數(shù)理統(tǒng)計--參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析(李志強(qiáng))(3)講解

1、教學(xué)單元案例：參數(shù)估計與假設(shè)檢驗北京化工大學(xué) 李志強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容：統(tǒng)計量、抽樣分布及其基本性質(zhì)、點(diǎn)估計、區(qū)間估計、假設(shè)檢驗、方差分析教學(xué)目的：統(tǒng)計概念及統(tǒng)計推斷方法的引入和應(yīng)用(1) 理解總體、樣本和統(tǒng)計量等基本概念；了解常用的抽樣分布；(2) 熟練掌握矩估計和極大似然估計等方法；(3) 掌握求區(qū)間估計的基本方法；(4) 掌握進(jìn)行假設(shè)檢驗的基本方法；(5) 掌握進(jìn)行方差分析的基本方法；(6) 了解求區(qū)間估計、假設(shè)檢驗和方差分析的MATLAB命令。教學(xué)難點(diǎn)：區(qū)間估計、假設(shè)檢驗、方差分析的性質(zhì)和求法教學(xué)時間：150分鐘教學(xué)對象：大一各專業(yè)皆可用一、統(tǒng)計問題引例例1已知小麥畝產(chǎn)服從正態(tài)分布，傳統(tǒng)小麥品種

2、平均畝產(chǎn)800斤，現(xiàn)有新品種產(chǎn)量未知，試種10塊，每塊一畝，產(chǎn)量為：775,816,834,836,858,863,873,877,885,901問：新產(chǎn)品畝產(chǎn)是否超過了800斤？一 2例 2 設(shè)有一組來自正態(tài)總體N (崇 )的樣本 0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.488, 0.510, 0.510,0.512.(i) 已知匚2=0.012，求的95%置信區(qū)間；2(ii) 未知二，求的95%置信區(qū)間；2(iii) 求匚的95%置信區(qū)間。例3現(xiàn)有某型號的電池三批，分別為甲乙丙3個廠生產(chǎn)的，為評比其質(zhì)量，各隨機(jī)抽取5 只電池進(jìn)行壽命測試，數(shù)據(jù)如下表示，這里假設(shè)第i種電池

3、的壽命XiNCli2).工廠壽命/h甲4048384245乙2634302832丙3940435050(1) 試在檢驗水平-0.05下,檢驗電池的平均壽命有無顯著差異(2) 利用區(qū)間估計或假設(shè)檢驗比較哪個壽命最短.二統(tǒng)計的基本概念：總體、個體和樣本(1)總體與樣本總體在數(shù)理統(tǒng)計中，我們將研究對象的某項數(shù)量指標(biāo)的值的全體稱為總體，總體中的每個元素稱為個體比如，對電子元件我們主要關(guān)心的是其使用壽命而該廠生產(chǎn)的所有電子元件的使用壽命取值的全體，就構(gòu)成了研究對象的全體，即總體，顯然它是一個隨機(jī)變量，常用X表示為方便起見，今后我們把總體與隨機(jī)變量X等同起來看，即總體就是某隨機(jī)變量X可能取值的全體.它客觀

4、上存在一個分布，但我們對其分布一無所知，或部分未知，正因為如 此，才有必要對總體進(jìn)行研究簡單隨機(jī)樣本對總體進(jìn)行研究，首先需要獲取總體的有關(guān)信息 一般采用兩種方法：一是全面調(diào)查如人口普查，該方法常要消耗大量的人力、物力、財力有時甚至是不可能的，如測試某廠生產(chǎn)的所有電子元件的使用壽命二是抽樣調(diào)查抽樣調(diào)查是按照一定的方法， 從總體X中抽取n個個體這是我們對總 體掌握的信息數(shù)理統(tǒng)計就是要利用這一信息，對總體進(jìn)行分析、估計、推斷因此，要求抽取的這n個個體應(yīng)具有很好的代表性 按機(jī)會均等的原則隨機(jī)地從客觀存在的總體中抽取一些個體進(jìn)行觀察或測試的過程稱 為隨機(jī)抽樣從總體中抽出的部分個體，叫做總體的一個 樣本從

5、總體中抽取樣本時，不僅要求每一個個體被抽到的機(jī)會均等，同時還要求每次的抽取是獨(dú)立的，即每次抽樣的結(jié)果不影響其他各次的抽樣結(jié)果，同時也不受其他各次抽樣結(jié)果的影響這種抽樣方法稱為簡單隨機(jī)抽樣由簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本叫做簡單隨機(jī)樣本往后如不作特別說明，提到“樣本”總是指簡單隨機(jī)樣本從總體X中抽取一個個體，就是對隨機(jī)變量X進(jìn)行一次試驗抽取n個個體就是對隨機(jī)變 量X進(jìn)行n次試驗，分別記為X1,X2,，Xn.則樣本就是 n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn).在一次 抽樣以后，(X1,X2,Xn)就有了一組確定的值(x1,x2,xn),稱為樣本觀測值樣本觀測值(x1,x2，,xn)可以看著一個隨機(jī)試驗的一個結(jié)果

