數(shù)值分析常用的插值方法教材

1、數(shù)值分析報(bào)告班級(jí): 專業(yè): 流水號(hào): 學(xué)號(hào): 姓名:常用的插值方法序言 在離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上補(bǔ)插連續(xù)函數(shù)，使得這條連續(xù)曲線通過(guò)全部給定的離散數(shù) 據(jù)點(diǎn)。插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過(guò)函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的取值狀 況，估算出函數(shù)在其他點(diǎn)處的近似值。早在 6 世紀(jì)，中國(guó)的劉焯已將等距二次插值用于天文計(jì)算。 17 世紀(jì)之后，牛頓、 拉格朗日分別討論了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是數(shù)據(jù)處 理和編制函數(shù)表的常用工具，又是數(shù)值積分、數(shù)值微分、非線性方程求根和微分方 程數(shù)值解法的重要基礎(chǔ)，許多求解計(jì)算公式都是以插值為基礎(chǔ)導(dǎo)出的。插值問(wèn)題的提法是：假定區(qū)間a, b上的實(shí)值函數(shù)f (x)在

2、該區(qū)間上n+ 1個(gè) 互不相同點(diǎn)xo, X1xn處的值是f (X0), f (xn),要求估算f (X)在a, b中某點(diǎn)的值。其做法是：在事先選定的一個(gè)由簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)成的有 n+ 1 個(gè)參數(shù) C0， Cl,C n的函數(shù)類(Co, Cl,C n)中求出滿足條件P( Xi) = f( Xi)(i= 0, 1, n)的函數(shù)P(x),并以P(x)作為f(x)的估值。此處f (x)稱為被插值函數(shù)，xo,xi,xn 稱為插值結(jié)(節(jié))點(diǎn)，(C0, Ci,C n)稱為插值函數(shù)類，上面等式稱為插值條件， (Co,C n)中滿足上式的函數(shù)稱為插值函數(shù)，R (x) = f (x) P (x)稱為插值余項(xiàng)。求解這類問(wèn)題，

3、它有很多種插值法，其中以拉格朗日 （Lagrange）插值和牛頓 （Newton）插值為代表的多項(xiàng)式插值最有特點(diǎn)，常用的插值還有 Hermit插值，分段插 值和樣條插值。一.拉格朗日插值1問(wèn)題提出：已知函數(shù)y = f x在n+1個(gè)點(diǎn)x0,x1|,xn上的函數(shù)值y0,y1|,yn，求任意一點(diǎn) x的函數(shù)值f x。說(shuō)明：函數(shù)y二f x可能是未知的；也可能是已知的，但它比較復(fù)雜，很難計(jì) 算其函數(shù)值f x，。2. 解決方法：構(gòu)造一個(gè)n次代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)R x來(lái)替代未知（或復(fù)雜）函數(shù)y二f x，則 用P, x作為函數(shù)值f x的近似值。設(shè)Pn x :尸玄-a1x a2x2 J帚anxn，構(gòu)造Pn x即是確定n

4、+1個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù) ao , ai, a2 J H , an。3. 構(gòu)造Pn x的依據(jù)：當(dāng)多項(xiàng)式函數(shù)Pn x也同時(shí)過(guò)已知的n+1個(gè)點(diǎn)時(shí)，我們可以認(rèn)為多項(xiàng)式函數(shù)P, x逼近于原來(lái)的函數(shù)f x。根據(jù)這個(gè)條件，可以寫出非齊次線性方程組:ao a/。- a2X。2 HI anXn = yao a1X1 a?/ |l anX= y12ao 玄兇a?XnnunIN anxn = yn其系數(shù)矩陣的行列式D為范德萌行列式:21XoXod 21X1X-IIIIIIInXonx1二 XiXjn=i ij 一01 Xn Xn川nxn故當(dāng)n+1個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)怡,為，川,Xn各不相同時(shí)，方程組系數(shù)矩陣的行列式D不等于零，

