利用軸對稱求最短距離問題

1、利用軸對稱求最短距離問題基本題引入：如圖（1）,要在公路道a上修建一個加油站，有A,B兩人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使兩人到加油站的總路程最短？使AM與 BM的和最小。設(shè) A是A的對稱點，本問題也就是要使A M與BM的和最小。在連接A B的線中，線段 A B最短。因此，線段 A B與直線a的交點C的位置即為所求。如圖3,為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線 a上另外任取一點 N,連接ANBN A No因為直線a是 A A的對稱軸，點 M,N在a上，所以 AM= A M,AN= A N。 AM+BM= A M+BM= A B在厶A BN中，/ A B A N+BN AM

2、+B AN+BN即 AM+BMt小。點評：經(jīng)過復(fù)習(xí)學(xué)生恍然大悟、 面露微笑，不一會不少學(xué)生就利用軸對稱知識將上一道中考題解決了。思路如下： BC= 9 （定值）， PBC的周長最小，就是 PB+ PC最小.由 題意可知，點 C關(guān)于直線DE的對稱點是點 A,顯然當(dāng)P、A B三點共線時PB+ PA最小此 時 DP= DE PB+ PA= AB.由/ ADM/ FAE / DFA=Z ACB= 90,得厶 DAFA ABC. EF/ BC,1 159得 AE= BE=AB=,EF=. AF：BC= AD：AB,即卩6 : 9 = AD：15. AD= 10. Rt ADF2 229 2525中，AD

3、= 10, AF= 6,. DF= 8. DE= DF+ FE= 8+=一 . 當(dāng) x = 時， PBC的周長222最小，y值略。數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們：教師要充分關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律， 合理組織教學(xué)內(nèi)容，建立科學(xué)的訓(xùn)練系統(tǒng)。使學(xué)生不僅獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能，更要獲得數(shù)學(xué)思想和觀念，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。 同時每年的中考題也千變?nèi)f化， 為了提高學(xué)生 的應(yīng)對能力，除了進(jìn)行專題訓(xùn)練外，還要多歸納多總結(jié)，將一類問題集中呈現(xiàn)給學(xué)生。一、兩條直線間的對稱題目1如圖，在曠野上，一個人騎馬從A出發(fā)，他欲將馬引到河 al飲水后再到a2飲水，然后返回 A地，問他應(yīng)該怎樣走才能使總路程最短。

4、點評：這道題學(xué)生拿到時往往無從下手。 但只要把握軸對稱的性質(zhì)就能迎刃而解了。作法：過點A作al的對稱點A,作a2的對稱點 A ,連接A A交al、a2于B、C,連接BC. 所經(jīng)過路線如圖5: A-B-C-A,所走的總路程為 A A。第2題圖二、三角形中的對稱題目2 如圖，在厶ABC中,AC=BC=2, / ACB=90 ,D是BC邊上的中點，E是AB邊上的一 動點，則EC+ED勺最小值是點評：本題只要把點 C、D看成基本題中的A、E兩鎮(zhèn)，把線段AB看成燃?xì)夤艿繿,問題就可以迎刃而解了，本題只是改變了題目背景，所考察的知識點并沒有改變。三、四邊形中的對稱題目3 如圖，正方形 ABCD的邊長為8,

5、 M在DC上，且DM=2,N是AC上的動點，則DN+MN勺最小值為多少？點評：此題也是運用到正方形是軸對稱圖形這一特殊性質(zhì)，點D關(guān)于直線AC的對稱點正好是點B,最小值為 MB= 10。A第3題圖M第4題圖四、圓中的對稱題目4已知：如圖，已知點 A是O O上的一個六等分點，點 B是弧AN的中點，點P是 半徑ON上的動點，若O O的半徑長為1，求AP+BP的最小值。點評：這道題也運用了圓的對稱性這一特殊性質(zhì)。點B的對稱點B在圓上，AB交ON于點 p,由/ AON= 60 , / B ON= 30,/ AOB = 90,半徑長為 1 可得 AB=2。當(dāng)點P運動到點p時，此時AP+BP有最小值為 2B

6、 第5題圖1BE*/fH*事 / fi*F JBA/L-CFG第5題圖2五、立體圖形中的對稱題目5如圖1是一個沒有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外表面的A處，它想吃到盒內(nèi)表面對側(cè)中點 B處的食物，已知盒高h(yuǎn)= 10cm,底面圓的周長為 32cm, A距離下底面 3cm.請你幫小螞蟻算一算，為了吃到食物，它爬行的最短路程為_cm 點評：如圖2,此題是一道立體圖形問題需要轉(zhuǎn)化成平面問題來解決，將圓柱的側(cè)面展 開得矩形EFGH作出點B關(guān)于EH的對稱點B,作AC丄GH于點C,連接A B。在Rt A B C中，AC= 16, B C= 12,求得A B = 20,則螞蟻爬行的最短路程為20cm。通過變

7、式訓(xùn)練既解決了一類問題，又歸納出了最本質(zhì)的東西，以后學(xué)生再碰到類似問題發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)時學(xué)生就不會不知所措。同時變式訓(xùn)練培養(yǎng)了學(xué)生思維的積極性和深刻性,變能力。綜上所述，引導(dǎo)學(xué)生在熟練掌握書本例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行科學(xué)的變式訓(xùn)練，對鞏固基礎(chǔ)、提高能力有著至關(guān)重要的作用。更重要的是，變式訓(xùn)練能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維、逆向思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生全方位、多角度思考問題的能力，有助于提高學(xué)生 分析問題、解決問題的能力。題目6長方體問題 如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點 A出發(fā)，沿長方體的表面爬 到對角頂點Ci處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？析：展開圖如圖所示，.25

8、 . 29 . 37路線1即為所求。長、寬、高中，較短的兩條邊的和作為一條直角邊，最 長的邊作為另一條直角邊， 斜邊長即為最短路線長。BiGiA 4 B 2 CACJ二ac=v6+1 乜7；由學(xué)生引申總結(jié)以下1 4:1、已知：如圖，A B兩點在直線I的同側(cè)，點 A與A關(guān)于直線I對稱，連結(jié) AB交I于P 點，若AB=a,（ 1 ）求AP+PB（2）若點 M是直線I上異于P點的任意一點，求證：AM MB AP PB.2、已知：A B兩點在直線|的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點M（1）在I上求作一點M,使得AM BM最??； BA ,I（2）在|上求作一點 M,使得 AM BM最大；(3)在I上求作一點

9、 M,使得AM+BMft小。3、如圖，AD為/ BAC的平分線，DE丄AB于E, DF丄AC于F,那么點E、F是否關(guān)于AD對稱？若對稱，請說明理由。4、已知：如圖，點 Pi,P2分別是P點關(guān)于/ ABC的兩邊BA BC的對稱點，連接 P1P2，分別交BA BC邊于E、D點，若p1 p2 =m(1) 求厶PDE的周長；CPl(2) 若M是BA邊上異于 E的一點，N是BC邊上異于 D的一點，求證： PMN的周長 PDE的周長。軸對稱在本題中的主要作用是將線段在保證長度不變的情況下改變 位置，要注意體會軸對稱在這方面的應(yīng)用。以此作為模型我們可以解決下列求最小值的問題。5. 如圖，菱形ABCD中, AB=2, / BAD=60 , E是AB的中點，P是對角線 AC上的一個動點， 則PE+PB的最小值是。分析：首先分解此圖形，構(gòu)建如圖5模型