6、，它的一切可能結(jié)果的全體構(gòu)成一個樣本空間，稱為子樣空間(2) 樣本函數(shù)與統(tǒng)計量設(shè)X-X2, xn為總體的一個樣本，稱即 h巒(Xi, X2, , xn )為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。如果:中不包含任何未知參數(shù)，則稱：(x11x2/ ,xn)為一個統(tǒng)計量。2、統(tǒng)計量(1)常用統(tǒng)計量樣本均值-1 ；xxi -n i 4樣本方差1 n -S2 (Xj 一 -)2.n - 1 i 丄(與概率論中的方差定義不同)樣本標(biāo)準(zhǔn)差1(Xi-)2.:n - 1 y樣本k階原點(diǎn)矩1 n kM kXi , k = 12n y樣本k階中心矩1 n - kMk(-i -x) ,k=2,3n y1 n 一(二階中心矩S

7、*2(Xi-X)2與概率論中的方差定義相同)n i呂例6. 2:用測溫儀對一物體的溫度測量5次，其結(jié)果為(C) : 1250, 1265, 1245,1260,1275，求統(tǒng)計計量 X，S2和S的觀察值x,s2和S.(2)統(tǒng)計量的期望和方差2E(X)二-J D(X)：nE(S2)L，E(S*2)=g；n2 1 n 2 其中S*2(Xi -X)2，為二階中心矩。n i三X1,X2, ,XnF(x)，i.i.d，獨(dú)立同分布。無限總體抽樣。(3)隨機(jī)數(shù)生成在Matlab中各種隨機(jī)數(shù)可以認(rèn)為是獨(dú)立同分布的，即簡單隨機(jī)樣本。以下羅列在Matlab中的實現(xiàn)方法。X1,X2 ,Xn U(0,1)，均勻分布樣

8、本n=10;x=ra nd(1, n)Xi,X2, ,Xn U(a,b)n=10;a=_1;b=3;x=ra nd(1, n);x=(b_a)*x+aXi,X2,XnN(0,1)，正態(tài)分布樣本n=10;x=ra ndn (1, n)Xi,X2,XnN(a,b2)mu=80.2;sigma=7.6;m=1; n=10;x=n ormrnd(mu,sigma,m, n)上面首先對總體均值賦值 mu=80.2;再對標(biāo)準(zhǔn)差賦值 sigma=7.6; m=1;n=10;分別對生成的 隨機(jī)陣對的行數(shù)和列數(shù)進(jìn)行賦值，然后可直接利用Matlab自帶的函數(shù)normrnd生成正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。類似地可生成 m行n

9、列的隨機(jī)矩陣，服從指定的分布。生成隨機(jī)數(shù)的函數(shù)后綴都是 rnd， 前綴為分布的名稱。常用分布的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法羅列如下，注意使用前先要對參數(shù)賦值。x=betarnd(a,b,m, n)參數(shù)為a,b的beta 分布；x=b inorn d(N,p, m,n)參數(shù)為N,p的二項分布；x=chi2r nd(N, m,n)-2自由度為N的分布；x=expr nd(mu ,m,n)總體期望為mu的指數(shù)分布；x=frnd(n1,n2,m,n)自由度為n1與n2的F分布；x=gamrnd(a,b,m, n)參數(shù)為a,b的-分布；x=log nrn d(mu,sigma, m,n)參數(shù)為mu與sigma的對數(shù)正

10、態(tài)分布；x=poissr nd(mu ,m,n)總體均值為mu的Poisson 分布；x=trnd(N,m, n)自由度為N的T分布；Matlab統(tǒng)計工具箱中還有一些其它分布，不再一一列舉。3、三個抽樣分布(x 2、t、F分布)1.3三個常用分布以下羅列出數(shù)理統(tǒng)計中三個重要分布的概念與性質(zhì)。1.3.12分布定義1.2設(shè)一維連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為fn(x) = n/2；( n/2)2(1-2 )0,則稱X服從自由度為n的2分布，記為X 2(n)。圖1-22分布密度函數(shù)示意圖(1)期望與方差：E X二n , D X=2n(2) 來源：若X,X2，,Xn N(0,1)獨(dú)立同分布，則X2 X；

11、：；川X： 2(n)(3) 可加性：若Y1 2(nJ，Y2 2(n2)，且兩者獨(dú)立，則有丫1 丫2 2(ni 匕)重要結(jié)論：若X1，X2/ ,Xn N(點(diǎn)2)，則n_2(n -1)S (Xi -X)22( n-1)i =1以下給出了自由度為5,10,20的2分布的密度函數(shù)，如圖1-2所示。1.3.2 t分布定義1.3設(shè)一維連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fn(X)(1-3)則稱X服從自由度為n的t分布，記為X t(n)。圖1-3 t分布密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)(1)密度函數(shù)特點(diǎn)：與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布類似，方差較大。n“ 時,X2(x)二2:e 2(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù))(2)來源：設(shè)X N(0,1

