泊松過(guò)程地生成及其統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告

1、實(shí)用泊松過(guò)程的生成及其統(tǒng)計(jì)分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告班級(jí)：6041姓名：韓麗媛學(xué)號(hào)：3116036015一、實(shí)驗(yàn)題目假設(shè)一個(gè)交換系統(tǒng)有 M部電話，每個(gè)用戶在很短的時(shí)間,；t (單位 時(shí)間內(nèi))呼叫一次的概率為 P;用戶間呼入的時(shí)刻相互獨(dú)立，當(dāng) M很 大，P很小時(shí)，時(shí)間t內(nèi)到達(dá)交換機(jī)的呼叫次數(shù)構(gòu)成泊松過(guò)程 N(t)。(-& kPN(t s) - N(t)二 ke-tk!1、確定此泊松過(guò)程的參數(shù)。2、 利用計(jì)算機(jī)仿真N(t)的生成過(guò)程。注意合理選擇 M和P,時(shí)間分 辨率為一個(gè)單位時(shí)間-：t。3、 為了比較生成的N(t)與理論模型的吻合程度。取N(t)的多個(gè)樣本 并選取3個(gè)典型時(shí)間tt2,t3，得到N(tJ, N(

2、t2), NX)三個(gè)隨機(jī)變 量的樣本，在一張圖上畫出其直方圖及理論分布曲線，并將兩者 對(duì)照。比較M選取不同時(shí)的效果。注意：樣本個(gè)數(shù)足夠多。4、驗(yàn)證N(t)的增量平穩(wěn)性。5、畫出任意相鄰兩次呼叫間隔的直方圖，和理論值進(jìn)行對(duì)照。驗(yàn)證 其與其它相鄰兩次呼叫間隔隨機(jī)變量的獨(dú)立性。二、實(shí)驗(yàn)過(guò)程1、確定此泊松過(guò)程的參數(shù)由題目容易知道，在很短的時(shí)間：t內(nèi)M個(gè)用戶的呼叫一次的概率為 MP而由 定義知道，氏時(shí)間內(nèi)到達(dá)交換機(jī)的呼叫一次的概率為PN(t：t) - N(t) = 1 = :t，故有MP 二t( 1)從而有.二MP辻。2、利用計(jì)算機(jī)仿真N(t)的生成過(guò)程對(duì)每個(gè)用戶，在.譏時(shí)間內(nèi)呼叫一次的概率 P很小，可

3、以用rand函數(shù)生成 一組0,1的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)隨機(jī)數(shù)小于P時(shí)，則認(rèn)為有呼叫，將其置為1,否則認(rèn) 為沒有呼叫，置為0;有M部電話，則生成M組0,1的隨機(jī)數(shù)，對(duì)每組隨機(jī)數(shù) 用上訴方法得到一個(gè)只有0和1的邏輯矩陣，用來(lái)表示某一時(shí)刻是否有呼叫。下面是P = 10-6 , .4 = 10-3 ,M=3000,總時(shí)間為T=5的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：1412108數(shù) 次642 -0 11:0123456時(shí)間t圖1 N(t)的生成結(jié)果可以看到呼叫的計(jì)數(shù)過(guò)程，是遞增的，并且可以計(jì)算，時(shí)間T=5內(nèi)呼叫總次數(shù)平均為MPT = 15,多次時(shí)間結(jié)果最后的呼叫次數(shù)都在15次左右。程序：clcclearclose allp=10A(-6

4、);M=3000;dt=0.001;T=5;x=ra nd(M,T/dt);y=;for i=1:Mfor j=1:T/dtif x(i,j)px(i,j)=1；elsex(i,J)=O；endendendy=(sum(x)=0);m=；m(1)=0;for i=1:T/dtm(i+1)=m(i)+y(i);endt=1:T/dt+1;t=t*dt;plot(t,m)此外，matlab中還有二項(xiàng)分布生成函數(shù) binornd，可以用x=binornd(1,p,M,T/dt)代替中間的兩個(gè)for循環(huán)，這個(gè)函數(shù)的功能是對(duì)一個(gè)發(fā)生概率為P的事件隨機(jī)試驗(yàn)一次，若發(fā)生置為1,不發(fā)生置為0,此實(shí)驗(yàn)要對(duì)M個(gè)電

