f ( x 2 )中的x2滿足1 x 2 4從而函數(shù) f（x）的定義域是1，4評析：一般地，已知函數(shù)f (j( x )的定義域是 a，求 f（x）的定義域問題，相當于已知f (j( x)中 x 的取值范圍為 a，據(jù)此求j( x )的值域問題

2、。例 2. 已知函數(shù)f ( x )的定義域是-1，2，求函數(shù)f log (3 -x ) 1的定義域。2解：f ( x)的定義域是-1，2，意思是凡被f 作用的對象都在-1，2中，由此可得1 1 11-1 log (3 -x ) 2 ( ) 2 3 -x ( ) -1 1 x 2 2 42所以函數(shù)f log (3 -x ) 1的定義域是111，42評析：這類問題的一般形式是：已知函數(shù) f（x）的定義域是 a，求函數(shù)f (j( x)的定義域。正確理解函數(shù)符號及其定義域的含義是求解此類問題的關鍵。這類問題實質上相當于已知 b a值域 b，且，據(jù)此求 x 的取值范圍。例 2 和例 1 形式上正相反。j

3、( x )的二、求值問題例 3. 已知定義域為r+的函數(shù) f（x ），同時滿足下列條件：f (2) =1，f (6) =15；f ( x y) = f ( x) + f ( y )，求 f（3），f（9）的值。解：取x =2，y =3，得f (6) = f (2) + f (3)因為又取f (2) =1，f (6) = x =y =31 4 ，所以 f (3) =-5 5得f (9) = f (3) + f (3) =-85評析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取x =2，y =3，這樣便把已知條件f (2) =1，f (6) =三、值域問題15與欲求的 f（3）溝通了起來。賦值法是解此

4、類問題的常用技巧。例 4. 設函數(shù) f（x）定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù) x、y，f ( x +y ) = f ( x ) f ( y )總成立，且存在x x ，使得 f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2，求函數(shù)f ( x )的值域。解：令x =y =0，得f (0) = f (0)2，即有f (0) =0或f (0) =1。若f (0) =0 ，則 f ( x ) = f ( x +0) = f ( x) f (0) =0，對任意 x r 均成立，這與存在實數(shù)x x ，使得 f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2成立矛盾，故f (0) 0 ，必有 f (0) =1。由于f

5、( x +y ) = f ( x ) f ( y )對任意x、y r均成立，因此，對任意x r，有x x x x xf ( x) = f ( + ) = f ( ) f ( ) = f ( ) 2 02 2 2 2 2下面來證明，對任意x r，f ( x) 0設存在x r0，使得f ( x ) =0 0，則f (0) = f ( x -x ) = f ( x ) f ( -x ) =00 0 0 0這與上面已證的f ( x) 0 所以f (0) 0矛盾，因此，對任意x r，f ( x) 0評析：在處理抽象函數(shù)的問題時，往往需要對某些變量進行適當?shù)馁x值，這是一般向特殊轉 化的必要手段。四、解析式

6、問題例 5. 設對滿足x 0，x 1的所有實數(shù) x，函數(shù)f ( x)滿足x -1f ( x) + f ( ) =1 +xx，求 f（x）的解析式。解：在f ( x) + f (x -1x) =1 +x(1)中以x -1x代換其中 x，得：f (x -1 1 2 x -1 ) + f ( - ) =x x -1 x(2)再在（1）中以-1x -1代換 x，得f ( -1 x -2 ) + f ( x ) =x -1 x -1(3)(1) -(2) +(3)化簡得：f ( x ) =x 3 -x 2 -1 2 x( x -1)評析：如果把 x 和x -1x分別看作兩個變量，怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個

7、變量的轉化是解題關鍵。通常情況下，給某些變量適當賦值，使之在關系中“消失”，進而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉化的重要策略。五、單調性問題例 6. 設 f （x ）定義于實數(shù)集上，當x 0 時， f ( x) 1，且對于任意實數(shù)x 、y ，有f ( x +y ) = f ( x) f ( y )，求證：f ( x)在 r 上為增函數(shù)。證明：在f ( x +y ) = f ( x ) f ( y )中取x =y =0，得f (0) = f (0)2若f (0) =0 ，令 x 0，y =0 ，則 f ( x ) =0 ，與 f ( x) 1矛盾所以f (0) 0，即有f (0) =1當 x 0 時，

8、 f ( x) 1 0 ；當 x 0，f ( -x) 1 0而f ( x) f ( -x) = f (0) =1所以f ( x ) =1 f ( -x)0又當 x =0 時， f (0) =1 0所以對任意x r，恒有f ( x) 0設-x x 0，f ( x -x ) 1 1 2 2 1 2 1所以f ( x ) = f x +( x -x ) = f ( x ) f ( x -x ) f ( x ) 2 1 2 1 1 2 1 1所以y = f ( x)在 r 上為增函數(shù)。評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關系式，應看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及 數(shù)值的分解與組合都應盡量與已知式或所

9、給關系式及所求的結果相關聯(lián)。六、奇偶性問題例 7. 已 知 函 數(shù)f ( x)( x r，x 0)對 任 意 不 等 于 零 的 實 數(shù)x 、x12都 有f ( x x ) = f ( x ) + f ( x ) 1 2 1 2，試判斷函數(shù) f（x）的奇偶性。解：取x =-1，x =1 得： f ( -1) = f ( -1) + f (1) 1 2，所以f (1) =0又取x =x =-1 1 2得：f (1) = f ( -1) + f ( -1)，所以f ( -1) =0再取x =x，x =-1則 f ( -x) = f ( -1) + f ( x) ，即 f ( -x) = f ( x

10、 ) 1 2因為f ( x)為非零函數(shù)，所以f ( x)為偶函數(shù)。七、對稱性問題例 8. 已知函數(shù)y = f ( x) 滿足 f ( x) + f ( -x) =2002 ，求 f-1( x ) + f-1(2002 -x )的值。解： 已知式即在對稱關系式f ( a +x ) + f ( a -x ) =2b中取a =0，b =2002，所以函數(shù)y = f ( x)的圖象關于點（0，2002）對稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關系，知函數(shù)y = f-1( x )的圖象關于點（2002，0）對稱。所以f-1( x +1001) + f-1(1001 -x ) =0將上式中的 x 用x -1001代換

11、，得f -1 ( x) + f-1(2002 -x ) =0評析：這是同一個函數(shù)圖象關于點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設a、b 均為常數(shù)，函數(shù)y = f ( x)對一切實數(shù) x 都滿足f ( a +x ) + f ( a -x ) =2b，則函數(shù)y = f ( x)的圖象關于點（a，b）成中心對稱圖形。八、網(wǎng)絡綜合問題例 9. 定義在 r 上的函數(shù) f（x）滿足：對任意實數(shù) m，n，總有f ( m +n ) = f ( m ) f ( n )，且當 x0 時，0f（x） f (1)，b =( x， y ) | f ( ax -y + 2) =1， a r，若a ib =，試確定 a 的取值范圍。解： （ 1 ）在f ( m +n ) = f ( m ) f ( n )中，令m =1，n =0，得f (1) = f (1) f (0)，因為f (1) 0 ，所以 f (0) =1。在f ( m +n ) = f ( m ) f ( n )中，令m =x，n =-x因為當x 0時，0 f ( x ) 1所以當 x 0，0 f ( -x) 1 0又當 x=0 時，f (0) =1 0，所以，綜上可知，對于任意x r，均有f (