12、)，Y 2(n),且兩者獨(dú)立，則X,Y/n t(n)(3) 重要結(jié)論：設(shè) Xi，X2，, Xn N(*2)，則t(n -1)1.3.3 F分布定義1.4設(shè)一維連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為其中常數(shù)cx(1-4 )0,n1-(號)“2 F(n!,n2)。則稱X服從第一自由度n 1,第二自由度n2的F分布，記為(1)密度函數(shù)特點(diǎn)：在 x =1附近密度函數(shù)取值較大，為單峰非對稱的。當(dāng)兩個自由度都很大時，X取值以較大概率集中在 x二1附近。以下畫出了 F (8,12)的密度函數(shù)X 2(n 1)，丫2(n2)，且兩者獨(dú)立，則(2)來源：設(shè)(3)重要結(jié)論:F 二丫 F(nn2)丫 /n2設(shè)X1,X2/ Xn

13、1為來自總體N(7,2)的簡單隨機(jī)樣本，丫|,丫2,，丫n2為來自總體Nj,，；擰)的簡單隨機(jī)樣本，且兩者獨(dú)立。又設(shè)兩個樣本方差分別為2,S2 與 s；，S2/S；”話F(n1仆-1)三、點(diǎn)估計的兩種方法（1）矩法所謂矩法就是利用樣本各階原點(diǎn)矩代替相應(yīng)的總體矩，來建立估計量應(yīng)滿足的方程，從而求得未知參數(shù)估計量的方法。設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)“，二2,Cm，則其分布函數(shù)可以表成kF（X；九鮎Rm）.顯示它的k階原點(diǎn)矩Vk = E（X ）（k=1,2，m）中也包含了未知參數(shù)刊，6,，即Vk二VkCiC2,Cm）。又設(shè)XX2，Xn為總體X的n個樣本值，其 樣本的k階原點(diǎn)矩為A 1 n kVkXi

14、k（k=1,2, ,m）.n i 4這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即 有A AA 1 nVi 但 i,日 2,，）=送 X,n yA AA 1 n 2V2（，日2，日 m） = - X , n i =iA AA 1 n mVm（&1,&2,Qm）=-遲 Xi . In yA. A.A由上面的m個方程中，解出的 m個未知參數(shù)（宀，二2，rm）即為參數(shù)（宀門2,Cm）的 矩估計量。例7. 1:設(shè)總體X P（），求對的矩估計量。（2）最大似然法所謂最大似然法就是當(dāng)我們用樣本的函數(shù)值估計總體參數(shù)時，應(yīng)使得當(dāng)參數(shù)取這些值 時，所觀測到的樣本出現(xiàn)的概率為最大

15、。當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布密度為f（X； V 1 , V 2 ,Cm）,其中-1戶2，戶m為未知參數(shù)。又設(shè) X ,X2, , Xn為總體的一個樣本，稱Ln（“，R,Cm） =一 f（Xi；“ ,E,，對）i 4為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布律為PX二X二p（x；R ,一,Jm），則稱nL（Xi,X2，Xn；r“2,Jm）P（Xi；宀，如）i=1為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)L（XX2，Xn；*6,Cm）在二1門2,，九處取到最大值，則稱A AAR,d2,，hm分別為R,d 2,Rm的最大似然估計值，相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。我們把使Ln達(dá)到最大

16、的 力門2,，=m分別作為比，九,宀皿的估計量的方法稱為最大似然 估計法。由于Inx是一個遞增函數(shù)，所以 Ln與In Ln同時達(dá)到最大值。我們稱ln Ln= 0,i =1,2,為似然方程。由多元微分學(xué)可知，由似然方程可以求出 比-（x-x?，xn）（i =1,2，m）為二i的最大似然估計量。容易看出，使得Ln達(dá)到最大的 小也可以使這組樣本值出現(xiàn)的可能性最大。2、估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)（1）無偏性定義1.5 設(shè)總體X含有未知參數(shù) 二，X1,X2/ ,Xn為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，又設(shè)？二？（X-X2,，Xn）為二的一個估計量。若在給定范圍內(nèi)無論二如何取值，總有E J馬-v，則稱為v的一個無偏估計量；若

17、E J勺北二，則稱彳為二的一個有偏估計量。注意無偏估計的含義是：由于樣本的隨機(jī)性，估計值有時候偏大，有時候偏小，多次估 計的平均值才能靠近真實的未知參數(shù)值。若總體X的均值E (X)和方差D (X )存在，則樣本均值X和樣本方差S2分別為E (X) 和D (X)的無偏估計，即 2E( X)=E(X)， E(S)=D(X)。無論無偏估計還是有偏估計，可以統(tǒng)一使用“均方誤差” MSE評價：MSE(外二 E(-2 = DJ 外 h - E/細(xì)2( 2-1 )對于無偏估計，卩-2 =0,但(另可能很大，果真如此，它就不是一個好的估計量。反之，對于有偏估計，雖然卜_E(？2=0，但如果與D(詢相加之后MS

