疑難規(guī)律方法第2章學習專用

1、教育資源1向量線性運算的應用平面向量的線性運算包括加法、減法以及數(shù)乘運算，在解題中具有廣泛的應用在對向量實 施線性運算時，要準確利用對應的運算法則、運算律，注意向量的大小和方向兩個方面.一、化簡例1化簡下列各式：(1) (2AB CD) - (AC 2E3D)；1(2) 243(2a + 8b) 6(4a 2b) 解(1)(2AB-CD) (Ac-2bD)=2AB CD AC+ 2E3D = 2忑+ DC + CA+ 2E3D=2(AB + BD) + (DC + CA) = 2AD + DA = AD.1(2)方3(2 a + 8 b) 6(4a 2b)1 1=24(6a + 24b 24a

2、 + 12b)=方(18a+ 36 b)33=4a+ 尹點評 向量的基本運算主要有兩個途徑：一是基于“形”，通過作出向量，運用平行四邊形法則或三角形法則進行化簡；二是基于“數(shù)”，滿足“首尾相接且相加”或“起點相同且相減”的兩個向量進行化簡，解題時要注意觀察是否有這兩種形式出現(xiàn)，同時注意向量加法法則、減法法則的逆向應用數(shù)乘運算，可類比實數(shù)積的運算方法進行，將向量a, b, c等看成一般字母符號，其中向量數(shù)乘之間的和差運算，相當于合并同類項或提取公因式，這里的“同類項”與“公因式”指的是向量.二、求參數(shù)例2如圖，已知 ABC和點M滿足MA+ IMB + MC = 0，若存在實數(shù) m使得AB+ AC

3、= mAM成 立，貝H m =.解析如圖， 因為 MA + MB + MC=0,即 MA = (MB + MC),即 Am = MB + MC,延長AM，交BC于D點, 所以D是BC邊的中點,所以 AM = 2MD ,所以 AD = |aM，所以 AB+ AC = 2AD = 3AM,所以m= 3.答案 3點評 求解含參數(shù)的向量線性運算問題，只需把參數(shù)當作已知條件，根據(jù)向量的加法、減法及數(shù)乘運算將問題中所涉及的向量用兩個不共線的向量表示，列出向量方程，對比系數(shù)求參數(shù)的值.三、表示向量例3如圖所示，在 ABC中，AD = |ab, DE / BC交AC于點E, BC邊上的中線 AM交DE于點 N

4、,設 AB = a, AC= b,用向量 a, b 表示 AE, BC, DE , DN , AM.解因為 DE / BC, AD = |ab ,- 2 - 2 - - -所以AE = 3AC = 3b, BC = AC AB= b a,t 2 t 2由厶ADEABC，得 DE = BC= (b a),又M是厶ABC底邊BC的中點，DE / BC,所以 DN = 1DE = 3(b a),t T T1 T11AM = AB + BM = a + |BC = a +1( b a)= |( a+ b).點評 用已知向量表示另外一些向量，應盡量將所求向量轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利 用向量共線條件

5、和平面幾何知識的一些定理、性質(zhì)，如三角形中位線性質(zhì)，相似三角形對應邊成比例等，再利用向量加法、減法法則，即可用已知向量表示所求向量.2 走出平面向量的誤區(qū)平面向量的基本定理與坐標表示是向量問題的基礎，試題的特點是概念較多，應用也多，不 少同學由于概念、性質(zhì)掌握不清，在解題時經(jīng)常出現(xiàn)錯誤，本文將常見的錯誤進行簡單的總 結(jié)，希望幫助同學們走出平面向量的誤區(qū).一、理解失誤例1已知ei, e2是平面a內(nèi)的一組基底，那么下列命題中正確的有 .(只填序號) ei, e2兩個向量可以共線，也可以是零向量； 心+姥可以表示平面 a內(nèi)的所有向量； 對于平面a內(nèi)的任意向量a,使a =砂+ e的實數(shù) 入卩有無數(shù)對.

6、錯解正解 由平面向量的基本定理知，只有不共線的兩個向量才能作為平面向量的一組基底，所以錯誤；任一平面向量都可以用一組基底線性表示，且基底確定，其表示是唯一的，所以正確，錯誤；故正確答案為 答案點評 對平面向量基本定理的學習要把握以下幾點：ei, 62是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量；該平面內(nèi)的任意向量 a都可用ei, 62線性表示，且這種表示是唯一的；對基底的選取不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為一組基底.二、考慮不全例2與模為13的向量d= (12,5)平行的單位向量為 錯解由題意得|d|= 13,則與d= (12,5)平行的單位向量為13, 13 .正解與d= (12,5)平行

7、的單位向量為kj3，13或 I 13，13 /答案 點評與d平行的單位向量有同向和反向兩種情況，錯解忽略了反向的情況.三、概念混淆例 3 已知 A(-2,4), B(3, - 1), C( 3, 4).設 CM =3CA, CN = 2CB，試求點 M , N和向量MN的坐標.錯解 A( 2,4), B(3, 1), C( 3, 4),所以 CA = ( 2 + 3,4 + 4) = (1,8),CB= (3 + 3, 1 + 4) = (6,3),CM = 3CA = (3,24),CN = 2CB = (12,6),所以點 M(3,24)，點 N(12,6), MN = (9, - 18). 正解 已知 A(2,4)， B(3，1)， C(3，4)所以 cA = ( 2 + 3,4 + 4) = (1,8),CB= (33，- 14)= (6,3)，CM = 3CA = (3,24),CN = 2CB = (12,6),又 C( 3， 4)，所以點M(0,2