5、話實(shí)驗(yàn)T/dt次，故生成的是M行，T/dt的矩陣，運(yùn)行結(jié)果是一樣的。3、比較生成的N(t)與理論模型的吻合程度(1)N(tJ, N(t2), N(t3)的統(tǒng)計(jì)直方圖和理論分布曲線率概的生發(fā)數(shù)次叫呼應(yīng)相圖2 N(t J , N(t 2), N(t 3)的統(tǒng)計(jì)直方圖和理論分布曲線文檔在圖2中，圓圈代表N(tJ的統(tǒng)計(jì)直方圖，正方形代表N(t2)的統(tǒng)計(jì)直方圖，五角星代表N(t3)的直方圖。從圖中可以看出，雖然有較小的誤差，但是生成的N(t)和理論模型還是基本吻合的。程序中主要用到了直方圖統(tǒng)計(jì)函數(shù) hist，生 成max(Nt1)-min(Nt1)個(gè)直方條間的間隔剛好是1,此時(shí)的坐標(biāo)分別為0.5、1.5

6、、 2.5，并且0.5的直方條包括了 0次呼叫和1次呼叫的的概率，1.5、2.5、3.5 等等依次代表的是2次、3次、4次呼叫的概率，因而有了程序中的相關(guān)修正。程序：clcclearclose allp=5*10A(-6);M=3000;dt=0.003;a=M*p/dt;T=1.2;loop=2000;t1=0.3;t2=0.6;t3=0.9;for k=1:loop%作loop 次試驗(yàn)x=ra nd(M,T/dt);for i=1:Mfor j=1:T/dtif x(i,j)vpx(i,j)=1；elsex(i,j)=0；endendendtt=dt*fi nd(sum(x)=0)=1);

7、%Nt1(k)=sum(ttt1);%Nt2(k)=sum(ttt2);每次試驗(yàn)各個(gè)呼叫發(fā)生的時(shí)刻每次試驗(yàn)在時(shí)間(0，t1 )內(nèi)呼叫的次數(shù)Nt3(k)=sum(ttt3);endN1,index1=hist(Nt1,max(Nt1)-min(Nt1); %(0，t1 )內(nèi)呼叫次數(shù)的統(tǒng)計(jì)直方圖N2,i ndex2=hist(Nt2,max(N t2)-mi n(Nt2);N3,i ndex3=hist(Nt3,max(N t3)-mi n(Nt3);in dex1=mi n(Nt1),i ndex1+0.5;in dex2=mi n(Nt2),i ndex2+0.5;作相關(guān)修正in dex3=m

8、i n( Nt3),i ndex3+0.5;N1=sum(Nt1=mi n(Nt1),N1(1)-sum(Nt1=mi n(Nt1),N1(2:e nd);N2=sum(Nt2=mi n(Nt2),N2(1)-sum(Nt2=mi n(Nt2),N2(2:e nd);N3=sum(Nt3=mi n(Nt3),N3(1)-sum(Nt3=mi n(Nt3),N3(2:e nd);P1=；P2=；P3=;理論值for k=1:length(indexl)p1=p1,(a*t1)Aindex1(k)*exp(-a*t1)/factorial(index1(k); % endfor k=1:lengt

9、h(index2)p2=p2,(a*t2)Ai ndex2(k)*exp(-a*t2)/factorial(i ndex2(k);endfor k=1:length(index3)p3=p3,(a*t3)Ai ndex3(k)*exp(-a*t3)/factorial(i ndex3(k);endstem(index1,N1/loop, r);hold onplot(i ndex1,p1,r)hold onstem(index2,N2/loop, bs);hold onplot(index2,p2,b)hold onstem(index3,N3/loop,gp);hold onplot(ind

10、ex3,p3,g)hold on(2)比較Ml不同時(shí)的實(shí)驗(yàn)效果對(duì)于上面的參數(shù)，我們選擇t2時(shí)刻，h分別取1000、2000、3000得到Nt 2）的統(tǒng)計(jì)直方圖如圖3所示，圓形對(duì)應(yīng)的是M=1000正方形對(duì)應(yīng)的是M=2000五角星 對(duì)應(yīng)的是M=3000從圖3中可以看到，當(dāng)M值增大時(shí)，直方圖和；理論曲線都往 右移動(dòng)，從理論上分析，在P和氏不變時(shí)，M值越大，強(qiáng)度常數(shù)越大，相同時(shí) 間內(nèi)呼叫的次數(shù)更多，所以在呼叫次數(shù)多的地方概率更大，曲線往右移動(dòng)。圖3 M不同時(shí)的實(shí)驗(yàn)效果對(duì)比2率概的生發(fā)數(shù)次叫呼應(yīng)相4、驗(yàn)證N(t)的增量平穩(wěn)性增量平穩(wěn)性數(shù)學(xué)表示為，對(duì)任何s和t，PN(s+t)-N(s)=n=PN(t)=n