18、E(劣 仍然較小，則它就是一個較好的估計量。例2.1 設(shè)總體X 2(n)，XX2，,X20為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，欲估計總體均值.L (注意n未知)，比較以下三個點(diǎn)估計量的好壞：1 ?! =101X! -100X2，?2 =-(X (1o)- X(11)，?3 二 X解 本例題給出了利用 MSE評價點(diǎn)估計量的隨機(jī)模擬方法。由于 2(n)的總體均值為n，因此我們可以先取定一個固定值，例如n二 = 5，然后在這個參數(shù)已知且固定的總體中抽取容量為20的樣本，分別用樣本值依照三種方法分別計算估計值(注意誰也別偷看 底牌n = 4。=5)，看看哪種方法誤差大，哪種方法誤差小。一次估計的比較一般不能說明

19、 問題，正如低手射擊也可能命中10環(huán)，高手射擊也可能命中9環(huán)。如果連續(xù)射擊1萬次，比較總環(huán)數(shù)(或平均環(huán)數(shù))，多者一定是高手。同理，如果抽取容量為 20的樣本N= 10000 次，分別計算1 N 2 MSE(氣一送吆(k) %2N心小者為好。N=10000; m=5; n=20;mse1=0; mse2=0; mse3=0;for k=1:Nx=chi2rnd(m,1, n);m1=101*x(1)-100*x(2); m2=media n( x);m3=mea n( x);mes1=mse1+(m1-m)A2; mes2=mse2+(m2-m)A2;mes3=mse3+(m3-m)A2;end

20、 mse仁mes1/Nmse2=mes2/Nmse3=mes3/N以上程序保存為 ex21.m，命令窗口中鍵入 ex21，運(yùn)算結(jié)果為msel =58.1581mse2 =7.8351e-005mse3 =9.4469e-006可見第一個雖為無偏估計量，但MSE極大，表現(xiàn)很差。第二個雖為有偏估計，但表現(xiàn)與第三個相差不多，也是較好的估計量。另外，重復(fù)運(yùn)行ex21,每次的結(jié)果是不同的，但優(yōu)劣表現(xiàn)幾乎是一致的。例2.2 設(shè)XX2，X5。為來自0門上服從均勻分布的總體的簡單隨機(jī)樣本，容易得到未知參數(shù)的矩估計量聽=2X，最大似然估計量 = max(X1,X2,，X50)，試用隨機(jī)模擬的方法比較兩者的優(yōu)劣。

21、解 不妨設(shè)v - 5，以下程序給出了兩者的評價。s=5;N=10000;mse1=0; mse2=0;for k=1:Nx=5.*ran d(1,50);s1= 2*mea n( x);s2=max(x);mse 仁mse1+(s1-s)2;mse2=mse2+(s2-s)A2;endmse1=mse1/N; mse2=mse2/N;mse1,mse2參考運(yùn)行結(jié)果：0.16550.0186本例中，最大似然估計精度較高。注意矩法估計量是無偏估計，本例中最大似然估計量顯然是有偏估計，且一定是偏小的。(2)有效性設(shè)二1 -6(X1，X，2，Xn)和二2 2(X1,X,2，Xn)是未知參數(shù) 二的兩個無

22、偏估計” AAA A量。右D（T 1 ） :： D V 2，則稱V 1比V 2有效。例7. 2 :設(shè)Xi,X,2，,Xn是總體的一個樣本，試證下列式子并比較有效性。A.131(1)J1X1X2+ X3；5102A115(2)-2X1-X2+ X3；3412A131(3)-3X1X2X3.34-12（3） 一致性（相合性）設(shè)v n是V的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)；，都有A lim P（|dn - 二 I 0=0, n :.則稱巧為二的一致估計量（或相合估計量）。3、區(qū)間估計所謂區(qū)間估計，就是用兩個估計量 $與礙估計未知參數(shù)日，使得隨機(jī)區(qū)間 包含未知參數(shù)的概率為指定的1 -二。即：P4 專:誇

23、）_ 1 _ ：稱滿足上述條件的區(qū)間（,）為二的置信區(qū)間，稱1 -=為置信水平。 限，纟稱為置信上限。（岡，區(qū)）能夠需稱為置信下3.1單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間2 2（1）方差二-0已知情形z-亠a查表求U 一滿足：對于 N（0,1），P（ -.）。（上分位數(shù)）-222厶2對于總體N（6）中的樣本X1,X2/ ,Xn的置信區(qū)間為： a. a.（X -Ua, X 十Ua） w n ? P n $其中U可以用norminv（1-a /2）計算。(2-4)2例2.3 設(shè)1.1,22, 3,3, 4.4, 5.5為來自正態(tài)總體 N(山2.32)的簡單隨機(jī)樣本，求 二的置信水平為95%的置信區(qū)間。 解以下

