向量法在立體幾何中的應(yīng)用

1、向量法在立體幾何中的應(yīng)用寶泉嶺髙級中學(xué)鵬近幾年的髙考立體幾何題，絕大部分都可以利用幾何法和向量法去求解。在利用幾何法 求解時需要考生有較強的空間思維能力與邏輯推理能力，必須有較完整的“一作、二證、三 計算”的步驟；而利用向量法來求解，僅需將空間問題轉(zhuǎn)化成有關(guān)向量的運算問題來處理， 即將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，簡捷方便，不用作圖而直接計算。下面就利用向量法解決立體 幾何中角的問題、距離的問題時得到的一些方法進行歸類和梳理。一.用向量法處理空間角問題K用向量求兩條異面直線所成的角求異面直線 7,”所成的角，我們只需要分別在直線加小上取定方向補角（如圖1所示）,即 cos& = cos 向量則異面直

2、線 W所成的角&等于向量Nb所成的角或其【例題】如圖2,底面ABCD為直角梯形，ZABC=90 PB丄面ABCD. BA=BC=BP=2CD = 2, E 為 PD的中點、。求異面直線3D與P4所成角的大小解：如圖3建立空間直角坐標系B-xyz.,則有B（OQO）, D（2,l,0 P（0,0,2）, A（020）cos 0 = cos 陰莎_2 _価阿網(wǎng) y/5xy/s 10得麗=（2丄0）,用=（02-2）,設(shè)異面直線BD與P4所成角的大小.e = arccos書，即異面直線BQ與陽所成角的大小為arccos甞利用向量法求空間直線所成的角，可避免作輔助線及復(fù)雜嚴謹 的論證等諸多麻煩。題過c

3、os值，求出兩向量的夾角可 能是鈍角或直角或銳角，因異面直線所成的角的圍是（0,彳,故加 絕對值，便可直接求得所要求的角。2、用向量求直線與平面所成的角頁腳如圖4,求直線L和平面Q所成的角，只需在厶上取定在，/yn方是平面Q的法向量，再求COS&,則0-1CP1 1 /? 1f-為所XzX卩/7a/L求的角圖4【例題】如圖5 ,底面ABCD為直角梯形，ZABC= 90 , PB丄面ABCD ,BA = BC=BP=2CD = 2, E為PD的中點，求直線CP與面ADP所成角的大小;解：如圖6 ,建立空間直角坐標系B-xyz ,則有A（020）, C（2g D（2 丄 0）, P（0,0,2）,

4、故CP = （-2Q,2）AP =（0,2,2）,DP = （-2-1,2）設(shè)面的一個法向量為n =(x, ”z)./ 丄 AP_= n DP = 0-2y+ 2z = 0 一 2x - y + 2乙=0令 y = 1得 z = 1，v = ,即 設(shè)直線CP與面ADP所成角的大小為故a *I CP nx I 1y2 a/2sin & = cos =:=,/. 0 = arcs in 可51 78x2 661 1 2即直線CP與面ADP所成角的大小為arcsin竺。6在本例題中由線面角的圍為e0,|,又直線的方向向量CP與法向量川所成角的圍陰，故線面角，得直線CP與面4DP所成角7t一 arcc

5、os2CPnCPn=arcs in3.用向量求二面角的大小如圖7,求平面Q和0的二面角的平面角的大小，設(shè)nn2分別為二面角的兩個半平面的法向量，二面角的大小轉(zhuǎn)化為兩個法向量的夾角或它的補角；可由COS0= cos =求得&值，再觀察二面角，若是銳二面角則二面角大小a = 0.若二面角為鈍二面角則二面角大小a = n-e.而在幾何法中，求二面 頁腳則有*丄In丄CD即勺=(1Q1),又面ADP的一個法向量為并2COS =1 7 9nIH、故 cosO =32_V2pr 丁所以e = ,顯然二面角為鈍二面角,4角的平面角的大小，首先得找出平面角是哪個，這是比較困難 的事情?！纠}】如圖8,底面AB

6、CD為直角梯形，ZABC=90 PB丄 面 A3CD, BA=BC=BP=2CD = 2, E 為 PD的中點、,求面 CDP與面ADP所成二面角的大小。解：如圖9,建立空間直角坐標系B - JQN 則有 C（2,0,0）, D（2,l,0）, P（0,0,2）,CP = （-2,0,2）, CD =（0,1,0）設(shè)面CDP的一個法向量為兀= （x,”z）,n CP = 0 f- 2x + 2z = 0 =nCD = 0l，= 04即面CDP與面ADP所成二面角的大小為弐.4在用向量求二面角的大小時，我們是先求出兩半平面的法向量所在直線的夾角但二面 角可能是鈍角或銳角，因此在求出&角后，應(yīng)判斷