11、，即在相同時(shí)間內(nèi)呼叫n次的概率相等。下圖是取了三個(gè)相等的時(shí)間間隔200 4進(jìn)行的呼叫次數(shù)的直方圖統(tǒng)計(jì)結(jié)果：率概的生發(fā)數(shù)次叫呼應(yīng)相0500 2468呼叫次數(shù)圖4增量平穩(wěn)性驗(yàn)證曲線10 12由于只需要相同時(shí)間內(nèi)呼叫相同次數(shù)的概率相同，為了簡(jiǎn)化程序和計(jì)算量，在直方圖統(tǒng)計(jì)中沒有對(duì)第一個(gè)直方條進(jìn)行修正，并不影響實(shí)驗(yàn)的結(jié)論，從圖4中可以看到，三個(gè)相等的時(shí)間間隔呼叫次數(shù)的概率分布曲線基本重合，說(shuō)明相同 時(shí)間間隔內(nèi)呼叫次數(shù)相同的概率基本相同，從而驗(yàn)證了增量平穩(wěn)性。程序：clcclearclose allp=5*10A(-6)；M=3000;dt=0.003;T=1.8;loop=2000;for k=1:lo

12、opx=ra nd(M,T/dt);for i=1:Mfor j=1:T/dt if x(i,j)vp x(i,j)=1;elsex(i,j)=0;endendendy=(sum(x)=0);m=;m(1)=0;for i=1:T/dt m(i+1)=m(i)+y(i); endNt1(k)=m(201)_m(1);Nt2(k)=m(401)-m(201);Nt3(k)=m(601)-m(401); end N1,i ndex1=hist(Nt1,max(Nt1)-mi n(Nt1);N2,i ndex2=hist(Nt2,max(N t2)-mi n(Nt2);N3,i ndex3=hist

13、(Nt3,max(N t3)-mi n(Nt3);r );holdon;b );holdon;g );hold on;plot(i ndex1,N1/loop,plot(i ndex2,N2/loop,plot(i ndex3,N3/loop,5、 (1)畫出任意相鄰兩次呼叫間隔的直方圖，和理論值進(jìn)行對(duì)照。由理論可知，任意兩次的呼叫間隔的概率分布函數(shù)為負(fù)指數(shù)分布：f (t)二，e，下面是P = 5 10-6 , .:t二3 10-3 ,M=3000,總時(shí)間為T=3,選取第二次和第一次呼叫的時(shí)間間隔得到的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果：率概的生發(fā)隔間間時(shí)應(yīng)相0.180.160.140.120.10.080.060

14、.040.02000.20.40.60.811.21.41.61.82時(shí)間間隔圖5呼叫時(shí)間間隔分布直方圖從圖5中可以看出，相鄰兩次呼叫間隔滿足負(fù)指數(shù)分布，與理論相符。編程 時(shí)，將時(shí)間間隔平均分在50個(gè)直方條中，在求理論值時(shí)，需要對(duì)負(fù)指數(shù)型概率 密度函數(shù)在每個(gè)直方條中求積分，需要注意的是積分的區(qū)間。程序：clcclearclose allp=5*10A(-6);M=3000;dt=0.003;a=M*p/dt;T=3;loop=3000;for k=1:loopx=ra nd(M,T/dt);for i=1:Mfor j=1:T/dtif x(i,j)vpx(i,j)=1；elsex(i,j)=

15、0;endendendy=sum(x)=0;tt=dt*fi nd(y=1);%for i=1:le ngth(tt)-1%b(i)=tt(i+1)-tt(i);% endb(k)=tt (2)-tt(1);c(k)=tt -tt(3);endN1,i ndex1=hist(b,50); dh=(max(b)-mi n( b)/100;stem(index1,N1/loop,r);hold onfor i=1:50t=(i ndex1(i)-dh):0.001:(i ndex1(i)+dh);l=a*exp(-a*t);q(i)=trapz(t,l);endplot(i ndex1,q)Eb=sum(b)/le ngth(b);Ec=sum(c)/le ngth(c);Ebc=sum(b.*c)/le ngth(b);Db=sum(b.*b)/le ngth(b)-EbA2;Dc=sum(c.*c)/le ngth(c)-E22;Covbc=Ebc-Eb*Ec