5、故方程組有唯一解。即有以下結(jié)論。結(jié)論：當(dāng)已知的n+1個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0,x1l,xn各不相同時(shí)，則總能夠構(gòu)造唯一的 n次多項(xiàng)式函數(shù)Pn x，使Pn x也過(guò)這n+1個(gè)點(diǎn)4. 幾何意義5. 舉例：已知函數(shù)f x = ._ x，求f 115。分析：本題理解為，已知“復(fù)雜”函數(shù)f x 上，當(dāng)x=81,100,121,144時(shí),其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為：y=9,10,11,12，當(dāng) x=115 時(shí)，求函數(shù)值 f 115。解：(1)線性插值：過(guò)已知的(100,10 )和(121,11 )兩個(gè)點(diǎn)，構(gòu)造1次多項(xiàng)式函數(shù)P (x )，于是有R xx121100 -12110x -10012110011f 115R1 115

6、 =10.71428571428572。(2)拋物插值：構(gòu)造2次多項(xiàng)式函數(shù)F2 x，使得它過(guò)已知的(100,10)、( 121,11 )和(144,12 )三個(gè)點(diǎn)。于是有2次拉格朗日插值多項(xiàng)式：(x121)x144)(x100)( x 144)( x100 Y x 121)F2 x101112100-121 100-144121-100 121-144144-100 144-121則有f 115 : F2 115 =10.722755505364206. 拉格朗日n次插值多項(xiàng)式公式:Pn X 二X -為 X X2X -XnX-XoX -X2 川 X-XnX1 -XoX1 -X2yo+ llly

7、nx XoX -為川 X XnXn -XoXn -花川 X. - X.nPn X “o X yh X % HI In X yn 八 Ik Xkk=o其中Ik x稱為基函數(shù)(k=o,1,.,n )，每一個(gè)基函數(shù)都是關(guān)于x的n次多項(xiàng)式,其表達(dá)式為:nIk X -JllX _Xjj Xk _Xj拉格朗日公式特點(diǎn)：1 把每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)yk單獨(dú)組成一項(xiàng)；2. 每一項(xiàng)中的分子是關(guān)于X的n次多項(xiàng)式，分母是一個(gè)常數(shù);3. 每一項(xiàng)的分子和分母的形式非常相似，不同的是：分子是x-川，而分母是兀-IH7. 誤差分析(拉格朗日余項(xiàng)定理)Pn(X )- f(X 卜二防(X一Xk|(n +1)!心其中 在Xo,XH,Xn

8、,X所界定的范圍內(nèi)。針對(duì)以上例題的線性插值，有| f ”( E )R(115) f (115 j = 115-1oo115-121)2!函數(shù)f x在100,115區(qū)間絕對(duì)值的極大值為 100 =2.5 10,則有：R115)_ f (115 j 蘭 0.01125 0.05于是近似值f (115冷R (115 ) = 10.71428571428572有三位有效數(shù)字。針對(duì)以上例題的拋物線插值，有F2 115 - f 115 二3!)(115-100)(115-1211115-144;函數(shù) 廠x在100,115區(qū)間絕對(duì)值的極大值為 廠100 =3.75 10，則有P2 115 - f 115 0

9、.001631250.005于是近似值f 115 : F2 115 = 10.72275550536420有四位有效數(shù)字。8. 拉格朗日插值公式的優(yōu)點(diǎn)公式有較強(qiáng)的規(guī)律性，容易編寫程序利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。9. 拉格朗日插值通用程序程序流程圖如下：開始y輸入nxi,yi,(i=0,1,n )t (即插值點(diǎn)x)開始/ 輸出p /結(jié)束文件lagrange.m女口下：格朗日插值close alln=input(已知的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)n=?);x=i nput(x1,x2,.,x n=?);y=i nput(y1,y2,.,y n=?);xx=input(插值點(diǎn)=?);syms t%定義t為符號(hào)量p=0;fo