24、用Matlab命令計算：x=1.1,2.2,3.3,4.4,5.5;n=len gth(x) ;m=mea n(x);c=2.3/sqrt( n);d=c* normi nv(0.975);a=m-d; b=m+d;a,b計算結(jié)果為1.2840 5.3160(2)方差二2未知情形對于總體NCU2)中的樣本XX2,，Xn的置信區(qū)間為:(2-4)其中r.為自由度n-1的t分布臨界值。2數(shù)據(jù)同上，繼續(xù)利用Matlab計算S=std(x); dd=S*ti nv(0.975,4)/sqrt( n);aa=m-dd; bb=m+dd; aa,bb結(jié)果為 1.14045.45963.2單正態(tài)總體方差的置信

25、區(qū)間1 n _由于W 2v(Xj-X)2 2(n-1)，查表求臨界值c1與c2，使得則二2的置信區(qū)間為(2-5)1 2 1 2 (n-1)S2,- (n -1)S2)c2c1其中查表可用chi2inv進(jìn)行。數(shù)據(jù)同上，以下求二2的置信區(qū)間。c1=ch i2in v(0.025,4);c2=ch i2in v(0.975,4);T=( n-1)*var(x); aaa=T/c2; bbb=T/c1; aaa,bbb計算結(jié)果為1.0859 24.97843.3兩正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間(1)方差已知情形2 2，此時設(shè) XX2, ,XmN(叫，G)，丫1,丫2, ,YnN(2f2)，兩樣本獨(dú)立叫-七的

26、置信區(qū)間為X 一丫 -u：_ 1 ：- 2+弔，X -丫+U斜 m n(2-6)這里我們已經(jīng)知道 u-.可用normi nv(0.975)求得，Matlab計算很容易。(2)方差未知但相等:匚2此時叫-的置信區(qū)間為X -Y -r C , X - Y t.C2(2-7)1 . 1 (m1)S2 (n-1)S；m + n _2，而t.依照自由度m，n-2計算。3.4兩正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間此時，查自由度為(m -1, n -1)的F分布臨界值表，使得P(c1 ： F : c21 -:2 2則1 /；2的置信區(qū)間為:S2 / S；c2s12/s2c1(2-7)例2.4 設(shè)兩臺車床加工同一零件，各加

27、工8件，長度的誤差為:0.050.070.210.610.821.24A: -0.12-0.80-0.05-0.04-0.01B： -1.50-0.80-0.40-0.100.20求方差比的置信區(qū)間。解 用Matlab計算如下：x=-0.12,-0.80,-0.05,-0.04,-0.01,0.05,0.07,0.21;y=-1.50,-0.80,-0.40,-0.10,0.20,0.61,0.82,1.24; v1=var(x); v2=var(y);c仁fin v(0.025,7,7);c2=fi nv(0.975,7,7);a=(v1/v2)/c2;b=(v1/v2)/c1; a,b計算

28、結(jié)果為： 0.02290.5720方差比小于1的概率至少達(dá)到了95%，說明車床A的精度明顯高。三 假設(shè)檢驗(換令一個講)3.1假設(shè)檢驗的基本概念例3.1 已知小麥畝產(chǎn)服從正態(tài)分布，傳統(tǒng)小麥品種平均畝產(chǎn)800斤，現(xiàn)有新品種產(chǎn)量未知，試種10塊，每塊一畝，產(chǎn)量為：775,816,834,836,858,863,873,877,885,901問：新產(chǎn)品畝產(chǎn)是否超過了800斤？假設(shè)檢驗就是概率意義上的反證法。要證明命題 H1: J 800 ,可以首先假設(shè) H。：J =800。本體中容易計算樣本均值超過 800 了，有沒有可能超過800的原因是由于抽樣的 隨機(jī)性引起的？是否總體均值根本沒有變化？我們看如

29、下的統(tǒng)計量：T _ X - 800S/石容易看出，如果新品種確有增產(chǎn)效應(yīng)，T應(yīng)偏大，不利于 H。，取=0.05，查表求臨界值t -.，使得P(T )二：，即構(gòu)造不利于 H。，有利于H1的小概率事件，如果在一次試驗中 該小概率事件發(fā)生了，就有理由拒絕H。，認(rèn)為Hj成立。嚴(yán)格邏輯意義上的反證法思路如下：欲證H1成立，先假設(shè)其否命題H0成立，然后找出邏輯意義上的矛盾，從而推翻H。成立，嚴(yán)格證明H1成立。假設(shè)檢驗的思路類似，只不過引出的不是矛盾，而是小概率事件在一次實驗中發(fā)生。我們稱想要證明的命題H1為備擇假設(shè)，對立的命題 H0稱為原假設(shè)，面對樣本，我們必須表態(tài)是接受原假設(shè)還是拒絕原假設(shè)，這有可能出現(xiàn)