7、二面角的大小，再確定二面角就是兩半平 面的法向量所在直線的夾角&或是其補角。二、用向量法處理空間距離問題1、求兩點之間的距離用向量求兩點間的距離，可以先求出以這兩點為始點和終點的向量，然后求岀該向量的模，則模就是兩點之間的距離.例1已知正方體ABCD-A.B.C.D,的棱長為1,點P是AD的中點，Q是BD上一點，DQ二丄DB,求P、Q兩點間的距離.4解 如圖1,以庶氐西所在的直線分別為x軸、y軸和z頁腳軸建立空間直角坐標系gyz,則町。,”航,0）, 1 1 1 所以PQ = (越，一/Q兩點的距離為竺.42.求點到直線之間的距離如圖11, P為直線a外一點，Q為a上任意一點，P0丄a于點0,

8、所以點P到直線a的距則有 QO=|qp|-|qo|-cos 所以 cos =QPQO離為IpoFd = PO = PQ- sin ZPQO = |閔 sin 1-cos2例 2 在長方體 OABC-OjAiBiC沖,0A=2, AB=3, AAi=2.求點（）】到 直線AC的距離.解:如圖12,建立空間直角坐標系0-xyz,連結(jié)A0“則A(2,0, 0), C(0, 3, 0), 0i(0, 0, 2). 所以范=(-2, 0, 2), AC = (-2, 3, 0).故心16 228613 13所以點0.到直線AC的距離為諱一3、求點到平面的距離如圖13,設(shè)A是平面a外一點，AB是平面a的一

9、條斜線，交平 面a于點B,而是平面a的法向量，那么向量BA在n方向上的 射影長就是點A到平面a的距離d,所以A圖13頁腳例3如圖14,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB二逅，AF=1, M是線段EF的中點，N為AC與BD的交點，求點B到平面CMN的距離.解:如圖15,建立空間直角坐標系C-xyz.因為AB二厲，AF=1,所以市=（，i）cb =(aV2,o)設(shè)平面CMN的法向量為n = （x, y9 z）,則有X +2 2V2 x +2 2令 x=l,得 y二-1, z二0,所以n = (L-l,O).所以點 BEF nEF - n,即為異面CBn到平面CMN的距離d =

10、 - = 1.4. 求異面直線間的距離如圖16,假設(shè)念方是異面直線，平移直線2至/且交力于點A,那么直線h 和方確定平面Q,且直線a/ a T設(shè)“丄a , n丄即；為異面直線去的公垂線的方向向量所以異面直線a的b的距離等于直線a上任意一點 至平面a的距離若FWEGZ7,則異面直線$、之間的 距離 d = |ef| - |cos 直線爪之間的距離.例4在棱長為1的正方體ABCD-AbCD中，求異面直線AC與BQ的距離.解：如圖17所示，建立空間直角坐標系D-xyz ,則有頁腳= (-1,1, 0), BC = (-1,0, -1)設(shè)?？膳c瓦E的公垂線的方向向量為n = (x, y, z)，則n

11、AjCj = 0n BjC = 0即一 x + y = 0_x_z = 0令 x=l,得 y=l, z=-l,所以 n = (l, 1,-1).又 A1B1 =(0,1,0),所以AC與DC的距離d =J_ = V|?3 T5. 求直線與它平行平面及求兩個平行平面之間的距離求直線與它平行平面及兩個平行平面之間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離,BAn即運用 =求它們之間的距離.n例5設(shè)正方體ABCD-AbCD的棱長為1, M、N、E. F分別是Ab、AD、BG CD的中點求平行平面AMN與平面EFDB的距離.解：如圖18,建立空間直角坐標系C-xyz,則11BE = (一一,0,1), DF = (0,-,l), DA = (l,0,0).設(shè)平面 EFDB2 2” f的法向量為n = (x, y, z) t則有 竺一。即 DF = 0x+z = 0：t 取 Z = 1,則 x = y = 2 ,一 一y + Z = 0-DA ii ?所以n = (2, 2,1)，所以平行平面AMN與平面EFDB的