10、r k=1: n1=1;for j=1:k-1l=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j);endfor j=k+1: nl=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j);endp=p+l*y(k);end把符號(hào)算式p變?yōu)楹瘮?shù)形式畫多項(xiàng)式函數(shù)顯示插值點(diǎn)畫已知點(diǎn)和插值點(diǎn)p=i nlin e(p);%fplot(p,mi n(min( x),xx)-1,max(max(x),xx)+1); %hold onp(xx)%plot(x,y,o,xx,p(xx),*);%在MATLAB令窗口輸入：lagra nge然后有以下對(duì)話過(guò)程和結(jié)果，已知的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)n=?6x1,x2,.,x n=?1,3,5,7,9,

11、11y1,y2,.,y n=?-1,20,0,-1,12,3插值點(diǎn)=？ 8ans =5.67187500000000有以下圖形：10.牛頓插值拉格朗日插值的缺點(diǎn)：無(wú)承襲性（繼承性）若算出3點(diǎn)的拋物插值精度不夠，再進(jìn)行 4點(diǎn)的3次多項(xiàng)式插值時(shí)，必須從頭算起，前面算出的3點(diǎn)拋物插值的計(jì)算結(jié)果不能利用。而泰勒插值卻是具有承襲性的，如線性插值的結(jié)果不精確，那么再加上一項(xiàng), 就變成了泰勒拋物插值，如：泰勒1次插值：R （x ）= f （x0 ）+ f （冷Xx -冷）泰勒 2 次插值：R2 x =f xo f xo x-x。* x-x 2。而牛頓插值就是具有承襲性的插值公式1. 差商的概念設(shè)n+1個(gè)點(diǎn)x

12、o,x1l,xn互不相等，則定義：Xi和Xj （i鼻j ）兩點(diǎn)的一階差商為：f(X ) f(Xj )f xi , xj Xi Xjxi, xj,xk二點(diǎn)的二階差商為：f-1 f Xi , x J - f Xj , Xk 1X,Xj,Xk =-Xi Xkxi, xj,xk,xl四點(diǎn)的二階差商為：- -! f X,Xj,xJ - f Xj,Xk,Xi 1f Xi,Xj,Xk,Xi= LJL- Xi _ Xn+1個(gè)點(diǎn)心為,川，人的n階差商為：f心為川|幾4 1- fX1,X2,川,Xn丨f X, ,xn 1x。一人差商具有對(duì)稱性：f |Xi，Xj =f|Xj,Xi ； f|Xj,Xj,Xk =f|X

13、j，x，Xk2. 牛頓插值解決的問(wèn)題與拉格朗日插值解決的問(wèn)題相同只是表述n次多項(xiàng)式R, x的公式不同。3. 牛頓插公式的推導(dǎo)根據(jù)差商的概念，有：f x 二 f Xo IxxolxXo f l-X,Xo 1 是 x, Xo 兩點(diǎn)的一階差商；f l-X, X I - f 風(fēng), Mf lx,X0,xJ X1 f I.X,X0,X1 1 是 X,X0, X 三點(diǎn)的二階差商;f l-X,XoJ|,Xn1 1 =f IXo,X1J|,xJ f xXoMlllXn 丨 X - Xn把以上各式從后向前逐次代入，可以得到:f X 二 f XofXo,Xi 丨 X - Xof o,Xi,X2 I X Xo X X

14、i川 f lXo,Xi,川,Xn 1 X - Xo X - Xi III x -Xnf I.X,Xo,XiJ|,xJ Xo X_Xi 川 X_Xnf x =P, XRn X其中PnX 二 fXofLx,XiX-XofIXo.Xi.xJX - X。X - 人|fXo,Xi, |(凡 1 X Xo X XiX XnRn X = fX,Xo,Xi, ll|,Xn 】X - XoX - Xi 川 X - Xn以上P, X的表達(dá)式稱為牛頓插值公式, 可以證明，n次牛頓插值多項(xiàng)式與n次拉格朗日插值多項(xiàng)式完全相同，只是表達(dá)形式不同fni n i !故，拉格朗日余項(xiàng)定理與牛頓余項(xiàng)定理相同:nRn(X )= P