30、兩類錯誤。如果客觀上原假設(shè)的確成第一類錯誤，發(fā)立，面對樣本的異常我們拒絕了原假設(shè)，這種“以真為假”的錯誤我們稱為 生的概率用:-表示；如果客觀上備擇假設(shè)成立，我們卻接受了原假設(shè)，這種“以假為真”的錯誤我們稱為第二類錯誤，用發(fā)生的概率用 1表示。假設(shè)假設(shè)檢驗一般首先控制第一類 錯誤，即：當(dāng)我們拒絕原假設(shè)時有比較充足的理由，犯錯誤的概率不超過預(yù)設(shè)的 ：，稱：為顯著性水平。常用的顯著性水平有:=0.1, 0.05, 0.01這種預(yù)設(shè)顯著性水平:的假設(shè)檢驗也稱為顯著性檢驗，以后我們提到的假設(shè)檢驗都是顯著性檢驗。對于顯著性檢驗，當(dāng)接受原假設(shè)時，可以認(rèn)為是拒絕的證據(jù)不足。3.2正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗321

31、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗設(shè)XX2，Xn為來自正態(tài)總體 N（*；2）簡單隨機(jī)樣本，為我們關(guān)心的已知的值，原假設(shè)為：H。： - J（1）方差已知情形X -卩0此時，檢驗統(tǒng)計量為U. 0 , Ho成立時u N（0,1），依據(jù)備擇假設(shè)的不同提法， /J n分三種情況分別給出拒絕域。1） 雙側(cè)檢驗 備擇假設(shè) 比：一-0拒絕域：|U卜u2這種情形我們關(guān)心的是總體均值是否發(fā)生了變化，增多減少都是我們同等關(guān)注的。例如要研究某種藥物的副作用，是否引起血壓的變化，變大變小都是副作用，如果實驗證明了確有副作用，就該停產(chǎn)或慎用。2） 單側(cè)檢驗（右側(cè)）備擇假設(shè)J 拒絕域：U 7：.這種情形我們關(guān)心的是總體均值是否有增加

32、效應(yīng)，例如小麥畝產(chǎn)。無增產(chǎn)效應(yīng)或者減 產(chǎn)都是我們不希望看到的，我們希望證明的是增產(chǎn)了。3） 單側(cè)檢驗（左側(cè)）備擇假設(shè)比：化 拒絕域：U ： - U：.這種情形我們希望看到總體均值變小了。每匹布上疵點(diǎn)的個數(shù)。新工藝后是否有減少。（2）方差未知情形原假設(shè)H。：-X _巴此時，檢驗統(tǒng)計量為T0，H0成立時T t（n -1），依據(jù)備擇假設(shè)的不同提法，S/J n分三種情況分別給出拒絕域。雙側(cè)檢驗備擇假設(shè)比：拒絕域：|T|t.2單側(cè)檢驗（右側(cè)）備擇假設(shè)比：- o拒絕域：T t:單側(cè)檢驗（左側(cè)）備擇假設(shè)已：0拒絕域：T ： -t其實，上一章中區(qū)間估計與這里的雙側(cè)檢驗本質(zhì)上是相同的：區(qū)間套中0接受原假設(shè),沒套

33、中則拒絕原假設(shè)。只不過檢驗統(tǒng)計量的計算更簡單些。 類似于單側(cè)檢驗，也可以有單側(cè) 區(qū)間估計。322單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗設(shè)Xi,X2，Xn為來自正態(tài)總體 N（d； CT）簡單隨機(jī)樣本，二為我們關(guān)心的已知的值，原假設(shè)為 H: c - ; ，檢驗統(tǒng)計量為22 (n -1)S_ 2n (Xi -X)2i 4當(dāng)H成立時，2 2（n -1），由此可查 2（n -1）臨界值表，構(gòu)造拒絕域。（1）雙側(cè)檢驗此時備擇假設(shè)為Hi：匚北匚，也就是說，我們希望通過樣本找到總2體方差比較-0有明顯變化的證據(jù)，無論變大變小都是我們希望證明的。aa此時取臨界值c1與c2，使得P （ 2乞c1），P（ 2 - c1），拒絕域

34、為：2 ： c122（方差變小了），或者 2 c2 （方差變大了）。當(dāng)n已經(jīng)賦值的時候，執(zhí)行如下Matlab命令可得到臨界值。a=0.05, n=20, c1=chi2i nv（a/2, n-1）, c2=ch i2in v（1-a/2, n-1）,（2 ）單側(cè)檢驗（右側(cè)）此時備擇假設(shè)為 比：匚 二o，也就是說，我們關(guān)心的是方差是否變大了。此時臨界值為c滿足P( 2 c -，可用c=chi2in v(1-a, n-1)（3 ）單側(cè)檢驗（左側(cè)）此時備擇假設(shè)為 H1 ： ；： ；0，也就是說，我們關(guān)心的是方差是否變小了。此時臨界值為c滿足P( 2 ： c) =，可用c=chi2 in v(a ,n

35、-1)3.2.3兩正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗設(shè)X1,X2 / ,Xm為來自正態(tài)總體 N（ %；擰）的簡單隨機(jī)樣本，,丫2,Yn為來自正2態(tài)總體N（2,二2 ）的簡單隨機(jī)樣本，且兩樣本獨(dú)立。為比較兩個總體的期望， 提出如下原假設(shè)：Ho ： .!_：1 =2與前面類似，備擇假設(shè)有雙側(cè)、單側(cè)（左側(cè)、右側(cè)）等提法。（1）方差已知情形此時檢驗統(tǒng)計量為uX -Y_2_2 ，當(dāng)12mnHo成立時U服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，臨界值 u：.,u 一.含義及計算方法同前。2此時原假設(shè)仍為Ho：亠二丄2，備擇假設(shè)同樣有三種提法。檢驗統(tǒng)計量為:(m n -2)雙側(cè)檢驗H1：丄1 -2，拒絕域：|U | u右側(cè)檢驗H1：丄1勺丄2

36、，拒絕域：U u左側(cè)檢驗H1：亠”：2，拒絕域：U ： -u方差未知但相等情形；一 1 -；2 -廠1）a(2)a2當(dāng)Ho成立時T t（m n -2），由此得臨界值21）雙側(cè)檢驗Hi：叫-一 2，拒絕域:|T| J.2）右側(cè)檢驗Hi：-2，拒絕域:）左側(cè)檢驗Hi：匕：:：2，拒絕域:324兩正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗設(shè)X1,X2/ ,Xm為來自正態(tài)總體N（ %二1 ）的簡單隨機(jī)樣本，丫1,丫2,，丫n為來自正 態(tài)總體N（J，二；）的簡單隨機(jī)樣本，且兩樣本獨(dú)立。為比較兩個總體的方差， 提出如下原假 設(shè)：十2什2Ho : J 12與前面類似，備擇假設(shè)有雙側(cè)、單側(cè)（左側(cè)、右側(cè)）等提法。此時檢驗統(tǒng)計量為

37、FSf/S；，當(dāng)H0成立時，F(xiàn) F(m -1, n 1)，在Matlab中，如果m,n已經(jīng)賦值，例如 m=8,n=10則c1=finv(0.025,7,9), c2=finv(0.975,7,9)分別給出了=0.05時的兩個臨界值，雙側(cè)檢驗的拒絕域為F：c1或F .c2。c3=fi nv(0.05,7,9)給出了左側(cè)檢驗臨界值，F(xiàn) : c3時拒絕原假設(shè)，認(rèn)為備擇假設(shè)比：二成立。c4=fin v(0.95,7,9)給出了右側(cè)檢驗臨界值，F(xiàn)c4時拒絕原假設(shè)，認(rèn)為備擇假設(shè)比：二；.；打成立。325大樣本非正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗設(shè)XX2，Xn為來自非正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，設(shè)總體均值與總體方差匚2有限

38、，原假設(shè)H0：JX 卩此時可以將u作為近似的檢驗統(tǒng)計量，當(dāng)樣本容量很大時(例如100)，由S/ . n中心極限定理知 H0成立時U近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以仿照3.2.1小節(jié)中的算法檢驗如下三個備擇假設(shè)：比：% ；H1：丄弐-0 ； H1：二 ” -0設(shè)X1,X2 / ,Xm為來自非正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本， 丫1,丫2,，丫n為來自非正態(tài)總體 的簡單隨機(jī)樣本，且兩樣本獨(dú)立。兩個總體有有限的均值與方差，均值為打與2，為比較兩個總體的期望，提出如下原假設(shè)：H0 : -= J2與前面類似，備擇假設(shè)有雙側(cè)、單側(cè)(左側(cè)、右側(cè))等提法。此時可以將近似作為檢驗統(tǒng)計量，當(dāng)兩個樣本容量都很大時(例如100)，由

39、中心極限定理知H。成立時U近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以仿照3.2.3小節(jié)中的算法檢驗如下三個備擇假設(shè)：H1:叫-,；H1： 、 -2 ；H1：亠：J3.5總體分布的假設(shè)檢驗設(shè)X1,X2/ ,Xn為來自總體F(x)的簡單隨機(jī)樣本，F(xiàn)(x)為已知的一個固定的分布 函數(shù)，要進(jìn)行如下的檢驗：H0： F(x)=F0(x)H1： F(x)=F0(x)對此檢驗問題，有兩種常用的方法。100。對總體分布進(jìn)行假設(shè)檢驗，一般要求樣本容量較大，例如至少3.5.12檢驗取正整數(shù) m ： . n/2 ，將樣本排序為X（1）_ X（2）_-X（n）,將區(qū)間X，X（n） m 1等分，分點(diǎn)為ti = X（1）X（n）- X（1