15、n(Xf(X 匸 f【X, X,Xi川 |人打(X - Xrk=e其中在Xo,Xi,|,Xn,X所界定的范圍內(nèi)則有公式：f x,Xo,Xil|,X=(n +i J4.牛頓插值差商表xiyi一階差商二階差商n階差商*xoyoixiyifxO,xi(x-xO)x2y2fxi,x2fx0,xi,x2(x-xO)(x-xi)x3y3fx2,x3fxi,x2,x3(x-xO)(x-x2)xn-1yn_1xnynfxn -1,x nfxn-2,x n-1,x nfx0,xn(x-x0)(x-xn-1)5.舉例已知函數(shù)f(x)當(dāng)x=-2,-1,0,1,2 時(shí)，其對(duì)應(yīng)函數(shù)值為f(x)=13,-8,-1,4,1

16、。求f(0.5)的值。解：該題目與例1相比，就是多了一個(gè)點(diǎn)，所以和例1的差商表相比，只需多一列, 多一行：xiyi一階差商二階差商三階差商四階差商*-2131-1-8-21(x+2)0-1714(x+2)(x+1)145-1-5(x+2)(x+1)x21-3-4-11(x+2)(x+1)x(x-1)而5個(gè)點(diǎn)的4次牛頓插值多項(xiàng)式P4 (x)是在R ( x)的基礎(chǔ)上多增加1項(xiàng)：巳(x )=13_21(x+2 )+14(x+2 Xx + 1 )_5(x + 2Xx + 1 )x + (x + 2；(x + 1 )x(x_1)則f (0.5 眉 P (0.5 ) = 13 21(0.5 +2 )+14

17、(0.5 +2 X 0.5 +1 )-5(0.5 + 2 X 0.5+1 )0.5+(0.5 + 2 X 0.5 + 1 )0.5( 0.5- = 2.6875可以在MATLA下運(yùn)行程序newton02.m：p4=i nli ne(13-21*(x+2)+14*(x+2)*(x+1)-5*(x+2)*(x+1)*x+(x+2)*(x+1)*x*(x-1);fplot(p4,-2.5,2.5,r);hold onxi=-2,-1,0,1,2;yi=13,-8,-1,4,1;plot(xi,yi, *)；plot(0.5,p4(0.5),o);可以得到以下圖形：6. 牛頓插值的優(yōu)點(diǎn)(1) 具有承襲

18、性質(zhì)(2) 利用差商表，計(jì)算多點(diǎn)插值，比拉格朗日公式計(jì)算方便。7. 牛頓插值算法的通用程序以下是程序流程圖：MATLAB勺通用程序newton.m為：%牛頓插值close alln=input(已知的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)n=?);x=i nput(x1,x2,.,x n=?);y=i nput(y1,y2,.,y n=?);xx=input(插值點(diǎn)=?);% 計(jì)算差商：fx1,x2,fx1,x2,x3,.,fx1,x2,.,x n f=y;for i=1:n-1計(jì)算第 i 階差商for k=n:-1:i+1 f(k)=(f(k)-f(k-1)/(x(k)-x(k-i);endendsyms t % 定義

19、t 為符號(hào)量p=f(1);for k=2:nl=1;for j=1:k-1 l=l*(t-x(j);end p=p+l*f(k);end把符號(hào)算式 p 變?yōu)楹瘮?shù)形畫多項(xiàng)式函數(shù)顯示插值點(diǎn)畫已知點(diǎn)和插值點(diǎn)p=inline(p); % 式 fplot(p,min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1); % hold onp(xx) % plot(x,y,o,xx,p(xx),*); %在MATLAB令窗口輸入：newton 然后有以下對(duì)話過(guò)程和結(jié)果， 已知的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù) n=?6 x1,x2,.,xn=?1,3,5,7,9,11y1,y2,.,yn=?-1,20,0,-1,12,3插值點(diǎn) =？ 8ans =5