40、），i = 1,2； , mm +1這m個分點(diǎn)將（：）分割為m 1個小區(qū)間，二1 =（ - 二角，二 2 = （t1, t2，二 m = （tm d ,tm，二 m 1 = （tm ：）m*V記v為落入Ai的樣本點(diǎn)的個數(shù)，顯然瓦Vi =n，稱丄為X落入也i的頻率。Pi = P（X E也i）i 二n表示Ho成立時X落入.訂的概率，即p1 = Fo（t1），P2 =Fo（t2）- Fo（t1），Pm = Fo（tm） - Fo（tm），Pm 1 二1 - F0（tm）檢驗統(tǒng)計量取為：m: ：1V八i =1nPiidnp2可以證明，當(dāng)Ho成立時V近似服從自由度為 m的2分布，對于顯著性水平，取臨界值

41、vO=ch i2in v（1-alpha,m）當(dāng)VvO時，拒絕Ho。四單因素方差分析5.1.1方差分析的基本概念在實際問題中，人們常常需要在不同的條件下對所研究的對象進(jìn)行對比試驗，從而得 到若干組數(shù)據(jù)（樣本）。方差分析就是一種分析、處理多組實驗數(shù)據(jù)間均值差異的顯著性的 統(tǒng)計方法。其主要任務(wù)是，通過對數(shù)據(jù)的分析處理，搞清楚各實驗條件對實驗結(jié)果的影響， 以便更有效地指導(dǎo)實踐，提高經(jīng)濟(jì)效益或者科研水平。在統(tǒng)計中，人們稱受控制的條件為因素，因素所處的狀態(tài)稱為 水平。如果只讓一個因素變動，取該因素的多個不同水平進(jìn)行試驗，而其他因素保持不變，稱該試驗為單因素試驗。例如小麥種植產(chǎn)量，只考慮“品種”這一因素，

42、研究4個不同品種產(chǎn)量的差異，其它諸如施肥方案、灌溉方案等因素保持一致，就是一個4水平單因素試驗。如果同時考慮兩個因素，例如 4個小麥品種在3種不同施肥方案下的產(chǎn)量，就是一個雙 因素試驗。對于r組實驗數(shù)據(jù)，我們假定都來自正態(tài)總體， 并且具有相同的方差（稱為方差齊性） 要檢驗這相互獨(dú)立的 r個正態(tài)總體N(叫,；2) i =1,2, ,r均值間有無差異，即:H 0： 叫= =；前面我們講過兩正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗，有Hi:諸叫不全相同T檢驗的方法。自然有一個想法，對于1 j tOP=P+1;endendP=P/N執(zhí)行上述程序，發(fā)現(xiàn)每次頻率都在0.05附近，說明上述兩個正態(tài)總體均值的T檢驗的確是水平為

43、=0.05的檢驗。我們設(shè)想有8組數(shù)據(jù)，客觀上都是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，沒有差異，每組樣本容量都是10?，F(xiàn)在用前述“兩兩 T檢驗法”進(jìn)行檢驗，下述程序計算出了萬次模擬中拒絕的頻率。N=10000;n=10; r=8;alpha=0.05;t0=t in v(1-alpha/2, n+n-2);P=0;for k=1:Nx=randn( 8,10);E=mea n( x,2);EE,l=sort(E);X=x(l,:);T=t2test(X(1,:),X(8,:);if abs(T)t0P=P+1;endendP=P/N;上述程序模擬發(fā)現(xiàn)，拒絕頻率大約在0.45左右，嚴(yán)重偏離0.05，說明依照“兩兩

44、T檢驗”犯第一類錯誤的概率嚴(yán)重增大，判定結(jié)果很不可靠。對于8組數(shù)據(jù)，兩兩比較共C； =28種組合，若每種組合接受原假設(shè)的概率為0.95，則28種組合都接受原假設(shè)的概率大致估計為0.9528 =0.2378，拒絕概率大致估計為 0.76。由于相關(guān)性，拒絕概率沒有達(dá)到0.76，但0.45也相當(dāng)大了。為了避免上述問題的出現(xiàn)，1923年，波蘭數(shù)學(xué)家A.Fisher提出了方差分析(Analysis ofVarianee 簡稱ANOVA)法，可以同時判定多組數(shù)據(jù)均值間差異的顯著性檢驗問題。其檢 驗統(tǒng)計量在H。成立時服從F分布，這里F分布就是以Fisher姓氏的第一個字母命名的。512單因素方差分析的計算設(shè)有r組數(shù)據(jù)，表示因素A的r個水平，